Оптимизация плана производства

1. Постановка основной задачи линейного программирования

1.1 Линейное программирование

Линейное программирование — это направление математического программирования, изучающее методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейным критерием. Такие задачи находят обширные приложения в различных сферах человеческой деятельности. Систематическое изучение задач такого типа началось в 1939;1940 гг. в работах Л. В. Канторовича.

К математическим задачам линейного программирования относят исследования конкретных производственно-хозяйственных ситуаций, которые в том или ином виде интерпретируются как задачи об оптимальном использовании ограниченных ресурсов.

Круг задач, решаемых при помощи методов линейного программирования достаточно широк. Это, например:

· задача об оптимальном использовании ресурсов при производственном планировании;

· задача о смесях (планирование состава продукции);

· задача о нахождении оптимальной комбинации различных видов продукции для хранения на складах (управление товарно-материальными запасами или);

· транспортные задачи (анализ размещения предприятия, перемещение грузов).

Линейное программирование — наиболее разработанный и широко применяемый раздел математического программирования (кроме того, сюда относят: целочисленное, динамическое, нелинейное, параметрическое программирование). Это объясняется следующим:

· математические модели большого числа экономических задач линейны относительно искомых переменных;

· данный тип задач в настоящее время наиболее изучен. Для него разработаны специальные методы, с помощью которых эти задачи решаются, и соответствующие программы для ЭВМ;

· многие задачи линейного программирования, будучи решенными, нашли широкое применение;

· некоторые задачи, которые в первоначальной формулировке не являются линейными, после ряда дополнительных ограничений и допущений могут стать линейными или могут быть приведены к такой форме, что их можно решать методами линейного программирования.

Экономико-математическая модель любой задачи линейного программирования включает: целевую функцию, оптимальное значение которой (максимум или минимум) требуется отыскать; ограничения в виде системы линейных уравнений или неравенств; требование неотрицательности переменных.

В общем виде модель записывается следующим образом:

целевая функция

(1.1)

при ограничениях

(1.2)

требования неотрицательности

(1.3)

где x_j — переменные (неизвестные);

— коэффициенты задачи линейного программирования.

Задача состоит в нахождении оптимального значения функции (1.1) при соблюдении ограничений (1.2) и (1.3).

Систему ограничений (1.2) называют функциональными ограничениями задачи, а ограничения (1.3) — прямыми.

Вектор, удовлетворяющий ограничениям (1.2) и (1.3), называется допустимым решением (планом) задачи линейного программирования. План, при котором функция (1.1) достигает своего максимального (минимального) значения, называется оптимальным.

1.2 Симплекс метод решения задач линейного программирования

Симплекс-метод был разработан и впервые применен для решения задач в 1947 г. американским математиком Дж. Данцигом.

Двумерные задачи линейного программирования решаются графически. Для случая N=3 можно рассмотреть трехмерное пространство и целевая функция будет достигать своё оптимальное значение в одной из вершин многогранника.

Допустимым решением (допустимым планом) задачи ЛП, данной в стандартной форме, называется упорядоченное множество чисел (х1, х2, …, хn), удовлетворяющих ограничениям; это точка в n-мерном пространстве.

Множество допустимых решений образует область допустимых решений (ОДР) задачи ЛП. ОДР представляет собой выпуклый многогранник (многоугольник).

В общем виде, когда в задаче участвуют N-неизвестных, можно сказать, что область допустимых решений, задаваемая системой ограничивающих условий, представляется выпуклым многогранником в n-мерном пространстве и оптимальное значение целевой функции достигается в одной или нескольких вершинах.

Базисным называется решение, при котором все свободные переменные равны нулю.

Опорное решение — это базисное неотрицательное решение. Опорное решение может быть невырожденным и вырожденным. Опорное решение называется невырожденным, если число его ненулевых координат равно рангу системы, в противном случае оно является вырожденным.

Допустимое решение, при котором целевая функция достигает своего экстремального значения, называется оптимальным и обозначается .

Решить данные задачи графически, когда количество переменных более 3 весьма затруднительно. Существует универсальный способ решения задач линейного программирования, называемый симплекс-методом.

