Экстремальные задачи в некоторых классах аналитических функций

В диссертации исследованы проблемы коэффициентов в линейно-инвариантных семействах функций (в том числе и однолистных функций), а также некоторые проблемы для функций с заданным граничным поведением.

Среди основных результатов данной диссертации — решение одной проблемы для функций класса Блоха.

Функции класса Блоха В определяются условиями: /(.г) = а0 + аг + а2г2 +. аналитична в круге Е = {г: г < 1} и #(/) = 8ир{(1 — |22|)|/'(^)|? Е} < со. Они образуют несепарабельное банахово пространство с нормой ||/||Б = 1/(0)| + -??(/)•

Связь с теорией однолистных функций проявляется следующим образом.

Логарифмы производных однолистных в круге Е функций принадлежат шару с радиусом б пространства Блоха. Этот факт был доказан известным немецким математиком Л.Бибербахом. Наоборот, единичный шар пространства функций Блоха содержится в классе функций, состоящем из логарифмов производных однолистных в круге Е функций (см. рис. 1). Этот результат принадлежит Й. Беккеру.

Основополагающие результаты в теории функций пространства Блоха принадлежат П. Л. Дюрену, Х. С. Шапиро, А. Л. Шилдсу [46], X. Пом-меренке [38], [59]. Их исследования продолжили Н. Г. Макаров [53], И. В. Журавлев [21], Й. Фернандес и другие математики. В 1974 году вышла обзорная статья Андерсона, Клуни и Поммеренке, посвященная современному состоянию дел в этой области. Там же были сформулированы 12 открытых проблем. К настоящему времени почти все они решены. В диссертации приводится решение проблемы N 7 из той статьи. Эта проблема является проблемой коэффициентов для однолистных функций.

Экстремальной оказалась известная функция Кебе. Эта функция отображает единичный круг на всю плоскость с прямолинейным разрезом, идущим от точки ¼ до оо.

Проблема коэффициентов для однолистных функций, в силу своей сложности, является традиционным объектом исследования как зарубежных (Бибербах, Левнер, Литтлвуд, Шиффер, Гарабедян, Хейман, Поммеренке, Дженкинс, Сеге, Фекете, де Бранж, Клуни, Ландау, Кар-лесон, Джонс и другие), так и отечественных (Г'.М. Голузин, И.Е. Бази-левич, H.A. Лебедев, И. М. Милин, И. А. Александров, В. Я. Гутлянский, П. М. Тамразов, В. В. Горяйнов, Д. В. Прохоров, В. В. Старков, А.З. Грин-шпан, А. Ю. Васильев и другие) специалистов по теории функций. Проблемы коэффициентов однолистных функций тесно связаны с граничным поведением [45]. Как правило, не удается привести явного аналитического решения какой-либо проблемы коэффициентов. Чаще встреча-юся ситуации, когда экстремальную функцию можно охарактеризовать геометрическим образом. Однако, в подавляющем большинстве случаев практически невозможно сделать ни того, ни другого (значительную часть исключений составляют экстремальные задачи, решением которых является функция Кебе, о которой уже упоминалось выше). Поэтому имеет смысл, в этом случае, получать неточные оценки. В этом направлении, диссертантом усилен один результат Карлесона-Джонса.

Автором изучаются, также, некоторые экстремальные задачи для функций с заданным граничным поведением.

Задачи подобного типа успешно изучались М. А. Лаврентьевым [31], который создал свой собственный эффективный метод решения задач. В диссертации получено продвижение в одной задаче об оптимальном профиле, обтекаемым потоком идеальной несжимаемой жидкости, поставленной Ф. Г. Авхадиевым в 1994 году. Особенность проблемы заключается в том, что эта задача минимаксная. Поэтому классические вариационные принципы, в том числе и вариационный метод М. А. Лаврентьева, здесь неприменимы. Диссертантом предложен новый вариационный метод, основанный на модификации известного вариационного метода Шиффера.

