Расчет электродинамических характеристик графеновых решеток

Аннотация

Дифракционные характеристики решеток рассчитаны двумя методами — методом приближенных граничных условий и строгим методом, основанным на численно-аналитическом решении двумерного интегродифференциального уравнения. Представлены результаты расчетов графеновых дифракционных решеток.

Ключевые слова: графен, графеновые решетки, объемные интегральные уравнения, плазмоны, коэффициент отражения.

С момента своего открытия в 2004 году графен привлек огромное внимание благодаря его устойчивым тепловым и механическим свойствам и определенным электронным свойствам, таким как высокая подвижность носителей заряда, квантовый эффект Холла, большая оптическая прозрачность и др. [1]. Уникальные особенности оптической проводимости однослойного графена широко изучались в последние несколько лет как теоретически [2], так и экспериментально [3], в том числе в терагерцовом (ТГц) диапазоне [4] частот. На сегодняшний день графен считается одним из наиболее перспективных материалов для следующего поколения микрои наноэлектронных устройств [1], [3], [5], а также для солнечных элементов и гибких плоских дисплеев [6]. В графене возможно существование плазмонного резонанса безмассовых фермионов Дирака. В настоящее время графеновые плазмоны стали предметом интенсивных исследований с применения их в ТГц и ИК перестраиваемых и переключаемых метаматериалов [7], фильтров и широкополосных поляризаторов [8], наноантенн [9] и оптоэлектронных устройств [10], дифракционных решеток [11].

При расчете радиофизических характеристик используются приближенные граничные условия (ПГУ) [12], которые в большинстве случаев являются аппроксимацией формулы Кубо [13]. В работе [14] предложен метод и разработан алгоритм расчета многоэлементных и многослойных дифракционных решеток, содержащих как диэлектрические, так и плазмонные слои. Плазмонные слои описываются комплексной диэлектрической проницаемостью. В основе предложенного метода расчета — метод объемных интегральных уравнений (ОИУ) для диэлектрических структур. Этот метод и программу можно модифицировать для расчета графеновых слоев. Для этого вводится эффективная диэлектрическая проницаемость графена, представленная в данной работе.

Цель работы — расчет электродинамических характеристик графеновых дифракционных решеток методом объёмного интегрального уравнения и методом приближенных граничных условий, сопоставление двух методов расчета, теоретическое исследование плазмонных резонансов, сопоставление теоретических результатов расчета с приведенными в литературе результатами.

В работе бесконечно тонкий слой графена, на котором выполняются импедансные граничные условия [15], заменяется тонким слоем диэлектрика, диэлектрическая проницаемость которого определяется следующим образом.

Используем ПГУ.

.

где, t — проводимость и толщина слоя графена соответственно. Первая часть ПГУ для графена, вторая для тонкого слоя диэлектрика. Отсюда находим диэлектрическую проницаемость графена.

.

В приведенных формулах фигурирует параметр t — толщина графена, при этом. Для графена в диапазоне 1 — 100 ТГц,, поэтому. Таким образом, условие существования поверхностного плазмона выполняется.

Подробное описание метода ОИУ представлено в [16].

Рассмотрим основные положения метода ПГУ. Пусть на многослойную подложку (подложка может содержать как диэлектрические, так и плазмонные слои) нанесена периодическая система (период) графеновых лент шириной 2l, которые параллельные оси, лежат в плоскости. Рассмотрим дифракцию — поляризованной волны единичной амплитуды. На полосках выполняются граничные условия.

,.

где — поверхностная плотность тока. C помощью разложения полей в ряд Флоке, использования граничных условий на границах диэлектрических слоев и на графеновых полосках, можно получить парные суммарные уравнения (ПСУ). Для решения ПСУ предложено использовать метод Галеркина с базисом в виде полиномов Гегенбауэра.

где ,.

— неизвестные коэффициенты. В результате получим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Для нахождения этих интегралов используем равенство Парсеваля. Решение СЛАУ позволяет определить коэффициенты отражения и прохождения распространяющихся пространственных гармоник.

Решетка была представлена в виде периодической системы графеновых полосок в вакууме (воздухе) и системы периодических вырезов в графеновом слое. Результаты совпали для всех методов расчета: методом ОДУ и методом граничных условий. Кроме того, полученные результаты сравнивались с ранее полученными результатами [17]. В [17] резонансная частота коэффициентов отражения и поглощения 1,7 ТГц для одних и тех же условий расчета и наблюдения при м = 0.39 эВ и T = 300 K и ширине полосок 40 мкм совпала c резонансной частотой рассчитанной представленным методом.

