Алгоритмы робастного обращения нелинейных динамических систем

Обратные задачи динамики управляемых систем входят в круг основных задач теории управления. Решению этих задач посвящены многочисленные исследования как зарубежных, так и отечественных ученых. К этому ряду относится и задача обращения динамических систем, т. е. задача восстановления неизвестного управляющего воздействия, порождающего заданный выход динамической системы.

Решению этой проблемы были посвящены, в частности, работы зарубежных авторов [68], [70], [72], [74], [47], где исследовалась задача обращения линейных систем, а так же работы [52−53], [65−67], посвященные обращению нелинейных конечномерных динамических систем. В нашей стране большой вклад в эту проблематику внесли П. Д. Крутько [27−31], A.C. Галиуллин [5−9], Ю. С. Осипов и A.B. Кряжимский [32−33].

Важность задач обратной динамики управляемых систем обусловлена их значимостью при решении целого ряда практических задач, в частности, при планировании траекторий, в теории идентификации, в теории и практике измерений физических величин и т. д.

Задачи обращения условно можно разделить на два класса: расчетные задачи, т. е. задачи обращения системы по заранее известному выходу, и задачи, решаемые в реальном времени (on-line задачи). Несомненно, алгоритмы обращения для задач первого и, в особенности, второго типа, должны обладать определенной прочностью или, иначе говоря, должны непрерывно меняться при изменении параметров задачи в конечных диапазонах. Такие алгоритмы принято называть робастными. Именно о робастных алгоритмах обращения, решающих проблему в режиме реального времени, и идет речь в данной работе.

Следует отметить, что первые алгоритмы обращения (например, предложенные в работах [70−74]) не могли быть использованы для работы в режиме реального времени. В дальнейшем появились более реалистические алгоритмы (например в работах [32−33]), которые могут применяться для on-line расчетов. Область применения этих алгоритмов ограничена, однако, системами с полностью определенной динамикой (наличие шума измерений допускается) и полной информацией о векторе состояния системы. В случае же задача обращения по выходу с неточно известной собственной динамикой объекта ситуация качественно меняется, поэтому многие известные алгоритмы не могут быть применены для обращения таких объектов, другие же нуждаются в серьезной доработке. Решение проблемы обращения в такой наиболее общей и сложной постановке задачи и составляет главное содержание диссертации.

Основная идея построения робастных алгоритмов обращения нелинейных динамических систем состоит в сведении задачи обращения к задаче стабилизации неопределенной системы по выходу. Это дает возможность использовать хорошо разработанные в последние годы методы стабилизации неопределенных систем [11−18], [39−45], [54−64], [75−77], что и позволило получить ряд новых алгоритмов обращения, решающих задачу робастно.

Под обращением нелинейной динамической системы понимается следующая задача: для ]Г)(/, Ь, К) — системы

Г * = /(*) +"*Ж*), (01)

I У = Кх) > где х? Кп, требуется по измерениям выхода Е К построить непрерывную оценку ?(?) неизвестного входа ?(?). Считаем, что для системы (0.1) выполнено

Предположение (П. 1.): /, Ь — полные аналитические векторные поля, Ь (х) > Ъ0 > 0, /(0) = 0, /г (0) = 0.

Кроме того, относительно неизвестного ?(?) предполагается, что т е ыР{е, е}= т ¦¦ ш < т) — < ^ - *2|>.

В начале как наиболее простой рассматривается случай обращения Ь, И) — системы по состоянию, т. е. при у = х. Основной подход к решению задачи обращения состоит в следующем. Для решения задачи выбирается скалярная функция Н{х) такая, что

ЬъЬ^Н{х) = 0, к = 1, ., 71 — 2, х£ те/ п

1ьЬпГ1Цх)ф 0, ж 6 К™

0.2)

Замена координат г = Т (х), где г^ = 1/г (ж), к = 1, ., п, приводит систему (0.1) к виду к = ¿-к+1, к = 1, ., 71 — 1, п = а (г) + Р (г)ф), 0 < Д, < р (х).

