Решение задач математического программирования

На рис. 6 представлен один из графиков функции полезности для двух групп товаров, на котором ограничение представлено в виде плосткости.Рис. 6. График функции полезности

Решение задачи средствами MathCADНа рис. 7 представлен листинг программы вычисления функции полезности квазиньютоновским методом.Рис. 7. Решение квазиньютоновским методом

На рис. 8 представлена программа решения задачи методом сопряженных градиентов

Рис. 8. Решение задачи методом сопряженных градиентов

На рис. 9 представлена программа решения задачи методом Левенберга-Марквардта.Рис. 9. методом Левенберга-Марквардта

Результаты решения задачи последним методом существенно отличаются от предыдущих. Это объясняется следующим. Метод Левенберга-Марквардта не поддерживается стандартными функциями оптимизации Maximizeи Minimaze. Для решения данной задачи необходимо использовать фунциюFind, которая в основном предназначена для решения нелинейных систем уравнений. В данном случае ищутся корни уравнения. Решение производится подбором значения функции для соблюдения бюджетного ограничения. Функция Findищет корни системы нелинейных уравнений. Для определения значений всех аргументов необходимо иметь пять нелинейных уравнений.

В нашем случае уравнений только два. Поэтому целевая функция и значения аргументов существенно отличаются от полученных ранее. Таким образом, использовать этот метод для решения задач данного типа не целесообразно. Графическая иллюстрация и анализ найденных решений

На рис. 10 приведен график, иллюстрирующий трехмерный график функции полезности. По оси отложены объемы потребления, по оси объемы потребления, по оси значения функции полезности. На самом деле функция полезности в данной задаче зависит от пяти параметров, т. е. является многомерной. Поэтому полностью такую функцию представить графически не представляется возможным.

На рис. 11 представлен график этой же функции, но зависящей уже от параметров и. Как видно из рисунка характер изменения функции аналогичен, как и в предыдущем случае.Рис. 10. График функции полезности для первой и второй групп товаров

Рис. 11. График функции полезности для третьей и четвертой групп товаров

На рис. 12 представлен график линий безразличия, которые представляют собой линии равного уровня функции полезности.Рис. 12. Линии безразличия

Оптимальному потребительскому набору будет соответствовать точка касания бюджетного ограничения одной из линий безразличия, соответствующей максимально достижимой полезности, так, как изображено на рис. 13Рис. 13. Определение оптимального потребительского набора

Охорзин В. А. Оптимизация экономических систем. Примеры и алгоритмы в среде Mathcad: Учеб.

пособие. — М.: Финансы и статистика, 2005. — 144 с. Орлова И. В. Экономико-математические методы и модели. Выполнение расчетов в среде EXCEL/ Практикум: Учебное пособие для вузов.

— М.: ЗАО «Финстатиноформ», 2000. — 136 с. Аладьев В. З. Программирование и разработка приложений в Maple: монография/В.З.Аладьев, В. К. Бойко, Е. А. Ровба.

— Гродно: ГрГУ;

Таллинн: Межд. Акад. Ноосферы, Балт. отд. — 2007, 458 с.