Методы оценок неизвестных параметров распределения

Федеральное агентство по образованию РФ Дагестанский Государственный Университет Математический факультет Кафедра информатики и вычислительной техники Курсовая работа На тему:

" Методы оценок неизвестных параметров распределения"

Выполнила: студентка 3 курса 5 группы Тажудинова П.Г.

Руководитель: Магомедов И.И.

Махачкала 2008 г.

• Введение
• 1. Нормальное распределение на прямой
• 2. Нормальная кривая
• 3. Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой
• 4. Вероятность отклонения в заданный интервал нормальной случайной величины
• 5. Вычисление вероятности заданного отклонения
• 6. Правило трех сигм
• 7. Равномерное распределение
• 8. Задачи
• Литература

Исходным объектом статистических исследований является выборка

Из распределения, которое полностью или частично неизвестно.

В математической статистике традиционно выделяют в качестве основных два следующих класса задач:

1. Оценка неизвестных параметров.

2. Проверка статистических гипотез.

Задачи первого класса возникают, когда по выборке нужно оценить какую-нибудь неизвестную числовую характеристику распределения Р (оно ведь неизвестно).

То есть, для заданного функционала

От распределения Р мы должны указать функцию от выборки (или, что-то же, статистику)

Предназначенную для использования вместо параметра в качестве его приближения.

Статистику называют оценкой параметра. Разумеется, оценок для параметра может быть очень много. Для оценки функционала вида

естественно использовать статистику

.

Но можно, конечно, рассматривать и другие оценки, скажем,

где — элементы вариационного ряда и т. д. в качестве можно брать и значения, не зависящие от выборки.

Часто в постановке задач об оценивании содержится указания на то, каким является множество возможных значений параметра. Например, если оценивается доля какого-нибудь минерала в руде, то ясно, что.

Качественной разницы между задачами первого класса (теории оценок) и второго класса (проверка статистических гипотез) не существует.

Основные законы распределения:

1. Биномиальный закон распределения.

Определение. Дискретная случайная величина Х имеет биномиальный закон

Распределения с параметрами n и p, если она принимает

значения 0,1,2,…, m,…, n с вероятностями

где 0

2. Закон распределения Пуассона

Определение. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения

Пуассона с параметром, если она принимает значения

0,1,2,…, m,… (бесконечное, но счетное множество значений) с

вероятностями

.

3. Геометрическое распределение

Определение. Дискретная случайная величина Х=m имеет геометрическое

распределение с параметром, если она принимает значения

1,2,…, m… (бесконечное, но счетное множество значений) с

вероятностями

где 0

4. Гипергеометрическое распределение

Определение. Дискретная случайная величина Х имеет гипергеометрическое

распределение с параметрами n, M, N, если она принимает

значения 0,1,2,…, m,…, min (n, M) с вероятностями

где,; n, M, N — натуральные числа.

5. Равномерный закон распределения

Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон

распределения на отрезке, если ее плотность вероятности

постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, т. е.

6. Показательный (экспоненциальный) закон распределения

Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром, если ее плотность вероятности имеет вид:

7. Нормальный закон распределения

Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами и, если ее плотность вероятности имеет вид:

.

8. — распределение.

Определение. Распределением (хи-квадрат) с степенями свободы называется распределение суммы квадратов независимых случайных величин, распределенных по стандартному нормальному закону, т. е.

где (=1,2,…) имеет нормальное распределение N (0;1).

9. Распределение Стьюдента.

Определение. Распределение Стьюдента (или t-распределением) называется распределение случайной величины

где Z — случайная величина, распределенная по стандартному нормальному закону, т. е. N (0; 1);

— независимая от Z случайная величина, имеющая — распределение с степенями свободы.

10. Распределение Фишера-Снедекора.

Определение. Распределение Фишера-Снедекора (или F-распределением) называемся распределение случайной величины

где и — случайные величины, имеющиераспределение соответственно с и степенями свободы.

параметр распределение нормальная кривая

1. Нормальное распределение на прямой

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

.