0.3)

Для идентификации ?(t) используется управляемая модель

Г zk = zk+1, к = l,., n- 1, ln = <2(2) +, где управление u (t) направляется на стабилизацию системы в отклонениях е = z — z: ?i =, i = l,., n- 1, l? n=?(z)(u-0

Для синтеза стабилизирующего управления и используются методы теории систем переменной структуры (СПС) [11−18]. В новых координатах (е^сг), где, а = се = с’г' —еп, е' — (ei,., ?n-i), система (0.4) примет вид

У ' (0.4*)

I, а = с’А’е' + с’д’а + ?{u — ?). V У

Так как det (sE—А') = 3n-1+cn, isn~2-h.+ci, то спектр матрицы А' полностью определяется выбором вектора с'. Выберем с' так, чтобы А' была гурвицевой. В этом случае, очевидно, задача стабилизации в нуле векторной системы сводится к задаче стабилизации в нуле скалярной переменной а. Эту задачу решает управление вида ц = + «'» ud = -Msgn (a?), M > (0.5)

Очевидно, что при таком управлении на поверхности <7 = 0 возникает, при идеальных переключениях в (0.5), идеальный скользящий режим, о — 0, либо, при неидеальных переключениях, реальный скользящий режим, когда |<�т| < А.

В качестве оценки неизвестного входа? используется скользящее среднее разрывной компоненты управления ud, а именно: т = fj Ar) dr = 4, (0.6) t-т имеет место

Теорема 1. Пусть для системы (0.1) у = х, выполнено предположение П. 1.? ? Ыр существует к{рс), удовлетворяющая (0.2). Тогда для? из (0.6) с некоторого момента времени справедлива оценка: с1 гр тгпри (7 = 0,

А 2Д || л

Предложенный алгоритм является робастным, т. е. может быть использован и для обращения возмущенной системы =/(аО + Д/(я) + • (0−1*)

Пусть возмущение А/ удовлетворяет М-условию, т. е.

Г ДДя) = ,

I |*>М1 <

0.7)

Пусть, кроме того, возмущение cp (t) удовлетворяет при некотором Т > 0 строгому У-условию: <�р? = 0 или У-условию: lim fT{t) — О, t—юо тогда верно

Следствие 1. Пусть для системы (0.1*) выполнены условия Теоремы 1, возмущение А/ удовлетворяет М-условию и строгому У-условию (У-условию). Тогда? из (0.6) при М > + (р° приближает неизвестный входной сигнал? ? -Lipl⁰,^1} с конечного момента времени (асимптотически) с погрешностью (с установившейся ошибкой) Д (Т,?).

Дополнительную устойчивость к возмущениям предложенный алгоритм приобретает в случае, если обращаемая система эффективно управляема, т. е. вместо (0.1*) рассматривается система x = f (x) + Af (x, t) + tf + u) b (x). (0.8)

Пусть А/ удовлетворяет М-условию:

Г А/(ж, t) = b (x)ip (x, t), l

<

При ил = — (М + ф0(х))8дп ((3(г)а), М >, а = сх справедливо

Следствие 2. Пусть для системы (0.8) выполнены условия Теоремы 1, М-условие,? Е Ыр{(° Тогда? из (0.6) асимптотически приближает? с погрешностью Д (Т, ?).

При незначительных изменениях предложенный алгоритм решает задачу и в случае возмущений следующего типа. Пусть гапкА^х) = г, А?(х) = зрап{Ь, ад/Ь, ., ас1у~1Ь}. Если, кроме того, при всех г = 1 ,., п — 1 выполнено условие [А/(х), А^(х)] Е А^(х), то такое возмущение называют каскадным или нижнетреуголъным. При этом преобразование координат г = Т{х) приводит систему к виду ?{ = ??+1 + ^¿-(У), /г = 1,., п — 1, ?" = а (г) + /3(г)(и + {) + <�рп (г), где г1 = со1(г В силу аналитичности системы и условия

А/(0) = 0 для всех г = 1,., га — 1

Р"^*) = ^?О'К, У" = (^гЬ-^гг)

