Динамические условия совместности и их применение к исследованию распространения ударных волн

Вопросы распространения и взаиглодействия ударных волн представляют большой научный и практический интерес. Так, практическую важность имеет рассмотрение таких задач, как движение ударных волн в неоднородной среде (примером которой может служить атмосфера), изменение давления при нестационарном отражении ударных волн от твердой поверхности, взаимодействие ударных волн с возмущениями различного рода, устойчивость ударных волн.

Теоретическое исследование перечисленных задач осложняется вследствие того, что ударные волны представляют собой нелинейные возмущения среды. Это проявляется, в частности, в том, что скорость распространения ударной волны зависит от ее интенсивности.

Имеющиеся в литературе теоретические работы, посвященные нестационарным ударным волнам, можно разбить на две группы. В работах первой группы авторы численно рассчитывают движение ударных волн. При этом, поскольку часть граничных условий задается на ударной волне, положение и форма которой заранее неизвестны, широкое распространение получили методы сквозного счета [1−4]• В них волна «размазывается». Искусственная вязкость, вводимая в результате размазывания, существенно превышает реальную вязкость. При выделении фронта ударной волны [5] возникают трудности, связанные с построением волны на сетке и записью граничных условий на волне. В других работах используются аналитические методы, причем часто делаются упрощения, правомерность которых заранее не ясна. Так, широко известен метод Уизема [6], в котором на фронте волны применяется соотношение, справедливое, строго говоря, только вдоль характеристики. Ряд авторов [7,8] использует разложение газодинамических функций в ряд по координатам и по времени. Помимо этих двух направлений, можно указать на другой путь: использование геометрических и кинематических условий совместности, найденных Гю-гонио [9] и Адамаром [Ю] - соотношений наиболее общего вида, не зависящих от динамики процесса, которые должны выполняться на фронте волны при условии, что он остается единственным. Следующий шаг должен заключаться в том, чтобы учесть динамику процесса и применить найденные таким образом соотношения для расчета движения ударных волн. До сих пор этого не было сделано. Геометрические и кинематические условия совместности использовались в основном лишь для качественного исследования распространения ударной волны при одномерном течении [II, 12].

В диссертации рассматривается общая задача о распространении ударных волн в совершенном газе, параметры которого зависят от координат и времени. Показано, что при расчете течения за ударной волной могут быть эффективно использованы соотношения для производных. В соответствии с этим для расчета движения ударных волн применен метод, использующий соотношения для производных от параметров потока (движения, плотности, скорости газа) на фронте нестационарной ударной волны произвольной формы. Эти соотношения — динамические условия совместности" ^ - дают связь между производными по

I) Термин «динамические условия совместности» употреблен Н. Е. Кочиным ИЗ] для обозначения законов сохранения на ударной волне. В [141 под этим термином подразумеваются условия, налагаемые на производные от параметров потока за фронтом волны. В настоящей работе мы используем данный термин именно в этом смысле. времени и по координатам от величин, характеризующих течение, Автором впервые получены динамические условия совместности в наиболее общем случае пространственного течения, когда газ перед ударной волной находится в состоянии движения, Сущность использованного в работе метода состоит в том, что с помощью динамических условий совместности строится решение уравнений газодинамики, соответствующее нераспадающемуся фронту волны" Рассматриваемые соотношения выведены из геометрических и кинематических условий совместности с учетом уравнений газодинамики и законов сохранения на ударной волне.

Динамические условия совместности найдены в различной форме: I) в виде связи между первыми производными по времени и по нормали к фронту ударной волны от величин, характеризующих течение (плотности, давления) — 2) в виде выражений для изменения вдоль луча числа Маха волны или производной по нормали от плотности и давления за волной (дифференциальное уравнение луча имеет вид &-уЬ, где У ^ - контр-авариантные компоненты нормали к фронту волны). Первая производная от числа Маха вдоль луча выражается через среднюю кривизну фронта волны, производную по нормали от какой-либо величины за волной, а также через производные от параметров течения за волной. Эта формула включает в себя как частный случай уже имеющиеся в литературе соотношения [153″ В выражение для второй производной от числа Маха вдоль луча входят первая и вторая производные по нормали от давления (или плотности) за волной, средняя и гауссова кривизна фронта волны, величины (ум)" и ДМ (где (уМ]5= ^Ж^, л м- -&-М в «ЭУ Ц?/ производные от параметров течения перед волной. Показано, что за волной можно задать произвольным образом распределение только одной величины (например, давления). Распределение остальных величин (плотности, скорости газа) однозначно выводится из распределения давления. Найдена траектория частицы газа за фронтом нестационарной ударной волны с точностью до малых третьего порядка включительно. С помощью приведенных выражений построено течение в окрестности фронта ударной волны в момент 1/ +А «Ъ (с точностью до членов порядка дГ включительно) при условии, что в момент Ь известна форма волны и распределение за волной какой-либо одной величины (давления или плотности), С помощью описанного метода решен ряд задач по распространению ударных волн (взаимодействие ударной волны с акустическими волнами и энтропийными возмущениямирегулярное отражение плоской ударной волны от гладкого затупленного тела произвольной формыначальная стадия взаимодействия плоской ударной волны с головной волной перед телом). Исследование этих задач позволило выявить новые черты рассматриваемых процессов. Ниже мы кратко остановимся на основных этапах решения и перечислим наиболее интересные результаты.

