Современные направления моделирования роста леса

Настоящее учебное пособие требуется не только студентам, но и магистрантам. Для этой категории обучающихся необходимо более подробное изложение вопросов моделирования. Весьма обстоятельно проблема моделирования динамики древостоев изучена проф. О. А. Атрощенко и изложена в его монографии «Моделирование роста леса и хозяйственных процессов» и в учебном пособии «Лесная таксация», которые приведены в списке литературы. Поэтому проведем анализ современного состояния в моделировании динамики древостоев в его интерпретации с некоторыми сокращениями.

Математическое моделирование роста леса с помощью компьютеров является относительно новым направлением в лесотаксационной науке. Как и в большинстве новых направлений, первоначальное внимание было сконцентрировано на решении узких, специальных вопросов, а не на перспективу применения моделей в системе управления лесными ресурсами. Системный подход к моделированию роста леса на компьютерах связан с пересмотром идей и способов моделирования.

Первоначально исследователи пытались связать отдельные цели (назначения) моделирования роста леса, а не основные принципы моделирования, что привело к несколько путаной классификации направлений моделирования. Тем не менее практически все модели имеют одну общую цель: в некоторой точке или точках времени (возрасте) можно получать данные о состоянии насаждения. Д. Манро (1974 г.) выделяет три основных принципа в моделировании роста насаждений.

Первый принцип предполагает, что основной единицей моделирования является отдельное дерево и его части. Для разработки модели роста насаждения необходимы данные таксации частей древесного ствола, измерений коры, оценки биологической конкуренции деревьев и их пространственного размещения на площади в системе координат.

Второй принцип предполагает, что основная единица моделирования — отдельное дерево. Переменными в модели представлены таксационные признаки деревьев без учета их пространственного размещения и данных таксации частей древесного ствола.

Третий принцип моделирования предполагает, что основной единицей моделирования является древостой, и поэтому модели строятся для совокупности насаждений по их средним таксационным показателям.

Модели первого типа создаются на основе информации о росте отдельных деревьев в насаждении: индекс условий произрастания, фактор конкуренции деревьев, измерения ширины и длины кроны, расстояние между деревьями, анализ хода роста древесного ствола, текущий прирост по диаметру и высоте по 5-летиям вдоль ствола, положение дерева в системе координат.

Это направление получило развитие в Северной Америке. Модели Ньюнхама (Newnham, 1964), Ли (Lee, 1967), Лина (Lin, 1974), Белла (Bella, 1970), Митчелла (Mitchell, 1967), Арнея (Агпеу, 1974) и другие, хотя отчасти различные в деталях, являются в принципе подобными. Каждая модель основывается на постулате: размер конкуренции, которой подвергается дерево, пропорционален той части круга, которая перекрывается кругами конкуренции соседних деревьев. Круг конкуренции обычно определяется как некоторая функция диаметра дерева на 1,3 м. Фактическое количество перекрытия (т. е. конкуренция) выражалось различными авторами в единицах площади окружности или углов.

Ньюнхам проверил влияние различных пространственных распределений на отпад. Лин показал, что конкуренция, которой дерево подвергалось последние 5 лет, является полезной переменной в модели роста дерева. Белла дал итеративный алгоритм для определения пределов влияния конкуренции. Арней показал возможность использования для имитационной модели насаждения текущего прироста каждого дерева по 5-летиям.

Дж. Лин (1974) разработал имитационную модель для прогноза текущего прироста древостоя. В насаждении проводится перечислительная таксация, измеряются положение деревьев в системе координат и текущий прирост каждого дерева по высоте и диаметру. Функции связи текущего прироста с показателями имеют вид.

Z_d = f (SI, A, d, GSI, AGSI);

Z_h =f (SI, A, d),.

где Z_d,, Z_h — абсолютный текущий годичный прирост дерева по диаметру и высоте соответственно; SIиндекс условий местопроизрастания — показатель их потенциальной производительности; А — возраст дерева, лет; GSI — индекс растущего пространства, или площадь питания дерева; AGSI — текущее изменение индекса растущего пространства; dдиаметр дерева, см.

Индекс GSIвычисляется путем оценки угла между деревом и его конкурентами. Методический подход заключается в установлении связей между шириной кроны и диаметром деревьев, растущих на открытом пространстве (индекс GSI=0) и угнетенных (GSI=100), которые показывают соответствующий угол.