Нормальное распределение определяется двумя параметрами: и. Достаточно знать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение. Покажем, что вероятностный смысл этих параметров таков: есть математическое ожидание, — среднее квадратическое отклонение нормального распределения.

а) По определению математического ожидания непрерывной случайной величины,

Введем новую переменную. Отсюда,. Приняв во внимание, что новые пределы интегрирования равны старым, получим

Первое из слагаемых равно нулю (под знаком интеграла нечетная функция; пределы интегрирования симметричны относительно начала координат). Второе из слагаемых равно (интеграл Пуассона).

Итак,, т. е. математическое ожидание нормального распределения равно параметру .

б) По определению дисперсии непрерывной случайной величины, учитывая, что, имеем

.

Введем новую переменную. Отсюда,. Приняв во внимание, что новые пределы интегрирования равны старым, получим

.

Интегрирую по частям, положив, , найдем

.

Следовательно,

.

Итак, среднее квадратическое отклонение нормального распределения равно параметру .

Общим называют нормальное распределение с произвольными параметрами и (>0).

Нормированным называют нормальное распределение с параметрами и .

Плотность нормированного распределения

.

Функция общего нормального распределения

А функция нормированного распределения

.

Вероятность попадания нормированной нормальной величины X в интервал (0,x) можно найти, пользуясь функцией Лапласа

.

Действительно

Учитывая, что и, следовательно, в силу симметрии относительно нуля, а значить, и ,

Легко получить, что .

Действительно,

.

2. Нормальная кривая

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривая Гаусса).

Исследуем функцию

Методами дифференциального исчисления.

1. Очевидно, функция определена на всей оси .

2. При всех значениях функция принимает положительные значения, т. е. нормальная кривая расположена над осью .

3. Предел функции при неограниченном возрастании (по абсолютной величине) равен нулю:, т. е. ось служит горизонтальной асимптотой графика.

4. Исследуем функции на экстремум. Найдем первую производную:

.

Легко видеть, что при, при, при .

Следовательно, при функция имеет максимум равный .

5. Равность содержится в аналитическом выражении функции в квадрате, т. е. график функции симметричен относительно прямой .

6. Исследуем функцию на точки перегиба. Найдем вторую производную:

.

Легко видеть, что при и вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки она меняет знак (в обеих этих точках значение функции равно). Таким образом, точки графика и является точками перегиба.

На рис. изображена нормальная кривая при и .

3. Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой

График функции и имеют одинаковую форму; сдвинув график в положительном направлении оси на единиц масштаба при или в отрицательном направлении при, получим график. Отсюда следует, что изменение величины параметра (математического ожидания) не изменяет формы нормальной кривой, а приводить лишь к ее сдвигу вдоль оси: вправо, если возрастает, и влево, если убывает.

По иному обстоит дело, если изменяется параметр (среднее квадратическое отклонение). Максимум дифференциальной функции нормального распределения равен

.

Отсюда следует, что с возрастанием максимальная орбита нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, т. е. сжимается к оси; при убывании нормальная кривая становится более «островершинной» и растягивается в положительном направлении оси .

При любых значениях параметра и о площадь, ограниченная нормальной кривой и осью, остается равной единице.

На рис. изображены нормальные кривые при различных значениях и. Чертеж наглядно иллюстрирует, как изменение параметра сказывается на форме нормальной кривой.

При и нормальную кривую

называют нормированной.

4. Вероятность отклонения в заданный интервал нормальной случайной величины

Если случайная величина X задана плотностью распределения, то вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу, такова:

Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону. Тогда вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу, равна

Можно преобразовать эту формулу так, чтобы можно было пользоваться готовыми таблицами. Введем новую переменную. Отсюда,. Найдем новые пределы интегрирования. Если, то; если, то .

Таким образом, имеем

Пользуясь функцией Лапласа

окончательно получим

.

5. Вычисление вероятности заданного отклонения

Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины X по абсолютной величине меньше заданного положительного числа, т. е. требуется найти вероятность осуществления неравенства .

