Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Ляпуновские величины и предельные циклы двумерных динамических систем

Диссертация: Ляпуновские величины и предельные циклы двумерных динамических систем
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Развитие метода асимптотического интегрирования траекторий позволило впервые получить новые конфигурации «больших» предельных циклов для квадратичных систем: двух — вокруг одного состояния равновесия (слабого фокуса первого порядка) и одного — вокруг другого состояния равновесия, а также трех — вокруг одного состояния равновесия и одного — вокруг другого состояния равновесия. Кроме того, в работе… Читать ещё >

Ляпуновские величины и предельные циклы двумерных динамических систем (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • 1. Символьные вычисления ляпуновских величин и малые предельные циклы
    • 1. 1. Введение
    • 1. 2. Ляпуновские величины
    • 1. 3. Классический метод вычисления ляпуновских величин Пуанкаре-Ляпунова
      • 1. 3. 1. Вычисление ляпуновских величин в евклидовом пространстве
      • 1. 3. 2. Вычисление ляпуновских величин в комплексном пространстве
    • 1. 4. Метод вычисления ляпуновских величин в евклидовом пространстве и во временной области
    • 1. 5. Символьные выражения ляпуновских величин
      • 1. 5. 1. Ляпуновские величины для общего вида полиномиальных систем
      • 1. 5. 2. Метод сведения квадратичных систем к системам Льенара
      • 1. 5. 3. Ляпуновские величины для систем Льенара
      • 1. 5. 4. Ляпуновские величины для квадратичных систем
    • 1. 6. Ляпуновские величины и малые предельные циклы
  • 2. Исследование больших предельных циклов
    • 2. 1. Введение
    • 2. 2. Один и два больших предельных цикла квадратичных систем
      • 2. 2. 1. Метод асимптотического интегрирования траекторий
      • 2. 2. 2. Критерии существования предельных циклов
      • 2. 2. 3. Визуализация области параметров, соответствующих существованию одного и двух больших предельных циклов
    • 2. 3. Три и четыре больших предельных цикла квадратичных систем
      • 2. 3. 1. Численное построение области коэффициентов, соответствующих существованию трех больших предельных циклов квадратичных систем
      • 2. 3. 2. Визуализация четырех больших предельных циклов квадратичных систем и исследование танца циклов

Исследование предельных циклов двумерных динамических систем стимулировалось как чисто математическими задачами (16-я проблема Гильберта, задача центра и фокуса /Davies & James, 1966/, /Петровский, 1970, Амелькин и др., 1982, Амелькин к, Садовский, 1982, Arnold, 1983, Christopher, Lloyd &- Pearson, 1995, Anosov et al., 1997/, /Садовский, 1997, Andrianova, 1998, Chavarriga & Grau, 2003/, /Андреев, 2003, Yu, 2005, Gine, 2007/), так и многими прикладными задачами /Андронов & Леонтович, 1956, Андронов и др., 1959/, /Андронов и др., 1966, Strogatz, 1994, Chicone, 1999, Mark Kot, 2001/, /Shilnikov et al, 2001, Anishchenko et al, 2002, Murray, 2003/, /Rockwood, 2006, Kuznetsov, 2008, Leonov et al, 2009, Jones et al, 2010/.

Так, к исследованию двумерных квадратичных систем приводит рассмотрение различных популяционных моделей в биологии /Колмогоров, 1972, May, 1976, Murray, 2003/ (например, модели «хищник — жертва» Лотка-Вольтерра), а уравнение Льенара описывает динамику различных механических и электронных систем /Леонов, 2006/. В таких моделях важную роль играют предельные циклы /Strogatz, 1994/.

Заметим также, что с вычислением ляпуновских величин (используемых в работе для изучения «малых» предельных циклов) тесно связан важный в инженерной механике вопрос о поведении динамической системы при значениях параметра близких к границе области устойчивости.