При известных мажорантах (р^- > г = 1,., гг, ^ = 1,., г можно выбрать гиперплоскость сг = сг = с’г' + = 0 специальным образом, а именно, установить иерархию коэффициентов с^ следующим образом, а = с°{11п~г, г = 1, ., п — 1, где с- - коэффициенты какого-либо устойчивого полинома <�£п-1(5) = виде г п 2 а разрЫВНое управление и'1 определить в ий = -(Мх |г| + М) здп ((тр (г)), с (А + Ф°)|

М >? — М > вир где, А =

О Е' О О ф0

5 П о

— нижнетреугольная (га х га) матрица, тогда будет верно

Следствие 3. Пусть для системы (0.8) выполнены условия Теоремы 1, — каскадное возмущение «линейного» роста-? ? G Lip-f⁰^1}. Тогда существует ¡-л* такое, что при? i > ?i* функция? из (0.6) с некоторого момента времени приближает неизвестный вход? с погрешностью Д (Т, ?).

Предложенный подход распространен на случай, когда известен лишь скалярный выход управляемой системы х = f (x) + b (x)(? + и), (ag)

1 У = Кх) >

Определение 1. Число г называют равномерным относительным порядком или рангом системы (0.9), если 1<�г<�пи при всех х G №п

LbL)h (x) = 0, fc = 0,., r-2, ЬъЬу1}!^) ф 0.

Определение 2. Распределение Ar (x) = span{b, adfb,., ас^-1Ь} - инволютивно, если для всех А: и / таких, что 0 < k, I < г — 1, к ф I следует [ае^Ь, ad^b] G Аг-(ж).

В случае инволютивности Аг (х) существует глобальный диффеоморфизм = Т (яг) — соЦТ^х), ., Тп{х)), Т{0) = 0, приводящий систему (0.9) ранга г к виду, г — 1,., г 1, а i

I = a (z) + f3(z)(u + О,, У = zi ,

0.10) где 2: = ^^д у, ? К71 г, г1? Ег. Первое уравнение в (0.10) называется скрытой динамикой системы. Уравнение ?° = /о (^°, 0) = /оо (2°) определяет нулевую динамику системы. Если нуль этого уравнения асимптотически (экспоненциально) устойчив, то система (0.9) называется асимптотически (экспоненциально) минимальнофазовой.

Для систем ранга 1 рассмотренный диффеоморфизм приводит систему (0.8) (при отсутствии возмущений) к виду

Г ?°=./о (*°, У), 6 Е-1,

I У = «(*)+/*"(«+О, для минимально-фазовой XX/А Ч ~ системы решение задачи обращения сводится к стабилизации в нуле выхода у.

Обозначим /1(2°, у) = /о (г°, у) — /оо (^°) — Пусть при всех г° имеет место оценка

Мг°, у)<�Цу. (0.12)

Кроме того, известен знак /3(г), а в окрестности нуля, а г)<<�х1г° + а2у1 аи<�х2>0. (0.13)

Выберем стабилизирующее разрывное управление и = иа = ядп/Зх х (—ку — Мвдпу), М >

Теорема 2. Пусть для аналитической минимально-фаз о в ой системы (0.9) ранга 1, выполнено предположение П. 1.,? ? выполнены оценки (0.12) и (0.13). Тогда при достаточно больших к > 0? из (0.6) локально (глобально, если (0.12) и (0.13) выполнены везде) решает задачу обращения с погрешностью Д (Т, ?).

Условия обратимости, указанные в Теореме 2, можно ослабить, если применить более сложный алгоритм, использующий наблюдатель состояния. В этом случае управление и конструируется из двух частей и = щ + ис1, где и* = -М*дпу, М>£°.

3(г)

В качестве наблюдателя используется

При выполнении оценок о (Ду)-/о (Л!/)|<^||Д⁰|| + /||Ду||, а (г)-а (г)\<�Ьа\Аг\, (0.15)

— М\<�Ыь*\где, А г = г — Аг° = — г°, А у = у — у, имеет место

Теорема 3. Пусть для аналитической экспоненциально минимально-фазовой системы (0.9) ранга 1 выполнено предположение П. 1., (0.15),? ? Тогда? из (0.6) глобально решает задачу обращения при при достаточно больших к > 0 с погрешностью Д (Т,?).

