Уравнения Максвелла в веществе

Вещество состоит из атомов и молекул, которые в свою очередь содержат электрически заряженные частицы, электроны и протоны. Перемещаясь, заряды создают ток. Таким образом, в дополнение к существующим в вакууме, в веществе возникают другие заряды и токи, изменяющие электромагнитное поле. В приближении электродинамики сплошных сред, которая используется в технических приложениях, неоднородность распределения заряда в пределах атома, вызывающая изменение электромагнитного поля в тех же пределах, не учитывается. Коллективное движение заряженных частиц создает макроскопические неоднородности заряда и тока в веществе и изменяет электромагнитное поле. Анализ показывает, что учесть атомную структуру вещества можно с помощью поляризационных токов и зарядов, и зарядов, накапливающихся в веществе при прохождении по нему тока проводимости.

Дипольный момент, поляризационные заряды Пусть диэлектрик помещен в электрическое поле напряженностью Силы, действующие на положительное ядро и отрицательные электроны, направлены в противоположные стороны, и центры положительного и отрицательного зарядов, которые раньше совпадали, теперь разойдутся на расстояние d (рис. 1.3). Молекула деформируется, и возникнет дополнительное электрическое поле. Это поле описывают с помощью дипольного момента, который рассчитывают как произведение величины зарядов на расстояние между положительным и отрицательным зарядом.

.

Если в объеме N молекул, то полный дипольный момент в объеме.

(1.32).

Чем больше внешнее электрическое поле, тем сильнее разойдутся заряды и тем больше дипольный момент. В первом приближении можно считать, что дипольный момент пропорционален электрическому полю, приложенному к веществу.

. (1.33).

Электрическая индукция в веществе складывается из электрической индукции в вакууме и дипольного момента вещества,.

. (1.34).

Коэффициент пропорциональности называют диэлектрической восприимчивостью вещества, постоянную — абсолютной диэлектрической проницаемостью вещества, а — относительной диэлектрической проницаемостью,.

=, = 1 +. (1.35).

Если молекула не помещена в электрическое поле, то дипольный момент у нее, как правило, отсутствует. Существуют диэлектрики, молекулы которых обладают дипольным моментом. Однако, в отсутствие электрического поля диполи ориентированы хаотически и суммарного дипольного момента нет и в этом случае. Внешнее электрическое поле будет ориентировать диполи и возникнет поляризация. Равенство (1.33) верно и в этом случае.

В анизотропной среде вектор поляризации может не совпадать по направлению с электрическим полем, поэтому не совпадут по направлению вектора и. Векторное соотношение (1.34) выполняться не будет. В этом случае связь и можно описать с помощью тензора диэлектрической проницаемости.

D _i = _ij E _j.

Несмотря на изменение вида связи между напряженностью электрического поля и электрической индукцией, линейная зависимость между и сохранится. В однородной среде диэлектрическая проницаемость — скаляр, а в анизотропной — тензор второго ранга.

Чтобы рассчитать диэлектрическую восприимчивость, найдем вектор поляризации. Остановимся на однородной среде. Сначала рассмотрим одномерный случай, когда к узкой полоске вещества толщиной х и площадью S вдоль оси х приложено электрическое поле (см. рис. 1.3). Под действием электрического поля в элементарном объеме толщиной х происходят такие процессы. Слева, при х = х₀ электроны, из слоя толщиной d покинут объем и в нем возникнет положительный заряд q (x₀). Справа, при х = х₀ + х, наоборот, в полоску войдут электроны, расположенные правее координаты х₀ + х на d. Если электрическое поле однородно, то заряд в полоске не изменится. Но если поле неоднородно, то в объем войдет больше электронов, чем из него выйдет, или наоборот, и в полоске возникнет электрический заряд. Подсчитаем его. Пусть в единице объема содержится N электрических зарядов величиной q. Тогда слева из объема выйдет заряд q (x₀),.

q (x₀) = NqSd (x₀),.

а справа в объем войдет заряд q (x₀ +x),.

q (x₀ +x) = NqSd (x₀+x).

