Важное значение в задачах исследования качества адаптивных систем имеет не только решение игры, но и анализ платежной матрицы. Это особенно важно в тех случаях, когда решение в смешанных стратегиях не реализуется. Этот анализ может проводиться на основе: оценки возможных потерь эффективности в случае реализации чистой стратегии; определения дополнительных затрат на их компенсацию с помощью «гибких» конструкторских решений; оценки достоверности рассмотренных стратегий противодействия; определения возможности реализации компромиссных вариантов и т. д.
Для анализа конфликтной ситуации требуется на основе математической модели операции построить платежную матрицу [Wmn] =[Wij], где Wij характеризует качество изделия при выборе i-го варианта проектируемого изделия и при j-м варианте противодействия противника.
Решение может быть получено в чистых стратегиях, когда есть седловая точка. Условие седловой точки имеет вид.
.
где левая часть выражения — нижняя цена игры, правая — верхняя цена игры.
Если условие не выполняется, то седловая точка отсутствует и требуется реализация смешанной стратегии.
Решение в смешанных стратегиях состоит в реализации чистых стратегий с различными вероятностями, задаваемыми распределением:
для проектируемого изделия в виде вектора-столбца.
G = {gi}, где i = 1,2 …m; ;
для противодействия в виде вектора-строки.
F = {fj}, где j = 1,2 …n; ,.
где.
gi — вероятность выбора стратегии ui;
fj — вероятность выбора стратегии vj.
Платежную функцию запишем в следующем виде:
где индексом «т» обозначена процедура транспонирования.
Платежная функция W (G, F) всегда имеет седловую точку, т. е. всегда существует решение матричной игры. Это утверждение соответствует основной теореме теории матричных игр: каждая матричная игра с нулевой суммой имеет, по крайней мере, одно решение в чистых или смешанных стратегиях.
Последовательность решения игры следующая:
Анализируется платежная матрица на предмет исключения заведомо невыгодных и дублирующих стратегий.
Проверяется наличие седловой точки.
Если решение в чистых стратегиях отсутствует, то ищется решение в смешанных стратегиях с помощью методов линейного программирования или методом Монте-Карло.
Проведем вычисление с помощью описанных алгоритмов:
Найти оптимальные стратегии и цену игры, заданной платежной матрицей A. .
Проверим, имеет ли матрица седловую точку: наименьший элемент 1 в первой строке не является наибольшим в третьем столбце, наименьший элемент -5 во второй строке не является наибольшим в первом столбце, наименьший элемент -3 в третьей строке не является наибольшим во втором столбце. Седловой точки нет.
Удаляем доминирующие строки и столбцы. Доминирующая строка — все ее элементы не превосходят соответствующих элементов другой строки. Доминирующий столбец — все его элементы не меньше соответствующих элементов другого столбца. Доминирующая строка третья, доминирующий столбец — четвертый. Получим матрицу:
. Прибавим ко всем элементам матрицы число с=5, получим матрицу .
Составим пару симметричных двойственных задач.
Задача 1.
Задача 2.
Решим первую задачу симплекс-методом.
0 1 1 1 0 0.
Баз. 0 1 9 7 6 1 0 0 1 0 6 8 0 1 f 0 -1 -1 -1 0 0 1 1/9 1 7/9 6/9 1/9 0 0 1 0 6 8 0 1 g 1/9 0 -2/9 -3/9 1/9 0 1 2/72 1 20/72 0 1/9 -6/72 1 1/8 0 6/8 1 0 1/8 g 11/72 0 1/36 0 1/9 1/24.
Получим, .. Для матрицы получим цену игры и оптимальные стратегии игроков в игре с матрицей .
.
Для матрицы получим те же и, а. Для матрицы, А получим, .
Выполним проверку с помощью критерия оптимальности стратегий.
Критерий оптимальности стратегий выполняется.
Заключение
.
Принимая управленческие решения, необходимо руководствоваться соответствующими правилами. Они во многом зависят от поставленной цели. Руководитель, принимающий решение, сам выбирает, каким правилом ему воспользоваться.
Они делятся на две группы; 1) правила принятия решений без использования численных значений вероятностей исходов, и 2) правила принятия решений с использованием численных значений вероятностей исходов.
К первой группе относятся:
— максимаксное решение — максимизация максимума доходов;
— максиминное решение — максимизация минимума доходов.
В реферате рассмотрены методы принятия решений в условиях неопределенности, а также приведен пример работы с платежной матрицей.
Литература
Винн Р., Холден К.
Введение
в прикладной эконометрический анализ. — М.: Финансы и статистика, 1981.
Гейл Д. Теория линейных экономических моделей. — М.: ИЛ, 1963.
Гнеденко Б. В. Математика и контроль качества продукции.
М.:Знание, 1978. — 64 с.
Канторович Л. В. Математические модели организации и планирования производства. — Л.: ЛГУ, 1939.
Лотов А.В.
Введение
в экономико-математическое моделирование.
М.: Наука, 1984.
Моисеев Н. Н. Математика ставит эксперимент. — М.: Наука, 1979.
Моисеев Н. Н. Математические модели экономической науки. — М.:Знание, 1973.
Нейман Дж. фон, Моргенштейн О. Теория игр и экономическое поведение. — М.: Наука, 1970.
Фишберн П. Теория полезности для принятия решений. — М.:Наука, 1978.
Винн Р., Холден К.
Введение
в прикладной эконометрический анализ. — М.: Финансы и статистика, 1981.
Лотов А.В.
Введение
в экономико-математическое моделирование.
М.: Наука, 1984.
Моисеев Н. Н. Математические модели экономической науки. — М.:Знание, 1973.
Фишберн П. Теория полезности для принятия решений. — М.:Наука, 1978.
Моисеев Н. Н. Математика ставит эксперимент. — М.: Наука, 1979.