Одним из важных направлений теории однолистных функций является исследование достаточных условий однолистности. В частности, достаточных условий с ограничениями на граничное поведение функций.

В [6], [8], [9] систематизированы основные результаты в достаточных условиях однолистности. В частности, Ф. Г. Авхадиевым [1] построена достаточно стройная теория допустимых функционалов, позволяющая по-существу классифицировать известные функционалы на множестве однолистных функций. Допустимые функционалы можно разбить на 2 типа — регулярные и катастрофичные.

Функционал называется катастрофичным, если не существует нетривиального условия n-листности при п > 2. Автору (совместно с Ф.Г. Авхадиевым) удалось показать катострофичность некоторых хорошо известных функционалов.

Перейдем теперь к конкретному изложению основных результатов диссертации.

Пусть Bs — семейство функций f (z) = log g'(z)) где g (z) — z + a2z2 + a3z3 +. — аналитические и однолистные в Е — {|, z| < 1} функции.

Теорема 1 (п. 1.1). Пусть ап — коэффициенты функции /? Bs-Тогда sup sup |an (/)| = 4. feBs n

Этот результат и решает проблему N 7 из упоминавшейся выше обзорной статьи Андерсона, Клуни и Поммеренке.

Теорема 2 (п. 1.1). Существует функция / Е В, В (/) < 1, такая, что

Нтэир |ап| = е/2, ап = /(гг)(0)/п. п—"оо

С другой стороны, если f Е В и < 1, то для любой нееозрастающей последовательности 8п > 0 имеет место неравенство оо оо гг5п|ап|2 < е <5п,

П=1 П=1 причем число е, вообще говоря, нельзя заменить на постоянную, меньшую, чем е2/4.

В параграфе 2 рассмотрены некоторые другие проблемы коэффициентов, в следующих хорошо известных классах однолистных функций:

Яг = {¡-(г) = ага) г + а2и) г2 +.: < 1, /- однолистна в Е}, = {f (z) = z + b0(f) + h (f)z-1 +.: / - однолистна в Е~ = С Е],

S = if (z) ~ z + с2(/К2 + с3(/)г3.: / - однолистна в Е}. Рассмотрим следующие величины:

Ап = sup |ап (/)|,

Бп = sup|6n (/)|. /€ Е

Несмотря на то, что классы 5, Si,? были введены достаточно давно, долгое время о соотношениях величин Ап и Вп ничего не было известно.

Как показали Л. Карлесон и П. Джонс [45] в 1992 году, для них выполнено соотношение:

Вп/С<�Ап<�С 1оё2 пВп.

В этом неравенстве С — абсолютная положительная константа. В параграфе 2 главы 1 доказывается более сильное соотношение:

Ап < Ск^пБпк)§ п.

Преимущество этого неравенства заключается в том, что во-первых, показатель степени логарифма уменьшается на единицу, во-вторых, вместо Вп берутся Вп 10§-п.

Кроме того, Карлесон и Джонс [45] установили качественную связь между проблемами коэффициентов и средними значениями модуля производной:

1 Г, «. .С

Сп /еБг, зир / Г{г)\йг<�Ап, Вп<- вир [

В диссертации доказывается аналогичное соотношение для логарифмических коэффициентов.

В параграфе 3 доказана следующая оценка.

1ьрС>-А 2тгУо Р (регв)-Р{и}) с + ^ 1о§ Р + Г р — I)5 3 г р — г

Здесь ^ Е 2, Кг < р, 6 < 0.491.

Эта оценка улучшает результат, полученный в [16]. Перейдем теперь к описанию линейно-инвариантных пространств ГГС и основного результата параграфа 4

В [60] Поммеренке ввел понятие линейно-инвариантного семейства М. Это подмножество всех регулярных в круге Е функций, удовлетворяющих условиям: для любых f? М, а е Е, в? R функция р (- a + zeie у (О)У (О) гч/ 1 + аг

Многие известные классы конформных отображений являются линейно-инвариантными семействами, такие, как например классы 5, 50. Здесь 5о подкласс класса 5, состоящий только из выпуклых функций.