Таким образом, если угол между деревом и его конкурентом меньше 2,15°, то конкуренция отсутствует (GSI= 100), если угол равен или больше 5,25°, то конкуренция максимальная и индекс GSI = 0.

Индекс вычисляется на ПК с использованием карты пространственного распределения деревьев по площади насаждения. Для отдельного дерева растущее пространство делится на 4 части. В квадрате северо-запад конкуренция равна нулю (нет соседних деревьев), т. е. индекс GSI= 100. В квадрате северо-восток угол конкуренции уменьшается в 5 раз, т. е. GSI= 25— 5 = 20. В квадрате юго-восток угол конкуренции 5,25°, т. е. конкуренция составляет 25 и индекс GSI= 25 — 25 = 0.

Прогноз текущего прироста на 18 лет по имитационной модели сравнивался с данными перечислительной таксации древостоев на пробных площадях. Результаты показывают максимальные отклонения по среднему диаметру древостоя от +4,5 до -5,0 см, средней высоте от +3,6 до -3,4 м.

Модели данного типа дают весьма детальную информацию о строении древостоя, и главное их назначение — проверить влияние различных лесохозяйственных программ, таких, как схемы посадки, рубок ухода и удобрений, на рост леса. Однако самым большим препятствием к практическому применению этих моделей является требование информации о пространственном распределении деревьев и данных таксации частей древесного ствола. Такая информация дорогостоящая и не всегда имеется в наличии. Трудно также измерить биологическую конкуренцию деревьев. Применение крупномасштабной аэрофотосъемки позволит более эффективно выполнять картирование деревьев по пробе, но это не уменьшит стоимость таксации частей ствола и трудности практического применения данного типа моделей.

Модели второго типа разрабатываются с использованием зависимостей относительного прироста по высоте, диаметру и объему от таксационных показателей дерева и насаждения, факторов окружающей среды (среднее расстояние между деревьями, температура и длина сезона роста, величина осадков и т. д.). В этих моделях широко используются функции распределения деревьев по диаметру, высоте и другим признакам. Моделирование режимов рубок ухода выполняется имитацией строения древостоев по диаметру с прогнозированием прироста по площади сечения, вырубаемой части, по числу деревьев и площади сечения.

Моделирование прироста и отпада древостоя отличается от простых регрессионных моделей роста (Lemon, Shumaher 1962), в которых периодический текущий прирост по диаметру является функцией фактора конкуренции, условий местопроизрастания и объема дерева. Наибольшее распространение эти модели получили в Скандинавских странах. Сторонники «аналитического» способа моделирования хода роста насаждений, К. Тонбулл, Л. Пиенар (Turnbull, Pienaar 1973), Дж. Клуттер (J.Clutter 1963, 1972) концентрируют внимание на развитии математической теории и совместимости функций прироста и общей производительности насаждений. С другой стороны, сторонники эмпирического изучения «лучшей» функции прироста К. Голдинг (Golding, 1972), Ю. Вуокила (Vuokila, 1973), П. Стейдж (Stage, 1973) обычно применяют регрессионный анализ с подбором наиболее подходящей регрессии без строгого внимания к математической элегантности и совместимости функций прироста и производительности.

А. Силливан и Дж. Клуттер предложили систему уравнений, составляющих алгебраически логическую модель хода роста одновозрастных насаждений по сумме площадей сечения и запасу. Цель—получить совместные модели роста и производительности насаждений. Прогнозирование запаса древостоя выполняется по модели:

M₂=b₀+b_lH₁₀₀+ _b2 A₂^-1 +b₃(A₁/A₂)lnG₁+b₄-(1- A₁/ A₂)₊b₅(A₁/ A₂)H₁₀₀.

Прогнозирование суммы площадей сечения древостоя:

lnG₂= (A₁ / A₂) lnG₁, + b₁(1 — А₁/ A₃) + b₂ (1- A₁/ A₂) H₁₀₀_ А_)Я,₀₀

Прогнозирование общей производительности насаждений:

М=b₀+b₁H₁₀₀+bA^-1+b₃lnG, (16.13),.