Баутин, 1939, Баутин, 1952, Marsden & McCracken, 1976/. Так, в случае двух комплексно-сопряженных характеристических корней двумерной системы в окрестности стационарной точки (критический случай) при пересечении границы устойчивости от отрицательных значений действительной части корней к положительным, если первая неравная нулю ля-пуновская величина отрицательна, граница является «безопасной». Напротив, если первая неравная нулю ляпуновская величина положительна, граница является «опасной», то есть при малых изменениях траектория может отойти бесконечно далеко от состояния равновесия.

В 1901 году Гильберт в своей знаменитой 16-й проблеме сформулировал задачу анализа взаимного расположения и числа предельных циклов двумерных полиномиальных систем. В настоящее время, по прошествии более ста лет, в рамках исследования этой задачи было получено большое количество теоретических и численных результатов (см.

список литературы

в обзорах /Ye, 1986, Lloyd, 1988, Reyn, 1994/). Но задача все еще далека от решения даже для класса квадратичных систем /Арнольд, 2005/.

Задача исследования предельных циклов двумерных квадратичных систем может быть условно разделена на исследование «малых» предельных циклов (локальная шестнадцатая проблема Гильберта) и изучение «больших» предельных циклов, то есть циклов, которые могут быть получены при помощи численных процедур /Регко, 1990/.

В работах Баутина /Баутин, 1949, Баутин, 1952/ с помощью метода ляпуновских величин и малых возмущений показано, что в квадратичных системах вокруг одного состояния равновесия может быть построено.

3 «малых» предельных цикла.

Затем в работах /Chen к Wang, 1979, Shi, 1980/ был найден класс квадратичных систем с 3 «малыми» предельными циклами в окрестности одного состояния равновесия и одним «большим» предельным циклом вокруг другого состояния равновесия. А в работах /Artes et al, 2006, Леонов, 2009/ приведены квадратичные системы с двумя «большими» предельными циклами.

Многочисленные публикации также посвящены развитию методов глобального анализа, вычислению ляпуновских величин и поиску максимального числа предельных циклов для различных классов двумерных полиномиальных систем (см., например, /Петровский к Ландис, 1957/, /Петровский к Ландис, 1959, Cesari, 1959, Черкас, 1973/, /Баутин & Леонтович, 1976, Shi, 1981, Ильяшенко, 1985/, /Виноградов к Осипов, 1987, Lloyd к Pearson, 1990, Perko, 1991/, /Zhang et al, 1992, Blows к Rousseau, 1993, Arnold et al, 1994/, /Blows к Perko, 1994, Gaiko, 1997, Lloyd к Pearson, 1997, Alwash, 1998/, /Roussarie, 1998, Lynch, 2001, Chavarriga к Grau, 2003, Li, 2003/, /Cherkas et al, 2003, Yu к Han, 2005, Artes et al, 2006, Gine, 2007/ и многие другие).

Изучаемая в работе проблема исследования предельных циклов остается актуальной и по сей день, что подтверждается тем фактом, что каждый год выходят в свет сотни научных работ (книг и статей), посвященных данной проблеме. Ниже приведено число публикаций по данной тематике за последние пять лет, иллюстрирующее растущий интерес к проблеме исследования предельных циклов (информация взята с сайта www.scien.cedirect.com):

2005 год — 634 публ.

2006 год — 693 публ.

2007 год — 848 публ.

2008 год — 789 публ.

2009 год — 1067 публ.

Таким образом, рассмотренные в работе проблемы вычисления ля-пуновских величин и исследования предельных циклов являются актуальными проблемами, имеющими большое значение как в математике, так и во многих других областях.

В данной работе рассматриваются различные методы вычисления ляпуновских величин, получены символьные выражения первых семи ляпуновских величин для общего вида системы Льенара, используемые для исследования «малых» предельных циклов. Следуя работе /Леонов, 2009/, для системы Льенара с разрывной правой частью описан метод асимптотического интегрирования, позволяющий локализовывать «большие» предельные циклы. С помощью процедуры сведения к виду системы Льенара /Черкас, 1976, Ьеопоу, 1998/ и метода асимптотического интегрирования в работе приведены простые условия существования одного и двух «больших» предельных циклов квадратичных систем.

