Решение задач в постановке нелинейной наследственности

Решение задач в постановке нелинейной наследственности

В одномерной нелинейной наследственной теории упругости используется представление нелинейного функционала в виде ряда кратных интегралов Фреше [1]. В соответствии с предложением Ю. Н. Работнова [2−4] в представлении нелинейного функционала Фреше каждое ядро определяется как произведение одинаковых функций от «k» различных аргументов.

С учетом обозначений (1) уравнение записано как (2).

деформация упругий наследственность.

• (1)
• (2)

В предложении о сходимости ряда (2) из его обращения следует (3).

(3).

В (3) е, б — деформации и напряжения одномерной теории наследственности; L* — интегральный оператор Вольтерры; операция L*б обозначает свертку двух функций L и у, где L — ядро ползучести. Зависимость (3) при t=0 совпадает с формой физического закона одномерной нелинейной теории упругости, поэтому ц (е) определяет мгновенную диаграмму деформирования. В частном случае одномерной вязкоупругости уравнение (3) описывает закон прямой пропорциональности. При L?0 имеем закон одномерной нелинейной теории упругости. Зависимость (3) можно переписать (4).

где (4).

Известна альтернативная форма записи закона наследственной упругопластичности [5,6]. При этом напряжения представлены в виде ряда Фреше (5).

Так же, как и ранее, предполагается выполнение гипотезы Ю. Н. Работнова — (6).

С учетом обозначений (7) физические соотношения записаны в виде (8); их обращение дает (9).

• (7)
• (8)
• (9)

В (3) R — ядро релаксации, — модифицированная деформация, а f (у) определяет мгновенную диаграмму деформирования. В силу чего функции f и ц — взаимообратимы, т.к. при t=0 выполняются следующие равенства, определяющие одну и ту же мгновенную диаграмму деформирования:. Аналогично переходу от (3) к (4) выполним переход от (9) к (10).

где (10).

Итак, (3−4) определяют прямую Ю. Н. Работнова, а (9−10) альтернативную формы записи закона наследственной одномерной нелинейной теории упругости. Далее ядро L будем записывать с индексом единица (L1), чтобы подчеркнуть прямую форму закона, а ядро R с индексом два (R2) — альтернативная форма.

Установим взаимосвязь между ядрами ползучести и релаксации нелинейной наследственной теории упругости.

Обратим физическую зависимость в (9):. Умножив последнее равенство на (1+L₁^*) в операторном смысле, получим (11).

(11).

Из сопоставления (11) и (3) следует, что операторы (1+L₁^*) и (1-R₂^*) могут быть резольветными только в том случае, если функции ц и f линейны. Далее устанавливается связь между ядрами ползучести и релаксации в прямой и альтернативной формулировках.

Введем вспомогательные операторы [7]: R₁ и L₂ такие, что выполняется попарно взаимная резольвентность операторов (1+L₁^*)? (1-R₁^*) и (1+L₂^*)? (1-R₂^*). Тогда имеем две формы записи закона нелинейной наследственной одномерной упругости (12).

Проведем простейший опыт на ползучесть у = const. Рассматривая прямую и альтернативную форму уравнений (12), получим (13).

Аналогично из опыта на релаксацию (е = const) имеем (14).

• (12)
• (13)

(14).

Входящие в (13) и (14) секущий и касательный модули определяются согласно мгновенной диаграмме деформирования в зависимости от величины постоянного напряжения или деформации. Зависимости (13) и (14) позволяют по результатам одной серии экспериментов определить характеристики аппроксимаций, применяемых в экспериментах другого типа. Пусть, например, из опыта на ползучесть определено ядро L₂. Тогда три других ядра определятся через L₂ согласно. Так,, а ядра R₁ и R₂ определяются решением операторных уравнений, определяющих условие резольвентности ядер ползучести и релаксации: R₁ ~ L₁, R₂ ~ L₂. Очевидно, что в линейных задачах секущий и касательный модуль равны начальному, и тогда L₁ = L₂, R₁ = R₂.

На основе приведенных зависимостей для одномерного случая можно построить определяющие уравнения нелинейной ползучести для сложного напряженного состояния. В работе рассмотрен частный случай построения теории малых упругопластических деформаций наследственного типа.

Приняты следующие гипотезы (запись ведется в прямой и альтернативной формулировках):

• 1) среда изотропна
• 2) материал вязкопластически несжимаем, т. е. объемная деформация является чисто упругой
• (15)

3) девиаторы деформаций и наследственных напряжений подобны и коаксильны (для прямой формулировки) или девиаторы напряжений и наследственных деформаций подобны и коаксильны (для альтернативной формулировки), откуда следует (16) [5].

— прямая.

— альтернативная (16).

Частными случаями (16) при L? 0 являются уравнения теории малых упругопластических деформаций. Если рассматривать линейную задачу, то из (16) следуют уравнения линейной вязкоупругости [8].

Полная система (17) уравнений теории малых упругопластических деформаций содержит уравнения равновесия, геометрические и физические зависимости, статические и кинематические граничные условия.

В (17) с учетом того, что = =, матрица физических зависимостей записана как (18).

Исключив в (17) напряжения и деформации, система уравнений в перемещениях записана как (19).

Если принять гипотезу о том, что напряжения и модифицированные деформации связаны зависимостями потенциального типа, т. е. что существует U такая, что, то можно построить вариационное уравнение (20), для которого уравнениями Эйлера являются уравнения равновесия и статические граничные условия в (19), если функция модифицированных перемещений удовлетворяет кинематическим граничным условиям, а вектор-функции и у удовлетворяют геометрическим и физическим зависимостям.

