Многогранники в школьном курсе математики, их склейки и развертки

Данные неизвестные ребра представляют собой длины диагоналей граней многогранника. При этом возникают уравнения в отношении данных неизвестных.

В некоторых ситуациях данные уравнения могут быть решены при помощи компьютера. После чего объём этого многогранника можно вычислить как сумму объёмов двух многогранников (более простых, чем первоначально заданный).

Самым сложным является то, чтобы удачно выбрать диагонали — неизвестные, построить такую систему уравнений, которая под силу компьютерной программе. Естественно, важно уметь построить программу решения системы уравнений.

Изобразим на примере вычисления объёма четырёхугольной пирамиды SABCD с заданными рёбрами и определённым комбинаторным строением метод разбиения многогранника на тетраэдры.

Таким образом, разобьём основание ABCD (произвольный четырёхугольник) пирамиды на две диагонали AC=y, BD=x.

Отметим, что четырёхугольная пирамида подверглась делению на 4 тетраэдра: SCDA, SABC, SDAB, SBCD.

Рисунок 2.4 — Четырёхугольная пирамида.

Объём каждого из них можно вычислить по их рёбрам, используя формулу (1). После этого суммируя некоторые два соответствующих тетраэдра SDAB и SBCD, SCDA и SABC, которые располагаются по различные стороны в отношении любой диагонали, получим объём всей четырёхугольной пирамиды.

Но изначально не известны длины диагоналей, которыми проводили разбиение основания. Данный факт несколько осложняет процесс вычисления объёма тетраэдра через длины рёбер. Но вычислить их можно. Если получить значения длин диагоналей основания четырёхугольной пирамиды, которые входят в список рёбер тетраэдров, которые получили после разбиения исходной пирамиды, то можно вычислить и объём самой четырёхугольной пирамиды.

Таким образом, рассмотрим основание пирамиды, которое представляет собой спроецированный тетраэдр на плоскости основания первоначальной пирамиды.

В таком случае, объём тетраэдра V (DABC)=0.

Четырёхугольник, который представляет собой основание исходной пирамиды, представляет сумму соответствующих пар треугольников, которые получаются в итоге разбиения основания диагоналями, а, следовательно, четырёхугольную пирамиду можно представить в качестве суммы двух соответствующих тетраэдров с соответствующими основаниями из таких треугольников:

V (SABC)+V (SCDA)=V (SBCD)+V (SDAB).

В результате, можно составить систему уравнений, в ходе решения которых можно получить значения длин диагоналей основания четырёхугольной пирамиды (значения неизвестных рёбер тетраэдров, которые получились из четырёхугольной пирамиды после разбиения её диагоналями) и вычислить объём исходной пирамиды.

Для упрощения процесса нахождения объёма четырёхугольной пирамиды и длин диагоналей вычисления проведём в системе Mathematica.

Составим программу по вычислению объёма четырёхугольной пирамиды через известные длины рёбер.

На первом этапе задаём значение рёбер пирамиды, включая диагонали основания:

d={1,1,1,1,1,1,1,1,y, x};

Для пирамиды, у которой все рёбра одинаковые, вычислить объём можно, но не настолько интересно. Поэтому рассмотрим разные способы значений длин рёбер четырёхугольной пирамиды, используя случайную величину Random[].

Вычислим объём для четырёхугольной пирамиды, если поменяем значения длин рёбер, к примеру, на 0.1 из списка d:

0.1xRandom[].

Зададим произвольный набор значений рёбер четырёхугольной пирамиды:

d=Table[If[i<9,d[[i]]+0.1*Random[], d[[i]]],{i, 10}].

Укажем формулу вычисления объёма тетраэдров, которые входят в состав четырёхугольной пирамиды, которые получили в процессе разбиения исходной пирамиды диагоналями в основании:

При этом в формуле вместо a, b, c, d, e, k укажем соответствующие рёбра пирамиды, которые стоят на соответствующих местах из списка d.

После этого спрограммируем полученные в ходе рассуждений выведенные уравнения:

V (DABC)=0, V (SABC)+V (SCDA)=V (SBCD)+V (SDAB) на язык Mathematica:

yy=NSolve[{V[d[[4]], d[[10]], d[[3]], d[[2]], d[[9]], d[[1]]]=0,.

V[d[[4]], d[[10]], d[[8]], d[[6]], d[[5]], d[[1]]].

+V[d[[2]], d[[10]], d[[6]], d[[8]], d[[7]], d[[3]]].

