Дифференциальная формула Шлефли и её приложение к решению задач классической геометрии

Доказательство окончено.

Объем симметричного сферического тетраэдра.

В случае симметричного сферического тетраэдра в работе [2] также приводится интегральное представление для его объема.

Теорема 3. Объем симметричного сферического тетраэдра равен.

.

где.

.

.

,.

Логика доказательства этой теоремы полностью аналогина логике приведенного доказательства теоремы 2 и также опирается на формулу Шлефли (1.2), которая для симметричного сферического тетраэдра вместо (2.4) в наших обозначениях принимает вид Заключение.

Была рассмотрена известная дифференциальная формула Шлефли и приведены два примера ее применения для вычисления объемов симметричных тетраэдров в гиперболическом и сферическом пространствах.

Литература

Д. В. Алексеевский, Э. Б. Винберг, А. С. Солодовников, Геометрия пространств постоянной кривизны, Итоги Науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 1988, т. 29, с. 5−146.

Д.А. Деревнин, А. Д. Медных, М. Г. Пашкевич, Объем симметричного тетраэдра в гиперболическом и сферическом пространствах, Сиб. матем. журн., 2004, т. 45, № 5, с.1022−1031.

N. Abrosimov, A. Mednykh, Volumes of polytopes in spaces of constant curvature // arXiv:

1302.

4919 [math.MG].

И.Х. Сабитов, Гиперболический тетраэдр: вычисление объема с применением к доказательству формулы Шлефли, Модел. и анализ информ. систем, 2013, т. 20, № 6, с. 149−161.

В.А. Краснов, Геометрические аспекты теории объемов гиперболических многогранников, Диссертация канд. физ.-мат. наук, 2014, Москва.

Симплекс — геометрическая фигура, являющаяся n-мерным обобщением треугольника.