Основные виды углов

Определение

Умгол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (которая называется вершиной угла).

Плоскость, содержащая обе стороны угла, делится углом на две области. Каждая из этих областей, объединённая со сторонами угла, называется плоским углом (или просто углом, если это не вызывает разночтений). Один из плоских углов (обычно меньший из двух) иногда условно называют внутренним, а другой — внешним. Точки плоского угла, не принадлежащие его сторонам, образуют внутреннюю область плоского угла.

В другом, эквивалентном варианте определения плоским углом называется часть плоскости, которая является объединением всех лучей, выходящих из данной точки (вершины угла) и пересекающих некоторую лежащую в этой плоскости линию (которая называется линией, стягивающей данный плоский угол).

Часто для краткости углом называют также угловую меру, то есть число, определяющее величину угла.

Кроме наиболее часто встречающихся плоских углов, в качестве углов могут рассматриваться и более общие объекты — фигуры, образованные пересекающимися дугами, полуплоскостями и другими фигурами как в евклидовой, так и в других типах геометрии в метрических пространствах различной размерности.

Обозначение углов Для обозначения угла имеется общепринятый символ: предложенный в 1634 году французским математиком Пьером Эригоном.

В математических выражениях углы часто обозначают строчными греческими буквами: б, в, г, и, ц и др. Как правило, данные обозначения также наносятся на чертёж для устранения неоднозначности в выборе внутренней области угла. Чтобы избежать путаницы с числом пи, символ р, как правило, для этой цели не используется.

Также часто угол обозначают тремя символами точек, например ABC. В такой записи B — вершина, а A и C — точки, лежащие на разных сторонах угла. В связи с выбором в математике направления отсчёта углов против часовой стрелки, точки, лежащие на сторонах в обозначении угла принято перечислять также против часовой стрелки. Это соглашение позволяет обеспечить однозначность при различении двух плоских углов с общими сторонами, но различными внутренними областями. В тех случаях, когда выбор внутренней области плоского угла ясен из контекста, либо указывается другим способом, данное соглашение может нарушаться.

Реже используются обозначения прямых, образующих стороны угла. Например, (bc) — здесь предполагается, что имеется в виду внутренний угол треугольника BAC, б, который надо было бы обозначить (cb).

Так, для рисунка справа записи г, ACB и (ba) означают один и тот же угол.

Иногда для обозначения углов используются строчные латинские буквы (a, b, c, …) и цифры.

На чертежах углы отмечаются небольшими одинарными, двойными или тройными дужками, проходящими по внутренней области угла с центрами в вершине угла. Равенство углов может отмечаться одинаковой кратностью дужек или одинаковым количеством поперечных штрихов на дужке. Если необходимо указать направление отсчёта угла, оно отмечается стрелкой на дужке. Прямые углы отмечаются не дужками, а двумя соединёнными равными отрезками, расположенными таким образом, что вместе со сторонами они образуют небольшой квадрат, одна из вершин которого совпадает с вершиной угла.

Угловая мера Угловая мера, позволяющая сравнивать плоские углы, может быть введена следующим образом. Два плоских угла называются равными (или конгруэнтными), если они могут быть совмещены так, что совпадут их вершины и обе стороны. От любого луча на плоскости в данную сторону можно отложить единственный угол, равный данному. Если один угол может быть размещён полностью внутри другого угла таким образом, что вершина и одна из сторон этих углов совпадают, то первый угол меньше второго. Назовём прилежащими два угла, расположенные так, что сторона одного совпадает со стороной другого (а значит, совпадают и вершины), но их внутренние области не пересекаются. Угол, составленный из несовпадающих сторон двух прилежащих углов, назовём сложенным из этих углов. Каждому углу можно поставить в соответствие число (угловую меру) таким образом, что:

• · равным углам соответствует равная угловая мера;
• · меньшему углу соответствует меньшая угловая мера;
• · у угла, стороны которого совпадают (нулевого угла), угловая мера равна нулю (то же справедливо и для параллельных прямых);
• · каждый ненулевой угол имеет определённую угловую меру, большую нуля;
• · угловая мера угла, сложенного из двух прилежащих углов, равна сумме угловых мер этих углов; или, как вариант, угловая (градусная) мера угла равна сумме угловых (градусных) мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

В некоторых системах обозначений, если есть необходимость различать угол и его меру, для угла (геометрической фигуры) используют обозначение ABC, а для величины меры измерения этого угла — обозначение ,.

Угол измеряют:

· в радианах — отношение длины s стягивающей дуги к её радиусу r (системная), Радианная мера используется в математическом анализе (например, как числовой аргумент тригонометрических функций и при определении числовых [табличных и графических] значений обратных аркфункций),.