Метод возмущения ляпуновских величин вместе с методом асимптотического интегрирования позволяют получить условия существования четырех предельных циклов квадратичных систем: двух «больших» предельных циклов в случае слабого фокуса второго порядка и одного «большого» предельного цикла в случае слабого фокуса третьего порядка.

Полученные здесь условия имеют очень простой вид и обобщают широко известную теорему Ши /Shi, 1980/.

Развитие метода асимптотического интегрирования траекторий позволило впервые получить новые конфигурации «больших» предельных циклов для квадратичных систем: двух — вокруг одного состояния равновесия (слабого фокуса первого порядка) и одного — вокруг другого состояния равновесия, а также трех — вокруг одного состояния равновесия и одного — вокруг другого состояния равновесия. Кроме того, в работе проведено исследование так называемого «танца циклов» (то есть преобразования конфигурации циклов в процессе постепенного изменения одного или нескольких коэффициентов системы).

Выводы. Таким образом, были проверены все возможные отклонения от набора коэффициентов а2 = —10, Ь2 = 2, с2 = 0.4, а2 = —1950, (32 = 0.13. по каждому из пяти коэффициентов при фиксации остальных коэффициентов. а1 =1 -Ы =1 -с1 =0-сс1=0-Р1=1- а2=-10-Ь2=1.96-с2=0.4-а2=-1950;Р2=0.13 а1=1-Ы=1-с1=0-а1=0-Р1=1-а2=-10-Ь2=1.97-с2=0.4даг=-1950;Рг=0.13 а1=1-Ы=1-о1=0-а =0-Р =1-а2=-10-Ь2=2.01-с2=0.4да2=-1950;Рг=0.13.

— 20 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 а1=1-Ь1=1 -с1 =0-а1=0-|31=1- а2=-10-Ь2=2.02-с2=0.4-а2=-1950;Р2=0.13.

— 50 0 50 100 150 200 250.

Рис. 2.21. «Танец циклов» при изменении коэффициента Ь2.

Рис. 2.22. «Танец циклов» при изменении коэффициента.

