Расчет реакции цепи на сложное входное воздействие

В качестве факультативного задания при выполнении курсовой работы можно провести расчет сигнала на выходе заданной цепи при воздействии на ее вход импульсной последовательности, примеры которой показаны на рис. 3.18.

Рис. 3.18.

Известны [1,2] методы расчета реакции цепи на сложное входное воздействие (частотный, операторный, временной). В данном случае целесообразнее использовать временной метод (метод интеграла Дюамеля), в рамках которого выходное напряжение четырехполюсника равно.

(3.43).

где — входное напряжение, равное нулю при , — импульсная характеристики цепи.

Переходная характеристика безразмерна и численно равна реакции (выходному сигналу) четырехполюсника на входное воздействие в виде единичной функции (известной в математике функции Хевисайда) вида рис. 3.19а.

Импульсная характеристика имеет размерность и численно равна реакции цепи на входное воздействие в виде дельта-функции (функции Дирака), показанной на рис. 3.19б.

Рис. 3.19.

Расчет временных характеристик цепи и проводится с помощью операторного коэффициента передачи, который определяется через комплексный коэффициент передачи заменой .

Переходная характеристика является обратным преобразованием Лапласа от ,.

(3.44).

где — символ взаимно однозначного соответствия.

Импульсная характеристика является обратным преобразованием операторного коэффициента передачи.

. (3.45).

Преобразование Лапласа проводится по таблицам [1].

В таблицах преобразования Лапласа изображение представляется в виде правильной дроби, числитель и знаменатель которой является произведением простейших сомножителей, в каждом из которых коэффициент при старшей степени равен единице.

Рассмотрим пример расчета временных характеристик цепи, показанной на рис. 3.20а, ее операторная эквивалентная операторная схема приведена на рис. 3.20б (аналогичный расчет можно провести в исследовательской части курсовой работы).

Рис. 3.20.

Определим операторный коэффициент передачи методом узловых напряжений. В цепи на рис. 3.20б два узла и единственное узловое напряжение обозначено как, тогда для токов ветвей получим.

.

.

.

Подставив их в уравнение первого закона Кирхгофа вида.

для узлового напряжения получим уравнение.

.

из которого определим узловое напряжение.

(3.46).

Выходное напряжение четырехполюсника на рис. 3.20б связано с узловым напряжением соотношением.

.

тогда с учетом (3.46) получим.

(3.47).

Из (3.47) определим операторный коэффициент передачи в виде (проведите преобразования самостоятельно).

(3.48).

Где.

(3.49).

Для простоты положим одинаковыми одноименные параметры цепи,.

тогда для параметров операторного коэффициента передачи из (3.49) получим.

(3.51).

Выражение (3.48) можно записать в виде.

(3.52).

где и — полюсы — корни полинома знаменателя,.

. (3.53).

С учетом (3.51) можно записать.

(3.54).

в результате получим.

(3.55).

Выражение (3.52) можно представить в виде.

. (3.56).

Константы и можно определить, сложив дроби в (3.56) и уравняв коэффициенты с (3.52). Из (3.56).

(3.57).

тогда (3.52) для и получим уравнения.

(3.58).

из которых.

(3.59).

Из (3.56) по таблицам преобразования Лапласа определим переходную характеристику цепи как оригинал, тогда.

(3.60).

(проведите расчет самостоятельно).

Для расчета импульсной характеристики преобразуем с учетом операторный коэффициент передачи (3.56) к виду.

(3.61).

тогда импульсная характеристика цепи будет равна оригиналу.

. (3.62).

Как видно, в состав входитфункция (функция Дирака). Нетрудно убедиться, что импульсная характеристика является производной от переходной характеристики (проверьте это самостоятельно).

Графики рассмотренных временных характеристик и (безфункции) цепи рис. 3.20а при кОм и мГн показаны на рис. 3.21а и рис. 3.21б соответственно.

Рис. 3.21.

Определим реакцию цепи рис. 3.20а на входное воздействие в виде скачка напряжения с амплитудой, показанного на рис. 3.22а.

Рис. 3.22.

Входной сигнал можно записать в виде.

(3.63).

где — функция Хевисайда.

Эту задачу можно решить просто, вспомнив определение переходной характеристики цепи (это реакция цепи на входной воздействие в виде единичного скачка напряжения — функции Хевисайда с амплитудой 1 В).

В результате выходное напряжение линейной цепи на рис. 3.20а будет равно.

. (3.64).

Определим выходное напряжение методом интеграла Дюамеля [3] (3.43),.

. (3.65).

Из (3.60) с учетом (3.58), тогда при и.

. (3.66).

В соответствии с «фильтрующим свойствомфункции».

(3.67).

тогда с учетом того, что переменная является константой в интеграле по, получим.

(3.68).

Вычислим интегралы, тогда.

(3.69).

Как видно, полученный результат совпадает с (3.64).

Проведем расчет реакции цепи (рис. 3.20а) на входное воздействие в виде одиночного прямоугольного импульса, показанного на рис. 3.22б. Для этого можно использовать два подхода.

В первом из них импульс на рис. 3.22б можно представить суммой двух скачков напряжения и, как показано на рис. 3.23.

Рис. 3.23.

Реакция цепи на входной сигнал пропорциональна переходной характеристике (2.60) с коэффициентом ,.

. (3.70).

Аналогично входное воздействие (рис. 3.23) вызовет реакцию цепи, пропорциональную переходной характеристике с коэффициентом, в виде формулы.

(3.71).

справедливой только при. В результате получим выражение для выходного напряжения.

(3.72).

где — функция Хевисайда,.

(3.73).

Зависимость показана на рис. 3.24.

Второй подход предполагает прямое применение формулы интеграла Дюамеля (3.43). На интервале времени входной сигнал равен (рис. 3.23), тогда с учетом (рис. 3.21) и выражения для импульсной характеристики (3.62) получим.

(3.74).

что совпадает с (3.70) (проведите преобразования самостоятельно).

Рис. 3.24.

На интервале времени входной сигнал равен нулю и тогда для интеграла Дюамеля получим.

. (3.75).

Тогда с учетом (3.62).

(3.76).

В (3.76) интеграл.

так как и на интервале интегрирования. Сравните формулы (3.76) и (3.72) в области и убедитесь в их совпадении.

Как видно, имеется возможность аналитического определения выходного сигнала.

Для нахождения выходного сигнала можно использовать методы численного интегрирования с помощью систем объектно ориентированного программирования (например, Delphi) или пакета программ MathCAD, пример которой в рассматриваемом случае показан на рис. 3.25. Как видно, полученная на рис. 3.25 временная диаграмма выходного сигнала совпадает с показанной на рис. 3.24.

Аналогичные расчеты целесообразно провести в рамках исследовательской части курсовой работы.

Рис. 3.25.