Показательно-степенные уравнения и неравенства

белгородский государственный университет

КАФЕДРА алгебры, теории чисел и геометрии

Тема работы: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

Дипломная работа студента физико-математического факультета

Научный руководитель:

______________________________

Рецензент: _______________________________

________________________

Белгород. 2006 г.

«…радость видеть и понимать…»

А.Эйнштейн.

В этой работе я попыталась передать свой опыт работы учителем математики, передать хоть в какой-то степени свое отношение к ее преподаванию — человеческому делу, в котором удивительным образом переплетаются и математическая наука, и педагогика, и дидактика, и психология, и даже философия.

Мне довелось работать с малышами и выпускниками, с детьми, стоящими на полюсах интеллектуального развития: теми, кто со-стоял на учете у психиатра и кто действительно интересовался математикой Мне довелось решать множество методических задач. Я попы-таюсь рассказать о тех из них, которые мне удалось решить. Но еще больше — не удалось, да и в тех, что вроде бы решены, появ-ляются новые вопросы.

Но еще важнее самого опыта — учительские размышления и сомнения: а почему он именно такой, этот опыт?

И лето нынче на дворе иное, и разворот образования стал поинтереснее. «Под юпи-терами» нынче не поиски мифической оптимальной системы обучения «всех и всему», а сам ребенок. Но тогда — с необходи-мостью — и учитель.

В школьном курсе алгебры и начал анализа, 10 — 11 класс, при сдаче ЕГЭ за курс средней школы и на вступительных экзаменах в ВУЗы встречаются уравнения и неравенства, содержащее неизвестное в основании и показатели степени — это показательно-степенные уравнения и неравенства.

В школе им мало уделяется внимания, в учебниках практически нет заданий на эту тему. Однако, овладение методикой их решения, мне кажется, очень полезным: оно повышает умственные и творческие способности учащихся, перед нами открываются совершенно новые горизонты. При решении задач ученики приобретают первые навыки исследовательской работы, обогащается их математическая культура, развиваются способности к логическому мышлению. У школьников формируются такие качества личности как целеустремленность, целеполагание, самостоятельность, которые будут полезны им в дальнейшей жизни. А также происходит повторение, расширение и глубокое усвоение учебного материала.

Работать над данной темой дипломного исследования я начала еще с написания курсовой. В ходе, которой я глубже изучила и проанализировала математическую литературу по этой теме, выявила наиболее подходящий метод решения показательно-степенных уравнений и неравенств.

Он заключается в том, что помимо общепринятого подхода при решении показательно-степенных уравнений (основание берется больше 0) и при решении тех же неравенств (основание берется больше 1 или больше 0, но меньше 1), рассматриваются еще и случаи, когда основания отрицательны, равны 0 и 1.

Анализ письменных экзаменационных работ учащихся показывает, что неосвещенность вопроса об отрицательном значении аргумента показательно-степенной функции в школьных учебниках, вызывает у них ряд трудностей и ведет к появлению ошибок. А также у них возникают проблемы на этапе систематизации полученных результатов, где могут в силу перехода к уравнению — следствию или неравенству — следствию, появиться посторонние корни. С целью устранения ошибок мы используем проверку по исходному уравнению или неравенству и алгоритм решения показательно-степенных уравнений, либо план решения показательно-степенных неравенств.

Чтобы учащиеся смогли успешно сдать выпускные и вступительные экзамены, я считаю, необходимо уделять больше внимания решению показательно-степенных уравнений и неравенств на учебных занятиях, либо дополнительно на факультативах и кружках.

Таким образом тема, моей дипломной работы определена следующим образом: «Показательно-степенные уравнения и неравенства».

Целями настоящей работы являются:

1. Проанализировать литературу по данной теме.

2. Дать полный анализ решения показательно-степенных уравнений и неравенств.

3. Привести достаточное число примеров по данной теме разнообразных типов.

4. Проверить на урочных, факультативных и кружковых занятиях как будет восприниматься предлагаемые приемы решения показательно-степенных уравнений и неравенств. Дать соответствующие рекомендации к изучению этой темы.

Предметом нашего исследования является разработка методики решения показательно-степенных уравнений и неравенств.

Цель и предмет исследования потребовали решения следующих задач:

1. Изучить литературу по теме: «Показательно-степенные уравнения и неравенства».

2. Овладеть методиками решения показательно-степенных уравнений и неравенств.

3. Подобрать обучающий материал и разработать систему упражнений разных уровней по теме: «Решение показательно-степенных уравнений и неравенств».

