Уравнения среднего магнитного поля с учетом флуктуаций крупномасштабной скорости

Объект исследования и актуальность темы.

Многие астрофизические объекты (галактики, звезды, планеты) обладают собственными крупномасштабными магнитными полями. Происхождение, сохранение и эволюция этих полей составляют один из основных вопросов космологии. Время существования многих космических объектов существенно превышает характерное время затухания собственных магнитных полей. Поэтому существование глобальных магнитных полей у таких объектов требует объяснения. Считается, что крупномасштабные магнитные поля небесных тел, в том числе Солнца и галактик, обязаны своим происхождением работе механизма гидромагнитного динамо. Идея магнитного динамо принадлежит Лар-мор.у [38] и состоит в том. что изначально слабое начальное магнитное поле может экспоненциально усиливаться при отсутствии внешних ЭДС за счет частичного превращения кинетической энергии движущейся электропроводящей жидкости в энергию магнитного поля. Эволюция магнитного поля в объеме движущейся электропроводящей жидкости описывается уравнением магнитной индукции, являющимся линейным однородным дифференциальным уравнением в частных производных (УЧП) второго порядка, имеющим параболический типпеременные коэффициенты этого уравнения полностью определяются заданием векторного поля скорости ?) жидкости. Ввиду однородности уравнения для возникновения и развития магнитного динамо необходимо наличие ненулевого начального (затравочного) магнитного поля, которое может быть весьма слабым. Превращение этого поля в сильное благодаря магнитному динамо, таким образом, связано с вопросами неустойчивости нулевого решения уравнения магнитной индукции. В случае стационарного поля скорости ^(х) при данном коэффициенте ит магнитной индукции движущейся среды магнитное динамо связано со спектром оператора магнитной индукции, и возникает в случае, когда наибольшая вещественная часть собственного числа этого оператора положительна.

Большую роль для генерации магнитного поля играет геометрическая (топологичеекая) структура поля скорости. Например, согласно теореме Каулинга ([31], [16]) для осесимметричиого потока невозможно магнитное динамо с той же осью магнитного поля. Также магнитное динамо не возникает для сферически-симметричного гюля ([29]), для плоского (двумерного) ноля скорости ([11], [12], [13]) и для тороидального поля скорости. Идея Паркера о возможности возникновения магнитного динамо в турбулентном потоке электропроводящей жидкости с полем скорости, обладающим ненулевой спиральностью и не имеющем отражательной симметрии, привела к дальнейшему развитию теории магнитного динамо и послужила основой для создания теории магнитной гидродинамики средних полей [23], [22], [7], [41], [28]. При этом наиболее интересным и важным в космической физике является случай малых коэффициентов магнитной индукции ит или, что-то же самое, больших магнитных чисел Рейнольдса Я^,. Особую роль играет так называемое быстрое динамо, то есть динамо, не исчезающее в пределе ит 0 (Я"г оо).

Возможно несколько различных путей реализации механизма магнитного динамо. Из них наибольшее практическое значение имеет путь, основанный на так называемом а-эффекге, суть которого состоит в том, что во вращающейся турбулентности или конвекции происходит своеобразное нарушение отражательной (зеркальной) симметрии, так что в результате действия силы Кориолиса среднее число правовратцающихся вихрей оказывается отличным от среднего числа левовращающихся вихрей. В результате этого в выражении для средней электродвижущей силы индукции (с которой связан электрический ток) появляется член, параллельный магнитному полю. Напомним, что обычно электрический ток перпендикулярен магнитному полю. В результате действия а-эффекта в течении электропроводящей жидкости возникает магнитное поле, пространственный масштаб которого может намного превосходить основной масштаб турбулентности. Именно такое магнитное поле в физике обычно и называют крупномасштабным.

Это описание а-эффекта требует последовательной интерпретации турбулентности как случайного статистически локально однородного и изотропного поля. Со времени развития концепции «-эффекта в середине 60-ых годов предпринимаются усилия для того, чтобы воспроизвести его и в моделях, которые непосредственно привлекают описание течений па языке статистической гидромеханики. Вопрос о том. насколько это можно сделать, принадлежит к одному из наиболее дискуссионных в данной области.

Одна из плодотворных возможностей для такого описания была предложена В. И. Арнольдом, который в 1972 г. [2] ввел ставшую широко известной модель ЛВС-потока [3j. Соответствующее поле скорости является детерминированным, однако поведение его линий тока хаотическое (оно является классическим примером так называемого детерминированного хаоса). ЛВС-поток есть течение Бельтрами, то есть в этом потоке rot V ос V, иными словами, гидродинамическая спиральность ЛВС-потока Vrot V — максимально возможная (ABC-потоки представляют собой некоторые пространственно-периодические собственные функции оператора rotV). Оказывается, что спиральность и определяет а-эффект, так что ожидалось, что ЛВС-ноток должен хорошо моделировать свойства вращающейся турбулентности. Для конкретного ABC-потока В. И. Арнольдом и Е. И. Коркиной в 1983 г. [5] произведен численный расчет магнитного динамо на ЭВМ при относительно небольших значениях R, n. Отмстим, что с ростом Rm сложность чисто вычислительных алгоритмов, связанных с расчетом магнитного динамо, быстро нарастает, и для больших значений R, n эти вычисления в настоящее время практически невозможны из-за огромного объема вычислений. Это не позволяет удовлетворить потребности современной астрофизики и требует развития теоретических исследований в области магнитного динамо.

В действительности поведение магнитного поля в детерминированном ЛВС-потоке существенно отличается от его поведения в зеркально-асимметричной турбулентности. Магнитное поле в этом потоке на самом деле растет (если магнитное число Рейнольдса оказывается достаточно большим), и этот рост соответствует быстрому динамо, однако пространственный масштаб растущего магнитного поля не превышает масштаба течения. Магнитное поле имеет вид тонких сигар, длина которых сопоставима с размером ячейки периодичности потока [33], [35].

Я.Б. Зельдовичем и др. в 1983 г. (см. [14]) сформулировано представление о том что причина несходства АБС-потока и зеркально-асимметричной турбулентности состоит в стационарности первого. Была высказана надежда [32] на то, что введение случайности в коэффициенты АБС-потока должно сделать поведение магнитного поля в этом потоке намного более похожим на его поведение в зеркально-асимметричной турбулентности. Одна из задач данной работы — проверить это предположение.

Отметим, что техника вывода уравнения среднего поля в турбулентной среде, обладающей развитой иерархией масштабов, хорошо известна. С физической точки зрения мы находимся в иной ситуации. Мы рассматриваем случайные поля скорости, описывающие потоки, в определенных отношениях похожие на турбулентные, но в других сильно от них отличающиеся. Эти потоки, которые мы называем рандомизированными короткокоррелированными случайными полями (РКПС), с одной стороны, более бедные и оттого более обозримые, и это ключевое отличие. С другой стороны, они содержат многие часто применяемые поля скорости при условии рандомизации их коэффициентов. Согласно сформулированному выше предположению Я. Б. Зельдовича, подтверждаемому в данной работе для случайных АБС-потока и потока Г. Робертса, являющихся частными случаями РКПС, введение случайности в коэффициенты этих потоков сближает их по свойствам с зеркально-асимметричной турбулентностью, по крайней мере, в отношении а-эффекта и крупномасштабного динамо.

В 1983 г. С. А. Молчановым и др. [20], [21] для описания магнитного поля в нестационарном потоке со случайными флуктуациями был предложен метод вывода уравнений среднего магнитного поля для короткокоррелированного случайного поля скорости с функциональным управляющим параметром, что наряду со сложностью вычислений по этому методу сдерживало его применение к конкретным случайным полям скорости. В частности, уравнения среднего поля даже для представляющих особый интерес случайных? ШС-потока и потока Г. Робертса до сих пор не были получены. В настоящей работе этот метод применяется как к общим РКПС. так и к некоторым их конкретным случаям, а именно, к случайным АБС-потоку, потоку Г. Робертса и к винтовому цилиндрическому потоку. На основе этого метода в диссертации разработаны удобные для применения к конкретным РКПС схема и матричный алгоритм нахождения уравнений среднего поля.

Цель работы.

Цель настоящей диссертации состоит в решении следующих задач: разработать конструктивный метод вывода уравнений среднего магнитного поля (отталкиваясь от подхода, предложенного С. А. Молчановым и др.) для введенного автором класса РКПСполучить явные уравнения среднего магнитного ноля для содержащихся в этом классе случайных ЛВС-потока и потока Г. Робертсаисследовать крупномасштабное динамо в этих конкретных случайных потоках и проверить для них гипотезу Я. Б. Зельдовичавывести уравнения среднего магнитного поля в декартовых и цилиндрических координатах во всем пространстве для винтового цилиндрического поля скорости с короткокоррелироваппыми коэффициентамипровести статистическую обработку результатов наблюдений солнечной активности с целью обнаружения и исследования а-эффекта.

Научная новизна.

Все результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно. Перечислим основные из них:

1. Разработан метод вывода уравнений среднего магнитного поля (на основе подхода С. А. Молчанова и др.) для случайных полей скорости из выделенного автором класса РКПС. а также получены сами эти уравнения и предложен матричный алгоритм вычисления их коэффициентов.

2. Найдены уравнения среднего магнитного ноля для конкретных РКПСполучающихся короткокоррелированной рандомизацией коэффициентов классических детерминированных ЛВС-потока и потока Г. Робертса.

3. Показано, что вопрос о генерации крупномасштабного магнитного динамо в.

РКПС с независящими от времени базисными полями скорости ввиду уравнений среднего поля с усредненными по пространству коэффициентами сводится к исследованию спектра некоторой связанной с этим РКПС матрицы. В частности, для указанных выше случайных АБС-потока и потока Г. Робсртса получены за и уравнения и доказано возникновение а-эффекта, турбулентной диффузии и крупномасштабного кинематического динамо, чем подтверждена гипотеза Я. Б. Зельдовича.

4. Выведены уравнения среднего магнитного поля в декартовых и цилиндрических координатах в пространстве для рандомизированного винтового цилиндрического потока.

Кроме того, произведена статистическая обработка результатов наблюдений солнечной активности в связи с проявлениями а-эффекта для магнитного поля Солнца.

Методы исследования.

В работе используются методы теории вероятностей, случайных процессов, математической статистики, математического анализа, дифференциальных и интегральных уравнений, математической физики.

В частности, при построении решения задачи Коши для уравнения магнитной индукции применяются методы теории мультипликативных интегралов, а при исследовании крупномасштабного динамо — метод Фурье.

Теоретическая и практическая значимость работы.

Систематизированная техника вывода уравнений среднего магнитного поля для введенного класса РКПС, основанная на предложенном автором матричном алгоритме, может быть использована при исследовании широкого круга как чисто теоретических задач, так и задач, возникающих в приложениях и связанных с теоретическими, экспериментальными и вычислительными моделями магнитного динамо. В этих моделях одним из важнейших элементов исследования является усреднение уравнения индукции и нахождение моментных уравнений, в частности, уравнения среднего поля для магнитного поля в соответствующем случайном потоке. Многие как экспериментальные. так и теоретические модели динамо связаны именно с теми конкретными полями скорости, которые рассмотрены в настоящей работе: ABC-поток, поток Г. Робертса и винтовое цилиндрическое поле скорости.

Апробация работы.

По теме диссертации были сделаны доклады: в 2010 и 2011 гг. на Большом семинаре кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ (руководитель семинара и заведующий кафедрой — академик РАН А.Н. Ширяев) — в 2012 г. на семинаре «Бесконечномерный анализ и стохастика» кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ (руководитель — профессор, д.ф.-м.н. В.И. Богачев) — в 2012 г. на семинаре «Физическая гидродинамика» под ру ководством профессора, д.ф.-м.н. П. Г. Фрика в Институте механики сплошных сред Уральского отделения РАН, Пермьв 2008 г. на Астрофизическом семинаре Отделения теоретической физики ФИАН (руководитель семинара — академик РАН А.В. Гуревич).

Результаты диссертации докладывались на следующих научных конференциях: Международная конференция МСС-09 «Трансформация волн, когерентные структуры и турбулентность», Москва, 2009 г.- 8th AIMS Conference «Dynamical systems, differential equations and applications», Dresden, Germany, 2010; XXIX конференция «Актуальные проблемы внегалактической астрономии», Пущинская радиоастрономическая обсерватория АКЦ ФИАН, Пущино, 2012 г.

Публикации.

Список основных научных работ, опубликованных по теме диссертации, состоит из 8 наименований и содержит 5 статей в журналах из списка ВАК РФ ([26], [52|, [37|. [40].

50]) и 3 работы — в тезисах конференций ([25], [51]. [27]).

Структура и объем диссертации

.

Диссертация состоит из введения (глава 1), двух разбитых на параграфы основных глав, приложения и списка литературы из 52 наименований. Ее общий объем составляет 104 страницы, включая 6 рисунков и 1 таблицу.

1. Космическая электродинамика, М., ИЛ, 1952.

2. Арнольд В. И. Замечание о поведении течений трехмерной жидкости при малом возмущении начального поля скоростей, Прикладная математика и механика, 1972, Т. -36, С. 255−264.•3. Арнольд В. И. Математические методы классической механики, М., Наука, 1974.

3. Арнольд В. И. Зельдович Я.В. Рузмайкин A.A., Соколов Д. Д. Магнитное поле в стационарном потоке с растяжением в римановом пространстве, ЖЭТФ, 1981, Т. 81, С. 2052.

4. Арнольд В. И. Коркина Е.И. Рост магнитного поля в трехмерностационариом потоке несжимаемой жидкости, Вестник МГУ, Серия матем. и мех., 1983, Вып. 3, С. 43−46.

5. Вулинский A.B. Ширяев А. Н. Теория случайных процессов, М., Физматлит, 2005.

6. Вайнштейн С. И. Зельдович Я.Б., Рузлшйкин A.A. Турбулентное динамо в астрофизике. М., Наука, 1980.

7. Вентцель А. Д. Курс теории случайных процессов. М., Наука, Физматлит, 1996.

8. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц, М., Физматлит, 2004.

9. Гихман В. В., Скороход A.B.

Введение

в теорию случайных процессов, М., Наука. 1965.

10. Зельдович Я. Б. Магнитное поле при двумерном движении проводящей турбулентной жидкости, ЖЭТФ, 1956, Т. 31, Вып. 1, С. 154−156.

11. Зельдович Я. Б. Рузмайкин A.A. Магнитное поле проводящей жидкости, движущейся в двух измерениях, ЖЭТФ, 1980. Т. 78, Вып. 3, С. 980−986.

12. Зельдович Я. Б., Рузмайкин A.A. Гидромагнитное динамо как источник планетарного, солнечного и галактического магнетизма, Успехи физ. наук. 1987, Т. 152, Вып. 2, С. 263−284.

13. Зельдович, Я. Б. Рузлшйкин А. А., Соколов Д. Д. Магнитные поля в астрофизике, М., Ижевск, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований. 2006.

14. Казанцев А. П. Об усилении магнитного поля проводящей жидкостью, ЖЭТФ, 1967, Вып. 53, С. 1806−1813.

15. Каулинг Т. Магнитная гидродинамика. М., ИЛ., 1959.

16. Краузе Ф., Рэдлер К.-Х. Магнитная гидродинамика средних полей и теория динамо, М., Мир, 1984.

17. Маккин Х. П. Стохастические интегралы, М., Мир, 1972.

18. Мантуров О. В. Мультипликативный интеграл, Проблемы геометрии. 1990, Т. 22, • С. 167−215.

19. Молчанов С. А., Рузмайкин A.A., Соколов Д. Д. Уравнения динамо в случайном короткокоррелированном поле скорости, Магнитная гидродинамика, 1983, № 4,С. 67−72.i.

20. Молчанов С. А. Рузмайкин A.A., Соколов Д. Д. Кинематическое динамо в случайном потоке, Успехи физ. наук, 1985, Т. 145, № 4, С. 593−628.

21. Моффат Г. Возбуждение магнитного поля в проводящей среде. М., Мир, 1980.

22. Паркер Е. Космические магнитные поля, М. Мир. 1982, Т. 1 и 2.

23. Пономаренко Ю. Б. К теории гидромагнитного динамо, Прикл. мех. техн. физика. 1973, Л/а 6, С. 47−51.

24. Соколов Д. Д., Томин Д-Н. Флуктуирующий ABC-поток и гипотеза Зельдовича о быстром динамо, Сборник трудов международной конференции МСС-09 «Трансформация волн, когерентные структуры и турбулентность», Москва, 2009, С. 300−303.

25. Томин Д. Н., Соколов Д. Д. Магнитное поле во флуктуирующем ABC-потоке, Письма в Астрономический Журнал, 2009, Т. 35, .№ 5, С. 359−363.

26. Фрик П. Г. Турбулентность: подходы и модели. М.: РХД, 2003.

27. Bullard, Е. С., Gellrnan Н. The stability of a homopolar dynamo, Proc. Cambr. Phil. Soc., 1955, V. 51, P. 744−760.

28. Choudhuri A.R., Chaterjee P., Nandy D. Helicity of solar active regions from a dynamo model, Ap.J., 2004, 615, L57-L60.