где b₀, b₁, b₂, b₃, b₄, b₅ — коэффициенты регрессий; Н₁₀₀ — индекс условий местопроизрастания, определяемый верхней высотой в возрасте 100 лет; А₁иА₂ — возраст древостоя в настоящий момент и через nлет; G₁иG₂— соответственно сумма площадей сечения древостоя теперь и через nлет; М — общая производительность.

Проверка моделей (16.11—16.13) на данных таксации древостоев (102 постоянные пробные площади) подтвердила логическое постоянство и адекватность моделей.

Ю. Вуокила (1980) при моделировании роста и производительности сосновых насаждений Финляндии использовал функции относительного текущего прироста деревьев и древостоев по диаметру, высоте и объему. Независимыми переменными в моделях явились показатели среднего дерева древостоя (диаметр, высота, возраст, объем); таксационные показатели древостоя (диаметр, верхняя высота, возраст, площадь сечения, запас, процент отпада по площади сечения); переменные окружающей среды: среднее расстояние до соседних деревьев, средняя температура сезона роста, число дней с положительной температурой более 16 °C. Рубки ухода прогнозируются по программам рубок ухода (способ, интенсивность и повторяемость рубок) на ПК с применением динамики строения древостоев по диаметру с помощью бета-функции.

Модели второго типа требуют меньше информации и могут быть полезны при создании системы принятия решений и оценке альтернативных вариантов ведения лесного хозяйства. Серьезный недостаток этих моделей — отсутствие надежности в прогнозировании текущего прироста древостоев и имитации роста насаждений.

Дальнейшим развитием моделей второго типа явились модели роста леса в виде случайного стохастического процесса (Т. Suzuki, 1971,1974; L. Peden и др., 1973; Н. Bruner, J. Moser, 1973). Информация собирается в виде данных периодической таксации насаждений на стационарах. За период роста (1 год) дерево может остаться в данной ступени толщины или перейти в другое состояние — следующую ступень толщины, из растущего состояния в отпад или вырубленную часть. Процесс роста леса рассматривается в виде непрерывно-временной модели описания вероятностей перехода дерева из одного состояния в другое. А. Маркова. Т. Сузуки и Ж. Умемура (1974) условные переходные вероятности описывают дифференциальным уравнением А. Н. Колмогорова. Л. Педен и другие (1973) применили модель А. Маркова.

Это направление моделирования роста насаждений является попыткой еще глубже и точнее описать процесс роста леса. Основная цель — прогнозирование роста насаждений. Трудностью в создании моделей является большой объем опытных данных и вычислительных работ на компьютере.

Модели третьего типа широко используются в различных странах в виде таблиц хода роста. Современные компьютеры позволяют разработать сложные регрессионные модели. К сожалению, ценность таких регрессионных моделей в условиях пассивного эксперимента невелика, поэтому работа идет по созданию имитационных моделей роста леса, использующих регрессионные модели связи таксационных признаков древостоев. Большое преимущество регрессионных моделей состоит в возможности использовать массовую лесоустроительную информацию, получаемую в процессе инвентаризации лесов, в их простоте и меньшем объеме вычислений на компьютерах.

В СССР развивался биофизический подход к теории роста леса (Г. М. Хилыми, 1955; И. А. Тересков, М. И. Терескова, 1980), решались задачи прогнозирования древесных запасов и экологической обусловленности динамики биологических систем (И. Я. Лиепа, 1980), применения математических методов для оценки биологических закономерностей роста и продуктивности насаждений (И. В. Карманова, 1976; В. В. Кузьмичев, 1977).

Особый подход применяется к моделированию хода роста разновозрастных насаждений (М. Верхунов, 1976; В. Ф. Лебков, 1967; И. В. Семечкин, 1967; Э. Н. Фалалеев, 1983; В. Г. Кузнецова, Д. П. Столяров, 1981).

Хотя сейчас имеются четкие различия между тремя типами моделей роста леса, но со временем они уменьшатся, и рассмотренные принципы моделирования будут дополнять друг друга.

Моделирование роста леса в значительной степени зависит от наличия достаточно надежной и полной лесоводственной информации. Сбор этой информации — весьма трудоемкий и дорогостоящий процесс. Однако в противоположность распространенному мнению огромный банк долговременных наблюдений на постоянных пробных площадях является необязательным. Относительно малое число проб, особенно полезных для создания системы принятия решения, в сочетании с временными выборочными пробами (выборочная лесоинвентаризация) и анализами хода роста древесных стволов могут обеспечить данными для разработки приемлемых функций роста насаждений.