Показать весь текст

Список литературы

  1. Амелькин & Садовский, 1982. Амелькин В. В., Садовский А. П. 1982] Математические модели и дифференциальные уравнения// Минск. Изд-во «Вышэйшая школа».
  2. Андреев, 2003. Андреев А. Ф. 2003] Введение в локальную качественную теорию дифференциальных уравнений// С-Петербург. Изд-во С.-Петербургского ун-та.
  3. Андронов и др., 1959. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин, С. Е. 1959] Теория колебаний// Москва. Физматгиз.
  4. Андронов & Леонтович, 1956. Андронов А. А., Леонтович Е. А. 1956] Рождение предельных циклов из негрубого фокуса или центра и от негрубого предельного цикла// Математический сборник. № 40(82). С. 179−224.
  5. Андронов и др., 1966. Андронов A.A., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. 1966] Качественная теория динамических систем второго порядка// Москва. Наука.
  6. Арнольд, 2005. Арнольд В. И. 2005] Экспериментальная математика// Москва. Фазиис.
  7. Баутин, 1939. Баутин H.H. 1939] Об одном дифференциальном уравнении, имеющем предельный цикл// ЖТФ. № 9.
  8. Баутин, 1949. Баутин H.H. 1949] Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивостию// Ленинград. ОГИЗ: Гос-техиздат.
  9. Баутин, 1952. Баутин H.H. 1952] О числе предельных циклов, рождающихся при изменении коэффициентов из состояний равновесия типа фокус или центр// Мат. Сборник (Н.С.) Т. 30(72). Вып. 1. С. 181−196.
  10. Баутин к, Леонтович, 1976. Баутин Н. Н., Леонтович Е. А. 1976] Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости// Москва. Наука.
  11. Виноградов & Осипов, 1987. Виноградов В. В., Осипов A.B. 1987] О предельных циклах одной двумерной системы// Ред. журн. «Вести. Ленингр. ун-та». Деп. в ВИНИТИ. № 11 160-В87.
  12. Демидович, 1967. Демидович Б. П. 1967] Лекции по математической теории устойчивости// Москва. Наука.
  13. Демидович, 1969. Демидович В. Б. 1969] Об одном признаке устойчивости разностных уравнений// Дифференциальные уравнения. № 5(7). С. 1247−1255.
  14. Ильяшенко, 1985. Ильяшенко Ю. С. 1985] Мемуар Дюлака «О предельных цклах» и смежные вопросы локальной теории дифференциальных уравнений// Успехи мат. наук. Т. 40. Вып. 6. С. 41−78.
  15. Колмогоров, 1972. Колмогоров А. Н. 1972] Качественное изучение математических моделей динамики популяций// Проблемы кибернетики. Вып. 25. С. 100−106.
  16. Кузнецова, 2010. Кузнецова O.A. 2010] Шестая и седьмая ляпуновские величины для системы Льенара// Вестник Санкт-Петербургского Университета. Сер. 10. Вып. 4. С. 25−29.
  17. Кузнецова, 2010. Кузнецова O.A. 2010] Вычисление ляпуновских величин и существование предельных циклов// Труды XI международной конференции «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления». Москва. С. 229.
  18. Леонов, 2006. Леонов Г. А 2006] Теория управления// СПб. Изд-во Санкт-Петерб. ун-та.
  19. Леонов и др., 2008. Леонов Г. А, Кузнецов Н. В., Кудряшова Е. В. 2008] Циклы двумерных систем. Компьютерные вычисления, доказательства, эксперименты// Вестник Санкт-Петербургского государственного университета. Серия 1. № 3. С. 25−61.
  20. Леонов, 2009. Леонов Г. А. 2009] Предельные циклы уравнения Льенара с разрывными коэффициентами// Доклады Академии наук. Серия «Механика». № 426(1). С. 47−50.
  21. Леонов & Кузнецова, 2009. Леонов Г. А., Кузнецова O.A. 2009] Вычисление первых пяти ляпуновских величин для системы Льенара// Доклады академии наук. Том 425. JYa 1. С. 45−47.
  22. Леонов, 20 103. Леонов Г. А. 2010] Необходимые и достаточные условия ограниченности решений двумерных квадратичных систем в положительно инвариантной полуплоскости// Доклады академии наук. Серия «Математика». № 430(2). С. 157−159.
  23. Ляпунов, 1892. Ляпунов A.M. 1892] Общая задача об устойчивости движения// Харьков.
  24. Малкин, 1966. Малкин И. Г. 1966] Теория устойчивости движения// Москва. Наука.
