Качественные свойства стационарных распределений и переходных вероятностей диффузионных процессов

Общая характеристика работы.

Актуальность темы

Пусть xt — диффузиоииый процесс с производящим оператором L, заданным формулой d d Lu = aPdXidXju + bldxu. j = l i—1.

Хорошо известно, что переходные вероятности P (x, t, s, U) удовлетворяют уравнению Фоккера-Плапка-Колмогорова dtP = L*P, где L* - формально сопряженный оператор к L, Более того, если ц — инвариантная мера процесса xt, то // удовлетворяет стационарному уравнению Колмогорова L*?1 = 0. Исследование таких уравнений восходит к классическим работам А.Н. Колмогорова1'2, в которых выводятся и исследуются дифференциальные уравнения для переходных вероятностей и стационарных распределений диффузионных процессов как в так и в компактном многообразии (современное изложение см., например, в книге3). Однако в этих работах коэффициенты предполагались гладкими и глобально ограниченными. Достаточные условия существования диффузионного процесса в M. d в случае неограниченных локально липшицевых коэффициентов получены в работе Р.З. Хасьминского4, в которой также указаны достаточные условия существования стационарного распределения. В работе Д. Струка и O.P. Варадана0 изучаются глубокие связи между уравнениями Фоккера-Плапка-Колмогорова и мартингаль-ными задачами. В теории дифференциальных уравнений с частными.

1 Колмогоров А. Н. Об аналитических методах в теории вероятностей. Успехи матем. наук, 1938, т. 5, с. 5−41.

2Kolmogoroff A.N. Zur Umkehrbarkeit der statistischen Naturgesetze. Math. Ann., 1937, B. 113, S. 766 772- русский пер.: Колмогоров А. Н. Об обратилюсти статистических законов природы. Теория вероятностей и математическая статистика (сб. статей), Наука, М., 1986.

3Ватанабэ С., Икэда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы. Мир, М., 1986.

4Хасьминский Р. З. Эргодические свойства рекуррентных диффузионных npouficcoe и стабилизация решения задачи Коши для параболических уравнений. Теория вероятн. и ее примен., 1960, т. 5, с. 179−196.

5Stroock D.W., Varadhan S.R.S. Multidimensional diffusion processes. Springer-Verlag. Berlin — New York, 1979. производными такие уравнения исследовались в работах Д. Аронсона, А. Фридмана, С. Д. Эйдельмана, Ф. О. Порпера и многих других авторов (см. работы6'7'8,9'10). Перечисленные работы касаются в основном случая ограниченных коэффициентов оператора L или коэффициентов, имеющих линейный рост. Однако хорошо известно (см., например, работы4'5), что диффузионный процесс существует, даже если коэффициенты имеют значительный рост при |ж| —> +оо. Достаточно, например, чтобы существовала функция Ляпунова. Кроме того, коэффициенты могут быть локально неограничеиы. Отмстим также, что необходимость в исследовании уравнения Фоккера-Плапка-Колмогорова с неограниченными и даже с неинтегрирусмыми относительно меры Лебега коэффициентами появляется при изучении бесконечномерных диффузионных процессов.

Итак, в настоящей работе исследуются вероятностные меры? на M. d или M. d X (0,1), удовлетворяющие эллиптическому уравнению.

L*? = О, понимаемому в смысле интегрального тождества Ludfj, = 0 Vu е C0°°(Rd),.

JRd или параболическому уравнению которое также понимается в смысле интегрального тождества [ [ [dtu + Lu]d? = 0 /и € Co°(Rd х (0,1)).

J 0 JRd.

Такие уравнения интенсивно изучались В. И. Богачевьш. Н. В. Крыловым, К. Ле Бри, П. Л. Лионсом, Г. Метафуне, Д. Паллара, Дж. Да Прато.

6Aronson D.G., Besala P. Uniqueness of solutions of the Cauchy problem for parabolic equations. J. Math. Anal. Appl., 1966, v. 13, p. 516−526.

7Aronson D.G. Non-negative solutions of linear parabolic equations. Ann. Scuola Norm. Sup. di Pisa, Classe di Sei., 1968, v. 22, p. 607−694.