В ходе дипломного исследования было проанализировано более 20 работ, посвященных применению различных методов решения показательно-степенных уравнений и неравенств. Отсюда получаем.

План дипломной работы:

Глава I. Анализ литературы по теме исследования.

Глава II. Функции и их свойства, используемые при решении показательно-степенных уравнений и неравенств.

II.1. Степенная функция и ее свойства.

II.2. Показательная функция и ее свойства.

Глава III. Решение показательно-степенных уравнений, алгоритм и примеры.

Глава IV. Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры.

Глава V. Опыт проведения занятий со школьниками по данной теме.

1. Обучающий материал.

2. Задачи для самостоятельного решения.

Заключение

Выводы и предложения.

В I главе проанализирована литература по теме: «Решения показательно-степенных уравнений и неравенств».

В II главе теоретические сведения о степенной и показательной функциях и применение их свойств при решении показательно-степенных уравнений и неравенств, выявляются недостатки в понимании учащимися отрицательного аргумента показательно-степенной функции.

В III главе «Решение показательно-степенных уравнений, алгоритм и примеры» приведен полный анализ решения показательно-степенных уравнений, рассмотрен алгоритм решения показательно-степенных уравнений и примеры, и примеры в которых он применяется.

В IV главе «Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры» приведен полный анализ решения показательно-степенных неравенств и рассмотрен план решения показательно-степенных неравенств и примеры, в которых он применяется.

В V главе рассматривается методика обучения учащихся решению показательно-степенных уравнений и неравенств, приведен обучающий материал, разработана система заданий с учетом разного уровня сложности, которая содержит в себе задания используемые на уроке, задания для самостоятельного решения.

Глава II. Функции и их свойства, используемые при решении показательно-степенных уравнений и неравенств.

Для решения показательно-степенных уравнений и неравенств необходимо знать свойства показательной и степенной функции и уметь ими пользоваться. В этой главе мы рассмотрим данный вопрос.

II.1. Степенная функция и ее свойства.

Степенная функция с натуральным показателем. Функ-ция у = хⁿ, где n — натуральное число, называется степен-ной функцией с натуральным показателем. При n = 1 получаем функцию у = х, ее свойства:

Прямая пропорциональность. Прямой пропорциональ-ностью называется функция, заданная формулой у = kxⁿ, где число k называется коэффициентом пропорциональ-ности.

Перечислим свойства функции у = kx.

Область определения функции — множество всех действительных чисел.

y = kx — нечетная функция (f(— х) = k (— х)= — kx = -k(х)).

3) При k > 0 функция возрастает, а при k < 0 убывает на всей числовой прямой.

Гра-фик (прямая) изображен на рисунке II.1.

Рис. II.1.

При n=2 получаем функцию y = х², ее свойства:

Функция у —х². Перечислим свойства функции у = х².

Область определения функции — вся числовая прямая.

у = х²— четная функция (f(— х) = (— x)² = x² = f (х)).

На промежутке [0; + ??) функция возрастает.

В самом деле, если, то, а это и означает возрастание функции.

4) На промежутке (—оо; 0] функция убывает.

В самом доле, если, то — х_{1 > — х2 > 0, а потому}

(—х_{1)²> (— х2)², т. е., а это и означает убывание функции.}

Графиком функции y=х² является парабола. Этот график изображен на рисунке II.2.

Рис. II.2.

При n = 3 полу-чаем функцию у = х³, ее свойства:

Область определения функции — вся числовая прямая.

y = х³ — нечетная функция (f (— х) = { — x)² = — х³ = — f (x)).

3) Функция y = x³ возрастает на всей числовой прямой. График функции y = x³ изображен на рисунке. Он на-зывается кубической параболой.

График (кубическая парабола) изображен на рисунке II.3.

Рис. II.3.

Пусть n— произвольное четное натуральное число, большее двух:

n = 4, 6, 8,… . В этом случае функция у = хⁿ обладает теми же свойствами, что и функция у = х². График такой функ-ции напоминает параболу у = х², только ветви графика при |n| >1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при тем «теснее прижимаются» к оси х, чем больше n.

Пусть n — произвольное нечетное число, большее трех: n = = 5, 7, 9, …. В этом случае функция у = хⁿ обладает теми же свойствами, что и функция у = х³. График такой функции на-поминает кубическую параболу (только ветви графика тем круче идут вверх, вниз, чем больше n. Отметим также, что на промежутке (0; 1) график степенной функции у = хⁿ тем медленнее отдаляется от оси х с ростом х, чем больше n.

