Коэффициент эмерджентности классических и квантовых статистических систем

Если базовое множество содержит W элементов, то по Хартли количество информации, которое мы получаем, когда выбираем некоторый элемент, равно:

(7).

Если базовые элементы могут взаимодействовать друг с другом, то они могут образовывать подсистемы.

Здесь и возникают принципиальные вопросы о том:

• — какие элементы могут образовывать подсистемы, а какие не могут;
• — сколько подсистем различной сложности может быть образовано из W базовых элементов?

Ответы на эти вопросы зависят от того, какой квантовой статистике подчиняется образующаяся система.

Рассмотрим квантовую систему, состоящую из ряда подсистем, которые пронумеруем целым числом. Каждая подсистема характеризуется числом состояний и числом частиц, которые находятся в этих состояниях и обладают энергией. Определим число возможных способов распределения частиц по состояниям. В случае статистики Ферми в каждом состоянии может находиться не более чем одна частица, поэтому число способов равно [24].

(8).

В случае статистики Бозе в каждом состоянии может находиться любое число частиц, следовательно, число способов равно [24].

(9).

Энтропия, общее число частиц и энергия системы равны по определению.

(10).

Найдем числа, которые соответствуют экстремуму энтропии при условии постоянства общего числа частиц и энергии системы. Если число состояний и число частиц в каждой подсистеме достаточно велико,, то можно воспользоваться приближенной формулой для логарифма факториала. В этом случае выражение энтропии квантовых систем упрощается и принимает вид:

(11).

Здесь первое выражение соответствует энтропии системы фермионов, а второе — системы бозонов.

Используя метод Лагранжа, составим функционал.

.

где — некоторые постоянные. Экстремум энтропии достигается при условии Отсюда находим два типа распределения.

(12).

Отметим, что знак плюс соответствует распределению Ферми, а знак минус — распределению Бозе.

Следовательно, в случае статистики Ферми на образование подсистем накладывается ограничение на число частиц, которые могут находиться в одном состоянии. С учетом этого ограничения все элементы базового множества могут образовывать подсистемы в любых сочетаниях, а их общее число определяется выражением (8), которое запишем в виде.

(13).

Здесь n — число состояний системы; m — число частиц находящихся в этих состояниях.

Ясно, что при фиксированном числе состояний в системе могут быть подсистемы из 1, 2, 3, …, W элементов. При этом подсистемы из 1-го элемента это сами базовые элементы, а подсистема из W элементов — это вся система в целом (булеан) [17, 21].

На всех иерархических уровнях системы от 1-го до W, суммарно будет содержаться общее число подсистем:

(14).

В работе [14] предложено считать, что количество информации в системе можно рассчитывать по формуле Хартли (7), полагая, что элементами системы являются не только ее базовые элементы, но и состоящие из них подсистемы, количество которых в системе определяется выражением (14). Таким образом, количество информации в системе будет:

(15).

Или окончательно:

(16).

Следовательно, выражение (11) представляет собой системное обобщение формулы Хартли для количества информации в квантовой системе, подчиняющейся статистике Ферми-Дирака с заданным числом состояний и с переменным числом частиц.

В работе [14] предложено оценивать уровень системности или сложности системы отношением количества информации в системе (с учетом входящих в нее подсистем всех уровней иерархии) к количеству информации во множестве образующих ее базовых элементов:

(17).

Это выражение было названо в работе [21] коэффициентом эмерджентности Хартли, в честь этого выдающегося ученого, внесшего большой вклад в становление научной теории информации, а также потому, что в нем использовано классическое выражение Хартли для количества информации (7) и его системное обобщение (16).

На рис. 1 представлена зависимость коэффициента эмерджентности Хартли (17), представляющая собой поверхность. Отметим, что в области параметров, характерной для ядерных и атомных оболочек, коэффициент эмерджентности изменяется немонотонно с ростом W, что позволяет объяснить поведение энергии связи нуклонов в атомных ядрах [25].

Непосредственно из вида выражения для коэффициента эмерджентности Хартли (17) ясно, что он представляет собой относительное превышение количества информации в квантовой системе, подчиняющейся статистике Ферми-Дирака, при учете системных эффектов (смешанных состояний, иерархической структуры ее подсистем и т. п.) над количеством информации без учета системности.

