Нахождение площадей фигур и объемов с использованием определенного интеграла

Следовательно, dx и dy не необходимо нули или «мистически» актуально бесконечно малые; бесконечно малая — это переменная, имеющая пределом нуль, причем факт этот с противоречиями и парадоксами не связан.

Коши преодолел и вторую ограничительную тенденцию в принятой до него трактовке понятия предела. Он признал, что переменная может приближаться к своему пределу не только монотонно, но и, колеблясь, порой принимая значения, равные её пределу. Это обстоятельство придало теории Коши необходимую общность и исключительную гибкость. Мы до сих пор следуем пути, намеченному Огюстеном Луи Коши, с теми усовершенствованиями, которые были внесены во второй половине XIX века К. Вейерштрассом.

Работы Коши и Вейерштрасса завершили создание классического математического анализа, Тем самым, подведя итог многовекового развития интегрального исчисления.

Теперь рассмотрим уже доказанные и проверенные факты.

Интеграл В математическом анализе интегралом функции называют расширение понятия суммы. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием. Этот процесс обычно используется при нахождений таких величин как площадь, объём, масса, смещение и т. д., когда задана скорость или распределение изменений этой величины по отношению к некоторой другой величине (положение, время и т. д.).

Существует несколько различных определений операции интегрирования, отличающиеся в технических деталях. Однако все они совместимы, то есть любые два способа интегрирования, если их можно применить к данной функции, дадут один и тот же результат.

Согласно oсновной теореме анализа, интегрирование — операция, обратная к дифференцированию

Интегральное исчисление

В предыдущем подразделе мы дали определение понятию интеграла. Что такое же интегральное исчисление?

Интегральное исчислениераздел математики, в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов, и их приложения. Интегральное исчисление тесно связано с дифференциальным исчислением и составляет вместе с ним одну из основных частей математического анализа (или анализа бесконечно малых). Центральными понятиями интегрального исчисления являются понятия определённого интеграла и неопределённого интеграла функций одного действительного переменного.

Таким образом, интегральное исчисление это способы вычисления интеграла в конкретных условиях.

В этом разделе я привожу определения основных видов интегралов, также способы их вычисления, область применимости и основные различия их вычисления.

Типы интегралов Интеграл Римана Интеграл Лебега Интеграл Даниэля Кратный интеграл

Интеграл Римана Риман формализовал понятие интеграла, разработанное Ньютоном и Лейбницем, как площади подграфика (фигуры, заключенной между графиком функции и осью абсцисс). Для этого он рассмотрел фигуры, состоящие из нескольких вертикальных прямоугольников и получающиеся при разбиении отрезка (см. рисунок). Если при «размельчении» разбиения существует предел, к которому сходятся площади таких фигур (интегральные суммы), этот предел называется интегралом Римана функции на отрезке.

Интеграл Лебега

Интеграл Лебе́га — это обобщение интеграла Римана на более широкий класс функций. Все функции, определенные на конечном отрезке числовой прямой и интегрируемые по Риману, являются также интегрируемыми по Лебегу, причём в этом случае оба интеграла равны. Однако существует большой класс функций, определенных на отрезке и интегрируемых по Лебегу, но неинтегрируемых по Риману. Также интеграл Лебега может иметь смысл для функций, заданных на произвольных множествах.

Идея построения интеграла Лебега состоит в том, что вместо разбиения области определения подынтегральной функции на части и составления потом интегральной суммы из значений функции на этих частях, на интервалы разбивают её область значений, а затем суммируют с соответствующими весами меры прообразов этих интервалов.

Интеграл Даниэля

Одна из основных трудностей в использовании традиционного интеграла Лебега состоит в том, что его применение требует предварительной разработки подходящей теории меры. Существует другой подход, изложенный Даниэлем (Daniell) в 1918 году в его статье «Общий вид интеграла» («Annals of Mathematics», 19, 279), не имеющий этого недостатка и имеющий значительные преимущества при обобщении на пространства высших размерностей и дальнейших обобщениях (например, в форме интеграла Стильтьеса).

Глава II. Справочный материал

В этом разделе я привожу основные справочные материалы, которые могут понадобиться при интегральном исчислении. Здесь приведены основные формулы расчета интегралов, их свойства. То есть весь необходимый справочный материал для реализации интегрального исчисления.

Справочная информация необходима для того, чтобы в работе по и интегрированию, обратится к свойствам или иным важным материалам.

Определенный интеграл Определённый интеграл. Определённый интеграл функции f (x) с нижним пределом, а и верхним пределом b можно определить как разность где F (x) есть первообразная функции f (x); определение не зависит от того, какая из первообразных выбрана для вычисления определённого интеграла.

Неопределенный интеграл Неопределённый интеграл. Первообразная функции f (x) одного действительного переменного — функция F (x), производная которой при каждом значении х равна f (x). Прибавляя постоянную к первообразной какой-либо функции, вновь получают первообразную той же функции. Следовательно, имея одну первообразную F (x) функции f (x), получают общее выражение всех первообразных этой функции в виде F (x) + С. Это общее выражение первообразных называют неопределённым интегралом:

функции f (x). Одна из основных теорем интегрального исчисления устанавливает, что каждая непрерывная функция f (x) действительного переменного имеет неопределённый интеграл.

Таблица основных интегралов

Свойства неопределенного интеграла

1.

Два написанных равенства выражают взаимную обратность операций дифференцирования и интегрирования

2.

Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла

3.

Интеграл суммы равен сумме интегралов

4.

Формула замены интеграла

5.