Порядком локально однолистной функции в [60] называется следующая величина: ord (f) sup a? E, 9? R

ДО, а 2

Универсальным линейно-инвариантным семейством порядка, а называется объединение всех локально однолистных функций /(г) = 2 + (?2² + ••• для которых огс?(/) = а. Поммеренке [60] показал, что ord (f) = sup

2бД

1-М 2№) Z

1,

2 /'(*) причем U = So -— известный класс выпуклых однолистных в Е функций.

Пусть /? Ua, а < со. Обозначим log f'(z) = an (/)zn. Положим An = supfeUa |an (/)|.

Можно считать, что, а > 1. Отметим также очевидную точную оценку |1 < 2а, так как, а = 2?2, а й2 < огс?(/) < а. Поэтому достаточно рассмотреть случай п > 2.

Нами доказано следующее утверждение.

Теорема 1 (п. 1.4). Предел Нт^-юо Ап существует.

Перейдем теперь к изложению результатов диссертации из главы 2.

Замкнутая спрямляемая (но не обязательно простая) кривая на плоскости называется кривой Радона, если ограничена полная вариация угла касательной к ней. Геометрическое неравенство для таких кривых, доказанное Радоном [36], имеет важные применения в теории нерегулярных краевых задач [18] и в теории однолистных функций [4].

В параграфе 1 главы 2 дано обобщение соответствующего неравенства Радона (с полным исследованием случаев равенств) на тот случай, когда кривая имеет конечное число особых точек, а именно, конечное число раз проходит через бесконечность.

Пусть Ь — замкнутая спрямляемая кривая (Ь может замыкаться и на бесконечности). Из анализа известно, что в этом случае существует такое 50 Е Я+ и {+оо} и существует такая непрерывная слева функция В: [— 50,50] —> Л, что уравнение кривой Ь может быть представлено в виде: г (з) = г0 + Г

J0

5 Е [-50,50], г (з0) = г (-з0).

Положим а{Ь)= I

Пусть ии? Ь и Юи,^) — непрерывная ветвь — ги]. Положим

•50<*<5о И^гДО!- Ь называется кривой Радона, если а (Ь) < +оо.

Если в — абсолютно непрерывна, то a (L) = '(t) dt. Положим

Пусть Ь — кривая, заданная отображением окружности 5 в расширенную комплексную плоскость. Обозначим это отображение через 2. Пусть — все такие точки, что = оо. Отождествим на 5 точки ?1,., ¿-п. Теперь совершим перепараметризацию, переходя к натуральному параметру каждой из кривых. Фактически кривая Ь распадается на п кривых. Предположим, что все эти кривые являются кривыми Радона. Такую кривую будем называть обобщенной кривой Радона. Основные характеристики для обыкновенных кривых, введенные выше, мы переносим и на эти кривые. Полагаем соответствующую характеристику равной сумме характеристик кривых, на которые распадается наша кривая. Положим к (оо, Ь) = п.

Теорема (п. 2.2). Пусть Ь — обобщенная кривая Радона. Имеет место следующее неравенство: причем равенство достигается тогда и только тогда когда соответ

В [10] была поставлена следующая экстремальная задача. Пусть дано течение идеальной несжимаемой жидкости с постоянной скоростью на бесконечности. При заданном угле атаки найти однолистный профиль, максимум скорости течения на котором был бы минимальным в классе всех однолистных профилей, внешний конформный радиус которых фиксирован.

Ф.Г. Авхадиев и A.M. Елизаров [10] показали, что вышеописанная

1, s0 = +оо, 0, 50 < +со.

VW (L) < a (L) + 7г"(оо, L) ствующие функции 9k и си^ согласованно монотонны. задача эквивалентна следующей: sup ICI>i С

F'(0 mm

Fe s

M (а), а > 0.