8Aronson D.G., Serrin 3. Local behavior of solutions of quasilinear parabolic equations. Arch. Rational Mech. Anal., 1967, v. 25, p. 81−122.

Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М., Мир, 1968.

10Порпер Ф. О., Эйдельман С. Д. Двусторонние оценки фундаментальных решений параболических уравнений второго порядка и некоторые их приложения. Успехи матем. наук, 1984, т. 39, п 3, с. 107−156.

A. Ранди, М. Рёкнером, А. Фигалли, В. Штаннатом и другими математиками разных стран (см. работы11'12'13'14'10'16'1''18'19). Основные проблемы, которые являются предметом исследования при изучении вероятностных мер, удовлетворяющих эллиптическим или параболическим уравнениям, состоят в следующем.

1. При каких условиях (возможно более общих) на коэффициенты решение ц, имеет плотность Q относительно меры Лебега? Когда можно утверждать, что у плотности есть непрерывная по Гсльдсру версия или что плотность лежит в соболевском классе? Хорошо известны классические результаты Всйля, Хсрмандера. Маллявэна о гладкости решения уравнения с гладкими коэффициентами. Если мера уже обладает соболевской плотностью д, то уравнения L*i — 0 и дф = L*?1 можно рассматривать как уравнения на плотность q и применять результаты о регулярности решений эллиптических и параболических уравнений для функций. Такого рода результаты о регулярности решений эллиптических и параболических уравнений для мер можно найти в работе.

B.И. Богачева, Н. В. Крылова, М. Рёкнера12, в которой, в частности, доказано, что в случае невырожденной матрицы диффузии, А — {аР) неотрицательное решение ?1 имеет плотность относительно меры Лебега, а иБогачев В.И., Рёкнер М. Обобщение теоремы Хасъмгтского об инвариантных мерах. Теория вероятн. и ее примсн., 2000, т. 45, п 3, с. 363−378.

13Bogachev V.I., Krylov N.V., Rockner Ы. On regularity of transition probabilities and invariant measures of singular diffusions under minimal conditions. Comm. Partial Diff. Equations, 2001, v. 26, n 11−12, p. 2037;2080.

13Богачев В.И., Рекнер M., Штаннат В. Единственность решений эллиптических уравнений и единственность инвариантных мер диффузий. Матем. сб., 2002, т. 197, п 7, с. 3−36.

14Metafune G., Pallara D. Rhandi A. Global regularity of invariant measures. Л. Funct. Anal. 2005, v. 223, p. 396−424.

Bogachev V.I., Da Prato G., Rocknci M. Existence of solutions to weak parabolic equations for measures. Proc. London Math. Soc., 2004, v. 88, n 3, p. 753−774.

16Bogachev V.I., Da Prato G., Rockner M., Stannat W. Uniqueness of solutions to weak parabolic equations for measures. Bull. London Math. Soc., 2007, v. 39, n 4. p. 631−640.

17Rockner M., Zhang X. Weak uniqueness of Fokker-Planck equations with degenerate and bounded coefficients. C.R. Math. Acad. Sri. Paris, 2010, t. 348, n 7−8, p. 435−438.

18Le Bris C., Lions P. L. Existence and uniqueness of solutions to Fokker-Planck type equations with irregular coefficients. Comm. Partial Differential Equations, 2008, v. 33 p. 1272−1317.

I0FigalIi A. Existence and uniqueness of martingale solutions for SDEs with rough or degenerate coefficients. Л. Funct. Anal., 2008, v. 254, n 1, p. 109−153. если, А и Ь достаточно регулярны, то плотность лежит в соболевском классе и имеет непрерывную версию.

2. Когда можно утверждать, что у непрерывной версии плотности решения нет нулей? Если матрица, А не вырождена и а13? а к0~ эффициепт сноса Ь интегрируем относительно меры Лебега в степени р, где р > в в эллиптическом случае и р > (1 + 2 в параболическом случае, то для плотности д выполняется неравенство Харнака, из которого немедленно вытекает строгая положительность функции д. Однако если коэффициент Ь не интегрируем относительно меры Лебега, то неравенство Харнака, вообще говоря, может не выполняться.