29. Cowling T.G. The magnetic field of sunspots, Month. Not. Roy. Astr. Soc., 1934, V. 94. P. 39−48.

30. Galanti В., Sulem P. Pouquet A. Linear and non-linear dynamos associated with ABC flows, Geophys. Astrophys. Fluid Dynam., 1992, V. 66, issue 1, P. 183−208.

31. Galloway D. and Fnch U. A numerical investigation of magnetic field generation in a flow with chaotic streamlines, Geophys. Astrophys. Fluid Dvn., 1984, V. 29, P. 13−18.

32. Hagino M., Sakurai T. Solar-cycle variation of magnetic helicity in active regions, Publ. Astron. Soc. Jap. 2005, V. 57, P. 481−485.

33. Hollerbach R., Galloway D.J. and Proctor M.R.E. Numerical evidence of fast dynamo action in a spherical shell, Phys. Rev. L, 1995, V. 74, P. 3145−3148.

34. Kleeorm N. Kuzanyan K., Moss D. Rogachevskii I., Sokoloff D. Zhang H. Magnetic helicity evolution during the solar activity cycle: observations and dynamo theory, A&A, 2003, V. 409, P. 1097 -1105.

35. Kleeorm N., Rogachevskii I., Sokoloff D., Tom, in D. Mean-field dynamos in random Arnold—Beltrami—Childress and Roberts flows, Physical. Review, E, 2009, V. 79, 46 302, 7 P.

36. Larmor J. How could a rotating body such as the Sun become a magnet, Rep. Brit. Assoc. Adv. Sci., 1919, P. 159−160.

37. Livermore P.H., Hughes D.W., and Tobias S.M. The role of helicity and stretching in forced kinematic dynamos in a spherical shell, Phvs. Fluid. 2007. V. 19−57 101.

38. Lortz D. Exact solutions of the hydromagnetic dynamo problem, Plazma Phys., 1968, V. 10, P. 967−972.

39. Parker E.N. The formation of sunspots from the solar toroidal field, Astrophys. .J. 1955, V. 121, P. 491−507.

40. Rddler K.-H. Mean-field approach to spherical dynamo models, Astron. Nachr., 1980, V. 301, P. 101−129.

41. Radler K.-H., Kleeorm N. Rogachevskii I. The mean electromotive force for Mhd turbulence: the case of a weak mean magnetic field and slow rotation, Geophys. Astrophys. Fluid Dyn., 2003, V. 97, P. 249−274.

42. Roberts G.O. Spatially periodic dynamos, Phil. Trans. R. Soc. Lond., 1970, A266, P. 535−558.45| Roberts G.O. Dynamo action of fluid motions with twodimensional periodicity. Phil. Trans. R. Soc. London, 1972, A271, P. 411−454.

43. Rogachevskii I. Kleeorm N. Intermittency and anomalous scaling for magnetic fluctuations, 1997, Phys. Rev., E56, P. 417−426.

44. Ruzrnaikm A.A., Sokoloff D.D. and Shukurov A.M. Hydromagnetic screw dynamo, J. Fluid Mech., 1988, V. 197, P. 39−56.

45. Sokoloff D., Bao S.D., Kleeorin N., Kuzanyan K., Moss D. Rogachevshi I., Tomvn D., Zhang H. The distribution of current helicity at the solar surface at the beginning of the solar cycle, Astron. Nachr., 2006, V. 327, no. 5, P. 876−883.

46. Sokoloff' D., Zhang H., Kuzanyan K.M., Tomin D. Magnetic and current helicities in solar dynamos, Adv. Sp. Res., 2007, V. 39, P. 1670−1673.

47. Sokoloff D.D., Zhang H., Kuzanyan K.M., Obridko V.N., Tomin D.N., Tutubalin V.N. Current helicity and twist as two indicators of the mirror asymmetry of solar magnetic fields, Solar Physics, 2008, V. 248, no. l, P. 17−28.

48. Sokoloff D., Tomin D., Rubashny A. Dynamo in context of Riemannian geometry: A mathematical tool and cosmological applications, 8th AIMS Conference «Dynamical systems, Differential equations and applications», Abstracts, Dresden, Germany, 2010,.

49. Tomin D. Sokoloff D. Dynamo in fluctuating ABC flow, Geophvs. Astrophys. Fluid Dyn., 2010, V. 104, no. 2−3, P. 183−188.P. 74.