Формула замены интегрирования по частям Задача по свойствам интеграла

Найдём интеграл

пользуясь 2 и 3 свойствами (линейность интеграла). Этот интеграл можно разбить на два интеграла, от каждого из слагаемых, и вынести в обоих постоянные множители за знак интеграла:

Нахождение площадей с помощью интеграла

— нахождение круга

проинтегрировав площадь круга, мы получили площадь известную нам.

— нахождение эллипсиса

нахождение одной волны синусоида

Мы, проинтегрировав эти фигуры, получили известные нам формулы.

Глава III Решение задач по интегрированию площадей Задача 1

Для открытия нового кафе в типографию пришел заказ на 20 бумажных светильников для зала.

Для изготовления одного светильника необходимо 6 клиньев, представленных на чертеже.

Необходимо узнать количество материала (рисовой бумаги), для изготовления одного фонарика.

Решение:

Для того чтобы вычислить количество материала на один светильник, состоящий из 6 клиньев, нужно найти площадь одного клина.

Задача 2

На полимерный завод поступил заказ на изготовление пластмассового забора для цветов. Известно, что забор состоит из 50 пластин.

Необходимо узнать, сколько материала потребуется рабочим для забора.

Решение Чтобы узнать, сколько пластмассы необходимо рабочему надо узнать площадь одной пластины забора.

Мы вычислили площадь пластины и таких деталей надо 50.

Глава IV Решение задач по интегрированию объемов Задача 3

После пожара в Троицком соборе, сгорел купол церкви. Строителям необходимо вычислить объем сгоревшего купола и узнать, сколько материала потребуется для нового купола.

Решение Необходимо проинтегрировать объем купола.

Задача 4

Церкви необходимо отлить из серебра новый колокол.

Необходимо вычислить объем колокола и узнать, сколько потребуется материала.

Решение

Заключение

В своей работе я привела основные понятия площади, объема, интеграла и интегрального исчисления.

Сначала я обозначила области применимости интегрального исчисления, то есть доказала, что тема действительно актуально и имеет широкое применение.

Затем я ввела основные формулы, понятия и свойства интегрального исчисления.

И только после этого я смогла решить некоторые задачи с помощью интегрального исчисления. Наиболее интересные задачи я привела в моей работе.

Таким образом, в ходе проведенной мной работы, я научилась интегрировать, как и простые, так и сложные фигуры. И убедилась в том, что интегральное исчисление действительно актуальная тема и имеет широкое и повсеместное применение.

Для того чтобы помочь усвоить данный материал другим школьникам и студентам или людям, которых эта тема заинтересовала, я подготовила презентацию для лучшего и наглядного изучения данной темы.

Список литературы

Бермант А. Ф., Араманович И. Г., Краткий курс математического анализа для втузов: Учебное пособие для втузов, М.: Наука, Главная редакция физико — математической литературы, 1971 г., 736с.

Боярчук А.К., Справочное пособие по высшей математике, М.: Сов. Энциклопедия, 2003 г., 415с.

Виленкин Н. Я., 10 класс, Алгебра и математический анализ, И.: Мнемозина, 2002, 336с.

Ред. Виноградова А. С., Математическая энциклопедия. Т.2; М.: Сов. Энциклопедия, 1979 г, 512с.

Гливенко В.И., Интеграл Стилтьеса. М.: Наука, 2001, 315с.

Киселев А. П., Рыбник Н. А., Учебник по геометрии для 10−11 классов, 1998 г, 521с.

Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И., Сборник задач по математическому анализу: Т.1: Предел, Непрерывность, Дифференцируемость, Учебное пособие, М.: Наука, 2006, 433с.

Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И., Сборник задач по математическому анализу: Т.2: Интегралы, Ряды, Учебное пособие, М.: Наука, 2006, 512с.

Курант Р., Роббинс Г., «Что такое математика?», И.: Мнемозина, 1997, 215с.

Ландау Э., Введение в дифференциальное и интегральное исчисление. Перевод с немецкого. Изд.2, 2005. 456 с.

Пискунов Н. С., Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, Том 2: Учебное пособие для втузов.-13-е М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985., 560с.

Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. Т.1; М.: Наука, 1968.

Шипачёв В. С., Высшая математика: Учебное пособие для втузов, М: Наука, 2003, 456с.

Детская энциклопедия для среднего и старшего возраста. Т.2; М.: Просвещение, 1965.

Ред. Виноградова А. С., Математическая энциклопедия.

Бермант А. Ф., Араманович И. Г., Краткий курс математического анализа для втузов, 419 с.

Киселев А. П., Рыбник Н. А., Учебник по геометрии для 10−11 классов, 489с.

Киселев А. П., Рыбник Н. А., Учебник по геометрии для 10−11 классов, 487с.

Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа, с. 256.

Бермант А. Ф., Араманович И. Г., Краткий курс математического анализа для втузов, 356 с.

Бермант А. Ф., Араманович И. Г., Краткий курс математического анализа для втузов, 389 с.

Бермант А. Ф., Араманович И. Г., Краткий курс математического анализа для втузов, с. 415.

Виленкин Н. Я., 10 класс, Алгебра и математический анализ, 186 с.

Пискунов Н. С., Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, с.

315.

Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И., Сборник задач по математическому анализу, с. 197.

Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И., Сборник задач по математическому анализу, 213с.

Функция задана на промежутке [о;π ]

Проинтегрируем площадь одной волны синусоида с помощью определенного интеграла.

Функция задана на промежутке [-R;R ]

Проинтегрируем площадь круга с помощью определенного интеграла.

Функция задана на промежутке [о;10 ]

Проинтегрируем объем колокола с помощью определенного интеграла.

Проинтегрируем площадь элипсиса помощью определенного интеграла.