В этом неравенстве а/2 — теоретический угол атаки.

Они же [10] предположили, что экстремальный профиль будет разрезом. Диссертантом доказан этот факт, при некоторых (вполне ожидаемых) предположениях об экстремалях. Кроме того, по этой проблеме, получены некоторые количественные результаты.

Теорема 1 (п. 2.3). Пусть Е — функция, для которой mm sup G€?|c|>1

W)(i + C)

G'(() sup ICI>i l-E)(l + f)

F'(0 M {a

Предположим, что F непрерывно продолжима на границу OD~ = {|?| = 1} и F (dD~) состоит из двух дуг, внутри каждой из которых определена кривизна (т.е. -Р (|С| — 1) имеет, кривизну во всех точках, кроме быть может? = ега и (= 1).

Тогда F (D~) является внешностью разреза.

Предположение выпуклости слегка упрощает задачу.

Обозначим через Е0 подкласс класса Е, функции которого характеризуются тем свойством, что дополнение F (D) до полной плоскости есть выпуклое множество. Положим 1

Kf (^) — limsup

Кр ((р) — liminf

ПС) Re (CC (0 + 1)

1СП01

Если Е гладка на |(| = 1, то Ур ((р) — это скорость течения в точке Р (ег (р) при обтекании потоком идеальной несжимаемой жидкости с единичной скоростью на бесконечности, при угле атаки равном а/2. Кр{'г) кривизна F (dD) в точке F (elip). Хорошо известно, что F? Е0 тогда и только тогда, когда К pif) > 0, (р G [0,2тг].

На практике считается полезным использовать выпуклые профили, которые состоят из отрезков прямых и линий на которых скорость постоянна. Обоснование такого выбора дано в работах [62], [47]. Сформулируем результат, который также показывает преимущество таких профилей.

Рассмотрим задачу: min max Vf (i?) = M (a).

Fe Е0^е[0,2тг] vr/ w

Такая задача на всем классе однолистных функций, как уже упоминалось выше, была впервые поставлена в [10].

Теорема 1 (п. 2.4). Пусть F экстремальна в задаче тахУр (<�р) —> min = M (а) = M.

V FE So

Тогда

VF (

<�р) = 0.

Хил л в 1949 году [50] и Гудман в 1972 году [49] привели явные примеры функций, показывающие точность постоянных в достаточных условиях однолистности Нехари [54] и Носиро-Варшавского [55], [64]. Примеры Хилла и Гудмана представлят собой функции неограниченной лист-ности. Аналогичный факт отмечен Поммеренке [60] в 1964 году относительно линейно-инвариантного семейства La порядка? rLi состоит из однолистных и выпуклых функций, но для любого б > 0 семейство Li+e содержит бесконечнолистные функции. Таким образом, мы имеем явные примеры катастроф.

В диссертации изучается это явление путем привлечения к рассмотрению других условий однолистности и р-листности.

Приведем сейчас точную постановку проблемы.

Пусть D — область на плоскости С, M (D) — множество конформных отображений области /: D —> С. Следуя [4], [5] функционал I: M (D) —" [0, оо] назовем допустимым в D, если существует постоянная ?1 > 0 такая, что множество

Mt{D) = {f:feM (D)iI (f)< ti состоит из однолистных в D функций w = f (z).

Будем считать, что t — наибольшая из таких констант, т. е. Mt (D) при t > ti содержит и неоднолистные функции.

Пусть число р = р (/, D) определено следующим образом: для любого w G С уравнение f (z) = w имеет не более р корней в D и существует u>0 G С, для которого уравнение /(2) = w0 имеет р корней.

Ясно, что с увеличением t множество Mt (D) расширяется. Существует неубывающая последовательность tn = tn (D) такая, что для любого t G *n+i)

D) < п + 1 для любой функции / G Mt (D), и существует функция/0 G Mt (D), для которой p (f0,D) = n + 1. Допустимый функционал / назовем регулярным, если fi (J, D)< lim in (/, D), п—юо катастрофичным, если i (/, D) = lim in (/,?>).

Цитированные выше результаты можно сформулировать, теперь, следующим образом.

Теорема 1.1 ([54], [50]). Допустимый в области Е = {|.г| < 1} функционал

22 811 Р (1~И2) т) п№) катастрофичен в Е, причем ?1(71,?|) = 2.

Теорема 1.2 ([55], [64], [49]). Допустимый в области Е функционал геЕ катастрофичен в Е, причем = тг/2.

Можно привести ряд примеров регулярных функционалов. Теорема 1.3 ([56], [63]). Допустимый в облает, и Е функционал

1 + Де|ге //(гей)} 9 регулярен в Е, причем ¿-&bdquo-(/з,^) = п.

Из теоремы 1.3 и примера п — листной функции еппг следует, что функционал

Во (/, Я) = 8Т1Р является регулярным в й и для любого натурального п

1 < ЫЁаИ < п

Пусть, а — фиксированное число из (0,1] и гм

2а

Д,(/, Я) = 8ир (1-Н2) г? Е Г

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 1 (п. 2.5). Существует абсолютная постоянная С > О такая, что гп{Ва, Е)

Как показали Беккер и Поммеренке [43], [44], ^(Вг.Е) = 1. Этот результат мы дополняем следующим утверждением.

Теорема 3 (п. 2.5). Функционал В катастрофичен в Е, т. е. 1п (В, Е) = 1 для любого натурального п.

В последнем параграфе главы 2 приводится контрпример к аналитическому неравенству Пуанкаре.

Д. Гамильтоном [42] была поставлена следующая задача.

Для каких областей И на плоскости существует константа к (Б) < +оо такая, что для любой аналитической функции /(-г), /(0) = 0 верно неравенство

1хд, у < к (Б) [ (Vf4xdy. (*' В

Это неравенство является аналогом неравенства Пуанкаре для функций с компактным носителем, которые обращаются в нуль на границе области. Ф. Г. Авхадиевым и Р. Г. Салахудиновым [41] выделены области для которых верно (*). Этими областями являются области класса Джона, т. е. области без внутренних нулевых углов. В другом направлении Хум-мелем [51] был построен пример спиралеобразной области, для которой (*) неверно.

Диссертантом доказана следующая теорема.

Теорема (п. 2.6). Существует ограниченная звездная область I) со спрямляемой границей и существует аналитическая функция /(г) такая, что

УI f4xdy = +оо, I!' 4ffdxdy < +оо.

Итак, на защиту выносятся следующие результаты: решение проблемы Андерсона, Клуни и Поммеренкеусиление результата Карлесона и Джонса об оценке коэффициентов однолистных функцийкачественные свойства экстремалей в задаче о профиле с минимальным максимумом скоростидоказательство катастрофичности функционала Й. Беккера.

Основные результаты диссертации изложены в работах [11−14], [2228], [40], [52].

Результаты параграфа 1 главы 1 и параграфа 5 главы 2 получены совместно с Ф. Г. Авхадиевым. Результаты параграфа 4 главы 1 получены совместно с В. В. Старковым.

Результаты диссертации по мере их получения докладывались на следующих конференциях:

1. 6-я Саратовская зимняя школа по теории функций и приближений, 30 января — 4 февраля 1994, Саратов.

2. Международная конференция «Алгебра и Анализ», посвященная 100 — летию со дня рождения Н. Г. Чеботарева, 6−11 июня 1994, Казань.

3. 3-я Суслинская конференция, посвященная 100-летию со дня рождения М. Я. Суслина, 20 — 30 июля 1994, Саратов.

4. 4-я международная конференция «Лаврентьевские чтения», 3−7 июля 1995, Казань.

5. Всероссийская конференция «Теория функций и ее приложения», 15 — 22 июня 1995, Казань

6. XVI Rolf Nevanlinna Colloquim. University of Joensuu, August 1−5, 1995, Finland. (В этой конференции участвовал с докладом мой соавтор В. В. Старков)

7. 7-я Саратовская зимняя школа по теории функций и приближений, 28 января — 7 февраля 1996, Саратов.

8. Международная конференция «Современные проблемы математики и механики», посвященная 175-летию со дня рождения П.Л. Чебы-шева, 13 — 19 мая 1996, Москва.

9. II республиканская научная конференция молодых ученых и специалистов, 28 июня — 1 июля 1996, Казань.

10. Всероссийская школа-конференция, посвященная 100-летию со дня рождения Б. М. Гагаева, 16 — 22 июня 1997, Казань.

11. Итоговые научные конференции Казанского университета, 1994 — 1997.

Результаты также докладывались на семинаре под руководством проф. Л. А. Аксентьева. В целом работа доложена на семинаре по руководством д.ф.-м.н. Ф. Г. Авхадиева.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук Ф. Г. Авхадиеву. 1

Оценки логарифмических коэффициентов в некоторых линейно-инвариантных семействах

1. Авхадиев Ф. Г. Конформные отображения и краевые задачи. Изд-во Казанский фонд «Математика». Казань, 1996. 216 с.

2. Авхадиев Ф. Г. Об условиях однолистности аналитических функций // Известия Вузов. Математика. -1970. -К 11. -С. 3−13.

3. Авхадиев Ф. Г. Некоторые достаточные условия однолистности аналитических фунуций // Труды семинара по краевым задачам. Казанский ун-т. -1972. -Вып. 10. -С. 3−10.

4. Авхадиев Ф. Г. Некоторые геометрические неравенства и достаточные условия р-листности // Известия Вузов. Математика. -1983. ^ 10. -С. 3−12.

5. Авхадиев Ф. Г. Допустимые функционалы в условиях инъективно-сти для дифференцируемых отображений п-мерных областей // Известия Вузов. Математика. -1989. -К 4. -С. 3−12.

6. Авхадиев Ф. Г., Аксентьев Л. А. Основные результаты в достаточных условиях однолистности // Успехи матем. наук. -1975. -С. 3−60.

7. Авхадиев Ф. Г., Аксентьев Л. А. Достаточные условия однолистности аналитических функций // ДАН СССР. -1974. -Т. 198. -К 4. -С. 743−746.

8. Авхадиев Ф. Г., Аксентьев Л. А. Достижения и проблемы в достаточных условиях конечнолистности аналитических функций // Известия Вузов. Математика. -1986. -К 10. -С. 3−10.

9. Авхадиев Ф. Г., Аксентьев JI.A. Достаточные условия конечнолист-ности аналитических функций и их приложения // Итоги науки и техники. Математический анализ. -1987. -Т. 2−5. -С. 3−121.

10. Авхадиев Ф. Г., Елизаров A.M., Фокин Д. А. Максимизация критического числа Маха для несущих крыловых профилей // Препринт N 94−1 НИИ мат. и мех. им. Н. Г. Чеботарева. -Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1994. 53 с.

11. Авхадиев Ф. Г., Каюмов И. Р. Оценки в классе Блоха и их обобщения / Тезисы докладов международной научной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Н. Г. Чеботарева. -Казань, 5 -11 июня, 1994, -Ч. 2, -С. 9.

12. Авхадиев Ф. Г., Каюмов И. Р. Оценки логарифмических коэффициентов для производных в основных классах однолистных функций // Труды 7-й Саратовской зимней школы «Теория функций и ее проиложения» (памяти профессора A.A. Привалова). -1995. -Ч. 2. -С. 77−81.

13. Авхадиев Ф. Г., Каюмов И. Р. Оценки в классе Блоха и их обобщения // Доклады РАН. -1996. -Т.349. -N 5. -С. 583−585.