Степенная функция с целым отрицательным показа-телем. Рассмотрим функцию у = х^-n, где n — натуральное чис-ло. При n = 1 получаем у = х^-n или у = Свойства этой функции:

График (гипербола) изоб-ражен на рисунке II.4.

Пусть n — нечетное число, большее единицы,

n = 3, 5, 7, … . В этом случае функция у = х^-n обладает в основном теми же свойствами, что и функция у = График функции у = х^-n (n = 3, 5, 7, …) напоминает

Рис. II.4.

график функции у =. Пусть n — четное число, например п = 2. Перечислим не-которые свойства функции у = х^-2, т. е. функции y = .

Функция определена при всех х0.

y = четная функция.

y = убывает на (0; +оо) и возрастает на (—оо;0).

Теми же свойствами обладают любые функции вида y = х^-n при четном n, большем двух.

График функции у = изображен на рисунке. Ана-логичный вид имеет график функции, если n = 4, 6, … .

Функции вида, , обладают теми же свойствами, как и функция .

Степенная функция с положительным дробным показа-телем. Рассмотрим функцию у = х^r, где r — положительная несократимая дробь. Перечислим некоторые свойства этой функции.

Область определения — луч [0; + оо).

Функция ни четная, ни нечетная.

Функция у = х^r возрастает на [0; +оо).

Рис. II.5.

На рисунке II.5. изображен график функции Он заключен между графиками функций у = х² и у = х³, заданных на промежутке [0; + оо).

Подобный вид имеет график любой функции вида у = х^r, где .

На том же рисунке изображен график функции. Подоб-ный вид имеет график любой степенной функции у = х^r, где .

Степенная функция с отрицательным дробным пока-зателем. Рассмотрим функцию у = х^-r, где r — положительная несократимая дробь. Перечислим свойства этой функции.

Область определения — промежуток (0; + оо).

Функция ни четная, ни нечетная.

Функция у = х^-r убывает на (0; +оо).

Построим для примера график функции у — х таблицу значений функции:

Нанесем полученные точки на координатную плоскость и соединим их плавной кривой (см. рис. II.6.).

Подобный вид имеет график любой функции

у = х^r, где r — отрицательная дробь.

Рис. II.6.

II. 2. Показательная функция и ее свойства.

Функция, заданная формулой вида у = а^х, где а — некоторое положительное число, не равное единице, называется показатель-ной.

Функция у = а^х при а>1 обладает следующими свойст-вами (см. рис. II.7.):

а) область определения — множество всех действительных чисел;

б) множество значений — множество всех положительных чисел;

Рис. II.7.

в) функция возрастает;

г) при х = 0 значение функции равно 1;

д) если x > 0, то а^x > 1;

е) если х < 0, то 0 < а^х < 1.

3. Функция у = а^х при 0<�а< 1 обладает следующими свойст-вами (см. рис. II.8.):

а) область определения D(f)=R;

б) множество значений E(f)=R_+;

в) функция убывает;

г) при х = 0 значение функции равно 1;

д) если х > 0, то 0 < а^х < 1;

е) если х < 0, то а^х > 1.

Рис. II.8.

Глава III. Решение показательно-степенных уравнений, алгоритмы и примеры.

Так называются уравнения вида, где неизвестное находится и в показателе и в основании степени.

Можно указать совершенно четкий алгоритм решения уравнении вида. Для этого надо обратить внимание на то, что при а (х) не равном нулю, единице и минус единице равенство степеней с одинаковыми основаниями (будь-то положительными или отрицательными) возможно лишь при условии равенства показателей То — есть все корни уравнения будут корнями уравнения f(x) = g(x) Обратное же утверждение неверно, при а (х) < 0 и дробных значениях f(x) и g(x) выражения а (х) ^f(x) и

а (х)^g(x) теряют смысл. То — есть при переходе от к f(x) = g(x) (при и могут появиться посторонние корни, которые нужно исключить проверкой по исходному уравнению. А случаи а = 0, а = 1, а =-1 надо рассмотреть отдельно.

Итак, для полного решения уравнения рассматриваем случаи:

а (х) = О. Если при значении х, удовлетворяющем этому уравнению, f(x) и g{x) будут положительными числами, то это решение. В противном случае, нет

а (х) = 1. Корни этого уравнения являются корнями и исходного уравнения.

а (х) = -1. Если при значении х, удовлетворяющем этому уравнению, f(x) и g(x) являются целыми числами одинаковой четности (либо оба четные, либо оба нечетные), то это решение. В противном случае, нет При и решаем уравнение f(x)= g(x) и подстановкой полученных результатов в исходное уравнение отсекаем посторонние корни.

Примеры решения показательно-степенных уравнений.

Пример № 1.