На рис. 1 изображены амплитудно-частотные характеристики графеновой решетки, расположенной на полубесконечной подложке с показателем преломления. Видно, что уменьшение времени релаксации приводит к увеличению значения коэффициента отражения R (соответственно, уменьшению Т) в частотном диапазоне вблизи резонанса. Частоты резонанса не меняются.

Рис. 1 Зависимость коэффициентов отражения R и прохождения T от частоты: ширина полоски 40 мкм, период 70 мкм,. Параметры графена: =0,39 эВ, Т=300 К. 1 — R при =0,25 пс; 2 — R при =0,75 пс; 3 — R при =1,25 пс; 4 — T при =0,25 пс; 5 — T при =0,75 пс, 6 — T при =1,25 пс

Рис. 2 Зависимость коэффициентов отражения R и прохождения Т от частоты: ширина полоски 40 мкм, период 70 мкм,,. Параметры графена: =1 пс, =0,39 эВ, Т=300 К. 1 — R при h (n3) = 250 мкм; 2 — R при h (n3) = 2000 мкм; 3 — T при h (n3) = 250 мкм; 4 — T при h (n3) = 2000 мкм

На рис. 2 изображены АЧХ графеновой решетки, расположенной на двухслойной подложке. Верхний слой подложки толщиной h и показателем преломления n3, нижний слой — полубесконечная подложка с показателем преломления. Видно, что увеличение h приводит к «сглаживанию» графиков зависимостей R и T.

Рис. 3 Зависимость коэффициентов отражения R и прохождения Т от частоты: ширина полоски 40 мкм,. Параметры графена: =1 пс, =0,39 эВ, Т=300 К. 1 — R при периоде = 70 мкм; 2 — R при периоде = 150 мкм; 3 — T периоде = 70 мкм; 4 — T при периоде = 150 мкм

На рис. 3 изображены АЧХ графеновой решетки, расположенной на полубесконечной подложке с показателем преломления. Видно, что увеличение периода решетки приводит к уменьшению значения коэффициента отражения R без смещения резонансов по частоте.

Выводы

дифракционный графеновый решетка интегродифференциальный Результаты расчетов на основе метода объемных интегральных уравнений дифракционных решеток с использованием графена различных тестовых задач показали успешность проведенных вычислений. Проведение расчетов параметров структур, ранее полученные с использованием других методов, подтверждает справедливость введения эффективной диэлектрической проницаемости графена. Показано, что увеличение периода решетки приводит к уменьшению значения коэффициента отражения R без смещения резонансов по частоте. Увеличение показателя преломления подложки, на которой расположена графеновая решетка, приводит к смещению резонансов в более низкочастотную область. А увеличение химического потенциала приводит к смещению резонансов в более высокочастотную область.

