Численные методы приближения функций и решения уравнений на основе непрерывных дробей

Объектом исследования данной диссертационной работы являются бесконечные цепные дроби, т. е. выражения вида o = b0 ±^-. (1).

Ь.±^——- ^ а.,.

В большинстве зарубежных работ вместо «цепная дробь» употребляется название «непрерывная дробь». Мы будем использовать оба названия. Величины Ьй, Ьу, Ьг,., Ьп,., с1, аг,., ап,. называются элементами цепной дроби. В частности а]ьа2,., ап,. называются частными числителями, bvb2,., b",. — частными знаменателя цепной дроби (1) — Ь0 — ее свободным членом. Дробь — К называется п-м звеном цепной дроби (1).

Для записи цепной дроби (1) будем пользоваться предложенной Роджерсом формой со = к + + (2) hi ь".

Для большей компактности будем использовать и такое обозначение ю = (3) ьп введенное Хлопонинын С. С. Конечная цепная дробь а,, а, си а&bdquo- /=1 Ь, Ь1 Ь2 К называется и-ой подходящей дробью цепной дроби (1) и обозначается fn=AJBn. Таким образом, цепной дроби соответствует последовательность подходящих дробей:

A. Al /5).

Изучение конечных цепных дробей, т. е. выражений вида I г а,.

————-7.

1 ch b2± 3 К началось в конце XVI в. в статье Бомбелли [2]. Выражения вида (6) получаются при повторном применении алгоритма Евклида. Некоторые историки математики утверждают, что использование выражений вида (6) восходит к индийской или даже греческой математике. Бесконечные цепные дроби впервые были рассмотрены лордом Броункером (1620−1684), первым президентом Королевского общества. Ему принадлежит представление числа л в виде бесконечной цепной дроби: п 1.

Г.+¦

2 +.

2 +.

2 + .

2 + .

В теории непрерывных дробей сложилось два направления: теоретико-числовое и аналитическое. Теоретико-числовое направление занимается изучением непрерывных дробей с частными числителями ап = 1 и целыми положительными частными знаменателями [89]. В этом направлении непрерывные дроби использовались для рационального приближения значений алгебраических чисел и числа л. Применение непрерывных дробей в теории чисел началось в XVII веке работами Швентера, Гюйгенса и Валлиса, достигло крупных результатов в работах Эйлера и затем было расширено Лагранжем, Лежандром, Гауссом, Галуа и их последователями.

Аналитическое направление исследует цепные дроби более общего вида: в аналитической теории рассматриваются цепные дроби, элементы которых — линейные и полиномиальные функции комплексного аргумента. Здесь требуется лишь одно — элементы цепной дроби должны принимать только конечные значения, если не будут указаны более конкретные ограничения.

Разложения функций комплексного переменного в цепные дроби были введены Эйлером и стали важным средством аппроксимации специальных классов аналитических функций в работах Эйлера, Ламберта, Лагранжа. Гауссом было введено в 1813 г. разложение в непрерывную дробь для отношения гипергеометрических функций [23, 97]. Как следствие этого результата появились ортогональные многочлены.

В прошлом веке различие целей теоретико-числового и аналитического приложений аппарата непрерывных дробей привело к раздвоению развития теории. Одна из возникших ветвей — аналитическая теория цепных дробей. Основной предмет ее исследований — теория разложения и сходимости непрерывных дробей, элементами которых являются линейные функции комплексного переменного z. Эти исследования важны потому, получающиеся при этом конечные цепные дроби представляют собой рациональные функции от z, аппроксимирующие функцию f (z) и дающие разложения в смысле Эрмита в классе рациональных функций.