Симплекс-метод — это универсальный метод решения задач ЛП, представляющий собой итерационный процесс, который начинается с одного решения и в поисках лучшего варианта движется по угловым точкам области допустимых решений до тех пор, пока не достигнет оптимального значения.

С его помощью можно решить любую задачу линейного программирования.

В основу симплексного метода положена идея последовательного улучшения получаемого решения.

Геометрический смысл симплексного метода состоит в последовательном переходе от одной вершины многогранника ограничений к соседней, в которой целевая функция принимает лучшее (или, по крайней мере, не худшее) значение до тех пор, пока не будет найдено оптимальное решение — вершина, где достигается оптимальное значение функции цели (если задача имеет конечный оптимум).

Таким образом, имея систему ограничений, приведенную к канонической форме (все функциональные ограничения имеют вид равенств), находят любое базисное решение этой системы, заботясь только о том, чтобы найти его как можно проще. Если первое же найденное базисное решение оказалось допустимым, то проверяют его на оптимальность. Если оно не оптимально, то осуществляется переход к другому, обязательно допустимому базисному решению. Симплексный метод гарантирует, что при этом новом решении целевая функция, если и не достигнет оптимума, то приблизится к нему (или, по крайней мере, не удалится от него). С новым допустимым базисным решением поступают так же, пока не отыщется решение, которое является оптимальным.

Процесс применения симплексного метода предполагает реализацию трех его основных элементов:

1. способ определения какого-либо первоначального допустимого базисного решения задачи;

2. правило перехода к лучшему (точнее, не худшему) решению;

3. критерий проверки оптимальности найденного решения.

Симплексный метод включает в себя ряд этапов и может быть сформулирован в виде четкого алгоритма (четкого предписания о выполнении последовательных операций). Это позволяет успешно программировать и реализовывать его на ЭВМ. Задачи с небольшим числом переменных и ограничений могут быть решены симплексным методом вручную.

1.3. Двойственная задача линейного программирования

С каждой задачей линейного программирования можно некоторым образом сопоставить другую задачу ЛП, называемую двойственной по отношению к исходной (прямой).

Под двойственной задачей понимается вспомогательная задача линейного программирования, формулируемая с помощью определённых правил непосредственно из условий прямой задачи. Заинтересованность в определении оптимального решения прямой задачи путём решения двойственной к ней задачи обусловлена тем, что вычисления при решении ДЗ могут оказаться менее сложными. Трудоёмкость вычислений при решении ЗЛП в большей степени зависит от числа ограничений, а не от количества переменных.

Дадим определение двойственной задачи по отношению к прямой задаче линейного программирования, состоящей, в нахождении максимального значения функции

функции

f =c₁x₁ + c₂x₂ + … + c_nx_n>max (1.4)

при условиях:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n? b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n? b₂

… (1.5)

a_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_mnx_n? b_m

x_j? 0 (j = 1, 2,… m, m? n).

Задача, состоящая в нахождении минимального значения функции

f*=b₁y₁ + b₂y₂ + … + b_my_m>min (1.6)

при условиях:

a₁₁y₁ + a₁₂y₂ + … + a_m1y_m? c₁

a₁₂y₁ + a₂₂y₂ + … + a_m2y_m? c₂

… (1.7)

a_1ny₁ + a_2ny₂ + … + a_mny_m? c_m

y_i? 0 (i = 1, 2, … k? m)

называется двойственной по отношению к задаче (1.4) — (1.5). Задачи (1.4) — (1.5) и (1.6) — (1.7) образуют пару задач, называемую в линейном программировании двойственной парой. Сравнивая две сформулированные задачи, видим, что двойственная задача составляется согласно следующим правилам:

Целевая функция исходной задачи задается на максимум, а целевая функция двойственной — на минимум.

1. Матрица

(1.8)

2. составленная из коэффициентов при неизвестных в системе ограничений (1.5) исходной задачи, и аналогичная матрица

(1.9)

в двойственной задаче получаются друг из друга транспонированием (т.е. заменой строк столбцами, а столбцов — строками).