3. Как оценить поведение плотности решения при х —ь оо? Хорошо известны гауссовские оценки плотности в случае ограниченных коэффициентов8,10'0, а также в случае коэффициента сноса специального вида20. Представляет интерес получение оценок плотности в случае неограниченных коэффициентов. Основная идея состоит в применении метода функций Ляпунова в сочетании с локальными оценками соболевской нормы решения через //-норму коэффициентов относительно самого решения, а не меры Лебега.

4. Единственны ли решение стационарного уравнения Колмогорова и решение задачи Коши для уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова в классе вероятностных мер? Этот вопрос тесно связан с корректностью мартингальной задачи. Исследованию единственности в различных классах решений посвящены работы6,9'0116'17'18,19. Хорошо известно, что единственность нарушается в случае вырождающегося коэффициента диффузии и недостаточно гладкого коэффициента сноса. Оказывается, что неединственность может иметь место даже в случае единичной матрицы диффузии и бесконечно гладкого коэффициента сноса. Типичные условия, при которых доказана единственность в классах, близких к классу вероятностных решений (например, интегрируемые решения или неотрицательные решения), состоят в ограничении роста Ь или предполо.

20Жиков В. В. Об оценках типа Нэша-Аронсона для уравнения диффузии с несимметрической матрицей и их приложении к усреднению. Матем. сб., 2006, т. 197, и 12, с. 65−94. жсниях об интегрируемости |6|. Интересно, что для единственности вероятности ого, решения не требуется ограничений абсолютной величины коэффициента сноса, а достаточно, например, оценить сверху величину (Ь (х), х). В более общем виде такие условия формулируются в терминах функции Ляпунова. Кроме того, если говорить о единственности решения задачи Коши, то важно получить достаточные условия единственности, допускающие в качестве начального распределения произвольные вероятностные меры, а не только те, у которых есть плотность относительно меры Лебега.

5. При каких условиях вероятностное решение стационарного уравнения Колмогорова или задачи Коши для уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова является единственным интегрируемым решением (в терминах мер: решение с ограниченной вариацией)? Единственность в классе интегрируемых решений исследовалась в работах6'9'18. Отметим также статью21, где в случае единичной матрицы диффузии, локально ограниченного сноса и начального условия, заданного плотностью, было показано, что для единственности интегрируемого решения достаточно потребовать, чтобы величина (Ь (х), х) не слишком быстро стремилась к —оо при |ж| —> оо. Представляет интерес получение достаточных условий единственности интегрируемого решения в терминах функции Ляпунова, по аналогии с вероятностным случаем. Отметим также, что классы вероятностных, интегрируемых и неотрицательных решений действительно различны.

Цель работы. Получение достаточных условий положительности плотностей и вывод нижних оценок плотностей стационарных и переходных вероятностей диффузионного процесса без предположения локальной и глобальной регулярности коэффициента сноса относительно меры Лебега и ограничений на рост коэффициента сноса. Вывод верхних оценок для плотностей переходных вероятностей в случае неограниченного коэффициента сноса. Получение достаточных условий единственно.

21 Wu L., Zhang Y. A new topological approach to the L°°-uniqueness of operators and L1 -uniqueness of Fokker-Planck equations. J. Funct. Anal., 2006, v. 241, p. 557−610. сти вероятностного и интегрируемого решения стационарного уравнения Колмогорова и уравнения Фоккера-Плапка-Колмогорова. Построение примеров неединственности в классах вероятностных, неотрицательных и интегрируемых решений.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1. Получены нижние оценки плотности стадион арного распределения диффузионного процесса без предположения локальной и глобальной регулярности коэффициента сноса относительно меры Лебега и ограничений на рост этого коэффициента.

2. Получены нижние оценки плотностей переходных вероятностей диффузионного процесса без предположения локальной и глобальной регулярности коэффициента сноса относительно меры Лебега и ограничений на рост этого коэффициента.

3. Исследована единственность вероятностного и интегрируемого решения стационарного уравнения Колмогорова: получены достаточные условия единственности и построены примеры неединственности.

