Введение. 
Модель рынка с жесткой скупкой акции. (Обесценивание акции)

В этом разделе учебного пособия моделируется ситуация появления на рынке жесткого скупщика, который в случайный момент времени может изъять акцию из оборота, заплатив ее стоимость и до финального момента времени акция на рынке не появляется. Жесткий скупщик может придерживаться определенной стратегии (скупать акцию после первого падения стоимости, скупать акцию после первого подъема стоимости, может случайным образом комбинировать эти стратегии). Во всяком случае, стратегия жесткого скупщика считается неизвестной.

Начнем описание модели с описания стохастического базиса, который отличается от стохастического базиса модели Кокса-Росса-Рубинштейна.

Рис 3.1. Схема дробления атомов.

Стохастический базис и мартингальные меры

В любой дискретный момент времени на рынке происходят два события:

• ??= «акция скуплена» и
• ?= «акция продолжает функционировать». Событие

?=, событие.

?=.

Сигма-алгебра. При переходе от момента времени к моменту времени дробление атомов происходит по следующей схеме:

Переход означает, что акция, скупленная до момента, на рынок не возвращается; переход означает, что акция скупается жестким скупщиком в момент времени; переход означает, что акция продолжает функционировать.

В этой части пособия мы будем придерживаться несколько иного стиля изложения, и для дальнейшего нам понадобятся следующие обозначения.

Пусть, обозначим через Q— редуцированную меру на?F

: ,.

.

.

Приведем без доказательства следующую теорему.

Теорема 3.1. Следующие утверждения:

• 1) рынок — безарбитражный,
• 2) ,

3) ,.

эквивалентны.

Рассмотрим наиболее простую реализацию модели ценообразования. Наиболее простая реализация рассмотренной модели получается при следующей структуре дробления атомов:

Эта схема дробления накладывает ограничения на стратегию «жесткого скупщика». Если мы не хотим накладывать ограничений на стратегию «жесткого скупщика, то наиболее простая схема дробления атомов будет выглядеть следующим образом:

Переход означает падение цены акции, переход означает рост цены акции, подобно тому, как это происходит в модели Кокса-Росса-Рубинштейна.

Схема дробления, приведенная на рис. 3.3, порождает фильтрацию {ї, Ш},…,.

.

 — атомыалгебры. Разбиение проводится согласно формулам:

Рассмотрим на измеримом множестве множество вероятностных мер R ={P}, где вероятности Р таковы, что.

.

.

Определим на данном стохастическом базисе адаптированные последовательности.

и, выражающие, соответственно, стоимость рискового (акции, котировка валют и т. д.) и безрискового активов (банковского счета), >0, P-п.н. Тем самым мы определим (B, S) — рынок на стохастическом базисе. Измеримость относительно позволяет записать.

а , — индикаторы соответствующих событий.

Будем предполагать выполнение следующего неравенства:

которое отражает одно из, приведенных выше свойств модели.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3.2. Если выполняется неравенство.

то следующие утверждения:

• 1) -рынок — безарбитражен,
• 2)

k=1,2,…,-1, n=1,…, N-1,.

эквивалентны. При этом мартингальные меры вычисляются с помощью рекуррентных формул:

.

.

Доказательство.

Эквивалентность 1) и 2) вытекает из теоремы 3.1. Докажем (3.4).

=.

=.

=++.

+=+.

.

Таким образом,.

E (/) =+.

.

Отсюда и из равенства: E (/)= следует (3.4).