  25. Петровский, 1970. Петровский И. Г. 1970] Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений// Москва. Наука.
  26. Петровский & Ландис, 1957. Петровский И. Г., Ландис Е. М. 1957] О числе предельных циклов уравнения dy/dx = Р (х, y)/Q (x, у), где Р и Q полиномы// Матем. сб. № 43(85). С. 149−168.
  27. Петровский к, Ландис, 1959. Петровский И. Г., Ландис Е. М. 1959] Поправки к статьям «О числе предельных циклов уравнения dy/dx = Р (х, y)/Q (x, у), где Р и Q полиномы// Матем. сб. № 48(90). С. 255−263.
  28. Садовский, 1997. Садовский А. П. 1997] Решение проблемы центра и фокуса для кубической системы нелинейных колебаний// Дифферент уравнения. Т. 33. № 2. С. 236−244.
  29. Черкас, 1973. Черкас JI.A. 1973] О циклах уравнения у' = Q2{x) у)/Р2(х. у)// Дифференциальные уравнения. Т. 9. JYS 3. С. 1422−1437.
  30. Черкас, 1976. Черкасс JI. А. 1976] Число предельных циклов автономной системы второго порядка// Дифференциальные уравнения. № 5. С. 666−668.
  31. Чжан, 1958. Чжан Чжи-Фэн 1958] Условие единственности предельного цикла для уравнения Льенара// Докл. АН СССР. Т. 119. Вып. 4. С. 659−663.
  32. Щуко, 1968. Щуко С. Д. 1968] Вычисление ляпуновских величин на ЭВЦМ// Труды Горьковского инст. инж. водного транспорта. JYe 94. С. 97−109.
  33. Alwash, 1998. Alwash М.А.М 1998] Computing the Poincare-Liapunov constants// Diff. Eqns. Dyn. Syst. 1998. № 6(3). P. 349−361.
  34. Andrianova, 1998. Adrianova L.Ya. 1998] Introduction to Linear systems of Differential Equations// American Mathematical Society. Providence. Rhode Island.
  35. Anishchenko et al., 2002. Anishchenko V.S., Astakhov V.V., Neiman A.B., Vadivasova T.E. & Schimansky-Geier L. 2002] Nonlinear Dynamics of Chaotic and Stochastic Systems// Springer. New York.
  36. Anosov et al., 1997. Anosov D. V., Aranson S. Kh., Arnold V. I., Bronshtein I. U., Grines V. Z., and Il’yashenko Yu. S. 1997]. Ordinary Differential Equations and Smooth Dynamical Systems// Springer. New York.
  37. Arnold, 1983. Arnold V.I. 1983] Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations// Springer. New York.
  38. Arnold et al., 1994. Arnold V.I., Afraimovich V.S., Ilyashenko Yu.S. & Shilnikov L.P. 1994] Bifurcation Theory// Dynamical Systems. Vol. 5. NY. Springer-Verlag.
  39. Artes & Llibre, 1997. Artes J. C., Llibre J. 1997] Quadratic Vector Fields with a Weak Focus of Third Order// Publications Mathematiques. № 41. P. 7−39.
  40. Artes et al., 2006. Artes J. C., Llibre J., Schlomiuk D.2006]. The geometry of quadratic differential systems with a weak focus of second order// International Journal of Bifurcation and Chaos. Na 16(11). P. 3127−3194.
  41. Blows & Lloyd, 19 841. Blows T.R. k Lloyd N.G. 1984] The number of limit cycles of certain polynomial differential equations// Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect, № A98. P. 215−239.
  42. Blows k Lloyd, 19 842. Blows T.R. k Lloyd N.G. 1984] The number of small-amplitude limit cycles of Lienard equations// Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. № 95. P. 359−366.
  43. Blows & Rousseau, 1993. Blows T. R. and Rousseau C. 1993] Bifurcation at infinity in polynomial vector fields// J. Differen. Eqn. № 104. P. 215 242.
  44. Blows & Perko, 1994. Blows T. R. and Perko L. M. 1994]. Bifurcation of limit cycles from centers and separatrix cycles of planar analytic systems// SIAM review. № 36(3). P. 341−376.
  45. Cesari, 1959. Cesari L. 1959] Asymptotic Behavior and Stability Problems in Ordinary Differential Equations// Springer. Berlin.
  46. Chavarriga &- Grau, 2003. Chavarriga J., Grau M. 2003] Some open problems related to 16th Hilbert problem// Sci. Ser. A Math. Sci. N.S. № 9. P. 1−26.