Решение

1) x — 3 = 0, x = 3. т.к. 3 > 0, и 3² > 0, то x₁ = 3 — это решение.

2) x — 3 = 1, x₂ = 4.

3) x — 3 = -1, x = 2. Оба показателя четные. Это решение x₃ = 1.

4) x — 3? 0 и x? ± 1. x = x², x = 0 или x = 1. При x = 0, (-3)^{0 =} (-3)⁰ -верно это решение x₄ = 0. При x = 1, (-2)^{1 =} (-2)¹ — верно это решение x₅ = 1.

Ответ: 0, 1, 2, 3, 4.

Пример № 2.

Решение По определению арифметического квадратного корня: x — 1? 0, x? 1.

1) x — 1 = 0 или x = 1, = 0, 0⁰ это не решение.

2) x — 1 = 1 x ₁ = 2.

3) x — 1 = -1 x ₂ = 0 не подходит в ОДЗ.

4) =

Д = (-2) — 4*1*5 = 4 — 20 = -16 — корней нет.

Ответ: 2.

Пример № 3.

Решение

1) = 0 решения нет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.

2)? 0 т. е.. Тогда можем записать:

3) = 1. = 0

и

4) = -1 х = 0 или х = 1. При х = 0 = -1. (-1)^-1? (-1)⁰. Это не решение. При х = 1 (-1)⁰ = (-1)⁰. Это решение х₃ = 1.

5)? 0 и? ±1 имеем = 0, = -1 или

= 1. Эти корни уже учтены.

Ответ: -1, 1, 2.

Пример № 4.

Решение

1) При решений нет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.

при ,

2), .

3), .

(-1)⁰ = (-1)⁰ это решение.

.

4) и

или

При (-4)⁰ = 1 — верно.

Ответ: -1, 2, 4.

Пример № 5.

Решение

1), , это не решение.

2), и .

3) отрицательных значений основание не имеет. При и, , ,

х = 5, 3¹⁵ = 3¹⁵ — верно. х₃ = 5,

х = 2 — не является решением.

Ответ: 1,3,5.

Пример № 6

Решение

1) не дает решений, т.к. 0 ни в какой степени не равен 1.

2). или .

3) отрицательных значений не имеет.

4) При ,

т.к., то. Проверка 2⁰ = 1 — верно.

Ответ: -1, 1, 2.

Пример № 7

Решение

1), ,,. Это решение .

2), .

3), , — четное и -3х — четное. Это решение. х₂ = -4.

4) и, ,, , 4^-3 = 4^-3 — верно. .

Ответ: -4, -3, -2, 1

Пример № 8

Решение

ОДЗ: ,

,

и

Все решения принадлежат уравнению =2.

, и. Оба значения принадлежат к ОДЗ.

Ответ: -4, -1.

Пример № 9

Решение

ОДЗ:, , .

1) решений не имеет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.

При, или ,

ОДЗ, ОДЗ.

Значит все решения содержатся в уровнении = 0, или .

Проверка:, 2⁰ = 1 — верно.

 — верно.

Ответ: 0, 3/2.

Пример № 10

Решение

1) решений не дает, т.к. 0 в любой степени не равен 1.

2) При, ,. Все решения принадлежат уравнению. или .

3), и .

Второе решение не подходит, т. к,. А является решением

Ответ:, 2, 4.

Пример № 11

Решение

1), , и это решение .

2), .

3), , — четное, — нечетное. Это является решением.

4) или, ,, , .

Проверка: , — верно.

Но не является корнем!

Выражение (-1,5)^52,5, которое получается при проверке не имеет смысла, т.к. степень отрицательно числа имеет смысл только для целых показателей. Равенство = только для. Значит, отрицательное число можно возводить только в степень с целым показателем.

Ответ: -4, -2, -1.

Пример № 12

Решение

ОДЗ:. Значит 0,1 и -1 отпадают.

и все решения содержатся в уравнении.

,

Ответ: 5.

Пример № 13

Решение

1), ,. Это решение .

2), , .

3) отрицательных значений не имеет.

При или все решения в уравнении, и .

При , — верно. .

Ответ: -1, 2, 3, 4.

Пример № 14

Решение

ОДЗ:

1) При решений нет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.

При

2), и. — решение, а .

3) для всех. При и все решения содержатся в уравнении, или. При, .

При , — верно. .

Ответ: 4, 5.

Пример № 15.

Решение используя свойства логарифма и получили:

=

В первой части уравнения выполнили преобразования

. Получили уравнение. Все решения содержатся в уравнении.

или .

Ответ: 2.