Аналитическая теория цепных дробей занимала ведущее положение в классическом анализе 19 века. В этой области работали крупнейшие аналитики: Лаплас, Лежандр, Якоби, Эйзенштейн, Гейне, Лаггер, Риман, Стилтьес, Чебышев, Марков, Фрбениус и Пуанкаре. Их исследования оказали далеко идущее влияние на развитие математики. Особенно это относится к работам Стилтьеса, которые привели к таким важным исследованиям, как проблема моментов, теория интеграла Стилтьеса, изучение сходимости последовательностей гомоморфных функций. В работах Пуанкаре и Стилтьеса, в которых применялись разложения в цепные дроби к расходящимся рядам, появились асимптотические разложения.

Таким образом, влияние теории цепных дробей на развитие классического анализа в XIX веке оказалось особенно плодотворным. Были периоды, когда в XX веке аналитики, работающие в наиболее классических областях, стали редко интересоваться цепными дробями и теория непрерывных дробей стала специальным разделом, в котором работал ограниченный круг аналитиков.

В 60−70-х гг. XX века произошел бурный 'рост применения цепных дробей в физических проблемах. Аппроксимации Паде стали главным вычислительным средством в задачах теоретической физики, что привело к оживлению в теории цепных дробей. Как отклик на эти события появилось несколько монографий по цепным дробям [23, 11, 1, 14, 82].

Приведем некоторые проблемы, решение которых поясняет плодотворность использования непрерывных дробей в вычислениях.

1) Цепные дроби дают более общие представления (разложения) трансцендентных функций, чем классическое представление степенным рядом. Например, степенной ряд для мероморфнойфункции в точке х представляет эту функцию только до ближайшего полюсадля некоторых меро-морфных функций существуют представления цепными дробями, которые представляют эту функцию всюду на комплексной плоскости, за исключением полюсов. Таким образом, область сходимости цепной дроби, представляющей некоторую функцию, может быть шире области сходимости степенного ряда, представляющего ту же функцию.

2) Разложение функции в цепную дробь сходится в данной точке л: быстрее, чем степенной ряд для той же функции.

Функция arclgz имеет следующее разложение в непрерывную дробь:

Эта дробь сходится на всей плоскости комплексного переменного г, исключая полуинтервалы мнимой оси (-/со,-/], [/,<�"/).

Разложение в ряд Тейлора функции arctgz в точке z = О 12 2 ->2 2 -, 2 z 1 • z 2 • z j •.

->2 I л2 jz 4 -z.

7) 9.

Z' Z arclg z = z—+ —.

3 5.

7 9 сходится при |z|.

3) Известно приложение, которое непрерывные дроби находят в теории управления. Сущность в следующем. Необходимо установить устойчивость полинома с вещественными коэффициентами, т. е. будут ли все его нули иметь отрицательные вещественные части. Отвечают на этот вопрос за конечное число шагов и без вычисления самих нулей следующим образом. Возьмем для определенности многочлен шестой степени.

Р (х) = а0 +а1х + а2×2 +. + аьхь. Строим рациональную функцию ай+а2х +а4х +аьх используя коэффициенты полинома Р (х). Функция R (x) называется тестовой функцией устойчивости полинома. При помощи известного алгоритма функцию R (x) можно представить в виде цепной дроби м 1 1 1.

ЬХ Ь2х Ь ()х.

Данный полином устойчив в том и только в том случае, когда все Ь, > 0.

4) В прикладной математике результаты решения задач получаются в виде асимптотических рядов вида.

XXX при чем ряд расходящийся при всех х. Оценку f (x) при помощи такого ряда нельзя получить с произвольной точностью для любого значения х. И здесь помогают цепные дроби. Асимптотический ряд обращают (алгоритм обращения известен) в цепную дробь вида a^ a L.

X + А" + «+ х *'» .

Находят, что цепная дробь сходится и что она действительно представляет искомую функцию f{x). Этот подход, к сожалению, является, эмпирическим.

5) Аппроксимационные и интерполяционные цепные дроби качественнее описывают приближаемые функции вблизи тех точек, в которые функции обращаются в бесконечность [5, 8, 23, 97].

6) Свойство цепных дробей мало накоплять погрешность с ростом числа звеньев цепной дроби имеет огромное значение для вычислительной математики [14, 23, 82, 66].