3. Число переменных в двойственной задаче равно числу ограничений в системе (1.5) исходной задачи, а число ограничений в системе (1.7) двойственной задачи — числу переменных в исходной задаче.

4. Коэффициентами при неизвестных в целевой функции (1.6) двойственной задачи являются свободные члены в системе (1.5) исходной задачи, а правыми частями в соотношениях системы (1.7) двойственной задачи — коэффициенты при неизвестных в целевой функции (1.4) исходной задачи.

5. Если i-е соотношение в системе (1.5) исходной задачи является неравенством, то j-я переменная двойственной задачи y_j? 0. В противном случае переменная у_j может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Двойственные пары задач обычно подразделяют на симметричные и несимметричные. В симметричной паре двойственных задач ограничения (1.5) прямой задачи и соотношения (1.7) двойственной задачи являются неравенствами вида ««. Таким образом, переменные обеих задач могут принимать только лишь неотрицательные значения.

Двойственные пары задач обычно подразделяют на симметричные и несимметричные. В симметричной паре двойственных задач ограничения (1.5) прямой задачи и соотношения (1.7) двойственной задачи являются неравенствами вида ««. Таким образом, переменные обеих задач могут принимать только лишь неотрицательные значения.

Если одна из задач двойственной пары (1.4) — (1.5) или (1.6) — (1.7) имеет оптимальный план, то и другая имеет оптимальный план, и значения целевых функций задач при их оптимальных планах равны между собой, т. е. f max = f*min.

Если же целевая функция одной задачи из двойственной пары неограниченна (для исходной — сверху, для двойственной — снизу), то другая задача вообще не имеет планов.

2. Построение модели и решение задачи определения оптимального плана производства в ООО «Мельник»

Фабрика ООО «Мельник» специализируется на выпуске двух сортов теста: бисквитное и песочное. Для изготовления теста используются такие ингредиенты как яйца и сахар, так же затрачивается и ресурсы труда. Для изготовления бисквитного теста требуется 5 штук яиц и 0,3 килограмма сахара, для изготовления затрачивается 15 минут. А для изготовления песочного теста потребуется 2 яйца, 0,25 килограмма сахара и 30 минут затраченного времени. Стоимость 1 кг бисквитного теста 30 руб., а песочного 20 руб. Общий запас яиц равен 1000 шт., 75 кг сахара и 125 часов трудовых ресурсов.

2.1 Построение экономико-математической модели

1. Переменные задачи.

В задаче требуется установить, сколько продукции каждого вида надо производить, поэтому искомыми величинами, а значит, и переменными задачи являются суточные объемы производства каждого вида продукции:

х₁ — суточный объем производства бисквитного теста, (кг);

х₂ — суточный объем производства песочного теста, (кг).

2. Целевая функция.

В условии задачи сформулирована цель — добиться максимального дохода от реализации продукции, т. е. критерием эффективности служит параметр суточного дохода, который должен стремиться к максимуму. Чтобы рассчитать величину суточного дохода от продажи продукции обоих видов, необходимо знать объемы производства, т. е. x₁ и х₂ кг продукции в сутки, а также цены на продукцию бисквитного и песочного теста — согласно условию 30 и 20 руб. за 1 кг продукции соответственно. Таким образом, доход от продажи суточного объема производства продукции бисквитного теста равен 30х₁ руб. в сутки, а от продажи песочного теста — 20х₂ тыс. руб. в сутки. Поэтому запишем целевую функцию в виде суммы дохода от продажи продукции бисквитного и песочного теста.

(руб.).

3. Ограничения.

Возможные объемы производства продукции х₁ и х₂ ограничиваются следующими условиями:

— количество яиц, сахара и трудовых ресурсов, израсходованных в течение суток на производство теста обоих видов, не может превышать запаса этих ингредиентов на складе;

— объем производства продукции не может быть выражен отрицательными значениями.

Запишем эти ограничения в математической форме.

Ограничение по расходу яиц имеет вид:

(т/сутки).