Пример № 16

Решение ОДЗ:

Преобразуем знаменатель дроби в правой части уравнения

; .

, где

1) , — верно.

2) ,

Пасть, тогда

или .

Следовательно; или, , .

Ответ: 1, 0,1, 0, 0,01.

Пример № 17

Решение ОДЗ: и

Выполним преобразования.

+= 2+2

+= 4

Пусть, а ,

Следовательно, или

2*2^t = 4

2^t = 4/2

2^t = 2

t = 1

Ответ: 2.

Пример № 18

Решение ОДЗ:

;

Прологарифмируем обе части равенства:

где .

Умножим обе части уравнения на 2.

Пусть, тогда

или

1) ,

или

Ответ: 0.1, 10.

Пример № 19

Решение ОДЗ:

Обратите внимание ниоткуда не следует! Наоборот, из ОДЗ видно, что может быть отрицательным!

или

Оба значения в ОДЗ.

Так как возводили в квадрат, корни надо проверить.

 — верно.

 — верно.

Ответ: -3, 3.

Пример № 20

ОДЗ:

Возведем обе части уравнения в квадрат (т.к. они положительны, то посторонние корни не появляются)

или

Прологарифмируем по основанию 10.

или

1) или

Ответ: 0.01, 100.

Пример № 21

Решение ОДЗ:

Прологарифмируем по основанию 10.

где .

Пусть, тогда:

умножим на 4

или

1)

2)

Ответ: 0,0001, 10.

Пример № 22

Решение ОДЗ:

Заменим:, получим:

где .

Решаем уравнение:

; или

1); ;. .

2), ,, , .

;;; .

Ответ: 0,1, 1, 10.

Пример № 23

Решение

и

:

Подставим во второе уравнение вместо число 5, получим:

или

составляем систему уравнений:

Ответ: (13;8)

Пример № 24

Решение ОДЗ:

;

; или

.

Ответ: 5.

Пример № 25

Решение ОДЗ:

Прологарифмируем правую и левую части данного уравнения по основанию 10:

Получим:

или

Обозначив, перепишем записанное уравнение в виде:

.

Решая его относительно, находим, .

Используя обозначения, из первого решения квадратного уравнения имеем. Отсюда. Используя решение, получаем. Преобразуем правую часть этого уравнения:

. Значит,, т. е. .

Ответ: 30, 100.

Пример № 26

Решение Так как, то при и имеем равносильное уравнение:

или

.

Ответ: 5.

Пример № 27

Решение ОДЗ:

Так как обе части уравнения положительны, то прологарифмируем по основанию 10:

; или

1) 2)

Ответ: 0.1, 100.

Пример № 28

Решение ОДЗ:

Так как обе части уравнения положительны, то прологарифмируем по основанию 3:

и, поэтому Пусть, тогда

или .

1)

;

2)

Ответ:, 3.

Пример № 29

Решение

1), т.к. 0 в любой степени не равен 1.

2) = 1, =1,, или

=-1,, .

Так как 1 в любой степени равна 1, то это решения.

3) (т.к.)

При все решения принадлежат уравнению. или .

При = 0, что не удовлетворяет уравнению

Ответ:, .

.

.

Пример № 30

Решение ОДЗ:

=

1), , .

2) Так как, то остальные решения получаем из уравнения: Отсюда или. , и, .

Ответ:, -, и, .

Пример № 31

Решение

1) или, и. Это решение. .

2), и

3) Так как, то ;

;

;. Это решение.

Ответ:; 5; 3; 4.

Пример № 32

Решение

при всех

1) , — решений нет.

2). Потому при левая часть равна единице, а правая нет. Это решение.

3) ;

;

;

;

;

;

;

и ;

; ;

; ;

;

;

— решений нет.

Ответ: -3, 3.

Пример №33

Решить графически уравнение:

Решение У функции Д (y): x > 0 и log₂ x > 0, т. е.,

x > 1. обл. определения х > 1.

А теперь: (формула перехода к новому основанию и определение логарифма).

Тогда (определение логарифма:).

Так, что нужно только учитывать, что Д (у): x > 0.

Построим график функции (рис III.1).

у

0 1 4 х Рис. III.1.

Ответ: (4; 2).

Пример №34

Решить систему уравнений:

Решение:

По определению логарифма имеем:

.

Прологарифмируем первое уравнение системы по основанию х.

.

Из второго уравнения системы выразим у через х:

Тогда:

Пусть, , Д = (-5)² -4*1*4 = 9,, или .