4. Исследована единственность вероятностного и интегрируемого решения задачи Коши для уравнения Фоккера-Плапка-Колмогорова: построены примеры неединственности и получены достаточные условия единственности.

5. Получены верхние оценки плотностей переходных вероятностей диффузионного процесса без предположений об ограниченности коэффициента сноса.

Методы исследования. В работе применяются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, в частности итерационная техника Мозера и метод функций Ляпунова, теории диффузионных процессов, теории меры, теории пространств Соболева, используются средства функционального анализа, а также некоторые оригинальные конструкции.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее методы и результаты могут быть использованы в теории случайных процессов, теории вероятностей, теории дифференциальных уравнений с частными производными, теории меры. Результаты диссертации могут найти применение в научных исследованиях, проводимых в МГУ имени М. В. Ломоносова, Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН, ПОМИ им. В. А. Стеклова РАН. ИПИ РАН, Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирском государственном университете, Владимирском Гуманитарном государственном университете.

Апробация диссертации. Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре «Бесконечномерный анализ и стохастика» под руководством В. И. Богачева и H.A. Толмачева (МГУ, 2005;2011) — на научно-исследовательском семинаре по теории функций под руководством член-корр. РАН B.C. Кашина (МГУ, 2007), на семинаре «Операторные модели математической физики» под руководством A.A. Шпаликова, A.A. Владимирова, A.M. Савчука, PI.А. Шсйпака, (МГУ, 2011) — на семинаре «Уравнения с частными производными» под руководством В. А. Кондратьева (МГУ, 2008) — на семинаре «Уравнения с частными производными» под руководством В. В. Жикова, Е. В. Радкевича, A.C. Ша-маева, Т. А. Шапошниковой (МГУ, 2011) — на семинаре «Теория функций многих действительных переменных и ее приложения к задачам математической физики» под руководством академика РАН С. М. Никольского и член-корр. РАН Л. Д. Кудрявцева (МИАН, 2011) — на семинаре «Бесконечномерный стохастический анализ» в университете Билефельда (Германия, 2005;2011) — на семинаре университета Гсйдсльберга (Германия, 2009) — на семинаре в Пекинском Нормальном университете (Китай, 2007) — на семинаре в Институте Миттаг-Леффлсра (Швеция, 2007). Кроме того, результаты диссертации докладывались на международной конференции им. И. Г. Петровского «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы» (Москва, МГУ, 2007, 2011), российско-японской конференции по теории вероятностей (МИАН, 2007) — на международной конференции.

Stochastic Analysis of Advanced Statistical Models" и на международной конференции ''Recent Developments in Statistics and Econometrics" (Хиросима, Киото, Япония, 2008) — на Российской школе-конференции «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» (Москва, РУДН, 2009) — на международной научной конференции «Современные проблемы анализа и преподавания математики», посвященной 105-летию академика С. М. Никольского (Москва, МГУ, 2010), на семинаре Отдела теории вероятностей Математического института им. В. А. Стеклова РАН (2011).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 статьях автора в ведущих научных журналах, рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разделенных на параграфы, и списка литературы из 87 наименований. Общий объем диссертации составляет 196 страниц.

1. Богачсв В. И., Рёкнер М. Обобщение теоремы Хаеьминского об инвариантных мерах. Теория вероятн. и се примон., 2000, т. 45, п 3, с. 363−378.

2. Богачсв В. И., Рёкнер М., Штаннат В. Единственность решений эллиптических уравнений и единственность инвариантных мер диффузий. Матем. сб. 2002, т. 197, п 7, с. 3−36.

3. Богачсв В. И., Крылов Н. В. Рёкнер М. Эллиптические и параболические уравнения для мер. Успехи матем. наук, 2009, т. 64, п 6. с. 5−116.

4. Богачсв В. И., Рскнср М., Шапошников C.B. Глобальная регулярность и оценки решений параболических уравнений. Теория вероятн. и се примен. 2005, т. 50, в. 4, с. 652−674.