В то же время с последним тезисом многие лесоводы не согласны. Закладка постоянных робных площадей, хотя и является трудоёмким и дорогостоящим делом, но компенсируется получением точной и достоверной информации, которую другим способом добыть нельзя. Ряд НИИ и ВУЗов Беларуси и СНГ накопили большое количество стационаров. Многие из них уже имеют давность наблюдений в 40 — 80 лет.

Общая математическая модель временного ряда хода роста некоторого таксационного показателя древостоев—Y (t) —может быть представлена в виде.

Y (t) = V (t)+ U (t).

где V (t) — детерминированная компонента; U (t), — случайная составляющая.

Детерминированную компоненту, или систематическую составляющую, можно рассматривать как некоторую лесорастительную норму, выявляющуюся в исследованиях массовых процессов роста насаждений. Это — оптимальная лесорастительная норма роста по высоте, диаметру, запасу и т. д., к которой стремится древостой в данных лесорастительных условиях. Случайная составляющая U (t)подчиняющаяся некоторому вероятностному закону распределения, представляет колебания (отклонения) в росте вокруг лесорастительной нормы. Эти отклонения возникают при неоднородности в условиях произрастания отдельных насаждений, различий в биологической конкуренции деревьев в древостое. Они возможны также из-за влияния окружающих объектов, ошибок измерений и т. д. В принципе, при повторении ситуации целиком функция V (t)должна была оставаться одной и той же (при одинаковых условиях), а случайные составляющие оказались бы различными как разные реализации случайного процесса роста леса.

Существующие таблицы хода роста насаждений представляют собой модели, в которых влияние возраста древостоев проявляется только в детерминированной V (t) составляющей с той или иной степенью надежности и достоверности. Это — классическая ситуация регрессионных моделей, где предполагается, что течение времени никак не отражается на случайной составляющей, т. е. математическое ожидание (среднее значение) случайной составляющей тождественно равно нулю, а дисперсия равна некоторой постоянной величине, а значения U (t), в различные моменты времени некоррелированы. Такое определение приводит к тому, что всякую зависимость от времени приходится включать в систематическую составляющую V (t).

Регрессия (линейная или криволинейная) обычно может быть использована для аналитического выравнивания опытных данных, однако применять ее для экстраполяции или прогноза роста древостоев следует весьма осторожно. Наконец, мы проводим исследования в условиях так называемого пассивного эксперимента, где эксперимент ведет природа (древостой растет под влиянием факторов окружающей среды) с учетом хозяйственной деятельности человека. Это обстоятельство объясняет одну из причин низкой работоспособности регрессионных моделей, полученных в условиях пассивного эксперимента при сильной корреляции входных переменных и искажениях в оценках коэффициентов регрессии.

Для математического описания детерминированной составляющей, или тренда, временного ряда роста древостоев V (t)применяются различные функции (К.Е. Никитин, 1963; Л. Странд, 1964; М. Продан, 1968; Н. Н. Свалов, 1974; Я. А. Юдицкий, 1982). Это — параболы 2−3 порядков, уравнения, предложеные Ф. Корсунем, модель логарифмического типа Бакмана и т. д. М. Продан (1965) и Е. Ассман (1970) указывают два основных признака кривых роста деревьев и древостоев:

• — кривые роста являются асимптотическими, т. е. при неограниченном увеличении возраста кривые имеют асимптоту — прямую, параллельную оси абсцисс;
• — текущий прирост кривой роста возрастает и достигает максимума в точке перегиба кривой, а затем уменьшается и медленно падает до нуля, т. е. до полного распада древостоя.

Максимум прироста зависит от древесной породы и условий произрастания. Если эти принципы процесса роста насаждений удовлетворяются математической моделью, то такая модель вполне подходит для моделирования производительности древостоев.

Число функций роста, предложенных в разное время исследователями, составляет несколько сотен и увеличивается с каждым годом. Анализ значительного их количества проведен В. Пешелем (Peshel, 1938), а техника расчетов параметров описана в книге М. Продана (1961). Все формулы разделены В. Пешелем на две группы: полученные путем формально-математических построений или сконструированные на основе энергетических представлений. После анализа уравнений первой группы В. Пешель пришел к заключению, что хорошие результаты достигаются применением формулы Леваковича (Lewacowic, 1935):

Y = a/(1+ b/x)с.