1) 2)

Д = (-3)² — 4*1*(-4) = 25 пусть, тогда

или Д = (-1)² — 4*3*4 = -47<0

или корней нет

(-1,-1) — удовлетворяет ОДЗ

(4,4) решение системы уравнений.

Ответ: (4, 4).

Пример №35

Решите систему уравнений:

Решение.

По определению логарифма имеем:

Основание логарифма может быть:

1) (дробное)

(-1, 0) — не удовлетворяет ОДЗ.

2)

Выполним преобразования:

Прологарифмируем первое уравнение системы по основанию х:

,

или

Пусть, тогда

Д = (-)² -4*1*(-2) = 9

или

: (х+1)

где

;

1)

или

Решаем биквадратное уравнение Примем, тогда получим

D = 3² — 4*1*(-4) = 25

; или

а)

б); (не удовлетворяет ОДЗ)

— решение системы уравнений.

2)

или

— (не удовлетворяет ОДЗ)

D = (-1)² -4*4*3 = -47 — корней нет.

Ответ:. [ ]

Пример № 36

Решение Для любого х и ОДЗ этого уравнения состоит из всех х удовлетворяющих условию, т. е. ОДЗ есть множество всех х из промежутка на этом множестве. Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений.

и

Решаем ее.

принадлежат. Они и являются решениями исходного уравнения.

Ответ: .

Глава IV. Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры.

Неравенства вида (или меньше) при а (х)>0 и решаются на основании свойств показательной функции: для 0 < а(х) < 1 при сравнении f(x) и g(x) знак неравенства меняется, а при а(х) > 1 — сохраняется.

Самый сложный случай при а(х) < 0. Здесь можно дать только общее указание: определить, при каких значениях х показатели f(x) и g(x) будут целыми числами, и выбрать из них те, которые удовлетворяют условию Наконец, если исходное неравенство будет выполняться при а(х) = 0 или а(х) = 1 (например, когда неравенства нестрогие), то нужно рассмотреть и эти случаи.

Пример 1.

Решить неравенство:

2^3x:+⁷ < 2^2x-1.

Решение.

Здесь основание степени больше 1, поэтому, сравнивая показатели, запишем неравенство того же смысла: Зх + 7 < 2х — 1. Решив это неравенство, получим х < - 8.

Ответ: -8.

Пример 2.

Решить неравенство:

Решение.

Так как 625 = 25²=, то за-данное неравенство можно записать в виде

Так как 0 < 0,04 < 1, то, сравнивая показатели, запишем неравенство противоположного смысла 5х — х² — 8 = -2. Имеем последовательно

.

Решив последнее неравенство, полу-чим 2 х 3.

Таким образом множество решений заданного неравенства есть отрезок [2; 3].

Ответ: [2; 3].

Пример 3.

Решим неравенство

0,5^7-Зх < 4.

Решение Пользуясь тем, что 0,5 ^-2 = 4, перепишем заданное нера-венство в виде

0,5^7-Зх < 0,5^-2. Показательная функция y= 0,5^x убывает (основание 0,5 меньше 1). Поэтому данное не-равенство равносильно неравенству 7 — Зх > - 2, откуда х < 3.

Ответ: (— оо; 3).

Пример 4.

Решим неравенство

Показательная функция y = 6^x возрастает. Поэтому дан-ное неравенство равносильно неравенству х² + 2x > 3, решая которое, получим: (-оо; -3)

и (1; оо).

Ответ: (-оо; -3) и (1; оо).

Пример 5.

Решим неравенство:

Сделаем замену, тогда и неравенство перепишется в виде, откуда. Следовательно, решением данного неравенства являются числа х, удовлетворяющие неравенствам, и только такие числа. Но, , а функция убывает, поскольку < 1. Поэтому решением неравенств будут числа х, удовлетворяющие неравенствам — 2 < х < 1.

Ответ: (- 2; 1).

Пример 6.

Решение

1)

2 3 10

Изобразим на числовом луче Должны выполняться все три неравенства, т.к. это система. Но при взятое не выполняется. Решений нет.

2)

Изобразим на числовом луче

Если, то

— решение системы неравенств.

Остальные случаи не дают решений, т.к. или 1 не удовлетворяют условию, а при т. е. получаем отрицательные числа с дробными показателями степени.

Ответ:

Пример 7

Решение При, х = 2,5 или х = -1

При или можно записать .

При второе неравенство не выполняется. Система решений не имеет.

Изобразим на числовом луче решение системы неравенств

— 1 2,5 3

Система не имеет решений.

2)

Изобразим на числовом луче решение системы неравенств

решение системы неравенств.