Рис. 1. Поведение коэффициента эмерджентности Хартли в случае классической и квантовой статистики [22]. На правом нижнем рисунке поверхности коэффициента эмерджентности изображены для малого числа частиц и состояний.

В работе [21] показано, что при n=W выражение (16) приобретает вид:

(18).

Выражение (11) для количества информации в системе с учетом (18):

(19).

Выражение (19) дает оценку максимального количества информации, которое может содержаться в системе при вхождении всех элементов во все подсистемы различных уровней иерархической структуры.

Из выражения (19) видно, что I достаточно быстро стремится к W, поскольку.

(20).

При W > 4 различие I и W в выражении (20) не превышает 1%. Таким образом, коэффициент эмерджентности Хартли (17) отражает уровень системности объекта, подчиняющегося статистике Ферми-Дирака. Этот коэффициент изменяется от 1 (системность минимальна, т. е. отсутствует) до W/Log₂W (системность максимальна).

Для каждого количества элементов системы существует свой максимальный уровень системности, который никогда реально не достигается из-за действия правил запрета на реализацию в системе ряда подсистем различных уровней иерархии. Например, не все сочетания букв русского алфавита образуют слова русского языка, и не все сочетания слов — предложения. В каждом состоянии может находиться только одна частица и т. п. По этой причине систему правил запрета в [21] предложено назвать информационным проектом системы. Различные системы, состоящие из равного количества одинаковых элементов, отличаются друг от друга именно по причине различия своих информационных проектов.

Одним из наиболее важных и известных в физике правил запрета, который действует на квантовые системы, подчиняющиеся статистике Ферми-Дирака, является принцип Паули. Это один из основополагающих принципов, влияющий на строение химических элементов, классифицированных в таблице Д. И. Менделеева [25].

Для статистики Бозе-Эйнштейна число различных подсистем рассчитывается по формуле (9), которую запишем в форме гравитационный эйнштейн эмерджентность квантовый.

(21).

Здесь k — число состояний, r — число частиц в системе. На всех иерархических уровнях квантовой системы, подчиняющейся статистике Бозе-Эйнштейна, от 1-го до W, суммарно будет содержаться общее число подсистем.

(22).

Предположим, что количество информации в квантовой системе, подчиняющейся статистике Бозе-Эйнштейна, можно рассчитывать по формуле Хартли (7), полагая, что элементами системы являются не только ее базовые элементы, но и состоящие из них подсистемы, количество которых в системе определяется выражением (22). Таким образом, количество информации в такой квантовой системе, подчиняющейся статистике Бозе-Эйнштейна, будет:

(23).

Или окончательно:

(24).

Выражение (19) представляет собой системное обобщение формулы Хартли для количества информации в квантовой системе, подчиняющейся статистике Бозе-Эйнштейна.

Соответственно, выражение для коэффициента эмерджентности Хартли для случая квантовых систем, подчиняющихся статистике Бозе-Эйнштейна, будет иметь вид:

(25).

На рис. 1 представлена зависимость коэффициента эмерджентности Хартли (25). Можно отметить существенное различие в поведении функции (25) и аналогичного коэффициента вычисленного для случая статистики Ферми-Дирака — см. рис. 1.

Отметим, что обе квантовые статистики — и Ферми-Дирака, и Бозе-Эйнштейна, асимптотически приближаются к статистике Максвелла-Больцмана в пределе высоких температур и низких плотностей, что непосредственно следует из выражения (12). В случае статистики Максвелла-Больцмана число подсистем, которое можно образовать при заданном значении числа состояний определяется согласно [24].

Отсюда находим коэффициент эмерджентности классических систем в виде.

(26).

Здесь N — число частиц, G — число состояний. На рис. 1 представлена зависимость (26). По характеру поведения коэффициент эмерджентности классических систем при малом числе состояний и частиц занимает промежуточное положение между аналогичными коэффициентами, вычисленными для фермии бозе-систем — см. рис. 1.

Из приведенных на рис. 1 данных следует, что с ростом числа состояний и числа частиц коэффициенты эмерджентности квантовых и классических систем отличаются между собой, как и коэффициенты квантовых систем ферми-частиц и бозе-частиц. Следовательно, коэффициент эмерджентности позволяет отличить классическую систему от квантовой системы, а квантовую систему ферми-частиц от квантовой системы бозе-частиц.