  47. Chen & Wang, 1979. Chen L. S. and Wang M. S. 1979] The relative position and number of limit cycles of the quadratic differential systems// Acta Math. Sinica. № 22. P. 751−758.
  48. Cherkas et al, 2003. Cherkas L. A., Artes J. C., and Llibre J. 2003] Quadratic systems with limit cycles of normal size// Buletinul Academiei de Stiinte a Republicii Moldova. Matematica. № 41(1). P. 3146.
  49. Chicone, 1999. Chicone C. 1999] Ordinary Differential Equations with Applications// Springer-Verlag. NY.
  50. Chow & Hale, 1982. Chow S.N. & Hale J.K. 1982] Methods of Bifurcation Theory// Springer-Verlag. NY.
  51. Christopher k Li, 2007. Christopher C. k Li Ch. 2007] Limit cycles of differential equations. Advanced Courses in Mathematics// Birkhauser Verlag. CRM Barcelona. Basel.
  52. Christopher, Lloyd k Pearson, 1995. Christopher C.J., Lloyd N.G., Pearson J.M. 1995] On Cherkas’s method for centre conditions// Nonlinear World. № 2. P. 459−469.
  53. Christopher k Lloyd, 1996. Christopher C., Lloyd N. 1996] Small-amplitude limit cycles in polynomial Lienard systems// NoDEA: Nonlinear Differential Equations and Applications. Vol. 3. № 2. P. 183 190.
  54. Christopher k Lynch, 1999. Christopher C.J. k Lynch S. 1999] Small-amplitude limit cycles bifurcations for Lienard systems with quadratic or cubic damping or restoring forces //Nonlinearity. № 12. P. 1099−1112.
  55. Davies k James, 1966. Davies, T.V. k James, E.M. 1966] Nonlinear differential equations// Addison-Wesley.
  56. Dumortier k Li, 1996. Dumortier F. k Li C. 1996] On the uniqueness of limit cycles surrounding one or more singularities for Lienard equations// Nonlinearity. № 9. P. 1489−1500.
  57. Dumortier et al, 2006. Dumortier F., Llibre J., and Artes J. 2006)] Qualitative Theory of Planar Differential Systems// Springer.
  58. Frommer, 1928. Frommer M. 1928] Die Integralkurven einer gewonlichen Differentialgleichungen erster Ordnung in der Umgebung rationaler Unbestimmtheitsstellen // Math Annalen. Bd. № 99. P. 222−272.
  59. Gaiko, 1997. Gaiko V.A. 1997] Qualitative theory of two-dimensional polynomial dynamical systems: problem, approaches, conjectures// Nonlin. Anal. 1997. № 30. P. 1385−1394.
  60. Gasull et al, 1997. Gasull A., Guillamon A., and Manosa V. 1997] An explicit expression of the first Liapunov and period constants with applications// J. Math. Anal. Appl. № 211. P. 190−212.
  61. Gasull k Prohens, 1997. Gasull A. k Prohens R. 1997] Effective computation of the first Liapunov quantities for a planar differential equation// Appl. Math. № 24(3). P. 243−250.
  62. Gine, 2007. Gine J. 2007] On some problems in planar differential systems and Hilbert’s 16th problem// Chaos, Solutions and Fractals. Vol. 31. P. 1118−1134.
  63. Han, 1999. Han M. 1999] Liapunov constants and Hopf cyclicity of Lienard systems// Ann. Diff. Eqns. № 15(2). P. 113−126.
  64. Jones et al., 2010. Jones D.S., Plank M.J., Sleeman B.D. 2010] Differential Equations And Mathematical Biology// CRC Press. London.
  65. Kudryashova et al., 2008. Kudryashova E.V., Kuznetsov N.V., Leonov G.A., Neittaanmaki P. 2008] Large cycles in a series of computer experiments// Abstracts of Int. conference «Space, astronomy and programming». P. 81.
  66. Kuznetsova k Leonov, 20 101. Kuznetsova O. A., Leonov G. A. 2010] Localization of limit cycles in two-dimensional dynamical systems//
  67. Proceedings of the Third International Conference on Dynamics, Vibration and Control. Hangzhou. P. 249−250.
  68. Kuznetsova &- Leonov, 20 102. Kuznetsova O.A., Leonov G.A. 2010] Computation of Lyapunov quantities and limit cycles// Proceedings of IFAC Workshop «Periodic Control Systems». Antalya. P. 8.
  69. Kuznetsov, 2008. Kuznetsov N. V. 2008]. Stability and Oscillations of Dynamical Systems: Theory and Applications// Jyvaskyla University Printing House.
