Однополостный гиперболоид
Рассмотрим линии пересечения с плоскостями, параллельными плоскости OXY. Все уравнения линий пересечений будут получаться из уравнения плоскости, в котором z будет заменена на некоторое число, равное расстоянию от пересекающей плоскости до плоскости OXY. Для более наглядного представления, я изобразил все полученные кривые в виде проекций на плоскость OXY. Изображения кривых представлены выше… Читать ещё >
Однополостный гиперболоид (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Министерство высшего образования Российской Федерации
Московский государственный строительный университет
РЕФЕРАТ
На тему:
«Однополостный гиперболоид»
Факультет: ПГС
Группа: № 15
Студент: Муравицкий А.С.
Преподаватель: Ситникова Е.Г.
Москва
Поверхности второго порядка — это поверхности, которые в прямоугольной системе координат определяются алгебраическими уравнениями второй степени. К ним относится однополосный гиперболоид.
Однополосный гиперболоид.
Однополосным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
(1)
Из уравнения (1) вытекает, что координатные плоскости яв-ляются плоскостями симметрии, а начало координат — центром симметрии однополостного гиперболоида.
Уравнение (1) называется каноническим уравнением однополосного гиперболоида.
Если однополостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением (1) то оси Ох, Оу и Oz называются его глав-ными осями.
Установим вид поверхности (1). Для этого рассмотрим сечение ее координатными плоскостями Oxy (y=0) и Oyx (x=0). Получаем соответственно уравнения
и
из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.
Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся в сечении, определяется уравнениями
или
из которых следует, что плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями и ,
достигающими своих наименьших значений при h=0, т. е. в сечении данного гиперболоида координатной осью Oxy получается самый маленький эллипс с полуосями a*=a и b*=b. При бесконечном возрастании величины a* и b* возрастают бесконечно.
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить однополосный гиперболоид в виде бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся по мере удаления (по обе стороны) от плоскости Oxy.
Величины a, b, c называются полуосями однополосного гиперболоида.
Исследование поверхности методом параллельных сечений.
Суть метода заключается в выяснении формы линий пересечения поверхности с плоскостями, параллельными координатным плоскостям.
Рассмотрим линии пересечения с плоскостями, параллельными плоскости OXY. Все уравнения линий пересечений будут получаться из уравнения плоскости, в котором z будет заменена на некоторое число, равное расстоянию от пересекающей плоскости до плоскости OXY. Для более наглядного представления, я изобразил все полученные кривые в виде проекций на плоскость OXY. Изображения кривых представлены выше.
Величины a, b, c называются полуосями однополосного гиперболоида. Если a=b, то гиперболоид может быть получен вращением гиперболы с полуосями, а и с вокруг мнимой оси 2с.
Одним из примеров такой поверхности является конструкция радиобашни построенной по принципу сетчатых конструкций на Шаболовке (г. Москва), Владимиром Григорьевичем Шуховым в 1919 — 1922 гг. В прошедшем году исполнилось 80 лет Шаболовской радиобашне — символу советского телевидения 40−60-х годов.
Список использованной литературы:
1.Шипачёв В. С.: "Высшая математика"
2.В. А. Ильин, Э. Г. Позняк: «Аналитическая геометрия»
3.И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев «Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗОВ»