Кривые второго порядка. 
Параболы и гиперболы

И наоборот, все лучи, приходящие из бесконечности и параллельные оси параболы, сойдутся в ее фокусе. Это свойство широко используется в технике. В прожекторах обычно ставят зеркало, поверхность которого получается при вращении параболы вокруг ее оси симметрии (параболическое зеркало). Источник света в прожекторах помещают в фокусе параболы. В результате прожектор дает пучок почти параллельных лучей света. Это же свойство используется и в приемных антеннах космической связи и в зеркалах телескопов, которые собирают поток параллельных лучей радиоволн или поток параллельных лучей света и концентрируют его в фокусе зеркала.

3. Общее уравнение линий второго порядка Уравнения кривых второго порядка с осями симметрии, параллельными координатным осям. Найдем сначала уравнение эллипса с центром в точке, оси симметрии которого параллельны координатным осям Ох и Оу и полуоси соответственно равны, а и b. Поместим в центре эллипса начало новой системы координат, оси которой и параллельны соответствующим осям Ох и Оу и одинаково с ними направленны .

В этой системе координат уравнение эллипса имеет вид

Так как, то в старой системе координат

уравнение эллипса запишется в виде

Аналогично рассуждая, получим уравнение гиперболы с центром в точке и полуосями, а и b.

и, наконец, параболы, изображенные на рисунке (1.10), имеют соответствующие уравнения.

Уравнение Ac2 + Су2 + 2Dx + 2Еу + F = О Уравнения эллипса, гиперболы, параболы и уравнение окружности после преобразований (раскрыть скобки, перенести все члены уравнения в одну сторону, привести подобные члены, ввести новые обозначения для коэффициентов) можно записать с помощью единого уравнения вида

(1.9)

где коэффициенты, А и С не равны нулю одновременно.

Возникает вопрос: всякое ли уравнение вида (1.9) определяет одну из кривых (окружность, эллипс, гипербола, парабола) второго порядка?

Ответ дает следующая теорема.

Теорема: Уравнение (1.9) всегда определяет: либо окружность (при А=С), либо эллипс (при, А • С > 0), либо гиперболу (при, А • С < 0), либо параболу (при АС = 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) — в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы — в пару пересекающихся прямых, для параболы — в пару параллельных прямых.

Пример 1. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением

Решение: Предложенное уравнение определяет эллипс. Действительно, проделаем следующие преобразования:

Получилось каноническое уравнение эллипса с центром в и полуосями и .

Пример 2. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением х2 + 10х — 2у + 11 = 0.

Решение: Указанное уравнение определяет параболу (С = 0). Действительно,

.

Получилось каноническое уравнение параболы с вершиной в точке и.

Пример 3. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением.

Решение: Преобразуем уравнение:

Это уравнение определяет две пересекающиеся прямые Общее уравнение второго порядка

Рассмотрим теперь общее уравнение второй степени с двумя неизвестными:

Ax2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Еу + F == 0. (1.10)

Оно отличается от уравнения (1.10) наличием члена с произведением координат. Можно, путем поворота координатных осей на угол, преобразовать это уравнение, чтобы в нем член с произведением координат отсутствовал.

Используя формулы поворота осей

выразим старые координаты через новые:

Выберем угол так, коэффициент при обратился в нуль, т. е. чтобы выполнялось равенство

т.е.

(1.11)

т.е.

Отсюда

(1.12)

Таким образом, при повороте осей на угол, удовлетворяющий условию (1.12), уравнение (1.10) сводится к уравнению (1.9).

Вывод: общее уравнение второго порядка (1.10)определяет на плоскости (если не считать случаев вырождения и распадения) следующие кривые: окружность, эллипс, гиперболу, параболу.

1. Аристов С. А. Имитационное моделирование экономических процессов. Учебное пособие, Екатеринбург, 2003

1. Гусак А. А. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Справочное пособие к решению задач, Минск, 2001

2. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. Москва, 1986

3. Ильин В. А., Позняк Э. Г. «Аналитическая геометрия «, 1988

4. Ильин В. А., Позняк Э. Г. «Линейная алгебра «, 1988

5. Беклемишев Д. В. «Курс аналитической геометрии и линейной алгебры «, 1985

6. Курош А. Г. «Курс высшей алгебры «, 1975

7. Цубербиллер О. Н. «Задачи и упражнения по аналитической геометрии «, 1970

8. Фаддев Д. К., Соминский И. С. «Сборник задач по высшей алгебре «, 1977