14. Авхадиев Ф. Г., Каюмов И. Р. О бесконечнолистных функциях / Материалы конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Б. М. Гагаева. -Казань, 16−22 июня 1997. -С. 9.

15. Авхадиев Ф. Г., Салахудинов Р. Г. Точные оценки в весовых пространствах Бергмана и их приложения / Материалы конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Б. М. Гагаева. -Казань, 16−22 июня 1997. -С. 9.

16. Баранова В. А. Об интерполировании функций, регулярных на замкнутых множествах // ДАН СССР. -1976. -К 6. -С. 1221−1224.

17. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966. 628 с.

18. Данилюк И. И. Нерегулярные граничные задачи на плоскости. М.: Наука, 1975.

19. Евграфов М. А. Аналитические функции. М.: Наука, 1968, 472 с.

20. Журавлев И. В. Некоторые достаточные условия продолжимости аналитических функций // ДАН СССР. -1978. -Т. 243. -14. 6. -С. 1377−1380.

21. Журавлев И. В. Однолистные функции и пространства Тейхмюл-лера // ДАН СССР. -1980. -Т. 250. -К. 5. -С. 1047−1050.

22. Каюмов И. Р. Об одной теореме Карлесона и Джонса / Тезисы докладов IV международной конференции «Лаврентьевские чтения» по математике, механике и физике. -Казань, 1995. -С.43.

23. Каюмов И. Р. Обобщение и приложение одной теоремы Радона // Известия Вузов. Математика. -1996. -К 4. -С. 35−38.

24. Каюмов И. Р. Об одном свойстве оптимальных выпуклых профилей // Труды IV Всероссийской научной школы «Гидродинамика больших скоростей». Чебоксары: Чуваш, ун-т, 1996. -С. 97−101.

25. Каюмов И. Р. Проблемы коэффициентов и интегральные средние / Тезисы докладов II республиканской научной конференции молодых ученых и специалистов. -Казань, 28 июня 1 июля, 1996. -Книга 3. -С. 15.

26. Каюмов И. Р. Об аналитическом неравенстве Пуанкаре / Материалы конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Б. М. Гагаева. -Казань, 16−22 июня 1997. -С. 114.

27. Каюмов И. Р., Старков В. В. Оценки коэффициентов локально однолистных функций // Труды Петрозаводского Государственного Университета. Серия Математика. -1996. -Вып. 3. -С. 88−96.

28. Колмогоров А. Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989, 624 с.

29. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения. М.: Наука, 1987, 425 с.

30. Лаврентьев М. А. и Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973, 736 с.

31. Лебедев H.A. Принцип площадей в теории однолистных функций. М.: Наука, Москва 1975, 336 с.

32. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том 2. М.: Наука, 1968, 624 с.

33. Милин И. М., Однолистные функции и ортонормированные системы. М.: Наука, 1971, 256 с.

34. Прохоров Д. В. Множество значений системы функционалов, на классе однолистных функций // Мат. Сборник. -1990. -Т. 181. -N 12. -С. 1659−1677.

35. Радон И. О краевых задачах для логарифмического потенциала // Успехи Матем. Наук. 1. -1946. -N 3−4. -С.96−124.

36. Шабалин П. Л., О продолжимости с границы внутрь области условия Гельдера для гармонических функций // Известия вузов. Математика. -1986. -N 10. -С. 82−84.

37. Anderson J.M., Clunie J. and Pommerenke Ch. On Bloch functions and normal functions // J. Reine Angew. Math. -1974. -T. 270. -C. 12−37.

38. Avhadiev F.G., Elizarov A.M., Fokin D.A. Estimates for critical Mach number under isoperimetric: constraints // Europeen J. of Appl. Math. -1995. -V. 6. -C. 385−398.

39. Avhadiev F.G., Kayumov I.R. Estimates for Bloch functions and their generalization // Complex Variables. -1996. -V. 29. -C. 193−201.