Функционал (20) не является квадратичным, поэтому здесь нельзя использовать традиционные методы решения задач линейной наследственности.

Точка стационарности (20) определяется аналогично обобщенному методу упругих решений [5]. В окрестности значений перемещений функционал (20) разлагается в ряд Тейлора с удержанием только членов не выше второй степени (1.31).

В (21) использованы обозначения (22).

Так, например, первый элемент матрицы Н определяется так:

.

Напряжения в окрестности точки uⁿможно вычислить по соответствующему приближению функции U — (23).

Приближенное вариационное уравнение, порождаемое квадратичной аппроксимацией (21), записано в виде (24).

Для функционала (24) уравнениями Эйлера являются уравнения равновесия в приращениях .

Решение вариационного уравнения (24) можно проводить методом конечных элементов (далее МКЭ), если провести независимые аппроксимации основных вектор-функций в (24) по пространственным и временным координатам [9, 10].

Пространственная область разбивается на сетку конечных элементов и на каждом из них вектор-функция модифицированных перемещений представляется в виде (25).

(25).

В (25) — вектор узловых модифицированных перемещений, — матрица координатных функций конечного элемента. Тогда модифицированные деформации выразим через модифицированные перемещения узлов конечного элемента (26).

(26).

После подстановки (25), (26) в (24) в силу произвольности д,следует (27).

.

где — наследственная касательная матрица жесткости,.

— наследственная секущая матрица жесткости,.

— вектор узловых сил (27).

Если сооружение выполнено из однородно ползучего материала, то в этом случае уравнения (27) можно трактовать как уравнения обобщенного шагового метода, и решение задачи существенно упрощается. Алгоритм задачи однородной ползучести решения приведен в [7, 11]. Рассмотрим более сложный случай использования в системе элементов с разными ядрами ползучести, т. е. задачу неоднородной ползучести. Предполагаем, что сетка конечных элементов построена так, что материал одного конечного элемента является однородно ползучим. Тогда можно представить основное соотношение МКЭ (27) в виде (28).

(28).

Интеграл помощью формулы трапеций приближенно представим в виде (29). При этом временная ось к моменту t разбита на m интервалов — t = mДt.

С учетом (29) уравнения равновесия (28) аппроксимируются как (30).

Введем обозначение (31).

С учетом принятых обозначений уравнения равновесия для ансамбля конечных элементов приведены в виде (32).

В (32) глобальные матрицы жесткости строятся традиционными способами по матрицам жесткости отдельных конечных элементов уравнения (32) определяют следующий итерационныйалгоритм.

1. Вначале определяются мгновенные компоненты НДС, относящиеся к моменту t=0. Вообще-то говоря, эти компоненты развиваются за конечный временной отрезок, но т.к. рассматриваемое время несоизмеримо больше, то время роста нагрузки условно принимается нулевым.

Считается, что на малом отрезке вязкие свойства системы не проявляются и поэтому решается стационарная задача.

2. На втором шаге определяются компоненты матриц жесткости, всех конечных элементов системы. Для чего вычисляются модифицированные деформации, напряжения, модули для. Если при интегрировании по пространственной области используются квадратурные формулы, то все указанные величины вычисляются в расчетных узлах. По локальным матрицам формируется общая система уравнений МКЭ и решается задача (32), в результате чего находится вектор приращения модифицированных перемещений. После чего расчет вновь повторяется со второго пункта до тех пор, пока не достигнем верхней границы временного отрезка, в пределах которого исследуется поведение сооружения. Контроль точности временной аппроксимации проводится при сгущении сетки временных конечных элементов (т.е. уменьшением Дt) до стабилизации решения.

В процессе нагружения сооружения, а также в процессе рассмотрения истории ее существования, возможно возникновение зон «разгрузки». Активный и пассивный процесс деформирования в теории малых упругопластических деформаций различаем по знаку приращения интенсивности модифицированных деформаций: если, то в точке расчетной области происходит процесс активного деформирования. Разгрузка имеет место при. Согласно положению теории неупругонаследственных сред Ю. Н. Работнова полагаем, что при разгрузке зависимость между напряжениями и деформациями является линейной вязкоупругой. Тогда физические зависимости при разгрузке примут вид (33).

• 1. Volterra V. Theory of Functionals and of Integral and Integro-Differential Equations. Dover Phoenix Editions, 1959. — 304 p.
• 2. Работнов Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел. — М.: Наука, 1977. 383 с.
• 3. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. — М.: Наука, 1979. — 650 с.
• 4. Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. — М.: Наука, 1968. — 752 с.
• 5. Васильков Г. В., Панасюк Л. Н., Селим Ш. И. Деформационная теория пластичности наследственного типа.- Ростов н/Д.: РИСИ, 1991. 18 с. //Деп. В ВИНИТИ N 3792-В91
• 6. Васильков Г. В., Панасюк Л. Н., Рогачкин П. Л. Вариационные постановки задач наследственной теории течения с изотропным упрочнением //Вычислительная механика и моделирование работы конструкций и сооружений. — Ростов н/Д.: РГАС, 1992. -6 с.
• 7. Васильков Г. В., Панасюк Л. Н., А.А.Аль-Тахиш. Определение предельных нагрузок для неоднородных вязкоупругопластических рам. — Ростов-на-Дону: РИСИ, 1993. 21 с.- Деп. в ВИНИТИ N 1169-В93.
• 8. Александров А. Ф., Потапов В. Д. Основы теории упругости и пластичности. — М.: Высшая школа, 1990.-400 с.