Левая часть ограничения — это расчет расхода яиц на производство теста обоих видов. Расход яиц на производство 1 кг бисквитного теста — 5 шт.; на производство 1 кг песочного теста — 2 шт. Тогда на производство х₁ кг бисквитного теста и х₂ кг песочного теста потребуется (5х₁ + 2x₂) шт. яиц. Правая часть ограничения — это величина запаса яиц на складе — 1000 шт.

Аналогична запись ограничения по расходу сахара:

(кг).

Так же ограничение по трудовым ресурсам имеет вид:

(чел.-ч.)

Неотрицательность объемов производства задается как

Таким образом, математическая модель задачи имеет вид:

;

Экономико-математическая модель задачи состоит в том, чтобы найти такой план производства продукции, удовлетворяющий системе ограничений, при котором целевая функция принимает максимальное значение.

2.2 Определение оптимального плана производства симплексным методом

Приведем задачу к каноническому виду. Для этого в ограничения задачи введем дополнительные переменные х₃, х₄, х₅ и перепишем условие задачи в виде уравнений:

В качестве базисных переменных возьмем х₃, х₄, х₅, тогда небазисные — х₁, х₂. Полагаем х₁ = х₂ = 0, тогда х₃ =1000, х₄=75, х₅ =125.

1-я итерация.

Составляем первую симплексную таблицу, соответствующую исходному опорному решению (таблица 3):

или

Таблица 3

Все строки таблицы, за исключением индексной, заполняем по данным системы ограничений и целевой функции. Элементы последней строки рассчитываем:

и т.д.

В индексной строке две отрицательные оценки, значит, найденное решение не является оптимальным и его можно улучшить. В качестве разрешающего столбца следует принять столбец переменной х₁:

т. е. k =1.

За разрешающую строку принимаем строку переменной х₃:

т. е. s =1.

Разрешающим является элемент а₁₁=5, т. е. вводим в базис переменную х₁, выводим х₃.

2-я итерация.

Формируем следующую симплексную таблицу (таблица 4)

Таблица 4

Из таблицы 4 находим опорный план:

В индексной строке таблицы 4 имеется одна отрицательная оценка. Полученное решение можно улучшить. Разрешающим элементом является а₂₂=0,13

3-я итерация.

Формируем следующую симплексную таблицу (таблица 5).

Таблица 5

Из таблицы 5 находим опорный план:

Так как все оценки свободных переменных положительные, найденное решение является оптимальным:

Максимальная прибыль составит 6923 рублей, при этом необходимо произвести 153,8 кг бисквитного теста и 115,4 кг песочного теста. В оптимальном плане ресурсы яиц и сахара равны нулю (х₃=х₄=0), так как они используются полностью. А резерв трудовых ресурсов х₅ = 28,8, что свидетельствует о излишках.

Построение двойственной задачи

Оценки, приписываемые каждому виду ресурсов, должны быть такими, чтобы оценка всех используемых ресурсов была минимальной, а суммарная оценка ресурсов на производство единицы продукции каждого вида — не меньше цены единицы продукции данного вида.

Обозначим через y₁ — двойственную оценку дефицитности яиц, через y₂ — сахара, y₃ — трудовых ресурсов. Тогда прямая и двойственная задачи формулируются:

прямая задача

двойственная задача

Решение прямой задачи дает оптимальный план производства песочного и бисквитного теста, а решение двойственной задачи — оптимальную систему оценок ресурсов, используемых для производства:

Двойственные оценки ресурсов y_i^* — это оценочные коэффициенты _j дополнительных переменных х₃, х₄, х₅ в последней симплексной таблице.

Исходя из анализа оптимальных двойственных оценок, можно сделать следующие выводы.

Ресурсы яиц и сахара используются полностью. Полному использованию этих ресурсов соответствуют полученные оптимальные оценки y₁, y₂, отличные от нуля. Значит, трудовые ресурсы недоиспользуются (х₅ = 28,8 чел.-ч.).

2.3 Решение задачи оптимизации в табличном процессоре MS Excel

Для решения задач линейного программирования в MS Excel изначально мной был построен шаблон для ввода исходных данных.