— V[d[[3]], d[[9]], d[[7]], d[[5]], d[[8]], d[[4]]].

— V[d[[1]], d[[9]], d[[7]], d[[5]], d[[8]], d[[4]]]=0},{x, y}].

В результате получим список значений длин диагоналей основания пирамиды (x, y). Данный список с вариантами значений длин диагоналей можно представить в виде множества чисел:

zz={x, y}/.yy.

Но не все полученные способы диагоналей будут подходить для решения задачи.

По теореме Коши: Два замкнутых выпуклых многогранника конгруэнтны, если между их гранями, вершинами и рёбрами есть сохраняющее инцидентность однозначное взаимно соответствие, при этом соответствующие грани многогранников конгруэнтны.

Говоря другими словами, грани многогранника совместно с правилом склейки полностью определяют выпуклый многогранник.

Определим значения длин диагоналей из полученного множества вариантов длин диагоналей для выпуклого многогранника:

Select[zz, Im[#[[1]]]==0&&Im[#[[2]]]==0&&Conjugate[#[[1]]]>0&& Conjugate[#[[2]]]>0&].

Получим конкретное значение длин диагоналей.

Таким образом, можно вычислить объёмы соответствующих тетраэдров V (SDAB) и V (SBCD) или V (SCDA) и V (SABC) по формуле (1), потом получить объём всей четырёхугольной пирамиды как сумму соответствующих тетраэдров V (SBCD)+V (SDAB) или V (SABC)+V (SCDA).

Представленная формула-программа универсальна тем, что получен алгоритм вычисления четырёхугольной пирамиды через заданные длины рёбер. В таком случае этот вывод можно использовать при нахождении объёма многогранников, которые можно разбивать не только на тетраэдры, но и на четырёхугольные пирамиды или на четырёхугольные пирамиды и тетраэдры совместно. Следовательно, получаем новый класс выпуклых многогранников, которые возможно сложно изобразить, но можно вычислить объём всего многогранника и показать его комбинаторное строение.

Но полученную формулу-программу можно несколько упростить, если рассуждения по её выводу провести несколько другим путем:

Рассмотрим четырёхугольную пирамиду SABCD с заданными длинами рёбер и заданным комбинаторным строением. Вычислим её объём.

Рисунок 2.5 — Четырёхугольная пирамида.

Разобьем основание пирамиды ABCD при помощи одной диагонали BD на два тетраэдра: SBCD и SABD.

Пусть BD=x.

По формуле (1) следует вычислить объёмы тетраэдров V (SABD) и V (SBCD), суммируем полученные результаты. Полученная сумма является объёмом четырёхугольной пирамиды. Но при этом возникает проблема нахождения диагонали BD.

Объём одной треугольной пирамиды SABD можно получить из произведения 1/3 площади основания пирамиды ABD и высоты Н:

V=(1/3)xSxH (2).

Таким же путем находится объём для другой треугольной пирамиды SBCD с основанием BCD и той же высотой Н.

Отметим, что высота является одной и той же для обеих треугольных пирамид.

Следовательно, по формуле (2) можно составить уравнение с одной неизвестной х:

3xV (SABD)xS (ABD)=3xV (SBCD)xS (BCD).

В итоге получим значение длины диагонали. Вычислим V (SBCD) и V (SABD) по формуле (1). Объём четырёхугольной пирамиды, как и в предыдущем примере, получим из суммы соответствующих тетраэдров, которые лежат по различные стороны диагонали BD.

Для более упрощённого решения также следует произвести вычисления в системе Mathematica:

d={1.1,0.9,1,1,1,1,1,1,x, y}.

V[a_, b_, c_, d_, e_, k_]: =1/12*(a²*d²*(b²+e²+c²+k²-a²-d²)+b²*e²*(c²+k²+a²+d²-b²-e²)+.

c²*k²*(a²+d²+b²+e²-c²-k²)-(b*c*d)^2-(c*a*e)^2-(a*b*k)^2-(d*e*k)^2)^(½);

yy=NSolve[{V[d[[4]], d[[10]], d[[3]], d[[2]], d[[9]], d[[1]]]=0,.

V[d[[4]], d[[10]], d[[8]], d[[6]], d[[5]], d[[1]]]+V[d[[2]], d[[10]], d[[6]], d[[8]], d[[7]], d[[3]]].