Итак, под действием электрического поля в объеме появится дополнительный заряд, величину которого можно выразить через проекцию вектора поляризации вдоль оси х.

q_пол= q (x₀ +x) — q (x₀) =Sx = S [Nqd (x₀) — Nqd (x₀+x)] =.

= - S [P_x (x₀+x) — P_x (x₀)].

Разделим обе части равенства на Sх и устремим х к нулю. Тогда.

_Эпол = .

Если электрическое поле изменяется в произвольном направлении, то в левой части равенства будет сумма частных производных по трем осям:

_Эпол = = - div = - div (_э). (1.36).

Определена плотность поляризационного заряда. Чтобы найти заряд во всем объеме, последнее равенство нужно проинтегрировать по этому объему.

.

Воспользуемся теоремой Остроградского — Гаусса и заменим справа интеграл по объему от дивергенции на интеграл по охватывающей его поверхности от потока вектора и получим окончательное выражение для электрического заряда.

. (1.37).

Таким образом, в электрическом поле диэлектрик поляризуется, что можно описать с помощью дипольного момента. В неоднородном поле возникают неоднородности заряда, которые изменят уравнения Максвелла.

На вещество воздействует не только электрическое, но и магнитное поле. Магнитные свойства вещества обусловлены спиновым и орбитальным магнитными моментами электронов оболочки атома и магнитными моментами ядер. Классическая теория, которая основывается на работах Ампера, может объяснить только орбитальный магнитный момент. Спиновый момент объясняет квантовая теория.

Ампер считал, что молекулы магнетиков несут в себе замкнутые токи, которые создают магнитное поле, и подобны макроскопическим магнитам. Поле, создаваемое замкнутым током, можно описать с помощью элементарного магнитного момента.

.

где S — площадь фигуры, обтекаемой током I.

На орбитах вокруг атома всегда находится несколько электронов, каждый из которых имеет свой магнитный момент. В парамагнетиках эти моменты не скомпенсированы и существует суммарный момент атома. Энергия взаимодействия магнитного поля с моментом.

e.

пропорциональна напряженности поля и зависит от угла между ними. Она оказывается минимальной по величине (но не по модулю) тогда, когда магнитный момент установится по полю.

Рассмотрим поведение вещества с N атомами в единице объема. Если магнитного поля нет, то моменты располагаются хаотически и суммарный момент равен нулю. Теперь поместим вещество в магнитное поле. Здесь возможны два варианта. Молекулы вещества могут иметь или не иметь магнитный момент.

Если магнитный момент есть, то вещество называют парамагнитным. Магнитный момент парамагнетика ориентируются по полю и, чем сильнее магнитное поле, тем точнее будет эта ориентация. В первом приближении суммарный магнитный момент парамагнетика будет пропорционален величине внешнего поля,.

. (1.38).

В диамагнетике суммарный момент атома равен нулю и описанный выше эффект отсутствует, однако магнитное поле действует и на него. Под действием изменяющегося во времени внешнего магнитного поля в оболочке атома возникает электрический ток. Согласно правилу Ленца этот ток будет создавать магнитное поле, противоположное внешнему. Магнитный момент наведенного тока направлен против поля, создавшего его. Величина магнитного момента в первом приближении пропорциональна амплитуде поля,.

. (1.39).

Диамагнетизмом обладают и парамагнитные молекулы. Полный магнитный момент можно получить, складывая (1.38) и (1.39).

. (1.40).

Есть еще одна причина возникновения магнитного момента. Он возникает и тогда, когда спиновые моменты электронов, входящих в атом не скомпенсированы. Такая ситуация существует в атомах, у которых не до конца заполнены электронные оболочки. К ним относятся атомы элементов переходных групп: 3d элементы (группа железа), 4f элементы (лантаниды) и так далее. Если между спиновыми моментами существует сильное обменное взаимодействие, то у соседних атомов магнитные моменты ориентируются параллельно, в одну сторону у ферромагнетиков и в противоположные стороны у антиферромагнетиках и ферритов (ферримагнетиков). У антиферромагнетиков взаимодействующие моменты одинаковы и суммарный момент равен нулю, а у ферритов нет. Магнитное состояние вещества, как и в случае пара — и диамагнетиков, описывается с помощью магнитного момента. Выражение (1.40) справедливо и для этой группы веществ. Отличие лишь в величине магнитной восприимчивости и ее поведении в сильном магнитном поле. Ограничимся слабыми магнитными полями и будем считать, что (1.40) выполняется всегда.

