Аксиально-симметрические поля и метрики галактик

Гравитационные поля, обладающие осевой симметрией, рассматривались в работах [20−21, 27−30] и других. Метрика таких пространств, при некоторых предположениях может быть приведена к виду [20−21] метрика пространство гиперсфера гравитация Здесь — функции, удовлетворяющие уравнениям Эйнштейна,.

.

Вычисляя компоненты тензора Эйнштейна в метрике (17) и полагая для вакуума, находим уравнения поля:

Можно проверить, что не все уравнения (18) являются независимыми и что выполняются следующие два соотношения [20].

Следовательно, можно в качестве системы уравнений для определения двух функций выбрать, например, первое и третье уравнения (18), имеем.

Отметим, что в нерелятивистском пределе потенциал, где — гравитационный потенциал в теории гравитации Ньютона. Из второго уравнения (20) находим оценку. В галактиках параметр орбитальной скорости и гравитационный потенциал связаны между собой, что позволяет оценить величину. В таком случае в первом приближении можно пренебречь малой величиной. В результате, как и в теории гравитации Ньютона, приходим к уравнению Лапласа для определения гравитационного потенциала.

Рассмотрим уравнение движения тела в гравитационном поле в нерелятивистском приближении, имеем.

Условие равновесия тел на круговых орбитах имеет вид.

Отсюда находим зависимость потенциала от радиальной координаты.

Путем обработки данных [31−32] для 50 галактик было установлено, что наилучшее соответствие со всей совокупностью данных получается в том случае, когда зависимость потенциала от радиальной координаты можно представить в форме [27, 30].

Здесь — некоторые константы, характеризующие распределение гравитационного потенциала в галактике.

На рис. 5 представлены результаты моделирования распределения гравитационных потенциалов в галактиках NGC 0000, NGC 0253, NGC 0660, NGC 0891 по данным скорости вращения [31−32] согласно (23)-(24). Отметим, что параметры вычисляются по методу, описанному в [30]. Первые два слагаемых в правой части (24) отвечают условиям в центре галактики, в квадратичный потенциал связан с течением в кластере [33].

Из данных, приведенных на рис. 5, следует, что логарифмический потенциал является составной частью гравитационного потенциала галактик. Прямой проверкой можно убедиться, что потенциал типа (16) удовлетворяет первому уравнению (20), имеем.

Для определения траекторий релятивистских частиц используем уравнение (4) в метрике (17) с потенциалом (25). Символы Кристоффеля вычисляются в метрике (17) согласно.

Рис. 5. Зависимость гравитационного потенциала (км2/с2) от радиальной координаты (кпс) в галактиках NGC 0000, NGC 0253, NGC 0660, NGC 0891 по данным [31−32] (точки) и по модели (10) (сплошные линии).

Рассмотрим уравнения движения (4) c коэффициентами аффинной связности (26) в первом приближении по малому параметру, имеем.

Здесь .Система уравнений (27) решалась численно. На рис. 6 приведены типичные траектории движения частиц в метрике (17) с потенциалом (25), вычисленные для начальных данных:

Отметим, что траектория движения частицы в 3D заполняет сферу, чем, возможно, объясняется наличие в природе шаровых скоплений. Таким образом, мы показали, что гравитационный потенциал (25), содержащий только логарифмические особенности, может быть центром притяжения звезд, которые в этом случае образуют шаровые скопления.

Аналогия движения на гиперсфере и в 6D, отмеченная выше распространяется также на движение в метрике (17) — рис. 7. Однако в случае движения в 3D в поле с потенциалом (25) с источниками, распределенными по окружности в сечении в плоскости, траектории заполняют тор, что объясняется структурой поверхностей равного уровня потенциала — рис. 7.

Тем не менее, сохраняется сходство траекторий на гиперсфере и в 3D, образующих своеобразные многоугольники. Это сходство объясняется наличием в моделях движения частиц (14а) и (27) логарифмического потенциала, а также тем, что этих две различные на первый взгляд модели происходят из одного уравнения (4).

Как известно, в квантовой электродинамике широко используются асимптотические формулы с логарифмической асимптотикой, связывающие «затравочный» и истинный заряды и т. п. [34]. В работе [27] была указана связь логарифмического потенциала (25) с законом Ампера в электродинамике. Действительно, компонента векторного потенциала прямолинейного провода с током на большом удалении от системы ведет себя как логарифмическая функция.

Рис. 7. Поверхности и линии уровня функции, траектории движения в метрике (17) с потенциалом (25) (внизу слева) и в метрике (5) на гиперсфере с числом углов .

В работе [35] логарифмический потенциал был использован для моделирования структуры электрического заряда. В работах [36−37] и других исследованы варианты логарифмической электродинамики, в которой функция Лагранжа системы зависит от логарифма линейной комбинации инвариантов электромагнитного поля.

Логарифмический потенциал также используется в теории взаимодействия кварков [38−41]. Все это указывает на особую роль логарифмических потенциалов (16), (25), рассмотренных выше, а также связанных с ними моделей движения релятивистских частиц на гиперсфере в метрике (5), в 6D и в метрике галактик.

Наконец, заметим, что метрика галактик (17) с потенциалом (25) является обобщение метрики Шварцшильда на случай произвольного распределения статически уравновешенных источников. Равновесие в такой системе, как было показано в [27], достигается за счет релятивистских эффектов, обусловленных наличием сингулярных источников и потенциала, не имеющего классического аналога. Представляется интересным проследить слияние двух источников в метрике (17) с порождением гравитационных волн, типа [42]. Однако решение этой задачи выходит за рамки настоящей работы.