В работе показано, что предложенный алгоритм является робаст-ным по отношению к возмущениям, удовлетворяющим М-условию и «каскадным» возмущениям.

Кроме того, предложенный подход обобщен на случай систем с произвольным относительным порядком 1 < г < п.

Сначала, как более простая, рассмотрена задача обращения системы ранга г = п.

В этом случае скрытая динамика отсутствует и обращаемая система описывается уравнениями

Уг = У%+1 ,? = 1, .-П- 1 ,

У&bdquo- = 0Ы («+ О + <*Й), (0−16)

У = У, где, как и раньше, г] = со1(ух, ., уп).

Обратная связь, стабилизирующая систему (0.16) в нуле, имеет вид и = -^-с^-Мздп (а), (0.17) где о — сг = а + се, вектор с = (с', 1) выбирается из соображений гурвицевости полинома) = в71'1 + спх5п-2 +. + сх, а т) = со1(у1, ., уп) — асимптотическая оценка вектора 77, вырабатывается наблюдателем

Г & = ^?+1 -и{у1-у), г = 1,., п — 1, г

I Уп = - - у), где й = —с'г}' — Мвдп^сг).

Если параметры г = 1,., п наблюдателя (0.18) образуют иерархию и =, г = 1, ., п — 1, где такие, что полином ро^в) = + +. + I® — гурвицев.

Теорема 4. Пусть для аналитической минимально-фаз о в ой системы (0.10) ранга г = п выполнены предположения П. 1.? Е? 6 Тогда для? из (0.6) при наблюдателе (0.18) при

1 —> сю начиная с некоторого момента времени будет справедлива оценка

Рассмотренный алгоритм обращения нелинейных динамических систем по выходу переносится на системы с произвольным рангом.

Показано также, что как и ранее, предложенный алгоритм обращения системы (0.9) по выходу устойчив к параметрическим возмущениям, удовлетворяющим М-условию или возмущениям нижнетреугольного типа.

Основные результаты

1. Предложен подход к робастному обращению нелинейных динамических систем, основанный на методах стабилизации динамических систем в условиях неопределенности.

2. Предложены алгоритмы робастного обращения скалярных аналитических нелинейных динамических систем постоянного ранга по состоянию и по выходу.

3. Исследованы асимптотические свойства динамических систем обращения при различных функциональных возмущениях и неиде-альностях в реализации законов управления.

4. Описаны новые наблюдатели состояния неопределенных динамических систем.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [19 -22], [24 -25].

Автор глубоко признателен члену-корреспонденту РАН, профессору С. К. Коровину за научное руководство и внимание, проявленное к работе.

1. Айзерман МА. Теория автоматического регулирования. М., Наука, 1966.

2. Андреев Ю. Н. Управление конечномерными линейными объектами. М., Наука, Физмат лит, 1976.

3. Барбашин Е. А.

Введение

в теорию устойчивости. М., Наука, 1967.

4. Васильева A.B., Бутусов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М., Наука, Физмат лит, 1989.

5. Гайшун И. В. // Доклады АН Белорусской ССР, 1978.

6. Галиуллин A.C. Методы решения обратных задач динамики. М., Наука, Физмат лит,. 1986.

7. Галиуллин A.C. Обратные задачи динамики и задачи управлением движениями материальных систем. // Дифференц. уравнения, 1972, N 9.

8. Галиуллин A.C. Обратные задачи динамики. // Сборник научно методологических статей по теоретической механике, М. Высшая школа, 1975, выпуск 5.

9. Галиуллин A.C. Построение поля сил по заданным траекториям. // Сборник научно методологических статей по теоретической механике, М. Высшая школа, 1980, выпуск 10.

10. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Т. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М., Наука, Физмат лит, 1970.

11. Емельянов C. B, Коровин C.K. Новые типы обратной связи. Управление при неопределенности. М, Наука, Физмат лит, 1997.

12. Емельянов C.B. Системы автоматического управления с переменной структурой. М.: Наука, 1967.

13. Емельянов C.B. Бинарные системы автоматического управления. М.: Мир, 1987. — 296 стр. (на англ. языке)

14. Емельянов С. В, Коровин С. К, Левантовский Л. В. Скользящие режимы высших порядков в бинарных системах управления // ДАН СССР.-1986.-Т. 287, N 6.-С. 1338−1342.

15. Емельянов С. В, Коровин С. К, Мамедов И. Г, Носов А. П. Асимптотическая инвариантность в задачах управления неопределенными объектами // ДАН СССР.-1990. Т. 311, N 1.-С. 44−49.

16. Емельянов С. В, Коровин С. К, Уланов Б. В. Управление линейными стационарными объектами при внешних воздействиях с применением обратных связей различных типов // Известия АН СССР, Техническая кибернетика.-1984.^ 1,-С. 174−182.

17. Емельянов С. В, Коровин С. К, Нерсисян А. Л. Об асимптотических свойствах наблюдателей состояния для неопределенных систем с выделенной стационарной линейной частью // ДАН СССР.-1990.-Т. 311, N4.-C. 807−811.

18. Емельянов С. В, Коровин С. К, Нерсисян А. Л, Нисензон Ю. Е. Стабилизация многомерных неопределенных объектов по выходу / / ДАН СССР.-1990.-Т. 311, N 5.-С. 1062−1067.

19. Ильин A.B., Коровин С. К, Фомичев В. В. Алгоритмы обращения линейных скалярных динамических систем: метод управляемой модели // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33, N 3. С. 329—339.

20. Ильин A.B., Коровин С. К, Фомичев В. В. Алгоритмы обращения линейных управляемых систем // Дифференц. уравнения. 1997, Т. 34, N 6, стр. 744−750.

21. Ильин A.B., Коровин С. К, Фомичев В. В. Робастное обращение векторных систем // Дифференц. уравнения, 1998, Т.34, 11, стр. 1478−1486.

22. Ильин A.B., Фомичев В. В. Алгоритмы обращения управляемых систем со структурированной неопределенностью // Вестник МГУ, Прикладная математика, 19 996 N 1.

23. Калман Р, Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М, Наука, МИР, 1971.

24. Коровин С. К., Ильин A.B., Фомичев В. В. Робастное обращение управляемых линейных систем // Доклады РАН, 1998, Т. 356, N 2, стр. 121−123.

25. Коровин С. К., Ильин A.B., Фомичев В. В. Метод управляемой модели в задачах обращения динамических систем// Доклады РАН, 1997, Т. 354, N 2, стр. 171−173.

26. Коровин С. К., Нерсисян А. Д., Нисензон Ю. Е. Управление по выходу линейными неопределенными объектами. // ДАН СССР, Техническая Кибернетика.-1990.-М 1. -С. 67 73.

27. Крутько П. Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Нелинейные модели. М., Наука, Физмат лит, 1988.

28. Крутько П. Д. Конструирование алгоритмов управления нелинейными объектами на основе концепции обратных задач динамики. Системы с одной степенью свободы. // Изв. Ан СССР, Техническая Кибернетика, 1986, N 3.

29. Крутько П. Д. Конструирование алгоритмов управления нелинейными объектами на основе концепции обратных задач динамики. Управление движением относительно центра масс. // Изв. Ан СССР, Техническая Кибернетика, 1987, N 2.

30. Крутько П. Д., Лакота H.A. Метод обратных задач динамики и теории конструирования алгоритмов управления манипуляцион-ных роботов. Задачи стабилизации. // Изв. Ан СССР, Техническая Кибернетика, 1987, N 3.

31. Крутько П. Д., Лакота H.A. Метод обратных задач динамики и теории конструирования алгоритмов управления манипуляцион-ных роботов. Осуществление назначенных траекторий. // Изв. Ан СССР, Техническая Кибернетика, 1987, N 4.

