О дифференциальных уравнениях, порожденных коммутирующими линейными дифференциальными операторами

Диссертационная работа посвящена решению класса задач, связанных с дифференциальными уравнениями, порожденными коммутирующими линейными дифференциальными операторами.

Дифференциальные уравнения, порожденные коммутирующими линейными дифференциальными операторами образуют широкий класс уравнений, который включает в себя уравнения нулевой кривизны, тесно связанные с теорией солитонов [1], [10], [15], [43], [48], [49], [50]. Дифференциальные операторы и их дробные степени, вычисленные по методу И. М. Гельфанда и J1.A. Дикого [9], образуют кольцо, в коммутативном расширении которого строятся дробные степени дифференциальных операторов и соответствующие нелинейные дифференциальные уравнения, решением которых являются солитоны. Алгебраические аспекты этой теории изложены Ю. И. Маниным в работе [34] и его учениками (например, [55]).

Дифференциальные уравнения ненулевой кривизны изучались в работах С. П. Новикова и П. Л. Гриневича [8], которые обратили внимание на трудоемкость решения этих уравнений и на немногочисленность решений, имеющих физический смысл.

Дифференциальные уравнения, порожденные линейными дифференциальными операторами являются обобщением уравнений нулевой кривизны и ряда уравнений математической биологии, рассмотренных A.M. Нахушевым в работе [42]. Нетривиальным примером такой алге-браизации является известное дифференциальное уравнений Абеля, порожденное коммутирующими дифференциальными операторами и, связанное с нелинейным уравнением в частных производных третьего порядка, лежащего в основе математической модели явления переноса энергии гидролиза молекул в виде уединенных волн, то есть солитонов. Это дает возможность применить весь арсенал теории уравнений нулевой кривизны к еще мало изученным уравнениям математической биологии. Кроме того, существует возможность исследовать кольцо дифференциальных операторов, имеющее несколько образующих, что позволяет получать дифференциальные уравнения в частных производных. Даже в случае, когда рассматриваются дифференциальные операторы первого порядка, уравнениями нулевой кривизны получаются уравнения в частных производных второго порядка основных типов [35], [46].

Исследование кольца дифференциальных операторов второго порядка с двумя образующими приводит к дифференциальным уравнениям, среди которых такие уравнения как уравнение вынужденных колебаний [17. С. 491], уравнение Риккати, уравнение типа Эмдена-Фаулера.

Актуальность темы

объясняется и еще тем, что локальные и нелокальные краевые условия, ассоциированные с уравнениями в частных производных, порожденными коммутирующими линейными дифференциальными операторами, требуют развития классических методов решения краевых задач.

Основной целью является исследование алгебраических аспектов, связанных с различными дифференциальными уравнениями, порожденными коммутирующими линейными дифференциальными операторами и локальных и нелокальных краевых задач для класса уравнений математической биологии.

Для решения поставленных задач были использованы метод И.М. Гель-фанда и Л. А. Дикого, элементы схемы метода преобразования рассеяния, осуществляемые дифференциальным уравнением, входящим в пару Лак-са, и алгебраические аспекты нелинейных дифференциальных уравнений.

Применялась формула Грина для дифференциальных операторов и модифицированный метод функций Римана-Адамара.

В ходе работы автором получена следующая совокупность новых научных результатов и положений.

1. Вычислены дробные степени дифференциальных операторов на примере дифференциального уравнения Абеля и его высших аналогов.

2. Построен общий вид коммутатора кольца дифференциальных операторов произвольного порядка с двумя образующими.

3. Решена задача составления уравнений, порожденных коммутирующими дифференциальными операторами второго порядка.

4. Установлена связь и найдены соотношения между решением уравнения типа Эмдена-Фаулера, порожденного коммутирующими операторами, и обыкновенным разрешимым в квадратурах линейным дифференциальным уравнением второго порядка.

5. Построены потенциальная функция и аннулирующий многочлен для высшего уравнения Кортевега-де Фриза и уравнения Абеля.

6. Обоснован аналог метода функции Римана решения задач типа задач Коши и Дарбу для линейного уравнения гиперболического типа третьего порядка с кратными характеристиками.

7. Предложена схема сведения нелокальных задач для уравнений теплопроводности и Аллера" к локальным задачам для нагруженных уравнений.

Диссертация имеет теоретический характер. Результаты, полученные в работе, могут быть использованы в математической биологии для дальнейшего построения теории коммутирующих дифференциальных операторов, алгебраических конструкций решения начальных и краевых задач для широкого класса нелинейных дифференциальных уравнений.

Основные результаты работы докладывались автором на научно-исследовательских семинарах и конференциях Майкопского государственного технологического института (1997 — 2001гг.), на научно-исследовательском семинаре в Адыгейском государственном университете (2001 г.), на семинаре в Научно-исследовательском институте прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН (2001 — 2002 гг.), на 2-й Международной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики» (г. Нальчик, 2001 г.), на Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения-ХШ» (г. Воронеж, 2002 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [24] -[29], [47].