I. Линейная пространственная задача о взаимодействии плоской ударной волны с возмущением, имеющим плоскую границу. Таким возмущением может быть акустическая волна, давление за фронтом которой зависит от трех координат и времени, либо неоднородная область покоящегося газа, плотность внут ри которой зависит от трех координат. Считается, что фронт ударной волны параллелен фронту акустической волны (либо границе неоднородной области). Решение в области за ударной волной ищется в виде суперпозиции двух акустических волн (в том случае, когда акустическая волна догоняет ударную волну), либо в виде одной акустической волны (при набегании ударной волны на неоднородность). Решение должно удовлетворять законам сохранения на ударной волне и динамическому условию совместности. В данном случае использовано линеаризованное условие совместности для второй производной от числа Маха вдоль луча. Обнаружен ранее не известный факт, что поставленная задача в общем случае не имеет решения* Найдены условия, при которых она становится разрешимой.

2. Нелинейное одномерное взаимодействие плоской ударной волны с возмущениями. В работе исследовано встречное и до-гонное взаимодействие акустической волны с ударной волной, а также падение ударной волны на неоднородную область покоящегося газа. Для нахождения решения использовано записанное в характеристической форме нелинейное волновое уравнение для неиэнтропического течения. Это уравнение решается методом последовательных приближений. Процедура построения решения такова. Решение волнового уравнения (однородного для первого приближения и неоднородного для второго и более высоких приближений) зависит от двух произвольных функций. Подставив это решение в динамическое условие совместности, записанное для величины 1Е?, мы получаем линейное обыкновенная ное дифференциальное уравнение первого порядка, из которого определяется вид решения в каждом из рассматриваемых случаев. В диссертации найдено во втором приближении распределение плотности и давления за ударной волной и число Маха волны, которое оказывается зависящим от предыстории процесса. В частности, в задаче о падении ударной волны на область покоящегося газа с убывающей плотностью получено выражение для числа Маха проходящей ударной волны, которое показывает влияние профиля плотности внутри неоднородности на изменение числа Маха. Установлено, что для слабых волн распределение плотности за волной внутри неоднородности носит такой же характер, что и распределение плотности перед волной. Из формулы для числа Маха волны следует, что при распространении ударной волны по неоднородности относительное изменение числа Маха тем больше, чем сильнее волна. Наоборот, относительное изменение скорости волны наиболее значительно для слабых волн. К такому же выводу можно прийти из анализа преломления ударной волны на контактной поверхности. Абсолютная величина градиента плотности внутри неоднородности возрастает при распространении по ней ударной волны.

5. Регулярное отражение плоской ударной волны от гладкого затупленного тела. Решение берется в виде ряда по Ь с точностью до членов второго порядка включительно. Центр разложения взят в точке N пересечения отраженной волны с поверхностью тела. В решение входят первая и вторая производная по времени от числа Маха отраженной ударной волны и производные вдоль луча от «2 В? и (где И/ - нормаль к фронту отраженной волны). В окончательной форме неизвестными являются первая и вторая производные по нормали от давления в точке N, которые определяются из граничного условия непротекания на поверхности тела. Выполнены систематические расчеты для сферы и кругового цилиндра. Отметим характерные черты нестационарного течения за отраженной от сферы ударной волной. Течение имеет особенность в точке оС = < аСъ С Ы — угол падения волны- ©-¿-э — предельный угол существования [1б] регулярного отражения). Распределение плотности и давления в начальные моменты времени и при Ь^Ъ* (где — соб"*)/^, градиус сферы) носит различный характер. В начальные моменты времени плотность на оси симметрии возрастает в направлении от тела к волне, затем на кривой распределения плотности возникает максимум, с течением времени перемещающийся к поверхности тела. Давление на оси симметрии при больших числах Маха убывает от тела к волне, при малых числах Маха возрастает. При малых временах минимальное значение плотности достигается в точке торможения. При возрастании времени минимум плотности удаляется от оси симметрии, а затем оказывается на волне. Точка, в которой давление минимально, при малых временах лежит на теле, при и больших числах Маха — на волне, при и малых числах Маха — на теле.

6. Начальная стадия взаимодействия плоской ударной волны с головной волной перед осе симметричным затупленным телом (скорость набегающей волны направлена вдоль оси симметрии течения). Из выражения для изменения числа Маха волны вдоль луча и условия на контактной поверхности, возникающей в результате взаимодействия волн, найдены начальные значения лм величины для проходящей и головной волн после взаимоаЛ? действия, а также производных по нормали от давления и плотности за каждой из волн. Эти данные использованы при анализе задачи о набегании плоской ударной волны на затупленное тело, обтекаемое сверхзвуковым потоком.

Интересно сравнить полученные результаты с экспериментом, С другой стороны, представляется целесообразным экспериментально исследовать движение ударных волн и в тех случаях, полный теоретический анализ которых в настоящее время затруднителен. К сожалению, имеющиеся в литературе экспериментальные результаты по взаимодействию ударной волны с возмущениями различного вида (акустическими волнами, энтропийными возмущениями) и с твердыми телами являются неполными. Так, отсутствуют данные по распределению плотности за плоской ударной волной, распространяющейся вдоль неоднородности в одномерном случае, нет сведений о распределении плотности за ударной волной при ее регулярном отражении от сферы, сравнительно немногочисленны экспериментальные работы, посвященные взаимодействию плоской ударной волны с телами, обтекаемыми сверхзвуковым потоком, и телами, имеющими выемку.

Поэтому нами были выполнены соответствующие эксперименты на установке, созданной для этой цели — ударной трубе, которая могла работать в однодиафрагмеином и двухдиафрагме ином режимах.

В рабочей секции ударной трубы, снабженной оптическими окнами, в зависимости от цели эксперимента, помещалась либо модель, либо специальное устройство, с помощью которого в газе создавалось возмущение (генератор акустических волн, генератор вихревых колец, нагреватель, емкость газа с пористой стенкой). Для визуализации картины течения применены теневой и интерферометрический методы. Давление на поверхности модели измерялось с помощью пьезодатчика.

Далее перечислены наиболее важные результаты, полученные из экспериментов"

Проведены опыты по прохождению плоской ударной волны через неоднородность, распределение плотности внутри которой было близко к одномерному. Измерено распределение плотности внутри неоднородности до прихода ударной волны и за фронтом волны. Экспериментально подтвержден факт возрастания градиента плотности внутри неоднородности после прохождения по ней ударной волны.

В опытах по встречному взаимодействию акустических волн с ударной волной измеренные значения изменения частоты следования звуковых импульсов при прохождении их через фронт ударной волны удовлетворительно согласуются с расчетными при малой амплитуде звуковых импульсов.

Измерено распределение плотности в различные моменты времени в области за ударной волной, отраженной от сферы. Экспериментальные значения оказались близки к расчетным. Проведенные опыты позволяют сделать заключение о точке перехода от регулярного отражения к маховскому при падении плоской ударной волны на затупленное тело. В литературе нет единого мнения по этому вопросу [17−20]. Наши данные о распределении плотности вдоль поверхности сферы свидетельствуют о том, что этот переход происходит при об"

Экспериментально обнаружены регулярные затухающие колебания ударной волны, отраженной от тела с полостью. Амплитуда колебаний зависит от глубины полости. Важную роль в возникновении этих колебаний играет вторичная ударная волна, образующаяся внутри полости.

Экспериментально исследован переход к установившемуся течению при падении плоской ударной волны на затупленное тело (цилиндр с плоским или сферическим затуплением), находящееся в сверхзвуковом потоке. Измерен промежуток времени, за который головная волна становится неподвижной относительно тела, определено время установления давления и плотности. Обнаружено, что движение головной волны носит немонотонный характер. Установлено, что число Маха проходящей волны при ее движении по ударному слою меняется незначительно, что соответствует теоретическим оценкам. Измеренная скорость ударной волны, отраженной от цилиндра с плоским торцом, оказалась существенно ниже, а плотность газа за отраженной волной вблизи торца выше расчетной. Этот факт, по-видимому, объясняется охлаждением газа за отраженной волной вблизи тела.

Автор выносит на защиту:

1, Динамические условия совместности для производных на фронте ударной волны;

2, Применение динамических условий совместности для решения задач о распространении ударных волн;

3, Особенности нестационарного взаимодействия плоской ударной волны с затупленными телами и телами, имеющими выемку.

Результаты работы могут быть использованы при определении силового воздействия ударной волны на тела различной формы и при анализе устойчивости ударных волн.

В заключение считаю своим долгом выразить глубокую признательность члену-корр. АН СССР Предводителеву A.C., который в значительной степени способствовал тому, что я занялся этой темой. Выражаю благодарность своим ученикам и товарищам по работе Знаменской И. А., Климову А. И., Козинцевой М. В., Лисину Ю. Г., Маковскому Ю. Ф., Рязину А. П., Сысоеву H.H., Ште-менко Л.С.ГЯ благодарен Акимову А. И. и Иванову В. И. за помощь в работе.

За помощь в оформлении диссертации благодарю Алексееву Л. Н., Ореппшну Л.З.

Благодарю всех сотрудников кафедры молекулярной физики за плодотворные дискуссии, возникавшие в процессе выполнения работы