Расчет изменения температуры воды в водоеме по глубине

Коэффициенты температуропроводности aт, теплопроводности λт и теплопередачи α в решаемой и слагаемых задачах должны быть одинаковыми, за исключением случаев, в которых aт и λт меняются во времени.

Из изложенного следует, что для решения сложной тепловой задачи необходимо иметь набор решений простых задач. Авторы метода А. И. Пехович и В. М. Жидких разработали аналитические решения для 19 таких простых задач. Эти решения представлены в виде расчетных графиков в безразмерных координатах и сводной таблицы. Решения 19 задач позволяют рассчитать температуру воды в мелких, глубоких и очень глубоких водохранилищах, как при отсутствии ледяного покрова, так и при его наличии, а также в водохранилищах при их наполнении.

Безразмерные координаты графиков в зависимости от номера задачи (начальных и граничных условий) представлены искомой относительной избыточной температурой:

θи1 = (t — tп)/(t0 — tп); θи2 = (t — θ2)/(t0 — θ2); θи3 = (t — t0)/(bτ) и т. п., (2)

критерием Фурье

Fo = aтτ/h2, (3)

критерием Био

Bi = αh/ λт (4)

и относительной глубиной η = z/h, где t, t0, tп и θ2 — соответственно температура воды в точке, начальная и на поверхности, а также температура воздуха на высоте 2 м; b — коэффициент при линейном задании температуры поверхности воды или воздуха; aт — коэффициент турбулентной температуропроводности; τ — время; z и h — соответственно переменная и полная глубина водохранилища; α и λт — соответственно коэффициенты теплоотдачи и турбулентной теплопроводности.

Рассмотрим метод суперпозиции на примере решения конкретной тепловой задачи.

Требуется найти распределение температуры воды по глубине на конец третьей декады июня в слабопроточном водохранилище глубиной 40 м, если в начальный момент (1 июня) температура воды по глубине одинакова и равна 4 °C. Нагрев воды происходит в результате теплообмена с атмосферой, его ход показан на рис.

5.1 (схема 1): в течение первой декады (τ1) тепловой поток постоянен (Q1 = 150 Вт/м2), в течение двух последующих декад он возрастает, причем во второй декаде (τ2) со скоростью Q (о = 0,4 Вт/(м2· ч), а в третьей (τ3)—со скоростью Q (о = 0,3 Вт/(м2· ч). Коэффициенты турбулентной теплои температуропроводности воды соответственно равны: λт = 1000

Вт/(м· °С) и aт = 1 м2/ч.

Порядок расчета температуры воды по глубине водоема при названных выше условиях следующий.

Рис. 1. Разложение теплообмена с атмосферой (1) на составляющие (2, 3, 4)

1. Согласно принципу суперпозиции, раскладываем тепловой поток, приходящий на поверхность воды, на три составляющие (рис. 1, схемы 2, 3, 4). Первый поток Q1 действует в течение всего расчетного периода τ = τ1 + τ2 + τ3 = 30сут = 720ч. Второй поток действует с интенсивностью в течение периода τ2 + τ3 = 20сут = 480ч он равен Q2 = (τ2 + τ3) =0,4(τ2 + τ3) Вт/м2. Третий поток теплоты действует в течение периода τ3 = 10сут = 240ч. Так как действие второго потока интенсивностью мы распространили и на период τ3, в то время как в этот период она равна, т. е. ниже, чем во второй декаде, поэтому третий поток следует находить по формуле Q3 = () τ3 = - 0,1τ3 Вт/м2 (рис. 1, схема 4).

Итак, решение общей задачи находим в виде суммы решений трех задач — по числу соответствующих потоков (Q1, Q2, Q3).

2. Для каждой из трех задач устанавливаем начальные и граничные условия. В качестве начальных условий для первой задачи принимаем условия основной задачи: t0 = 4 °C. Тогда во второй и третьей задачах, согласно условию разложения сложной задачи на простые, в качестве начальных условий следует принять t02 = t03 = 0 °C. В первой задаче в качестве граничного условия на поверхности воды принят источник Q1 (теплообмен с атмосферой постоянный), во второй — Q2 (теплообмен с атмосферой возрастает) и в третьей — Q3 (теплообмен с атмосферой возрастает, но его рост ниже, чем во втором периоде).