Заметим это неравенство равносильным ему двойным неравенством

или .

Пользуясь формулой

получим

Приняв во внимание равенство (функция Лапласа — нечетная), окончательно имеем

.

В частности, при

.

На рисунке наглядно показано, что если две случайные величины нормально распределены и, то вероятность принять значение, принадлежащее интервалу, больше у той величины, которая имеет меньшее значение. Этот факт полностью соответствует вероятностному смыслу параметра (есть среднее квадратическое отклонение; оно характеризует рассеяние случайной величины вокруг ее математического ожидания).

События состоящие в осуществлении неравенства и , — противоположные. Поэтому, если вероятность осуществления неравенства равна, то вероятность неравенства равна .

6. Правило трех сигм

Преобразуем формулу

положив. В итоге получим

.

Если и, следовательно,, то

т.е. вероятность то, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973.

Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна 0,0027. это означает, что лишь в 0,27% случаев так может произойти. Такие события исходя из принципов невозможности маловероятных событий можно считать практически невозможными. В этом и состоит сущность правила тих сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

На практике правило трех сигм применяются так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное приведенном правиле, выполняются, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она не распределена нормально.

7. Равномерное распределение

Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на отрезке, если ее плотность вероятности постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, т. е.

Функция распределения случайной величины Х, распределенной по равномерному закону, есть

(*)

ее математическое ожидание

а дисперсия

При функция распределения

При получим

При очевидно, что

т.е. формула (*) доказана.

Математическое ожидание случайной величины Х с учетом его механической интерпретации как центра массы равно абсциссе середины отрезка, т. е.

Тот же результат получается если вычислить интеграл:

А для дисперсии имеем:

Равномерный закон распределения используется при анализе ошибок округления при проведении числовых расчетов (например, ошибка округления числа до целого распределена равномерно на отрезке [-0,5; +0,5]), в ряде задач массового обслуживания, при статистическом моделировании наблюдений, подчиненных заданному распределению. Так, случайная величина Х, распределена по равномерному закону на отрезке [0,1], называемая «случайным числом от 0 до 1», служит исходным материалом для получения случайных величин с любым законом распределения.

8. Задачи

1. Производится измерение диаметра вала без систематических (одного знака) ошибок. Случайные ошибки измерения X подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15 мм.

Решение.

Математическое ожидание случайных ошибок равно нулю, поэтому применима формула

Положив, , находим

По таблице находим Искомая вероятность

2. Автомат изготавливает шарики. Шарик считается годным, если отклонение X диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7 мм. Считая, что случайная величина X распределена нормально со средним квадратическим отклонением мм, найти, сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных.

Решение.

Так как X — отклонение (диаметра шарика от проектного размера), то

.

Воспользовавшись формулой

подставив, , получим

Таким образом, вероятность отклонения, меньшего 0,7 мм, равна 0,92. Отсюда следует, что примерно 92 шарика из 100 окажутся годными.

3. Диаметр круга измерен приближенно, причем, и. Рассматривая диаметр как случайную величину Х, распределенную равномерно в интервале, найти математическое ожидание и дисперсию площади круга.

Решение.

1. Математическое ожидание площади круга — случайной величины находим по формуле

.

Подставив, , получим

2. Дисперсию площади круга находим по формуле

Подставив, , получим

4. Полагая, что рост мужчин определенной возрастной группы есть нормально распределенная случайная величина Х с параметрами и, найти случайную величину Х.

Решение.

Практически достоверно, что рост мужчин данной возрастной группы заключен в границах от до. Найдем эти границы:

(см),

т.е. (см).

1. «Теория вероятностей и математическая статистика» .В. Е. Гмурман Москва: «Высшая школа» 1998 г.

2. «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике» В. Е. Гмурман Москва: «Высшая школа» 2002 г.

3. «Теория вероятностей и математическая статистика» .Н. Ш. Кремер Москва: «Юнити-Дана», 2004 г.

4. «Математическая статистика. Оценка параметров. Проверка гипотез». А. А. Боровков Москва: изд. «Наука» 1996 г.