Далее оптимальный план для поставленной задачи нашла с помощью функции «Поиск решения».

Рисунок 1 — Экранная форма задачи

Используя обозначения соответствующих ячеек в Excel, для расчета целевой функции была использована формула СУММПРОИЗВ, как сумма произведений соответствующих ячеек на соответствующие значения.

Левые части ограничений задачи представляют собой сумму произведений каждой из ячеек, отведенных для значений переменных задачи на соответствующую ячейку, отведенную для коэффициентов конкретного ограничения (таблица 7).

Таблица 7

Отчете по результатам (рис. 4). В этом отчете в столбцах «Результат» можно увидеть оптимальный план решения задачи: максимальную прибыль фабрики и производство двух сортов теста. А так же количество израсходованных ресурсов

Рисунок 2 — Окно «Поиск решения» после ввода всех необходимых данных

В конечном итоге у нас получился оптимальный план решения задачи.

Рисунок 3 — Экранная форма после получения решения

Рисунок 4 — Отчет по результатам

Отчет по устойчивости (рис. 5).В этом отчете можно увидеть оптимальное решение по производству теста. Так же допустимые приращения коэффициентов целевой функции, при которых сохраняется прежнее оптимальное решение и др.

Рисунок 5 — Отчет по устойчивости

Отчет по пределам изменений представлен на рис. 6.

В отчете показано, в каких пределах может изменяться выпуск продукции, вошедший в оптимальное решение, при сохранении структуры оптимального решения. Там же даны соответствующие оптимальные значения целевой функции.

Рис. 6 — Отчет по пределам

Заключение

В ходе курсовой работы были решены следующие основные задачи построена экономико-математическая модель задачи, определен оптимальный план производства симплексным методом и решена задача оптимизации в табличном процессоре MS Excel.

Максимальная прибыль фабрики по изготовлению теста составила 6923 рублей, при этом необходимо произвести 153,8 кг бисквитного теста и 115,4 кг песочного теста.

Исходя из анализа оптимальных двойственных оценок, можно сделать следующие выводы:

Запасы яиц и сахара используются полностью. Полному использованию этих ресурсов соответствуют полученные оптимальные оценки y₁, y₂, отличные от нуля. Значит, трудовые ресурсы недоиспользуются в размере 28,8 чел.-ч.

Увеличение количества яиц на 1 шт. приведет к тому, что появится возможность найти новый оптимальный план производства продукции, при котором общая прибыль возрастает на 2,31 руб. и станет равной 6923 + 2,31 = 6925,31 руб. Анализ полученных оптимальных значений новой прямой задачи показывает, что это увеличение общей прибыли достигается за счет увеличения производства бисквитного теста на 0,38 руб. и сокращения выпуска бисквитного теста на 0,4 руб. Вследствие этого использование трудовых ресурсов увеличится на 0,13 руб.

Точно так же увеличение на 1 кг. количества сахара позволит перейти к новому оптимальному плану производства, при котором прибыль возрастет на 61,54 руб. и составит 6984,5 руб., что достигается за счет уменьшения выпуска бисквитного теста на 3,07 руб. и увеличения выпуска песочного теста на 7,7 руб., причем объем используемых трудовых ресурсов увеличится на 3,07 руб.

Уменьшение количество запасов сахара на 15 кг приведет к тому что появится новый оптимальный план производства при котором общая прибыль уменьшится на 923 рубля, т. е. станет равен 6000 рублей.

Увеличение цены бисквитного теста с 30 до 40 рублей за 1 кг не изменит оптимальное решение, т.к. при анализе в отчете по устойчивости «Допустимое увеличение» равно 20, а это значит что при увеличении цены до 50 рублей за кг оптимальное решение не будет изменено.

симплекс производство двойственный excel

1. Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах. М., 2007.

2. Грешилов А. А. Прикладные задачи математического программирования. М., 2009.

3. Конюховский П. В. Математические методы исследования операций в экономике. — СПб: Питер, 2010

4. Хемди А. Таха.

Введение

в исследование операций. 7-е изд. — М.: «Вильямс», 2007.