Так как теория цепных дробей обладает рядом замечательных свойств (рядом преимуществ) по сравнению с теорией степенных рядов, то целесообразно конструировать на основе теории цепных дробей эффективные численные методы, предназначенные для приближения функций (как одного, так и многих переменных) и решения уравнений. Проблема построения эффективных численных методов для решения задач алгебры, анализа, дифференциальных уравнений является актуальной.

Таким образом, предметом данного исследования являются численные методы, построенные на основе теории непрерывных дробей.

Целью диссертации является конструирование численных методов приближения функций и решения уравнений, доказательство их сходимости, вывод остаточных членов, выяснение скорости сходимости, сравнение на эффективность полученных методов и известных методов, предназначенных для решения тех же задач.

Поставленная цель требует решения следующих задач:

1. Построить итерационные методы уточнения отделенных простых вещественных корней скалярного уравнения f (x) = 0.

2. Приспособить полученные итерационные методы уточнения корней уравнения f (x)=0 для вычисления приближенных значений функций.

3. Обобщить таблицу Паде для отношения степенных рядов.

4. Построить таблицу Паде для тригонометрического ряда и ряда, сопряженного с ним.

5. Разработать комбинированные методы приближения функций двух переменных (аппроксимационный и интерполяционный).

6. Разработать методы вычисления определителей трехдиагональных и почти треугольных матриц.

7. Разработать прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональными и почти треугольными матрицами.

Методология и методы проведенных исследований. Решение поставленных задач основывается на использовании теории чисел, алгебры, численных методов и алгоритмов, рядов и непрерывных дробей.

Для целей исследования были использованы следующие типы цепных дробей: а) правильные С-цепные дроби (дробь Тиле) [8, 5, 23, 97]- б) присоединенные цепные дроби [23, 97, 82]- в) таблица Паде [4, 10]- г) интерполяционные цепные дроби [7, 73, 90, 30, 82]- д) восходящие цепные дроби [3, 99].

Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе теоретических результатов и формируемых на их основе выводов обеспечивается строгостью проводимых математических доказательств. Справедливость выводов относительно эффективности предложенных методов подтверждена численными расчетами.

Научная новизна полученных результатов заключается в следующем:

1. Разработаны итерационные методы высокого порядка для решения нелинейных скалярных уравнений.

2. Итерационные методы решения нелинейных скалярных уравнений приспособлены к вычислению приближенных значений функций одного переменного.

3. Показано, что аппарат цепных дробей является более плодотворным источником получения новых итерационных процессов, чем аппарат степенных приближений.

4. Показано, что аппроксимации Паде обладают самыми мощными аппрок-симационными возможностями для конструирования итерационных процессов высокого порядка по сравнению с другими типами цепных дробей.

5. Таблица Паде обобщена для отношения степенных рядов.

6. Построена таблица Паде для тригонометрического ряда и ряда, сопряженного с ним.

7. Предложены два комбинированных метода приближения функций двух переменных: аппроксимационный и интерполяционный.

8. Разработан метод вычисления определителей трехдиагональных матриц при помощи цепных дробей.

9. Разработан прямой метод решения систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей, основой которого является представление конечной восходящей цепной дробью первой либо последней координаты вектора решения.

10.Получено представление для определителей с почти треугольными матрицами в виде произведения конечных восходящих дробей.

11.Разработан прямой метод решения систем линейных алгебраических уравнений с почти треугольной матрицей, основой которого является представление конечной восходящей цепной дробью первой либо последней координаты вектора решения.

Практическая значимость полученных результатов.

1. Разработанные методы численного решения уравнений могут быть с успехом применены для математических моделей, основой которых являются нелинейные скалярные уравнениядифференциальные уравнения как обыкновенные, так и в частных производных, сводящиеся к разностным схемамсистемы линейных алгебраических уравнений как с матрицами специальной структуры, так и с матрицами общего вида.