5. Богачев В. И., Рёкнер М., Шапошников C.B. Оценки плотностей стационарных распределений и переходных вероятностей диффузионных процессов. Теория вероятн. и ее примен., т. 52, п 2, с. 1−29.

6. Богачсв В. И., Рёкнер М., Шапошников С. В. Положительные плотности переходных вероятностей диффузионных процессов. Теория вероятн. и се примен., 2008, т. 53, п 2, с. 213−239.

7. Богачсв В. И., Рёкнер М., Шапошников C.B. Нижние оценки плотностей решений эллиптических уравнений для вероятностных мер. Докл. РАН, 2009, т. 426, п 2, с. 1−6.

8. Богачсв В. И, Кириллов А. И., Шапошников C.B. Инвариантные меры диффузий с градиентным сносом. Докл. РАН, 2010, т. 434, п 6, с. 731−734.

9. Богачев В. И., Кириллов А. И., Шапошников C.B. О вероятностных и интегрируемых решениях стационарного уравнения Колмогорова. Докл. РАН, 2011, т. 438, п 2, с. 154−159.

10. Богачсв В. И., Да Прато Дж., Рскнер М. Инвариантные меры обобщенных стохастических уравнений пористых сред. Докл. РАН, 2004, т. 396, и 1, с. 439−444.

11. Ватанабэ С., Икэда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы. Мир, М., 1986.

12. Веретенников А. Ю. О полиномиальном перемешивании и скорости сходимости для стохастических дифференциальных и разностных уравнений. Теория вероятн. и ее примсн., 1999, т. 44, и 2, с. 312−327.

13. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. Наука, М., 1989.

14. Григорьян A.A. Об одной лиувиллевой теореме на многообразии. Успехи матем. наук, 1982, т. 37, п 3, с. 181−182.

15. Григорьян A.A. О лиувиллевых теоремах для гармонических функций с конечным интегралом Дирихле. Матем. сб., 1987, т. 132(174), п 4, с. 496−516.

16. Григорьян A.A. Стохастически полные многообразия и суммируемые гармонические функции. Р1зв. АН СССР. Сер. матем., 1988, т. 52, п 5, с. 1102−1108.

17. Григорьян A.A. О размерности пространств гармонических функций. Матем. заметки, 1990, т. 48, п 5, с. 55—61.

18. Денисов В. Н. О поведении решений параболических уравнений при больших значениях времени. Успехи матем. паук, 2005, т. 60, п 4, с. 145−212.

19. Жиков В. В. Замечания о единственности решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с младшими членами. Фупкц. анализ и его прил., 2004. т. 38, п 3, с. 15−28.

20. Жиков В. В. О весовых соболевских пространствах. Матем. сб., 1998, т. 189, п 8, с. 27−58.

21. Жиков В. В. Об оценках типа Нэша—Аронсопа для уравнения диффузии с несимметрической матрицей и их приложении к усреднению. Мат. сб., 2006, т. 197, п 12, с. 65−94.

22. Кириллов А. И. О двух математических проблемах канонического квантования. I, II, III, IV. Тсор. мат. физ., 1991, т. 87. n 1, с. 22−33- 1991, т. 87, п 2, с. 163−172- 1992, т. 91, п 3, с. 377−395- 1992, т. 93, п 2, с. 249−263.

23. Колмогоров А. Н. Об аналитических методах в теории вероятностей. Успехи матем. наук, 1938, вып. V, с. 5−41.

24. Кондратьев В. А., Ландис Е. М. Качественная теория линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления, 1988. т. 32, с. 99−215.

25. Ладыженская O.A., Уральцсва H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. Наука, М., 1973.

26. Ладыженская O.A., Солоппиков В. А., Уральцсва H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М., Наука, 1967.

27. Мазья В. Г. Пространства, С. Л. Соболева. Изд-во ЛГУ, Л., 1985.

28. Олсйник O.A., Радксвич E.B. Метод введения малого параметра для исследования эволюционных уравнений. Успехи матем. паук, 1978, т. 33, п 5, с. 6−76.