3) , — выражение имеет смысл тогда, когда х — 3 — целое число, чтобы показатель х — 3 был целым числом. Таким образом х — целое число в промежутке (-1; 2,5) т. е. х может принимать значения 0,1,2.

Проверка:

При — верно.

При — верно.

При — верно.

4), х₂ = 2,5 и х₁ = -1

При х = -1 — не имеет смысла выражение 0^-4.

При х = 2,5, 0^2,5 — не имеет смысла.

5)

;

При; - верно.

При; - верно.

Ответ: или .

Глава V. Опыт проведения занятий со школьниками

по данной теме.

Анализируя опыт проведения занятий по решению показательно-степенных уравнений и неравенств с учащимися в старших классах я пришла к выводу, что недостаточно времени уделяется на решения заданий и упражнений по данной теме. Всего в школьном курсе на изучение математики отводится 850 часов, из них на решение всех уравнений и неравенств всего лишь 12% учебного времени, а на решение показательно-степенных уравнений и неравенств вообще ничтожное количество часов. Однако, используя факультативные занятия в старших классах, кружковую работу, элективные курсы можно значительно увеличить возможность учащихся реализовать себя, усилить их подготовку к выпускным и вступительным экзаменам.

Проводя занятия с учащимися я стараюсь больше внимания уделять решению конкретных заданий и упражнений, на основе чего строю алгоритм решения и создаю модель решения заданий одного вида или похожих между собой

Задачи для самостоятельного решения.

Решить уравнения.

1. Ответ: .

2. Ответ: 2.

3. Ответ: 7; 14.

4. Ответ: .

5. Найдите произведение корней уравнения

Ответ: .

6. Ответ: .

7. Ответ: .

8. Ответ: .

9. Ответ:

10. Ответ: .

11. Ответ: 2; 3; 4; 11.

12. Ответ: .

13. Ответ: .

14. Ответ: -2; 0; 2.

15. Ответ: 1; 4; 5.

16. Ответ: нет решений.

17. Ответ: 1; 10; 10^-3.

18. Ответ: 1; 8.

19. Ответ: -1; 1; 2.

20. Ответ: .

21. Ответ: 2; 10^-1; 10^-3.

22. Ответ: 0; 3.

23. Ответ: 0.

24. Ответ: .

25. Ответ: .

26.

Ответ: .

27. Ответ: .

28.

Ответ: .

29. Ответ: .

30. Ответ: .

31.

Ответ: .

32.

Ответ: .

33.

Ответ: .

34. Ответ: 0; 1.

35. Ответ: 1; 3.

36. Ответ: 0; 1; 5.

37. Ответ: 0; 5; 4.

38.

Ответ: .

39. Ответ: .

40. Ответ: .

41. Ответ: .

42. Ответ: .

43. Ответ: 1; 0,1; 0,01.

44.

45. Ответ: -2; -1; 3.

46. Ответ: -2; 0,6.

47. Ответ: .

48. Ответ: -4; -3,5; -2; -1.

49. Ответ: -0,2; 0,5; 1; 3.

50. Ответ: -2; 0,6.

Решить системы уравнений

1. Ответ: .

2. Ответ: (5;-1).

3. Ответ: .

4. Ответ: .

5. Ответ: .

6. Ответ: .

7. Ответ: .

8. Ответ: .

9. Ответ: .

10. Ответ: .

11.

Ответ: .

12. Ответ: .

13.

Ответ: .

14.

15.

16.

17.

Ответ: .

18.

Ответ: .

19.

Ответ: .

20. Ответ: .

21. Ответ: .

22. Ответ: .

23. Ответ: .

Решить неравенства.

1.

Ответ: если, то если то .

2. Ответ: .

3. Ответ: .

4. Ответ: .

5. Ответ: .

6. Ответ: .

7. Ответ: .

8. Ответ: .

9. Ответ: .

10. Ответ: .

11. Ответ: .

12. Ответ: .

13. Ответ: .

14. Ответ: .

15. Ответ: .

16. Ответ: .

17. Ответ: .

18. Ответ: .

19. Ответ: .

20. Ответ: .

21. Ответ: .

Заключение

.

Подводя итоги данного дипломного исследования, можно сделать следующие выводы:

1. Показательно-степенные уравнения и неравенства представляют интерес для их изучения и использования в курсах школьной математики и элементарной математики в ВУЗе. Между тем, почти во всех пособиях они, если и рассматриваются, то не полно или не точно.

2. Для этого вида уравнений и неравенств может быть предложен алгоритм решения. Наибольшие трудности могут встретиться при решении показательно-степенных уравнений и неравенств в случае, когда основание степени отрицательно.