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 9 параграфов, списка литературы из 59 наименований. Объем работы составляет 98 страниц. Текст набран с использованием пакета ВД^Х.

1. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. — М.: Мир, 1987. — 89 с.

2. Айне Э. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков: ГНТИУ, 1939. — 238 с.

3. Акижанов A.A., Кашлимбаев З. А., Акижанова АЛ. Уравнения Кор-тевега де Вриза // Изв. АН Каз. ССР. 1984. № 3. С. 54−57.

4. Бицадзе A.B. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976. — 296 с.

5. Бородин A.B. О решении краевых задач для одного уравнения в частных производных третьего порядка / Дифференциальные и интегральные уравнения. Сб. научных трудов. Нальчик, 1977. С. 2635.

6. Водахова В. А. Краевая задача с нелокальным условием A.M. Наху-шева для одного псевдопараболического уравнения влагопереноса // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 2. С. 280−282.

7. Водахова В. А. Задача Гурса для обобщенного уравнения влагопереноса / САПР и АСПР в мелиорации. Сб. научных трудов. Нальчик. 1983. С. 74−80.

8. Гриневич П. Г., Новиков С. П. Струнное уравнение II. Физическое решение // Алгебра и анализ. 1994. Т. 6. Вып. 3. С. 118−140.

9. Гелъфанд И. М., Дикий Я. А. Дробные степени операторов и гамиль-тоновы системы // Функц. анализ и его приложения. 1976. Т. 10. Вып. 4. С. 13−29.

10. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир, 1988. — 154 с.

11. Жегалов В. И., Миронов А. Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными // Казанское математическое общество. 2001. 226 с.

12. Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по нелинейным дифференциальным уравнениям. Приложение к механике, точные решения. -М.: Физматлит, 1993. 315 с.

13. Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными: Точные решения. М.: Международная программа образования, 1996. — 496 с.

14. Захаров Б. Е., Манаков C.B., Новиков С. П., Питаевский Л. П. Теория солитонов: метод обратной задачи. М.: Наука, 1980. — 105 с.

15. Ионкин Н. И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13, № 2. С. 294−304.

16. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, М.: Наука, 1971. — 582 с.

17. Канчуков в В.З., Шхануков М. Х. Краевые задачи для модифицированного уравнения влагопереноса и сеточные методы их решения // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, N¹. С. 68−63.

18. Канчукоев В. З. Краевая задача для уравнения третьего порядка смешанного гиперболо-параболического типа // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, N-1. С. 177−178.

19. Канчукоев В. З. Об одной задаче для уравнения фильтрации третьего порядка / Методы математического моделирования и вычислительного эксперимента в системах автоматизированного проектирования и планирования. Сб. научных трудов. Нальчик. 1989. С. 119−123.

20. Камынин Л. И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями // ЖВМиМФ. 1964. Т. 4, N-6. С. 1006−1024.

21. Карсанова Ж. Т., Нахушева Ф. М. Об одной нелокальной краевой задаче для псевдопараболического уравнения тетьего порядка // Владикавказский математический журнал. Вып. 2. 2002. Т. 4. С. 31−37.

22. Кричевер И. М., Новиков С. П. Голоморфные расслоения над алгебраическими кривыми и нелинейные уравнения // Успехи мат. наук. 1980. Т. 35, N-6. С. 47−68.

23. Куижева С. К. О краевых задачах для уравнения Аллера // Труды Физического общества Республики Адыгея. 2000. N-5. С. 100−103.

24. Куижева С. К. Вычисление аннулирующих многочленов коммутирующих операторов // Доклады Адыгской (Черкесской) международной академии наук. Нальчик. 2001. Т. 5, № 2. С. 31−33.

25. Куижева С. К. О дробных степенях некоторых дифференциальных операторов / Актуальные проблемы математики и методики ее преподавания. Межвузовский сб. научных трудов. Пенза: Изд-во Пензенского гос. пед. ун-та. 2001. С. 46−51.

26. Куижева С. К. О некоторых дифференциальных уравнениях в частных производных, порожденных коммутирующими дифференциальными операторами // Тезисы докладов. Понтрягинские чтения XIII «Современные методы в теории краевых задач». Воронеж. 2002. С. 89.

27. Куижева С. К. О некоторых дифференциальных уравнениях в частных производных, порожденных коммутирующими дифференциальными операторами // Известия КБНЦ РАН. 2002. № 1(8). С. 30−34.

28. Куижева С. К. О краевых задачах для уравнения гиперболического типа третьего порядка // Известия КБНЦ РАН. 2002. Nal (8). С. 35−42.

