Выбор вариантов в условиях неопределенности (Правила максимакса, максимикса)

Важное значение в задачах исследования качества адаптивных систем имеет не только решение игры, но и анализ платежной матрицы. Это особенно важно в тех случаях, когда решение в смешанных стратегиях не реализуется. Этот анализ может проводиться на основе: оценки возможных потерь эффективности в случае реализации чистой стратегии; определения дополнительных затрат на их компенсацию с помощью «гибких» конструкторских решений; оценки достоверности рассмотренных стратегий противодействия; определения возможности реализации компромиссных вариантов и т. д.

Для анализа конфликтной ситуации требуется на основе математической модели операции построить платежную матрицу [Wmn] =[Wij], где Wij характеризует качество изделия при выборе i-го варианта проектируемого изделия и при j-м варианте противодействия противника.

Решение может быть получено в чистых стратегиях, когда есть седловая точка. Условие седловой точки имеет вид.

.

где левая часть выражения — нижняя цена игры, правая — верхняя цена игры.

Если условие не выполняется, то седловая точка отсутствует и требуется реализация смешанной стратегии.

Решение в смешанных стратегиях состоит в реализации чистых стратегий с различными вероятностями, задаваемыми распределением:

для проектируемого изделия в виде вектора-столбца.

G = {gi}, где i = 1,2 …m; ;

для противодействия в виде вектора-строки.

F = {fj}, где j = 1,2 …n; ,.

где.

gi — вероятность выбора стратегии ui;

fj — вероятность выбора стратегии vj.

Платежную функцию запишем в следующем виде:

где индексом «т» обозначена процедура транспонирования.

Платежная функция W (G, F) всегда имеет седловую точку, т. е. всегда существует решение матричной игры. Это утверждение соответствует основной теореме теории матричных игр: каждая матричная игра с нулевой суммой имеет, по крайней мере, одно решение в чистых или смешанных стратегиях.

Последовательность решения игры следующая:

Анализируется платежная матрица на предмет исключения заведомо невыгодных и дублирующих стратегий.

Проверяется наличие седловой точки.

Если решение в чистых стратегиях отсутствует, то ищется решение в смешанных стратегиях с помощью методов линейного программирования или методом Монте-Карло.

Проведем вычисление с помощью описанных алгоритмов:

Найти оптимальные стратегии и цену игры, заданной платежной матрицей A. .

Проверим, имеет ли матрица седловую точку: наименьший элемент 1 в первой строке не является наибольшим в третьем столбце, наименьший элемент -5 во второй строке не является наибольшим в первом столбце, наименьший элемент -3 в третьей строке не является наибольшим во втором столбце. Седловой точки нет.

Удаляем доминирующие строки и столбцы. Доминирующая строка — все ее элементы не превосходят соответствующих элементов другой строки. Доминирующий столбец — все его элементы не меньше соответствующих элементов другого столбца. Доминирующая строка третья, доминирующий столбец — четвертый. Получим матрицу:

. Прибавим ко всем элементам матрицы число с=5, получим матрицу .

Составим пару симметричных двойственных задач.

Задача 1.

Задача 2.

Решим первую задачу симплекс-методом.

0 1 1 1 0 0.

Баз. 0 1 9 7 6 1 0 0 1 0 6 8 0 1 f 0 -1 -1 -1 0 0 1 1/9 1 7/9 6/9 1/9 0 0 1 0 6 8 0 1 g 1/9 0 -2/9 -3/9 1/9 0 1 2/72 1 20/72 0 1/9 -6/72 1 1/8 0 6/8 1 0 1/8 g 11/72 0 1/36 0 1/9 1/24.

Получим, .. Для матрицы получим цену игры и оптимальные стратегии игроков в игре с матрицей .

.

Для матрицы получим те же и, а. Для матрицы, А получим, .

Выполним проверку с помощью критерия оптимальности стратегий.

Критерий оптимальности стратегий выполняется.

Заключение

.

Принимая управленческие решения, необходимо руководствоваться соответствующими правилами. Они во многом зависят от поставленной цели. Руководитель, принимающий решение, сам выбирает, каким правилом ему воспользоваться.

Они делятся на две группы; 1) правила принятия решений без использования численных значений вероятностей исходов, и 2) правила принятия решений с использованием численных значений вероятностей исходов.

К первой группе относятся:

— максимаксное решение — максимизация максимума доходов;

— максиминное решение — максимизация минимума доходов.

В реферате рассмотрены методы принятия решений в условиях неопределенности, а также приведен пример работы с платежной матрицей.

Литература

Винн Р., Холден К.

Введение

в прикладной эконометрический анализ. — М.: Финансы и статистика, 1981.

Гейл Д. Теория линейных экономических моделей. — М.: ИЛ, 1963.

Гнеденко Б. В. Математика и контроль качества продукции.

М.:Знание, 1978. — 64 с.

Канторович Л. В. Математические модели организации и планирования производства. — Л.: ЛГУ, 1939.

Лотов А.В.

Введение

в экономико-математическое моделирование.

М.: Наука, 1984.

Моисеев Н. Н. Математика ставит эксперимент. — М.: Наука, 1979.

Моисеев Н. Н. Математические модели экономической науки. — М.:Знание, 1973.

Нейман Дж. фон, Моргенштейн О. Теория игр и экономическое поведение. — М.: Наука, 1970.

Фишберн П. Теория полезности для принятия решений. — М.:Наука, 1978.

Винн Р., Холден К.

Введение

в прикладной эконометрический анализ. — М.: Финансы и статистика, 1981.

Лотов А.В.

Введение

в экономико-математическое моделирование.

М.: Наука, 1984.

Моисеев Н. Н. Математические модели экономической науки. — М.:Знание, 1973.

Фишберн П. Теория полезности для принятия решений. — М.:Наука, 1978.

Моисеев Н. Н. Математика ставит эксперимент. — М.: Наука, 1979.