Итак, к внешнему магнитному полю добавляется внутреннее с магнитным моментом. Магнитная индукция в веществе складывается из магнитной индукции в вакууме и магнитного момента вещества.

; (1.41).

где — абсолютная магнитная проницаемость вещества, а — относительная.

=, = 1 + _М. (1.42).

В анизотропной среде вектор магнитной индукции может не совпадать по направлению с магнитным полем. Связь и теперь описывается с помощью тензора магнитной проницаемости.

.

но линейная зависимость между и сохранится. В однородной среде магнитная проницаемость — скаляр, а в анизотропной — тензор второго ранга.

Формально можно считать, что источник внутреннего магнитного поля — магнитные заряды. Рассчитать их можно точно так же, как были посчитаны электрические поляризационные заряды. Тогда по аналогии с (1.36) можно записать.

_{м i} = - div = - div (_М), ₍1.43).

где _{М i —} плотность внутренних магнитных зарядов.

Теперь можно рассчитать магнитный заряд в объеме V.

q _m =. (1.44).

Поляризационный электрический и магнитный токи Мы выяснили, что под действием электрического и магнитного поля в веществе могут возникнуть электрический и магнитный заряды. В ограниченном объеме величина заряда может меняться, если он покидает объем, пересекая его поверхность. При движении зарядов через поверхность, возникает ток. Плотность тока можно найти, воспользовавшись уравнением непрерывности.

Рассчитаем электрический поляризационный ток. Воспользуемся дифференциальной формой первого уравнения непрерывности (см. 1.15). Будем считать, что изменяются только поляризационный заряд. Величину поляризационного заряда возьмем из (1.36).

; div — .

Дивергенция — дифференциальная операция. Константу во втором слагаемом можно занести под символ дивергенции и, учитывая, что производная суммы двух слагаемых равна сумме производных, получим:

;

.

Поляризационный ток отсутствует, когда электрическое поле не изменяется и постоянная А равна нулю.

. (1.45).

Аналогично из второго уравнения непрерывности в дифференциальной форме (1.25) и выражения для поляризационного заряда (1.43) получим:

. (1.46).

Электрические и магнитные заряды, возникающие за счет тока проводимости. Под действием электрического поля в среде с конечной проводимостью возникает электрический ток, плотность которого определяется законом Ома в дифференциальной форме (см. 1.5),.

= _Э .

Ток всегда связан с изменением заряда во времени первым уравнением непрерывности, интегральная форма которого (см. 1.14):

.

Чтобы рассчитать заряд, проинтегрируем последнее выражение по времени, в течение которого этот заряд накапливается.

(1.47).

Токи и заряды в веществе Поляризационные заряды 1.2.1)

; .

Заряды, связанные с током проводимости. (1.2.2)

Плотность поляризационных зарядов в веществе (1.2.3)

r_Эпол = - div (c_э). r_Мпол = - div (c_М).

Плотность зарядов, связанных с током проводимости (1.2.4)

.

Плотность поляризационных токов (1.2.5)

;

Плотность токов проводимости (1.2.6)

= _Э; = _М.

Плотность электрических зарядов рассчитаем, воспользовавшись дифференциальной формой уравнения непрерывности (см. 1.15).

.. (1.48).

Магнитный ток тоже будет создавать магнитные заряды проводимости. Для магнитного тока, как и для электрического, справедлив свой закон Ома.

= _М. (1.49).

Воспользуемся вторым уравнением непрерывности (см. 1.24, 1.25) и рассчитаем магнитный заряд, связанный с магнитным током проводимости и его плотность:

(1.50).