  70. Kuznetsov & Leonov, 20 081. Kuznetsov N. V. and Leonov G. A. 2008] Computation of Lyapunov quantities// 6th EUROMECH Nonlinear Dynamics Conference. http://lib.physcon.ru/?item=1802.
  71. Mark Kot, 2001. Mark Kot 2001] Elements of Mathematical Ecology// Cambridge University Press.
  72. Marsden & McCracken, 1976. Marsden J. and McCracken M. 1976] Hopf bifurcation and its applications// Springer. New York.
  73. May, 1976. May R.M. 1976] Simple mathematical models with very complicated dynamics// Journal of Theoretical Biology. JV2 51. P. 511 524.
  74. Murray, 2003. Murray J.D. 2003] Mathematical Biology II: Spatial Models and Biomedical Applications// Springer-Verlag. New York. LLC.
  75. Perko, 1990. Perko L.M. 1990] Global families of limit cycles of planar analytic systems// Amer. Math. Soc. Vol. 322. P. 627−656.
  76. Perko, 1991. Perko L.M. 1991] Differential Equations and Dynamical Systems// Springer-Verlag. NY.
  77. Poincare, 1885. Poincare H. 1885] Memoire sur les courbes definies par lesequations diffeentielles// J. de. Mathematiques Pures et Appliquees. № 4. Vol. 1. P. 167−244.
  78. Reyn, 1994. Reyn J. W. 1994]. A bibliography of the qualitative theory of quadratic systems of differential equations in the plane. Third edition// Report 94−02. Delft University of Technology.
  79. Rockwood, 2006. Rockwood L.L. 2006] Introduction to Population Ecology// Blackwell Publishing Ltd.
  80. Romanovskii, 1993. Romanovskii V.G. 1993] On a calculation of Liapunov focus quantities in the case of two imaginary roots// Diff. Eqns. 1993. № 29. P. 782−787.
  81. Romanovskii, 1996. Romanovskii V.G. 1996] Grobner Basis Theory for Monoidal Rings and 16-th Hilbert Problem// Mat.-Report № 1996−08. Depart, of Math. Technical Univ. of Denmark.
  82. Roussarie, 1998. Roussarie R. 1998] Bifurcations of planar vector fields and Hilbert’s sixteenth problem. Progress in mathematics// Birkhauser. Vol. 164. Basel-Boston-Berlin.
  83. Rousseau, 1993. Rousseau C. 1993] Bifurcation methods in polynomial systems// Bifurcations and Periodic Orbits of Vector Fields//
  84. Schlomiuk. D. NATO ASI Series C. Vol. 408. P. 383−428. London: Kluwer Academic.
  85. Sabatini & Chavarriga, 1999. Sabatini M. and Chavarriga J. 1999] A survey of isochronous centers// Qualitative Theory of Dynamical Systems. № 1. P. 1−70.
  86. Shi, 1980. Shi S. L. 1980] A concrete example of the existence of four limit cycles for plane quadratic systems// Sci. Sinica. № 23. P. 153−158.
  87. Shi, 1981. Shi S.L. 1981] A method of constructing cycles without contact around a weak focus// Journal of Differential Equations. Vol. 41. P. 301 312.
  88. Shilnikov et al, 2001. Shilnikov L., Turaev D., and Chua L. 2001] Methods of Qualitative Theory in Nonlinear Dynamics: Part 2// World Scientific.
  89. Strogatz, 1994. Strogatz H. Steven 1994] Nonlinear Dynamics and Chaos. With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering// West view Press.
  90. Ye, 1986. Ye Yian-Qian 1986] Theory of Limit Cycles// Translations of. Math. Monograqphs. 66 Amer. Math. Soc. Providence.
  91. Yu, 1998. Yu P. 1998] Computation of normal forms via a perturbation technique// J. Sound Vibr. № 211. P. 19−38.
  92. Yu, 2005. Yu P. 2005] Bifurcation of limit cycles and Hilbert’s 16th problem// Jinhua. China.
  93. Yu & Chen, 2008. Yu P. and Chen G. 2008] Computation of focus values with applications// Nonlinear Dynamics. № 51(3). P. 409−427.
  94. Yu & Han, 2005. Yu P., Han M. 2005] Twelve limit cycles in a cubic case of the 16th Hilbert problem// Int. J. Bifurcations and Chaos. № 15(7). P. 2191−2205.
  95. Zhang et al, 1992. Zhang Zhi-Fen, Ding Tong-Ren, Huang Wen-zao, Dong Zhen-xi 1992] Qualitative theory of differential equations// AMS. Providence. Rhode Island.
Заполнить форму текущей работой

Сессия? Спокойно!