Так как распределение температуры рассматривается в летний период (период отсутствия ледяного покрова), то для всех трех декад можно принять граничное условие на дне Таким образом, получено, что сумма начальных и граничных условий слагаемых задач в каждый момент времени равна условиям основной задачи.

3. Находим решение общей задачи в виде суммы решений трех задач. Для этого обращаемся к перечню решений 19 простых задач, разработанных А. И. Пеховичем и В. М. Жидких, и обнаруживаем, что первая задача совпадает с задачей № 6, а вторая и третья задачи — с задачей № 7 этого перечня (рис. 2). Причем во второй задаче в качестве Q0 (графа 5) необходимо принять, а в третьей — ().

Рис.

2. Решения слагаемых (простых) задач

Расчетная формула для определения температуры воды с учетом полученных решений для трех простых задач имеет вид

(5)

где относительная избыточная температура θиi определяемая формулами (2), находится по графикам, построенным для каждой задачи, в зависимости от критерия Фурье и относительной глубины η = z/h.

Результаты расчета температуры воды в водоеме по его глубине для рассматриваемого примера приведены в табл. 1.

Таблица 1

Расчет температуры воды по глубине водоема

Температура Глубина в задаче искомая I II III t=t1+t2+t3 Z м η = z/h θи1 t1 °С θи2 t2 °С θи3 t3 °С 0 0 0,78 8,68 0,122 3,12 0,048 —0,31 11,49 8 0,2 0,60 7,60 0,076 1,95 0,022 —0,14 9,41 16 0,4 0,46 6,76 0,045 1,15 0,012 —0,08 7,83 24 0,6 0,37 6,22 0,027 0,69 0,006 —0,04 6,87 32 0,8 0,31 5,86 0,017 0,43 0,002 —0,01 6,28 40 1 0,28 5,68 0,014 0,36 0,001 —0,01 6,03

В дифференциальное уравнение теплопроводности (1), используемое при решении тепловых задач методом суперпозиции, входит коэффициент турбулентной температуропроводности воды aт, зависящий не столько от температуры воды, сколько от перемешивания ее при течениях и ветровом волнении. Следовательно, этот коэффициент переменный по глубине водоема и во времени. В задачах же он принимается постоянным. Это допущение до настоящего времени убедительно не подтверждено данными наблюдений. Поэтому не представляется возможной оценка степени точности расчетов температуры воды этим методом. По-видимому, в некоторых конкретных случаях погрешность, вносимая указанным допущением, может быть значительной.

Заключение

Метод конечных разностей состоит в том, что в дифференциальном уравнении теплопроводности, которое следует решить, все бесконечно малые разности (дифференциалы) заменяются конечными, но малыми разностными величинами. Следовательно, истинное непрерывное в пространстве распределение температуры и непрерывный её ход во времени заменяется приближенными прерывистыми значениями, осредняющими температуру конечных малых участков тела Δx, Δy, Δz и малых промежутков времени Δτ. Достоинством метода является возможность решить весьма сложные задачи, в том числе для тел произвольной формы. Метод позволяет использовать ЭВМ. К недостаткам метода относятся отсутствие общего решения задачи, необходимость производства вычислений для всего тела и для всего периода, предшествующего моменту времени, для которого производится вычисление температуры, трудоемкость метода.

Список литературы

Готлиб Я. Л., Жидких В. М., Сокольников Н. М. Тепловой режим водохранилищ гидроэлектростанций. Л.:Гидрометеоиздат, 1976, 204

Поляков Б. В., Гидрологический анализ и расчёты, Л., 1946; Соколовский Д. Л., Речной сток, Л., 1968.

Рекомендации по термическому расчету водохранилищ: П 78−79. Л.:ВНИИГ им. Б. Е. Веденееева, 1986, 39с