. (1.51).

Учет токов и зарядов, появляющихся в веществе, в уравнениях Максвелла Уравнения Максвелла связывают электрическое и магнитное поле с токами и зарядами. В веществе появляются дополнительные токи и заряды. Они изменяют поля. Уравнения Максвелла тоже изменяются. Рассмотрим последовательно эти уравнения.

Первое уравнение Максвелла — закон Гаусса в интегральной форме для вещества получим, дополнив первое уравнение (1.1.3) поляризационными токами и зарядами, величина которых определена первыми уравнениями в (1.2.1, 1.2.2).

).

Перенесем два последних слагаемых в левую часть и учтем, что = _Э:

. (1.52).

Воспользуемся выражением для электрического смещения в веществе (см. 1.34).

для того, чтобы упростить (1.52). Переменим порядок интегрирования во втором слагаемом и учтем, что сумма интегралов равна интегралу от суммы. Окончательно закон Гаусса в интегральной форме запишется так:

(1.52).

Перейдем к дифференциальной форме закона. Для этого преобразуем интеграл по поверхности в интеграл по объему. Выразим электрический заряд через его плотность и, воспользовавшись произвольностью объема, приравняем подынтегральные выражения.

. (1.53).

Второе уравнение Максвелла — уравнение непрерывности магнитных силовых линий в интегральной форме для вещества можно получить из аналогичного уравнения для вакуума, учитывая внутренние магнитные заряды и заряды, возникающие из-за магнитного тока проводимости. Проведя те же расчеты, что и при выводе закона Гаусса для вещества, получим интегральную (1.54) и дифференциальную (1.55) форму закона.

. (1.54).

. (1.55).

Третье уравнение Максвелла — закон полного тока в среде запишем, воспользовавшись аналогичным законом в вакууме. К стороннему току и току смещения добавим ток проводимости и поляризационный ток.

. (1.56).

Воспользовавшись интегральной формой закона (1.56) получим дифференциальную. Для этого преобразуем интеграл по замкнутой кривой L в интеграл по охватываемой ею поверхности. Выразим электрический ток через его плотность и, воспользовавшись произвольностью поверхности, приравняем подынтегральные выражения.

. (1.57).

Четвертое уравнение Максвелла — закон электромагнитной индукции для вещества получим аналогично, воспользовавшись законом для вакуума и дополнительными токами, протекающими в веществе. Методика получения уравнения та же, что и для закона полного тока. Сначала получим дифференциальную форму закона, а затем перейдем к интегральной. Воспользовавшись первым уравнением (1.1.6) и вторыми уравнениями (1.2.5, 1.2.6), получим:

(1.58).

Проинтегрируем по поверхности, которая пронизывается током. По теореме Стокса перейдем от интеграла по поверхности к интегралу по контуру, ограничивающему эту поверхность в левой части уравнения. Интеграл от плотности стороннего тока по поверхности заменим током и окончательно получим.

(1.59).

Задачи и упражнения.

1.1 Подсчитать поток вектора = 1/r2 сквозь сферическую поверхность радиусом r = a. Центр сферы совпадает с точкой r = 0.

Уравнения Максвелла в веществе Уравнения Максвелла в интегральной форме для потоков (1.3.1)

Уравнения Максвелла в интегральной форме для циркуляций (1.3.2)

;

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме для дивергенций (1.3.3)

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме для роторов (1.3.4)

Связь между напряженностью и индукцией (1.3.5)

Проницаемости, диэлектрическая и магнитная (1.3.6)

= = (1 +); = = (1 + _М).