— V[d[[3]], d[[9]], d[[7]], d[[5]], d[[8]], d[[4]]]-V[d[[1]], d[[9]], d[[7]], d[[5]], d[[8]], d[[4]]]=0},{x, y}].

{{x™-1.45 504,y™1.37 256},{x™1.45 504,y™-1.37 256},{x™-0.44 518, y™0.461 119}, {x™0.44 518,y™-0.461 119}…}.

zz={x, y}/.yy.

{{-1.45 504,1.37 256}, {1.45 504,-1.37 256}, {-0.44 518,0.461 119}, {0.44 518,-0.461 119}…}.

Select[zz, Im[#[[1]]]==0&&Im[#[[2]]]==0&&Conjugate[#[[1]]]>0&& Conjugate[#[[2]]]>0&].

{{1.45 504,1.37 256},{0.44 518,0.461 119}}.

x=1.45 504;

y=1.37 256;

V[d[[4]], d[[10]], d[[8]], d[[6]], d[[5]], d[[1]]]+ V[d[[2]], d[[10]], d[[6]], d[[8]], d[[7]], d[[3]]].

0.239 474.

x=0.44 518;

y=0.461 119;

V[d[[4]], d[[10]], d[[8]], d[[6]], d[[5]], d[[1]]]+ V[d[[2]], d[[10]], d[[6]], d[[8]], d[[7]], d[[3]]].

0.124 056.

Таким образом, объём четырёхугольной пирамиды с рассматриваемым набором рёбер равняется 0.124 056.

Проведённое разбиение четырёхугольной пирамиды на тетраэдры в ходе нахождения объёма пирамиды позволяет расширить у учащихся представление о многогранниках, рассматривать разные методы изготовления моделей многогранников из развёрток, а именно: присоединить тетраэдр к одной из боковых треугольных граней четырёхугольной пирамиды.

Составленная выше формула-программа предлагает вычислить объём любой произвольной четырёхугольной пирамиды с любым набором длин рёбер, что обычным методом вычисления без компьютерных технологий оказалось бы достаточно сложным и трудоёмким. Открывает возможность вычисления объёма нового класса многогранников, которые получают из четырёхугольной пирамиды и нескольких или одного тетраэдра, нескольких четырёхугольных пирамид, которые присоединены четырёхугольными основаниями. Предлагает новые возможности для работы с многогранниками.

Задача на вычисление объёма многогранников имела важное значение в работах И. Х. Сабитова.

Представленный в данной главе подход к вычислению многогранников по их заданным длинам рёбер и комбинаторному строению полезно использовать на уроках в школьном курсе при исследовании стереометрии, на факультативных занятиях и в исследовании геометрии в вузах на семинарных и практических занятиях с применением компьютерных технологий.

Заключение

.

Следовательно, можно подвести следующие итоги.

Люди проявляли интерес к многогранникам на протяжении всей эволюции — от двухлетнего ребенка, который играет деревянными кубиками, до зрелого математика, который наслаждается чтением книг о многогранниках. Некоторые из правильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие — в виде вирусов. Пчелы строили шестиугольные соты задолго до появления человека, а в истории цивилизации создание многогранников наряду с другими типами пластических искусств уходит в глубь веков.

К сожалению, в школьном курсе математики вопросам о правильных многогранниках не уделено достаточного внимания.

Список использованных источников

.

Атанасян Л.С., Бутузов В. Ф. и др. Геометрия, 10 — 11: учеб. для общеобразоват. учреждений. — М.: Просвещение, 2006. — 256 с.

Моденов П. С., Пархоменко А. С. Геометрические преобразования. М.: Издательство МГУ, 1961. С 210−214.

2. Погорелов А. В. Геометрия: Учеб. для 10−11 кл. сред. шк. / А. В. Погорелов. — М.: Просвещение, 2014 — 175 с.

3. Сабитов И. Х. Объёмы многогранников. М.: МЦНМО, 2002. С 12−15.

Сабитов И. Х. Объёмы многогранников. М.: МЦНМО, 2002. С 12−15.

Погорелов А. В. Геометрия: Учеб. для 10−11 кл. сред. шк. / А. В. Погорелов. — М.: Просвещение, 2014 — 175 с.

Моденов П. С., Пархоменко А. С. Геометрические преобразования. М.: Издательство МГУ, 1961. С 210−214.

Атанасян Л.С., Бутузов В. Ф. и др. Геометрия, 10 — 11: учеб. для общеобразоват. учреждений. — М.: Просвещение, 2006. — 256 с.