в планиметрии и механике (при рассмотрении вращения около точки или оси и других процессов, описываемых с помощью тригонометрических функций, — колебаний, волн и т. д.).

· в градусной мере (наиболее распространённая — градус, минута, секунда), Градусная мера применяется в элементарной геометрии (измерение углов на чертежах транспортиром), в геодезии по карте и на местности (для измерения углов на местности используют весьма точный прибор — универсал/теодолит).

В системе СИ основной единицей измерения угла является радиан.

Типы углов.

В зависимости от величины углы называются следующим образом:

• · Нулевой угол (0°). Стороны нулевого угла совпадают, его внутренняя область — пустое множество.
• · Острый угол (от 0° до 90°, не включая граничные значения).
• · Прямой угол (90°). Стороны прямого угла перпендикулярны друг другу.
• · Тупой угол (от 90° до 180°, не включая граничные значения).
• · Косой угол (любой, не равный 0°, 90°, 180° или 270°).
• · Развёрнутый угол (180°). Стороны развёрнутого угла антипараллельны и образуют прямую.
• · Выпуклый угол (от 0° до 180° включительно).
• · Невыпуклый угол (от 180° до 360°, не включая граничные значения).
• · Полный угол (360°) — см. оборот

Плоские углы Термин плоский угол употребляется как синоним термина угол, определенного в начале статье, для отличия его от употребляемого в стереометрии понятиятелесного угла (в том числе двугранного, трехгранного или многогранного угла).

Под свойствами плоских углов нередко понимают cоотношения величин углов (смежных, дополнительных, прилегающих, вертикальных — см. ниже) в случае, когда углы лежат в одной плоскости (для планиметрии это подразумевается само собой, однако для стереометрии уточнение необходимо, иначе перечисленные ниже соотношения не имеют места, а сами углы, если не лежат в одной плоскости, не называются смежными или прилегающими (вертикальные всегда лежат в одной плоскости автоматически).

угол плоский прилегающий смежный Вертикальные и прилежащие углы.

• · Вертикальные углы — два угла, которые образуются при пересечении двух прямых, эти углы не имеют общих сторон. Другими словами — два угла называют вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Их основное свойство: вертикальные углы равны.
• · Прилежащие углы — два угла, имеющие общую вершину и одну из сторон, но не пересекающиеся внутренними областями, лежащими в одной плоскости. Величина угла, образованного внешними (не общими) сторонами прилежащих углов равна сумме величин самих прилежащих углов (на рисунке б + в).

Частные случаи прилежащих углов:

• · Если прилежащие углы равны, то их общая сторона — биссектриса.
• · Дополнительные углы — два угла с общей вершиной, одна из сторон которых — общая, а оставшиеся стороны составляют прямой угол. Сумма дополнительных углов равна 90°. Синус, тангенс и секанс угла равны соответственно косинусу, котангенсу и косекансу дополнительного угла.
• · Смежные углы — два угла с общей вершиной, одна из сторон которых — общая, а оставшиеся стороны лежат на одной прямой (не совпадая). Сумма смежных углов равна 180°.
• · Сопряжённые углы — два угла, имеющие общие вершину и обе стороны, но различающиеся внутренней областью; объединение таких углов представляет собой всю плоскость, а как дополнительные углы они образуют вместе полный угол; сумма их величин 360°.

Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы.

Пусть прямая с пересекает параллельные прямые a и b. При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

Центральный и вписанный угол Любой конкретной дуге окружности можно сопоставить единственный центральный и бесконечное множество вписанных углов.

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Величина центрального угла равена градусной мере дуги, заключённой между сторонами этого угла.

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, ограниченной его сторонами. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Двугранный угол.

Двугранный угол — пространственная геометрическая фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой, а также часть пространства, ограниченная этими полуплоскостями.

Полуплоскости называются гранями двугранного угла, а их общая прямая — ребром.

Двугранные углы измеряются линейным углом, то есть углом, образованным пересечением двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной к его ребру. Таким образом, чтобы измерить двугранный угол, можно взять любую точку на его ребре и перпендикулярно ребру провести из неё лучи в каждую из граней. Линейный угол между этими двумя лучами и будет равен по величине двугранному углу. Если один из лучей не перпендикулярен ребру, то величина линейного угла между лучами в общем случае будет отлична от величины двугранного угла. Например, в любой двугранный угол (в том числе больший 90 градусов) можно поместить прямой угол так, чтобы его вершина лежала на ребре двугранного угла, а стороны принадлежали его граням. В этом легко убедиться, размещаяугольник в приоткрытой книге.

Погорелов А. В. Геометрия: учебник для 7—11 классов средней школы. — М.: Просвещение, 1992. — 383 с.

Советская энциклопедия, 1985. — Т. 5. — С. 459?460. — 623 с.

Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 30−31.