• 1.2 Подсчитать поток радиус-вектора через сферическую поверхность, центр которой совпадает с началом координат.
• 1.3 Подсчитать поток радиус-вектора через поверхность прямого круглого цилиндра. Радиус окружности основания r, высота цилиндра h.
• 1.4 Подсчитать поток вектора = ху+2у+z2 сквозь поверхность сферы радиусом 2 м.
• 1.5 Подсчитать циркуляцию вектора = - у/а + х/а по окружности радиусом а.
• 1.6. Подсчитать циркуляцию вектора = (1 — 2z) + (x + 3y + z) + (5x + y) по периметру треугольника, вершины которого находятся на координатных осях, а расстояние от начала координат до любой вершины равно 1.
• 1.7 Подсчитать поток вектора сквозь замкнутую поверхность S, если во всем объеме дивергенция вектора постоянна и равна d.
• 1.8 Вычислить напряженность электрического поля в латунной ленте толщиной d = 0,12 мм? = 10 мм., по которой протекает постоянный ток 150мА. Удельная проводимость латуни 2,510⁷См/м.
• 1.9 Бесконечно длинный цилиндр, радиусом 150 миллиметров, равномерно заряжен с поверхностной плотностью заряда 10^-6 к/м². Цилиндр находится в воздухе. Определите напряженность электрического поля, создаваемого цилиндром на расстоянии 15 метров от его оси.
• 1.10 Постоянный ток 2,5 ампера протекает по проводнику, сечение которого представляет собой квадрат со стороной 4 мм. Найдите приближенное значение магнитного поля на поверхности проводника, считая ее на этой поверхности постоянной.
• 1.11 Постоянный ток, плотность которого равна 0,1 А/мм² протекает по двум параллельным медным пластинам, расположенным на расстоянии 3 см друг от друга, в противоположных направлениях. Удельная проводимость меди 5,710⁷См/м. Напряжение между пластинами 50 вольт. Определите тангенциальную и нормальную составляющие вектора на поверхности пластин, считая поле между пластинами однородным.
• 1.12 В среде с удельной проводимостью 0,001См/м, диэлектрической проницаемостью = 4 и магнитной проницаемостью = 1 существует электрическое поле напряженностью = 2 sin (310t +/2). Определите амплитуду плотности тока проводимости и плотности тока смещения.
• 1.13. Покажите, что в системе из двух полых коаксиальных цилиндрических проводников, по которым проходит в противоположных направлениях одинаковый ток, магнитное поле будет отсутствовать на любом расстоянии от оси, превышающем радиус внешнего проводника.
• 1.14. Определите частоту, на которой амплитуда тока смещения и тока проводимости будут одинаковы.

В меди _э = 5,710⁷См/м, = 1; в сухой траве _э = 0.001См/м, = 4;

в морской воде _э = 410⁶См/м, = 80; в фарфоре _э = 10^-13См/м, = 6;

• 1.15. К нихромовой пластине (удельная проводимость 510⁵См/м) длиной 10 сантиметров и шириной 3 миллиметра, толщина которой в миллиметрах изменяется по закону: t = 1,25/ (12,5 — x), приложено переменное синусоидальное напряжение амплитудой 1 В на частоте 100 МГц. Определить распределение вдоль пластины электрического поля и рассчитать заряд, связанный с током проводимости и накопленный в платине за четверть периода.
• 1.16. Решить задачу 1.15 со следующими изменениями. Материал, из которого сделана пластина — полистирол. Электрическая проводимость равна нулю, а диэлектрическая проницаемость = 2,5.
• 1.17. Жесткий провод, согнутый в полукруг радиусом r, вращается с частотой f в однородном магнитном поле с индукцией В. Чему равна частота и амплитуда напряжения и тока, наведенного в проводнике, если внутреннее сопротивление вольтметра равно R, а сопротивление остальных частей цепи мало. Поле создаваемое током значительно меньше поля В.
• 1.18. По круглому витку провода течет постоянный ток I. Радиус витка равен а. Другой такой же виток провода 2 помещен на оси, проходящей через центр первого витка на расстоянии R, причем R>>a. Плоскости витков параллельны. Затем виток 2 приводится во вращение с угловой скоростью вокруг одного из его диаметров. Какова наведенная в витке 2 ЭДС, если он разомкнут.
• 1.19. Покажите, что уравнения непрерывности следуют из уравнений Максвелла.