Отмечает он также формулу В. Корсуня (Korsun, 1935):

Y= ae^{blnx + cln2x}.

Во второй группе В. Пешель выделил функцию Р. Хугерсхофа (Hugershoft).

Y = ax²e-^cx.

И. Шимек (Shimek, 1967) при исследовании хода роста древостоев рекомендует более сложную функцию роста:

Y = ae^{k/(1 -a)}x^{1 — n}bx^-

В настоящее время исследователи роста и производительности древостоев стремятся разработать гибкую теорию роста насаждений. Это означает переход от чисто эмпирического и индуктивного подхода к дедуктивному методу исследования. В эмпирических уравнениях значения коэффициентов используются для оценки факторов, влияющих на рост леса, но они не имеют биологического смысла.

Ход роста деревьев и древостоев представляет аналогичный процесс. Он выражается S-образной кривой роста. В первый начальный период роста кривая медленно возрастает, затем идет второй период интенсивного роста до максимума прироста. Достигнув какой-то максимальной величины, прирост снижается, но кривая роста возрастает. Наконец, прирост падает до нуля, рост прекращается, и кривая роста приближается к асимптоте, параллельной оси X (возрасту). Интенсивность роста и S-образность кривой зависят от биологических особенностей древесной породы, лесорастительных условий роста. Кривые роста быстрорастущих пород (осина, береза) имеют слабо выраженную S-образность в молодом возрасте, медленно растущие (ель, дуб) характеризуются четкойS-образностью.

Большинство математических моделей, применяемых для описания биомассы единичного растения и в культурах, основаны на функциях роста. Наиболее простой формой роста является, так называемый, экспоненциальный рост с постоянной относительной скоростью. Размеры растения вычисляют по формуле.

W_t= W₀^.e^kt,.

где t — время роста от начала наблюдения, когда размеры (например, масса) особи составляют W₀;

е — основание натуральных логарифмов;

к — скорость роста.

Прологарифмировав это выражение, имеем линейную форму: InW_t = InW₀+ kt.

Впервые математический принцип экспоненциального роста сформулировал Г. Бакман. Он указал, что рост по экспоненте происходит по правилу сложных процентов. Экспоненциальный закон роста не может продолжаться бесконечно, так как это должно привести к гигантским размерам растений. Экспоненциальный рост наблюдается в начальный период роста деревьев; экспонентой выражается зависимость объемов деревьев от их диаметров.

В биологической литературе, посвященной изучению относительного роста растений и животных, часто встречается степенная функция роста: Y = bх^а, получившая название формулы простой аллометрии. Само понятие «аллометрия» означает неравномерный рост. Оказалось, что соответствие размеров особей данного вида в фиксированном возрасте удовлетворительно описывается степенной функцией роста.

В 50-х годах ХХ века японскими исследователями Шинозаки, Кира (Shinozaki, Kira, 1956) были предложены обобщенные ростовые функции. Берталанффи (VonBertalanffi, 1938) сформулировал научную гипотезу, согласно которой прирост (интенсивность роста) по объему организма (dV/dt) выражается разностью между анаболическим (nV^c) и катаболическим (у V) темпами роста:

dVldt = nV^е-у V,.

где n, у — параметры; Vобъем биомассы.

Анаболический темп роста пропорционален площади поверхности организма, катаболический — объему биомассы. Аллометрическая константа © характеризует особенности вида растения и окружающей среды, т. е. отражает измерительные связи между размерами растения. Интегрируя дифференциальное уравнение, получим обобщенную функцию роста П. Берталанффи:

(t) = А[1—е^{-k (t-t0)}]^{1//(1 — c)},.

А^1—c= n /у; К= у (1 — с);

где А—асимптота по объему:

t₀— начало роста.

Ф. Ричардс (F.Richards, 1959), изучая рост растений, и Р. Чепмен (Chapman, 1961) — рост рыб, пришли к выводу, что аллометрическая константа ограничивает область применения функции роста, и предложили параметр (m). Отсюда появилась обобщенная функция роста Ричардса — Чепмена, которая широко используется в биометрии, в том числе при моделировании роста леса:

W = А (1—be^-kt)^{1/ (1-m),}

где W — значение таксационного признака во время t;

А — максимальное значение признака;

b, к, m~ параметры роста.