2. Разработанные методы вычисления определителей матриц специальной структуры могут быть использованы в различных областях прикладной математики.

3. Разработанные методы приближения могут быть применены для вычисления приближенных значений функций, заданных аналитически или дискретно (таблично).

4. Некоторые результаты работы внедрены в учебный процесс Ставропольского. государственного университета: ведется дисциплина по выбору «Применение теории цепных дробей в вычислительной математике» для студентов старших курсов физико-математического факультета специальностей «Прикладная математика и информатика» и «Математика».

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1. Итерационные методы уточнения отделенных простых действительных корней скалярного уравнения /(х) = 0, построенные на основе цепных дробей.

2. Итерационные методы вычисления приближенных значений функций одного переменного, построенные на основе цепных дробей.

3. Обобщение таблицы Паде для отношения степенных рядов.

4. Таблица Паде для тригонометрического ряда и ряда, сопряженного с ним.

5. Комбинированные методы приближения функций двух переменных.

6. Методы вычисления определителей трехдиагональных и почти треугольных матриц при помощи конечных непрерывных дробей.

7. Прямые методы решения систем алгебраических уравнений с трехдиаго-нальными и почти треугольным матрицами при помощи конечных восходящих дробей.

Апробация результатов диссертации. Результаты исследований докладывались:

1. На заседаниях научно-методического семинара кафедры прикладной математики и информатики Ставропольского государственного университета.

1978 г., 1980 г., 1982 г., 1995;1998 гг., 2003;2006 гг.).

2. На заседаниях научного семинара «Цепные дроби» (1972;1975 гг., 1977;1982 гг.).

3. На научных конференциях преподавателей и студентов Ставропольского государственного университета (1995;2006 гг.).

4. На научно-методической конференции по математике преподавателей педвузов (г. Махачкала, 1975 г.).

5. На Всесоюзной научной конференции «Цепные дроби и их применение» (г. Львов, 1975 г.).

Онубликованность результатов. Материалы диссертации опубликованы в 20 научных работах.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы (содержащего 103 наименования). Основная часть работы изложена на 152 страницах машинописного текста, содержит 21 таблицу.

Выводы.

1. Построен метод вычисления определителей трехдиагональных матриц при помощи обыкновенных цепных дробей.

2. Сконструирован прямой метод решения систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей, в основе которого лежит представление первой либо последней координаты вектора решения в виде восходящей цепной дроби.

3. Разработан метод вычисления определителей почти треугольных матриц при помощи восходящих цепных дробей.

4. Предложен прямой метод решения систем линейных алгебраических уравнений с почти треугольной матрицей, в основе которого лежит представление первой либо последней координаты вектора решения в виде восходящей цепной дроби, частными числителями которой являются элементы матрицы, а частными знаменателями — восходящие дроби.

5. Построенный прямой метод решения систем линейных алгебраических уравнений с почти треугольной матрицей можно применять и к peineнию систем линейных уравнений с матрицей общего вида, сведя ее предварительно к системе с почти треугольной матрицей.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Проведенные в диссертационной работе исследования имеют своей целью разработать эффективные численные методы приближения функции и решения уравнений на основе цепных дробей.

Получены следующие научные и практические результаты.

1. Предложены новые итерационные методы высоких порядков для уточнения приближенных значений корней скалярных уравнений на основе приближения:

— данной функции /(х) конечной правильной С-цепной дробью (или дробью Тиле);

— функции, обратной функции /(х), конечной правильной Сцепной дробью;

— функции, обратной данной функции /(х), присоединенной цепной дробью;

— данной функции /(х) таблицей Паде;

— функции, обратной данной функции, таблицей Паде;

— данной функции /(х) интерполяционной линейной цепной дробью;

— функции, обратной данной функции /(х), интерполяционной линейной цепной дробью.

2. Итерационные методы, перечисленные в пункте 1 приспособлены к вычислению приближенных значений функций одного переменного.