29. Порпср Ф. О., Эйдсльман С. Д. Двусторонние оценки фундаментальных решений параболических уравнений второго порядка и некоторые их приложения. Успехи матем. наук, 1984. т. 39, п 3, с. 107−156.

30. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М., Мир, 1968.

31. Хасьминский Р. З. Эргодичсскис свойства рекурентных диффузионных процессов и стабилизация решения задачи Коши для параболических уравнений. Теория вероятп. и ее примсп., 1960, т. 5, с. 179−196.

32. Шапошников C.B. Положительность инвариантных мер диффузионных процессов. Докл. РАН, 2007, т. 415, п 2, с. 174−179.

33. Шапошников C.B. О неединственности решений эллиптических уравнений для вероятностных мер. Докл. РАН, 2008, т. 420, п 3, с. 320−323.

34. Шапошников C.B. О единственности вероятностного решения задачи Коши для уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова. Теория ве-роятн. и се примсн., 2011, т. 56, n 1, с. 77−99.

35. Шапошников C.B. О единственности интегрируемых и вероятностных решений задачи Коши для уравнений Фокксра-Планка,-Колмогорова. Докл. РАН, 2011, т. 439, n 3, с. 331−335.

36. Шапошников C.B. Регулярность и качественные свойства решений параболических уравнений для мер. Теория вероятн. и ее примен., 2011, т. 56, n 2, с. 271−290.

37. Шапошников C.B. Оценки решений параболических уравнений для мер. Докл. РАН, 2010, т. 434, n 4, с. 454—458.

38. Шапошников С. В. Нижние оценки плотностей решений параболических уравнений для мер. Докл. РАН, 2009, т. 429, п 5, с. 600−604.

39. Albcverio S., Bogachev V., Rockncr М. On uniqueness of invariant measures for finiteand infinite-dimensional diffusions. Comm. Pure Appl. Math., 1999, v. 52, p. 325−362.

40. Agracliev A., Kuksin S., Sarycliev A., Shirikyan A. On finite-dimensional projections of distributions for solutions of randomly forced PDE’s. Ann. Inst. H. Poincare, 2007, v. 43, p. 399−415.

41. Aronson D.G., Besala P. Uniqueness of solutions of the Cauchy problem for parabolic equations. J. Math. Anal. Appl., 1966, v. 13, p. 516−526.

42. Aronson D.G., Scrrin J. Local behavior of solutions of quasilinear parabolic equations. Arch. Rational Mcch. Anal., 1967, v. 25, p. 81−122.

43. Aronson D.G. Non-negative solutions of linear parabolic equations. Ann. Scuola Norm. Sup. di Pisa, Classe di Scicnze, 1968, v. 22, p. 607−694.

44. Bass R.F. Diffusions and elliptic operators. Springer, New York, 1998.

45. Bogachev V.I., Krylov N.V., Rockncr M. On regularity of transition probabilities and invariant measures of singular diffusions under minimal conditions. Comm. Partial Diff. Equations, 2001, v. 26. n 11−12, p. 20 372 080.

46. Bogachev V.I., Krylov N.V., Rockncr M. Elliptic equations for measures: regularity and global bounds of densities. J. Math. Purcs Appl., 2006, v. 85, n 6, p. 743−757.

47. Bogachev V.I., Rockncr M. Regularity of invariant measures on finite and infinite dimensional spaces and applications. J. Funct. Anal., 1995, v. 133, n 1, p. 168−223.

48. Bogachev V.I., Rockner M. Elliptic equations for measures on infinite-dimensional spaces and applications. Probab. Theory Related Fields, 2001, v. 120, n 4, p. 445−496.

49. Bogachcv V.I. Rockner M. Regularity of invariant measures on finite and infinite dimensional spaces and applications. J. Funct. Anal., 1995, v. 133, n 1, p. 168−223.

50. Bogachev V.I., Da Prato G., Rockner M. Existence of solutions to weak parabolic equations for measures. Proc. London Math. Soc., 2004, v. 88, n 3, p. 753−774.

51. Bogachev V.I., Da Prato G., Rockner M., Stannat W. Uniqueness of solutions to weak parabolic equations for measures. Bull. London Math. Soc., 2007, v. 39, n 4, p. 631−640.