3. Проведенные по теме: «Показательно-степенные уравнения и неравенства» на уроках и факультативных занятия в школе показали доступность этой темы для учеников, интересующихся математикой. Для таких занятий изготовлен задачник, содержащий более 70 показательно-степенных уравнений и неравенств.

Мое предложение — больше уделять времени решению показательно-степенных уравнений и неравенств, т.к. это поможет учащимся успешно сдать ЕГЭ и вступительные экзамены в ВУЗы.

Материал, приведенный в данной работе может служить методическим пособием в работе с учащимися на уроках и факультативах.

Список используемой литературы.

1. Авербух Б. Г., Рубинштейн А. И. Об определении степени и решении уравнений и неравенств, содержащих показательно степенную функцию.//Математика в школе. — 1996.-№ 2.-с.29−33.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10−11 классов общеобразовательных учреждений: Колмагоров А. Н., Абрамов А. М., Дудинцын Ю. П. и др.; Под редакцией Колмагорова А. Н. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002.

3. Белоненко Т. В., Васильев А. Е., Васильева Н. И., Крымская .Д. Сборник конкурсных задач по математике. — СПб.: Спецлитература, 1997.

4. Василенко Ю. К. Тождества, уравнения, неравенства: Пособие для повышения квалификации учителей математики. — Белаидит. Белгород, 2003.

5. Василюк Л. И., Куваева Л. А. Математика для абитуриентов: Справочник в экзаменационных вопросах и ответах. — Мн. Амалфея, 1999.

6. Давыденко И. О. Пособие по математике. Для поступающих в высшие учебные заведения (с анализом ошибок абитуриентов).- 2-е изд. — Томск, из-во Томского университета, 1973.

7. Дорофеев Г. В., Потапов М. К., Розов Н. Х. Математика для поступающих в ВУЗы. — М.: Дрофа, 2000.

8. Дудинцын Ю. П., Смирнова В. К. Содержание и анализ письменных экзаменационных работ по алгебре и началам анализа: Пособие для учителя. — М.: Просвещение, 1995.

9. Единый государственный экзамен: Математика: Контрольно-измерительные материалы./ Денищева Л. О., Бойченко Е. М., Глазков6 под редакцией Ковалевой Г. С; М-во образования Российской Федерацию — М.: Просвещение, 2003.

10. Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 1993.

11. Кутасов А. Д., Пиголкина Т. С., Чехлов В. И., Яковлева Т. Х.; под редакцией Яковлева Г. Н. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы.- 2-е изд.- М.: Наука, 1985.

12. Математика. Методические указания по подготовке к вступительным экзаменам./ СПбГИТМО. — СПб., 2000.

13. Нараленков М. И. Вступительные экзамены по математике. Алгебра: как решать задачи: Учебно-практическое пособие. — М.: Экзамен, 2003.

14. Норин А. В. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы: Учебное пособие. — Спб.: Питер, 2003.

15. Потапов М. К., Олейник С. Н., Нестеренко Ю. В. Конкурсные задачи по математике: Справочное пособие. — 2-е изд. — М.: Физмалит, 2001.

16. Потапов М. К., Александров А. В., Пасиченко П. И. Алгебра и начала анализа. Современный курс для поступающих в ВУЗы. — М.: Экзамен, 1998.

17. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы./ Под ред. Проф. Прилепко А. И. — М.: Высшая школа, 1983.

18. Симонов А. Я., Бакаев Д. С., Элельман А. Г. Система тренировочных задач и упражнений по математике. — М.: Просвещение, 1991.

19. Сканави М. И. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы. — М.: Просвещение, 1988.

20. Цыпкин А. Г., Пинский А. И. Справочник пособие по методам решения задач по математике для средней школы. — М.: Наука. ГРФМЛ, 1984.

21. Черкасов О. Ю., Якушев А. Г. Математика. Интенсивный курс подготовки к экзаменам. — М.: Рольф, 1997.

22. Шарыгин И. Ф. Математика. Для поступающих в ВУЗы: Учебное пособие. — 4-е изд. -М.: Дрофа, 2002.

23. Шарыгин И. Ф., Голубев В. И. Решение задач: Учебное пособие для 11 класса общеобразовательных учреждений. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 1995.

24. Шахно К. У. Сборник задач по элементарной математике повышенной трудности: Высшая школа, 1967.

25. Якушева Е. В., Попов А. В., Черкасов О. Ю., Якушев А. Г. Экзаменационные вопросы и ответы. Алгебра и начало анализа 9 и 11 выпускные классы: Учебное пособие.- М.: АСТ-Пресс, 2000.