• 1. Castro Neto A. H., Guinea F., Peres N. M. R., Novoselov K. S. and Geim A. K. 2009 Rev. Mod. Phys. 81, pp. 109−162.
• 2. Falkovsky L. A. and Pershoguba S. S .2007 Phys. Rev. B 76, 153 410 (4p).
• 3. Stauber T., Peres N. M. R. and Castro Neto A. H. 2008 Phys. Rev. B 78, 85 432 (8p).
• 4. Gusynin V. P., Sharapov S. G. and Carbotte J. P. 2009 New J. Phys. 11, 95 013 (17p).
• 5. Лерер А. М., Головачева Е. В., Грибникова Е. И., Иванова И. Н., Клещенков А. Б. Неотражающие оптические решетки на новых плазмонных материалах // Инженерный вестник Дона, 2016, № 2 URL: ivdon.ru/magazine/archive/ n2y2016/3608.
• 6. Wang X., Zhi L. and Mullen K. 2008 Nano Lett. 8, pp. 323−327.
• 7. Фиговский О. Л., Нанотехнологии для новых материалов // Инженерный вестник Дона, 2012, № 3 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n3y2012/1048.
• 8. Bao Q., Zhang H., Wang B., Ni Z., Haley C., Lim Y. X., Wang Y., Tang D. Y. and Loh K. P. 2011 Nature Photon. 5, pp. 411−415.
• 9. Carrasco E. and Perruisseau-Carrier J. 2013 IEEE Antennas Wirel. Propag. Lett. 12, pp. 253−256.
• 10. Liu M., Yin X. B., Ulin-Avila E., Geng B. S., Zentgraf T., Ju L., Wang F. and Zhang X. 2011 Nature 474, pp. 64−67.
• 11. T.M. Slipchenko, M.L. Nesterov, L. Martin-Moreno and A.Yu. Nikitin. Journal of Optics 15 (11), July 2013. 114 008 (20p).
• 12. Головачева Е. В., Лерер А. М., Иванова И. Н. Применение метода приближенных граничных условий для расчета дифракции двумерной решетки в оптическом диапазоне / Научный альманах. — 2015. — N 11−4(13). — C. 257−260.
• 13. R.J. Kubo. Phys. Soc. Jap. 12, 6, 1957, pp. 570−586.
• 14. И. Н. Иванова, Электродинамический анализ периодических наноплазмонных структур: дис. канд. физ.-мат. наук. Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, 2016. — 150 c.
• 15. X. Luo, T. Qiu, W. Lu, Z. Ni, «Plasmons in graphene: Recent progress and applications», Materials Science and Engineering: R: Reports. 2013, vol. 74, no 11, pp. 351−376.
• 16. A. M. Lerer, «Theoretical Investigation of 2D Periodic Nanoplasmon Structures», Journal of Communications Technology and Electronics, 2012, vol. 57, no. 11, pp. 1151−1159.
• 17. T. L. Zinenko J. Opt. 17 (2015), 55 604 (8p).

References.

• 1. Castro Neto A. H., Guinea F., Peres N. M. R., Novoselov K. S. and Geim A. K. 2009 Rev. Mod. Phys. 81, pp. 109−162.
• 2. Falkovsky L. A. and Pershoguba S. S .2007 Phys. Rev. B 76, 153 410 (4p).
• 3. Stauber T., Peres N. M. R. and Castro Neto A. H. 2008 Phys. Rev. B 78, 85 418 (8p).
• 4. Gusynin V. P., Sharapov S. G. and Carbotte J. P. 2009 New J. Phys. 11, 95 013 (17p).
• 5. A. M. Lerer, E.V. Golovacheva, E.I. Gribnikova, I.N. Ivanova, A.B. Kleshchenkov. Inћenernyj vestnik Dona (Rus), 2016, № 2. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n2y2016/3608.
• 6. Wang X., Zhi L. and Mullen K. 2008 Nano Lett. 8, pp. 323−327.
• 7. O.L. Figovskij. Inћenernyj vestnik Dona (Rus), 2012, № 3. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n3y2012/1048.
• 8. Bao Q., Zhang H., Wang B., Ni Z., Haley C., Lim Y. X., Wang Y., Tang D. Y. and Loh K. P. 2011 Nature Photon. 5, pp. 411−415.
• 9. Carrasco E. and Perruisseau-Carrier J. 2013 IEEE Antennas Wirel. Propag. Lett. 12, pp. 253−256.
• 10. Liu M., Yin X. B., Ulin-Avila E., Geng B. S., Zentgraf T., Ju L., Wang F. and Zhang X. 2011 Nature 474, pp. 64−67.
• 11. T.M. Slipchenko, M.L. Nesterov, L. Martin-Moreno and A.Yu. Nikitin. Journal of Optics 15 (11), July 2013. 114 008 (20p).
• 12. Golovacheva E.V., Lerer A.M., Ivanova I.N. Nauchnyj al’manah. 2015. N 11−4(13). Pp. 257−260.
• 13. R.J. Kubo. Phys. Soc. Jap. 12, 6, 1957, pp. 570−586.
• 14. I.N. Ivanova, Dis. kand. fiz.-mat. nauk. Juzhnyj federal’nyj universitet, Rostov-na-Donu, 2016. 150 p.
• 15. X. Luo, T. Qiu, W. Lu, Z. Ni, Materials Science and Engineering: R: Reports. 2013, vol. 74, no 11, pp. 351−376.
• 16. A. M. Lerer, Journal of Communications Technology and Electronics, 2012, vol. 57, no. 11, pp. 1151−1159.
• 17. T. L. Zinenko J. Opt. 17 (2015), 55 604 (8p).