52. Bogachev V.I., Krylov N.V., Rockner M. Regularity of invariant measures: the case of non-constant diffusion part. J. Funct. Anal., 1996, v. 138, n 1. p. 223−242.

53. Bogachcv V.I., Mayer-Wolf E. Absolutely continuous flows generated by Sobolev class vector fields in finite and infinite dimensions. J. Funct. Anal, 1999, v. 167, n 1, p. 1−68.

54. DiPerna R.J., Lions P. L. On the Fokker-Planck-Boltzmann equation. Comm. Math. Phys., 1988, v. 120, p. 1−23.

55. DiPerna R.J., Lions P. L. On the Cuachy problem for Boltzmann equations: global existence and weak stability. Annals of Math., 1989, v. 130, n 2, p. 321−366.

56. DiPerna R.J., Lions P. L. Ordinary differential equations, transport theory and Sobolev spaccs. Invent. Math. 1989, v.98, n 3, p. 511−547.

57. Ebcrlc A. Uniqueness and non-uniqueness of singular diffusion operators. Lecture Notes in Math. V. 1718. Springer, Berlin, 1999.

58. Figalli A. Existence and uniqueness of martingale solutions for SDEs with rough or degenerate coefficients. J. Funct. Anal., 2008, v. 254, n 1, p. 109−153.

59. Fornaro S., Fusco N., Metafune G., Pallara D. Sharp upper bounds for the density of some invariant measures. Proc. Royal Soc. Edinburgh: Sect. A Math., 2009, v. 139, p. 1145−1161.

60. Gyongy I., Krylov N. V. Existence of strong solutions for Ifco’s stochastic equations via approximations. Probab. Theory Related Fields. 1996, v. 105, p. 143−158.

61. Ishige K., Murata M. Uniqueness of nonncgativc solutions of the Cauchy problem for parabolic equations on manifolds or domains. Ann. Scuola Norm. Sup. di Pisa, Classc di Scienzc, 2001, v. 30, n 1, p. 171−223.

62. Krylov, N.V. An analytic approach to SPDEs, in: «Stochastic partial differential equations: six perspectives» (R. Carmona and B. Rozovskii. eds.), Amer. Math. Soc., Rhode Island, Providence, 1999, p. 185−241.

63. Le Bris C., Lions P.L. Existence and uniqueness of solutions to Fokkcr-Planck type equations with irregular coefficients. Comm. Partial Diff. Eq., 2008, v. 33, p. 1272−1317.

64. L. Dan Lemlc L^M^, (ih)-Uniquencss of weak solutions for the Fokkcr-Planck equation associated with a class of Dirichlet operators. Elect. Research Announc. Math. Sci., 2008, v. 15, p. 65−70.

65. Metafune G., Pallara D., Rhandi A. Global regularity of invariant measures. J. Funct. Anal., 2005, v. 223, p. 396−424.

66. Metafune G., Pallara D., Rhandi A. Global properties of transition probabilities of singular diffusions. Theory Probab. Appl., 2009, v. 54, n 1, p. 116−148.

67. Moser J. A new proof of Dc Giorgi’s theorem concerning the regularity problem for elliptic differential equations. Comm. Pure and Appl. Math., 1960, v. 13, n 3, p. 457−468.

68. Moser J. On Harnack’s theorem for elliptic differential equations. Comm. Pure and Appl. Math., 1961, v. 14, p. 577−591.

69. Moser J. A Harnack inequality for parabolic differential equations. Comm. Pure Appl. Math., 1964, v. 17, p. 101−134.

70. Malliavin P., Nualart E. Density minoration of strongly non-degenerated random variable. J. Funct. Anal., 2009, v. 256. n 12, p. 4197−4214.

71. Nualart E. Exponential divergence estimates and heat kernal tail. C. R. Acad. Sei. Paris, scr. I, 2004, t. 338, p. 77−80.

72. Nadirashvili N. S. Nonuniqueness in in the martingale problem and Dirichlet problem for uniformly elliptic operators. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sei. (4), 1997, v. 24, p. 537−550.

