Приведенный пример наглядно показывает важность сравнения различных вариантов организации СМО и учета при синтезе СМО экономических показателей. Смешанные системы массового обслуживания
СМО с ограниченным временем ожидания характеризуется тем, что уменьшение числа заявок в ней происходит как в результате завершения обслуживания одной из заявок, так и в результате ухода заявок из очереди с интенсивностью v. Если число заявок в системе k
Таким образом, для СМО с ограниченным временем ожидания
Граф состояний системы изображен на рис. 2.6(п=2).Подставляя выражения (2.45) в формулы (2.16) и 2.17), как и в случае СМО с конечной очередью, получим. Определим основные показатели эффективности системы. Средняя длина очереди
На каждую из L заявок, находящихся в очереди, действует поток уходов интенсивности v, то есть в среднем в единицу времени из очереди уходит Lv заявок. Следовательно, абсолютная пропускная способность;
относительная пропускная способностьвероятность отказа в обслуживании;
среднее число занятых приборов;
вероятность того, что любая заявка будет обслужена, При вычислениях в формулах (2.46) и (2.49) в качестве приближенного значения для бесконечных сумм берется сумма конечного числаl-1 членов, а остаток оценивается следующим образом :.Из выраженийследует, что основные показатели СМО можно вычислить через Ротк, причём для определения Ротк используют таблицы с тремя входами: n,, .СМО с ограниченным временем пребывания характеризуется тем, что заявка может уйти необслуженной как из очереди, так и после начала обслуживания. Интенсивность перехода данной системы из состояния Sk в Sk-1 (уменьшения числа заявок) Типичным примером системы данного типа является вычислительное устройство, которое может одновременно обрабатывать п сообщений и имеет буферную память для хранения т сообщений. Поток сообщений — простейший поток интенсивности, время обработки одного сообщения, информация теряет свою ценность через время. Граф состояний для случая n=2, m=3 изображен на рис.
6.Заключение
Рассмотренные модели массового обслуживания находят широкое применение при исследовании надежности технических систем, организации их эксплуатации и использования по назначению, а также при анализе и синтезе автоматизированных систем управления. Достаточно подробно вопросы практического применения моделей СМО рассмотрены в работе [1]. При решении прикладных задач необходимо прежде всего правильно определить, насколько аппроксимирующие предположения, принятые при разработке математических моделей СМО, приемлемы для реальной системы и каким образом ее специфические особенности можно учесть в типовой модели. Основными аппроксимирующими предположениями при разработке моделей СМО были предположения о том, что все потоки событий являются простейшими. Широкое использование указанных предположений обусловливается следующими факторами.
1. Простейший поток событий, как уже отмечалось, носит предельный характер и поэтому часто встречается в практических задачах. Так, например, Н. М. Седякин показал, что поток отказов элементов технических систем сводится к простейшему, если, где ti- среднее время наработкиi-го элемента данного типа на отказ, а п — число элементов. Если n>10, то это условие выполняется и тогда, когда каждый из элементов отказывает через постоянные интервалы времени.
2. Простейший поток заявок ставит СМО в наиболее тяжелые условия. И. Н. Коваленко показал, что система, рассчитанная на обслуживание простейшего потока, будет обслуживать любой другой поток с одинаковой интенсивностью более надежно.
3. При простейшем потоке заявок показатели эффективности СМО с отказами и ограниченным временем ожидания практически не зависят от вида закона распределения времени обслуживания, а определяются его средним значением. Показатели эффективности реальной СМО при простейшем потоке заявок не хуже значений этих показателей, вычисленных в предположении об экспоненциальном распределении времени обслуживания.
4. При указанных предположениях можно получить аналитическую модель системы и на основе ее исследования найти ее оптимальные параметры. Простая модель позволяет разобраться в основных закономерностях явления, наметить «ориентиры» для построения статистической модели системы, позволяющей учесть те особенности реальной системы, которые трудно (или невозможно) учесть при аналитическом исследовании. Сочетание простых аналитических моделей и статистического моделирования вероятностных систем на ЭВМ — один из основных методов современного научного исследования. При решении прикладных задач всегда необходимо учитывать возможность использования результатов исследования стационарного режима для оценки эффективности системы на конечных интервалах времени. Характеристики стационарного режима с достаточной для практики точностью можно использовать для процессов длительностью (34)1/ [1]. При исследовании СМО предполагалось, что обслуживающие приборы абсолютно надежны. Если вероятность успешного обслуживания заявки Р<1, то ее влияние на эффективность СМО можно учесть через Pотк В этом случае, где Р0отк — вероятность отказа для системы с абсолютно надежными приборами (Р=1).Все рассмотренные модели СМО относятся к классу так называемых разомкнутых систем, в которые поступает неограниченный поток заявок и его параметры не зависят от процесса обслуживания.
Однако на практике часто встречаются системы, когда поток заявок ограничен и его параметры зависят от процесса обслуживания (замкнутые системы).Задачи, решаемые с помощью моделей СМО, можно разделить на два основных класса. К первому классу относятся задачи анализа эффективности систем и определения числа обслуживающих приборов, обеспечивающих требуемые значения показателей ее эффективности. Ко второму классу относятся задачи определения числа и типа (производительности) обслуживающих приборов. БИБЛИОГРАФИЯ Александрова Е. А. Теория массового обслуживания в задачах оптимизации. Статья. Вольное экономическое общество России. 2009
Анализ систем массового обслуживания с использованием программного комплекса «Теория Массового Обслуживания». Методические указания. Издательство ИГЭА. 2001
Бережная Е.В., Бережной В. И. Математические методы моделирования экономических систем. М.: Финансы и статистика. 2001
Вагнер Г. Основы исследования операций. Том 3. Перевод с англ. Вавилова Б. Т. Издательство «МИР». 1973
Вентцель Е. С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология. Газета «Успехи математических наук», ноябрь-декабрь 1968, m. XXIII, вып. 6 (144). Критика и библиография. В. Я. Розенберг, А. И. Прохоров. «
Что такое теория массового обслуживания". Рецензия Шехтера Б. А. Косоруков О.А., Мищенко А. В. Исследование операций. М.: «Экзамен», 2003
Кремер Н. Ш. Исследование операций в экономике. М.: ЮНИТИ, 2000
Лазарева Т.Я., И. В. Диденко. Системы массового обслуживания: методические разработки. Тамбов: Тамбовский государственный технический университет. 2001
Серая О. В. Анализ немарковской системы обслуживания с отказами. Национальный технический университет «ХПИ», Харьков. Тынкевич М. А. Экономико-математические методы (исследование операций). Издание второе (исправленное и дополненное). Кузбасский государственный технический университет. Кемерово, 2000
Шелобаев С. И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе. Москва: ЮНИТИ. 2001
Экономико-математические методы и прикладные модели. Под ред. Федосеева В. В. М.: ЮНИТИ, 1999.