32. Осипов Ю. С., Кряжимский A.B. Известия АН СССР, Техническая Кибернетика, 1983, т.269, N 3, с. 552 556.

33. Осипов Ю. С., Кряжимский A.B. Известия АН СССР, Техническая Кибернетика, 1983, т.269, N 2, с. 51 60.

34. Ройтенберг Я. Н. Автоматическое управление. М., Наука, Физматлит, 1992.

35. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М., Мир, 1980.

36. Уткин В. Н. Скользящие режимы в задачах стабилизации и управления. М., Наука, Физматлит, 1981.

37. Фомичев В. В. Обращение неопределенных систем с неустойчивой нулевой динамикой. // Дифференц. уравнения, 1998, Т. 34, N 1. стр. 136.

38. Фомичев В. В. Некоторые алгоритмы обращения линейных динамических систем // Сборник статей «Алгоритмы управления и индетификации», изд-во Диалог-Наука, 1997, стр. 156 167.

39. Bartolini G., Ferrara A. and Vsai E. Output Tracking Control of Uncertain Nonlinear Second-Order Systems // Automatica, 1991, vol. 13, N 3, pp. 2203−2212.

40. Brockett R.W. Asymptotic Stability and Feedback Stabilization. Ed. R. Brockett, R. Millman, H. Sussmann. In «Differential Geometric Theory», 1983, pp.181−191, Birkhouser, Boston.

41. Byrnes C.I., Isidori A., Steady State Response, Separation Principle and the Output Regulation of Nonlinear Systems // Proceedings of the 28-th Conference on Decision and Control, 1989, Tampa, Florida, pp. 2247−2251.

42. Byrnes C.I., Delli Priscoli F., Isidori A. and Kang W. Structurally Stable Output Regulation of Nonlinear Systems // Automatica, 1997, vol. 13, N 3, pp.369−385.

43. Byrnes C.I., Isidori A. and Williams Passivity, Feedback Equivalence and the Global Stabilization of Minimum Phase Nonlinear Systems // IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 36, N 11, pp. 12 281 240.

44. Cesareo G, Marino R. Nonlinear Control Theory and Symbolic Algebraic Manipulation // Lecture Notes in info sci., 1984, SpringerVerlag, Berlin, vol. 58, pp. 725−740.

45. Chen D. An Iteration Solution to Stable Inversion of Nonminimum Phase System // Proc. Amer. Control Conference, San Fransico, 1993, pp. 2960 -2964.

46. Datta K.B. // Linear Algebra and its Applications, Vol. 151, 1991, pp. 57 83.

47. Dayanansa W.P., Boothby W.M., Elliot D. Global State and Feedback Equivalence of nonlinear Systems, 1985, vol. 6, pp. 228−234.

48. Derasia S., Chen D., Paden B. Nonlinear Inversion Based Output Tracking. // IEEE Trans. Automatic Control, 1996, AC-41, pp. 930 942.

49. Emelyanov S.V., Korovin S.K., Mamedov I.G. Variable Structure Systems: Discrete and Digital. London, CRC, 1995.

50. Haddad W. M, Chellaboina V.S. and Fausz J.L. OptimalNonli-near Disturbance Rejection Control for Nonlinear cascade Systems // International Journal of Control, 1997, vol. 68, N 5, pp.997−1018.

51. Hirschorn R.M. Inevitability of Nonlinear Control Systems. // SIAM Journal of Control and Optimization, Vol. 17, N 2, pp. 289 297.

52. Hunt L. R, Meyer G. Stable Inversion for Nonlinear Systems // Automatica, 1997, Vol 133, N 8, pp. 1549 1554.

53. Gil M. I and Ailon A On Global Feedback Stabilsation of Nonlinear Non-autonomus Systems // International Journal of Control, 1997, vol. 68, N 4, pp.935−941.

54. Johong Wang. Feedback Stabilisation of a Class of Uncertain Nonlinear Dynamical systems // Dynamical Systems and Applications, 1998, N 7, pp. 117−140.