73. Nash J. Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations. Amcr. J. Math., 1958, v. 80, n 4, p. 931−954.

74. Pinchovcr Y. On uniqueness and nonuniqueness of positive Cauchy problem for parabolic equations with unbounded coeffisients. Math. Z. 1996, v. 233, p. 569−586.

75. Rockner M., Zhang X. Weak uniqueness of Fokker-Planck equations with degenerate and bounded coefficients. C. R. Math. Acad. Sei. Paris, 2010, t. 348, n 7−8, p. 435−438.

76. Safonov M. Nonuniqueness for second order elliptic equations with measurable coefficients. SIAM J. Math. Anal., 1999, v. 30, p. 879−895.

77. Shaposhnikov S. V. On nonuniqueness of solutions to elliptic equations for probability measures. J. Funct. Anal., 2008, v. 254, p. 2690−2705.

78. Schcutzow M., Weizsacker H. Which moments of a logarithmic derivative imply quasiinvariance? Doc. Math., 1998, v. 3, p. 261−272.

79. Shirikyan A. Qualitative properties of stationary measures of three-dimensional Navier-Stokcs equations. J. Funct. Anal., 2007, v. 249, p. 284−306.

80. Stannat W. (Nonsymmetric) Dirichlet operators on existence, uniqueness and associated Markov processes. Ann. Scuola Norm. Super, di Pisa CI. Sci. (4), 1999, v. 28, n 1, p. 99−140.

81. Stannat W. Time-dependent diffusion operators on L1. J. Evol. Eq., 2004, v. 4, p. 463−495.

82. Spina C. Kernel estimates for a class of Kolmogorov semigroups. Arch. Math., 2008, v. 91, n 3, p. 265−279.

83. Stroock, D.W., Varadhan, S.R.S. Multidimensional diffusion processes. Springer-Verlag, Berlin New York, 1979.

84. Trudinger N. Pointwisc estimates and quasilinear parabolic equations. Comm. Pure Appl. Math., 1968. v. 21, p. 205−226.

85. Trudinger N.S. On Harnack type inequalities and their application to quasilinear elliptic equations. Comm. Pure and Appl. Math. 1967, v. 20, p. 721−748.

86. Li X.-D. Liouvillc theorems for symmetric diffusion operators on complete Riemannian manifolds. J. Math. Pures Appl. (9), 2005, v. 84, n 10, p. 1295−1361.

87. Wu L., Zhang Y. A new topological approach to the L^-uniqucness of operators and Z^-uniqueness of Fokker-Planck equations. J. Funct. Anal., 2006, v. 241, p. 557−610.СПИСОК ОСНОВНЫХ РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

88. Шапошников C.B. О единственности вероятностного решения задачи Когтти для уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова. Теория всроятн. и се примен., 2011, т. 56, n 1, с. 77−99.

89. Шапошников C.B. О единственности интегрируемых и вероятностных решений задачи Коши для уравнений Фоккера-Плапка-Колмогоро-ва. Докл. РАН, 2011. т. 439, n 3, с. 323−328.

90. Шапошников C.B. Регулярность и качественные свойства решений параболических уравнений для мер. Теория вероятн. и се примен., 2011, т. 56, n 2, с. 271−290.

91. Шапошников C.B. Оценки решений параболических уравнений для мер. Докл. РАН, 2010, т. 434, n 4, с. 454−458.

92. Шапошников C.B. Нижние оценки плотностей решений параболических уравнений для мер. Докл. РАН, 2009, т. 429, n 5, с. 600−604.

93. Богачсв В. И., Кириллов А. И., Шапошников C.B. Инвариантные меры диффузий с градиентным сносом. Докл. РАН 2010, т. 434, п 6. с. 731−734.

94. Агафопцев Б. В., Богачев В. И., Шапошников C.B. Условия положительности плотности инвариантной меры. Докл. РАН, 2011, т. 438, и 3, с. 295−299.

95. Шапошников C.B. О неединственности решений эллиптических уравнений для вероятностных мер. Тезисы докладов Российской школы конференции «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании», М.: РУДН, 2009, с. 74−75.