Кривая роста определяется параметрами роста.

• — Параметр ростаАпредставляет предельное значение таксационного показателя, когда неограниченно увеличивается время, т. е. древостой прекращает прирост и отмирает. Точка перегиба кривой определяется W = Аm^{1/ (1-m)} Кривая роста является асимптотической к горизонтальной асимптоте. Из этого следует, что еслиА = const, то четвертый параметр (m) является основным, характеризующим расположение точки перегиба на кривой роста.
• — Параметр роста bс биологической точки зрения не имеет большого значения, так как определяет только выбор начала отсчета. Для кривых, описывающих связь высоты с возрастом (бонитировачные шкалы), параметр bвсегда должен быть равен 1,0 (теоретически), так как все эти кривые проходят через начало координат. Если начало отсчета времени (возраста) принято в возрасте посадки леса, то кривые роста не проходят через начало координат;
• — Параметр роста (к) выражает скорость роста, при которой значение зависимой переменной следует из линейной функции:

lп{l — (W/А)^1-m }= lnb-kt.

Значение (к/m) есть средняя относительная скорость роста совокупности в виде временного ряда, в которой все классы возраста или 5−10-летние периоды представлены с одинаковой вероятностью. Это отношение есть также взвешенная средняя скорость роста на весь период роста.

Параметр роста (к), таким образом, имеет три «различные интерпретации:

а) площадь под кривой равна [А²к/(2m + 2)] и зависит от параметров кривой (А, к, m, b ;

b) средняя высота (ордината) кривой равна [Ак/(2m + 2)];

с) функция скорости роста (прирост) зависит от функции роста и наоборот: dW/dt = nW^m — к₁W. Если функция роста аппроксимирована по наблюдениям, параметры (n) и (к₁) функции скорости роста получают значения:

k₁ = к/(1-m); n= k₁А₁ —^m.

Параметр Ак/(2m + 2) — средневзвешенная абсолютная скорость роста в течение всего периода развития.

Абсолютная скорость роста составляет.

Коэффициент kWхарактеризует выражение экспоненциального роста с постоянной относительной скоростью. Такой рост можно рассматривать как основную тенденцию всех живых организмов к росту и усложнению. Выражение (A / W)^1-m -1 показывает отклонение величины относительной скорости роста от экспоненциального роста, или меры эффективности факторов, тормозящих увеличение признака (объема W).

Мономолекулярная функция роста получается из функции Ф. Ричардсапри от = 0, т. е. в виде.

W = A (1-be-k').

Эта функция роста растений создана как аналог химической реакции, где Wколичество вещества, которое исчезает через время t, а А-количество исходной субстанции. При характеристике биологических объектовА будет предельной величиной особи, а W показывает размеры растения во время t. Скорость роста характеризуется величиной dW/dt= к{А — W), т. е. мономолекулярная функция не имеет точки перегиба. В этом случае прирост уменьшается линейно с увеличением возраста. Эта модель показывает хорошее совпадение с экспериментальными данными при характеристике заключительных этапов роста, когда снижается абсолютная скорость роста растений.

Мономолекулярная функция относится к типу кривых с ограниченным ростом и известна как закон Э. А. Митчерлиха (1957), выражающий зависимость между урожаем и факторами среды, определяющими рост растений:

dY/dx = C (A-x),.

где Yурожай;

А — константа, обозначающая предельный урожай, к которому стремится Y, когда x стремится к бесконечностии постоянстве остальных факторов;

X—уровень испытываемого фактора.

Белорусские (гомельские) исследователи В. Н. Дракин и Д. И. Вуевский ещё в довоенное время разработали функцию роста, отражающую S-образную закономерность хода роста древостоев по высоте. В основе ее создания лежит предложенная авторами научная гипотеза: скорость роста насаждения по высоте, начиная от нуля, возрастает до некоторого максимума, после чего стремится к нулю при неограниченном увеличении возраста. Функция Дракина — Вуевскогопрпиведена выше.