55. Kailath T. Linear Control Systems. Prentic Hall, 1980.

56. Kanellakopoulos I, Kokotovic P.V. and Mores A.S. Systematic Design of Adaptive Controllers for Feedback Linearizable Systems // IEEE Transactions on Automatic Control, 1991, vol. 36, N 11, pp. 1241−1253.

57. Kokotovic P.V., Sussmann H.J. A Posivive Real Condition for Global Stabilization of Nonlinear Systems // Systems and Control Letters vol. 13, N 2, pp. 125−133.

58. Kon-Cheng Hsu Decentzalized Variable-Structure Control Design for uncertain large-scale systems with series nonlinearities // International Journal of Control, 1997, vol. 68, N 6, pp. 1231−1240.

59. Krener A. J, Isidori A, Linearization by Output Injection and Nonlinear Observers // Systems and Control Letters, 1983, N 3, pp.4752.

60. Marino R, Tomei P, Computer Algebra for Nonlinear output feedback stabilization, 1991.

61. Marino R. Adaptive Observers for Single Output Nonlinear Systems // IEEE Transactions on Automatic Control, 1990, vol. 35, pp. 1054−1058.

62. Marino R. Feedback Stabilization on Single-Input Nonlinear Systems // Control Letters, 1988, vol. 40, N3, pp. 201−206.

63. Nijmeijer H, vander Schaft A. Nonlinear Dynamical Control Systems. Springr-Verlag, 1990, Berlin.

64. Respondek W. Global Aspects of Linerization, Equivalence of Polynomial Forms and Decomposition of Nonlinear Control Systems. InAlgebraic and Geometric Matherials in Nonlinear Control Theory. Eds. M. Fliess and M Hazewinkel, D. Reidel Publ. Comp, 1986.

65. Respondek W. Linerization, Feedback and Lie brackets // Press of International Conference «Geometric Theory of Nonlinear Control Systems» Wroclaw Tech. Univ. Press, Wroclaw, 1985, pp. 131−166.

66. Resondek W., Nijmeijer H. On Local Right-Invertiobility of Nonlinear Contol Systems // Control Theory and Advanced Technology, 1988, vol. 4, N 3 pp. 325−348, MITA-PRESS.

67. Sain K.M., Massey J.L. Inevitability of Linear Time-Invariant Dynamical Systems. // IEEE Trans. Automatic Control, 1969, AC-14, N 2, pp. 141−149.

68. Sanutti P., Saberi A. //International Journal of control. 1987. Vol. 45 pp. 1655−1704.

69. Silverman L. M. // Transaction On Automatic Control, 1969, Vol. Ac-14, N 3, pp.270 276.

70. Singh S.N. Decomposition Of Invertible Nonlinear Systems with State Feedback and Precomposition. // IEEE Trans. Automatic Control, 1980, AC-25, N 6, pp. 1237−1239.

71. Singh S.N. A Modified Algorithm for Inevitability in Nonlinear Systems. // // IEEE Trans. Automatic Control, 1981, AC-26, N 2, pp. 595−598.

72. Wei Lin. Global Robust Stabilization of Minimum-Phase Nonlinear Systems with Uncertainty // Automatica, 1997, vol. 33, N 3, pp. 453−462, Elsevier.

73. Whillsky A.S. On the Invertibility of Linear Systems Ibid // IEEE Trans. Automatic Control, 1974, AC-19, pp. 272−274.

74. Zak S.H. On the Stabilization and Observation of Nonlinear Uncertain Dynamic Control // IEEE Transactions on Automatic Control, 1990, vol. 35, N 5, pp. 604−607.

75. Zhao Y.D. and Huang L. Local Stabilization of Nonlinear Systems // Control Theory and Advanced Technology, 1990, vol. 6, N 4, pp. 543−557, MITA PRESS.

76. Zhihua Qu and John Dorsey Comments on the Stabilization and Observation of Nonlinear Uncertain Dynamic Control // IEEE Transactions on Automatic Control, 1991, vol. 36, N 6, pp. 1342−1343.