29. Лебедев Д. Р. Формализм Захарова-Шабата дробных степеней дифференциальных уравнений. Препринт ИТЭФ-89. 1978. 17 с.

30. Лебедев Д. Р., Савостьянов М. В. Расслоение над кривыми с особенностями и солитонные решения некоторых волновых уравнений. Препринт ИТЭФ-13. 1979. 18 с.

31. Лукашевич H.A., Самодуров A.A. Интегрируемость уравнения Абеля общего вида через функции-решения линейных уравнений второго порядка. // Дифференц. уравн. 1977. Т. 13, Nfi5. С. 859−863.

32. Манжаловский В. П. К интегрированию некоторых однородных линейных дифференциальных уравнений. Харьков: Изд-во ХГУ, 1959. 80 с.

33. Манин Ю. И. Алгебраические аспекты нелинейных дифференциальных уравнений // Современные проблемы математики. 1978. Т. 11. С. 5−152.

34. Мантуров О. В., Паланджлнц Л. Ж. Мультипликативный интеграл и некоторые классы дифференциальных уравнений в частных производных // Прикладные вопросы дифференциальной геометрии (Деп. в ВИНИТИ 11.10.83, .Ма5570−83Деп.). 1983. С 95−100.

35. Мантуров О. В., Паланджлнц Л. Ж. Мультипликативный интеграл и уравнения нулевой кривизны // Дифференц. геометрия и алгебры Ли. (Деп. в ВИНИТИ 17.04.84, № 2384−84Деп.). 1983. С. 11−18.

36. Mumuduepu Э., Похожаев С. И. Априорные оценки и отсутствие решений нелинейных уравнений и неравенств в частных производных // Труды математического института им. В. А. Стеклова. Т. 234. -М.: Издательство «Наука» МАИК «Наука/Интерпериодика», 2001. 383 с.

37. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Физматгиг, 1962. — 99 с.

38. Нахушев A.M. Нелокальная задача и задача Гурса для нагруженного уравнения гиперболического типа и их приложения к прогнозу почвенной влаги // ДАН СССР. 1978. Т. 242, № 5. С. 1008−1011.

39. Нахушев A.M. Краевые задачи для нагруженных интегро-дифференциальных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, № 1. С. 96−105.

40. Нахушев A.M. Нагруженные дифференциальные уравнения и их приложения // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19, № 1.

41. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии: Учеб. пособие для университетов. М.: Высш. шк., 1995. — 301 с.

42. Нъюэлл А. Солитоны в математике и физике. М.: Мир, 1989. — 120 с.

43. Паланджянц Л. Ж. О дифференциальном уравнении Абеля второго рода // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 22, № 12. С. 2187−2188.

44. Паланджянц Л. Ж. Геометрия мультипликативного интеграла. Учебное пособие по спецкурсу. Майкоп: Аякс, 1997. — 67 с.

45. Паланджянц Л. Ж. Мультипликативный интеграл и некоторые его приложения // Пространства над алгебрами и некоторые вопросы теории сетей. 1985. С. 160−163.

46. Паланджянц Л. Ж., Куижева С. К., Шевякова О. П. О дробных степенях дифференциальных операторов // Труды Физического общества Республики Адыгея. 1997. № 2. С. 35−40.

47. Солитоны в действии. Сборник статей. М.: Мир, 1981. — 79 с.

48. Солитоны / Под ред. Р. Буллафа, Ф. Кодри. М.: Мир, 1983. — 110 с.

49. Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Гамильтонов подход в теории соли-тонов. М.: Наука, 1986. — 151 с.

50. Шхануков М. Х. Об одном методе решения краевых задач для уравнений третьего порядка // ДАН СССР. 1982. Т. 265, С. 1327−1330.

51. Шхануков М. Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18, N- 4. С. 689−699.

52. Шхануков М. Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка и экстремальных свойствах его решений // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19, Nfi 1. С. 145−152.

53. Шхануков М. Х. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Нальчик. 1995. 225 с.

54. Шубин М. А. Алгебраические аспекты теории псевдодифференциальных операторов и уравнений Лакса. (Деп в ВИНИТИ 10.11.78, №¦ 157−78 Деп.). МГУ. 1977. 38 с.

55. Bryan А.Е., Miller J.F., Stuart A.E. The modified Korteweg-de Vries equation. Nuovo cimeto. 1988. V. 101B, P. 715−721.

56. Calogero F., Nucci M.C. Lax pairs gabor // J. Math. Phys. 1991. V. 32, Nul. P. 72−74.

57. Golton D.-J. Different Equat. 1978. V. 27, № 3. P. 99−115.

58. Hill J.M. Abel’s differential equation // Math. Scientist. 1982. V. 7. P. 115−125.

59. Malicki A. O rownariu ruchu w szczelinie stozkowej // Folia Soccatatis scentiarum liblinensis. Biul LTN Mat. -fis. -ehem. 1978. V. 20. P. 207 210.