40. Avhadiev F.G., Salahudinov R.G. Sharp estimations of norms in Bergman Spaces and their application // The 5 g. Preprint, Series in Mathematics. Kazan University Press. -1997. -N 1. -P. 1−4.

41. Barth K. F., Brannan D. A., Hayman W. K. Research problems in complex analysis // Bull. London Math. Soc. 1984. -N 16. -P. 490 517.

42. Becker J. Lownersche Differentialgleichung und quasikonform fortsetzbare schliclite Funktionen //J. Reine und Angew. Math. -1972. -T. 255. -C. 23−43.

43. Becker J., Pommerenke Ch. Shlichtheitskriterien und Jordangebiete // J. Reine und Angew. Math. -1984. T. 354. -C. 74−94.

44. Carleson L. and Jones P. On coefficient problems for univalent functions // Duke math. J. -1992. -V. 66. -N 2. C. 169−206.

45. Duren P.L., Shapiro M.S., Shields A.L. Singular measures and domaine not of Smirnov type // Duke Math. J. -1966. -N 33. -C. 247−254.

46. Gilbarg D., Shiftman M. On bodies achieving extreme values of critical Mach number, 1 // J. Ration. Mech and Analysis. -1954. -V. 3. -N. 2. -C. 209−230.

47. Godula J. and Starkow V. Logarithmic Coefficients of Locally Univalent Functions // Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska, Lublin Polonia. -1989. -V. XLIII. -N 2. -C. 9−13.

48. Goodman A. W. A note on the Noshiro-Warschawski theorem // J. d' Analyse Math. -1972. -N 25. -C. 401−408.

49. Hille E. Remarks oil a paper by Zeev Nehari // Bull. Amer. Math. Soc. -1949. -T. 55. -N 6. -C. 552−553.

50. Hummel J.A. Counterexamples to the Poincare inequality // Proc. Amer. Math. Soc. -1957. -V. 8. -N 2. -P. 207−210.

51. Makarov N.G. On the distortion of boundary sets under conformai mappings // Proc. London Math. Soc. -1985. -T 51. -N 3. -C. 369−384.

52. Nehari Z. The Schwarzian derivative and schlicht functions. // Bull. Amer. Math. Soc. -1949. -55. -N 6. C. 545−551.

53. Noshiro K. On the theory of schlicht functions //J. Fac. Science, Hokkaido Imp. univ. -1934. -N 2. -C. 124−155.

54. Paatero V. Uber die konforme Abbildung von Gebieten // deren Rander von beschrankter Drehung sind. Akad. Abh. Helsinki. -1931.

55. Polya G, Shiffer M. Sur la reprepresentation conforme de l’exterieur d’une courbe fermee convex // C. R. Acad. Sei. -1959. -248. -N 20. -C. 2837−2839.

56. Polya G. and Szego G. Isoperimetric inequalities in mathematical physics. Princeton, Princeton University Press. -1951.

57. Pommerenke Ch. On Bloch functions //J. London Math. Soc. 1970. -V. 2. -N 2. -P. 689−695.

58. Pommerenke Ch. Linear-invariante Familien analytischer Funktionen // Math. Ann. -1964. -155. -C. 108−151.

59. Pommerenke Ch. On the integral means of the derivative of a univalent functions //J. London Math. Soc. -1985. -32. -C. 254−258.

60. Shmidemen C. Die Berechnung kavitationssicherer Tragflugelprofile // ZAMM. -1932. -Bd. 12. -H. 5.

61. Umezawa T. On the theory of univalent function // Tohoku Math. J. -1955. -N 5. -C. 218−228.

62. Warschawski S. E. On the higher derivatives at the boundary in conformai mapping // Trans. Amer. Math. Soc. -1935. -N 38. -C. 310 340.

63. K.-J. Wirths, Uber holomorphe Functionen, die einer Wachstumsbeschrankung unterhegen // Arch. Math. -1978. -N 30. -C. 606−612.