Следовательно, белорусские ученые В. Н. Дракин и Д. И. Вуевский на 20 лет раньше Ричардса (1959) и Уэмпмена (1961), разработали обобщенную функцию роста при параметре b = 0, когда кривые роста проходят через начало координат. При b= 0 и W= 0, т. е. соблюдается условие, которое необходимо для характеристики хода роста древостоя по высоте, диаметру, суммам площадей сечения и другим таксационным показателям. Положительным свойством этой функции является то, что при m>1 она имеет точку перегиба и S-образный вид. При m<1 или m = 1 точка перегиба отсутствует и кривая обращена выпуклостью вверх. Отсюда функция Дракина — Вуевского применима для математического описания хода роста как быстрорастущих, так и медленнорастущих древесных пород. Функцию Дракина—Вуевсккого можно изобразить в разном виде, но широкое применение она нашла в виде формулы. Эта формула реализована в виде компьютерных программ, используемых для обработки экспериментального материала при исследованиях в лесоводстве и лесной таксации.

Обобщенная функция роста Ричардса — Чепмена находит широкое применение при моделировании роста и производительности древостоев. А. Рават и Ф. Франц (A.Rawat, F. Franz) детально исследовали функцию Ричардса для математического описания роста насаждений 10 основных древесных пород ФРГ и Индии и пришли к выводу, что эта асимптотическая нелинейная регрессия хорошо подходит для моделирования и построения системы кривых роста насаждений.

Для создания системы полиморфных кривых роста древостоев четыре параметра отдельных кривых роста (А, b, к, m), предварительно оцененных по опытным наблюдениям, выравниваются в зависимости от класса бонитета с использованием полинома:

Y = b0 +b1H100+ b2(Н100) +b3(H100) + b4 (H100),.

Где Y — зависимая переменная (параметр функции Ричардса);

H₁₀₀ — индекс класса бонитета.

Я. А. Юдицкий выполнил детальный анализ функций роста леса, разделив их на те, что, полученные из дифференциальных уравнений, и эмпирические. Он показал, что общим дифференциальным уравнением типа, А является.

Y^t =b (n^a— Y^a) Y.

Решение уравнения включает как частные следующие случаи модели роста: экспоненциальную, логистическую, Хильми (для запаса), Митчерлиха, Шарфа, Ричардса при различных соотношениях параметров. График функции Y, удовлетворяющий заданным условиям, имеет S-образную форму и ограничен прямыми Y= 0 и Y=n.Решениями общего дифференциального уравнения.

Y^! =(a / A^a+1— b) Y.

являются ростовые функции Шмальгаузена, Корфа, Терзаки, Колера, Хутерсфора, Шимека. Показано, что Y, возрастает, достигает максимума при А= А*, а потом убывает. Таким образом, при возрасте, А А* - убывающих.

Я. А. Юдицким предложена новая функция роста:

Y =b₁ Ф [b₂(A — b₂)] + b_4,

где — Ф (х) — функции Маркова;

b₁, b₂, b₃, b₄ -параметры.

Проблема времени является центральной в научном прогнозировании биологических явлений. Обязательное требование к любому биологическому процессу — это определение временных интервалов предсказываемого явления или состояния системы. Конструктивный подход к изучению проблемы биологического времени разработан Гастоном Бакманом, который в 1925 г. опубликовал первую работу такого направления в трудах Латвийского университета.

Проанализировав известные функции роста организмов (Фюрхюльста, Гопметца, Бестиена, Хеслина и др.), Г. Бакман выявляет их недостаточную адекватность. Кривая S-образной формы, которой обычно аппроксимировали рост организмов, не отражает характерную особенность их роста, а именно ту особенность, что период снижения скорости роста обычно более длителен, чем период ее возрастания. Поэтому половины своих конечных размеров организм достигает после наступления максимума роста. Это явление он объясняет логарифмическим характером биологического времени, т. е. биологическое время рассматривается как логарифмическая функция физического. Основой функции Г. Бакмана есть постулат о том, что логарифм скорости роста пропорционален квадрату логарифма времени.

А. М. Мауринь детально выполнил исследование функции роста Г. Бакмана, определив время максимальной скорости роста, продолжительности жизни, точки перегиба и другие особенности функции.

При выборе подходящих функций роста для математического описания хода роста и производительности древостоев следует исходить из точности исходных данных, их объема и времени обработки на ПЭВМ, требуемой точности и надежности результатов, практического применения модели.