Анализ и синтез робастных многомерных систем управления на основе частотных неравенств

Актуальность темы

Вопросы анализа и синтеза многомерных систем автоматического управления (МСАУ) являются одним из центральных в теории и практике автоматического управления. До середины 80-х годов для решения указанного круга задач фундаментом служили второй метод Ляпунова, линейно-квадратичная (LQ) оптимизация, модальное управление, а также частотные подходы, опирающиеся на концепцию диагональной доминантности и метод характеристических годографов. Этот фундамент был заложен работами И. Н. Вознесенского, H.H. Кра-совского, В. И. Зубова, A.M. Летова, Р. Калмана, М. В. Меерова, A.A. Кра-совского, X. Розенброка, А. Г. Александрова, А. Мак-Фарлейна, Д. Лю-енбергера, X. Квакернаака и другими [12, 44, 47, 52, 53, 60, 66, 232, 255].

Вместе с тем в этих методах трудно учесть требования, которые обычно предъявляются инженерами-проектировщиками к реальным МСАУ. Эти требования, как правило, включают: время регулирования, перерегулирование и установившуюся ошибку по каждой регулируемой переменной при действии типовых воздействий, а также требование робаст-ной устойчивости, которое обычно выражается запасами устойчивости по фазе и коэффициенту усиления в каждом канале управления. Кроме того, вышеупомянутые подходы зачастую не учитывают постоянно действующих внешних возмущений. Красивая и стройная теория LQG-оптимизации (Щ по современной терминологии) оперирует с внешними возмущениями случайного характера, информация о статистических свойствах которого просто недоступна для инженера, либо ее получение связано с высокими материальными затратами. Помимо этого, в практических приложениях постулаты стандартной стохастической теории управления зачастую не выполняются. Все эти обстоятельства послужили причинами трудности использования методов пространства состояния на практике. Это привело к постановкам задач робастного управления, в которых сделана попытка учесть те или иные требования, близкие к инженерным.

В настоящее время понятие робастность имеет три аспекта:

1) сохранение устойчивости при конечных отклонениях параметров от расчетных;

2) сохранение устойчивости при наличии немоделируемой динамики и не линейностей;

3) подавление неизвестных ограниченных (в каком-либо смысле) внешних возмущений.

На решение этих проблем для многомерных САУ и направлена настоящая диссертационная работа (первой проблеме посвящены главы 1 и 2, второй — 3 и 4, а третьей 5 и 6). Каждая из этих проблем включает две задачи—анализа и синтеза, и прежде чем переходить к формулировке целей и задач диссертации, коротко охарактеризуем эти проблемы.

Анализ робастной устойчивости при параметрических возмущениях всегда привлекал большое внимание и теоретиков и практиков. Знаменитый результат B.JI. Харитонова [111] небывало повысил интерес к этой проблеме. Гораздо позже, к середине 90-х, было доказано (A.C. Немировский [241]), что при мультилинейной зависимости коэффициентов характеристического полинома от параметров (как это обычно бывает на практике) проблема является iVP-трудной. Кроме того, в таких задачах необходимых и достаточных условий робастной устойчивости может просто не существовать. Значительный вклад в теорию анализа параметрической робастной устойчивости внесен Ю. Аккерма-ном, Б. Андерсоном, Б. Бармишем, Ш. Бхаттачария, Э. Джури, Ю. И. Неймарком, Б. Т. Поляком, К. Холлотом, Я. З. Цыпкиным и другими [147, 149, 159, 162, 40, 77, 78, 86, 87, 88, 89, 251, 252, 276].

Задача синтеза МСАУ при параметрической неопределенности оказалась много более сложной. Для решения этой проблемы часто применяется второй метод Ляпунова, модальное управление, LQ и iJoo-подходы (Б. Бармиш, Д. Бернштейн, Н. Е. Барабанов, П. Каргонекар, М. М. Коган, A.M. Мейлахс, Я. Питерсен, H.A. Хлебалин, К. Холл от [22, 49, 50, 69, 70, 71, 112, 154, 155, 156, 208, 219, 249, 250, 272] и др.). При этом используется описание системы в пространстве состояний, а вектор состояния, как правило, считается измеряемым. Вместе с тем исходное описание системы — в физических переменных. Переход от исходного описания к описанию в пространстве состояний обычно приводит к «размножению» и «перемешиванию» неопределенных параметров, что усложняет задачу и приводит к слишком грубому результату по исходным физическим параметрам. Кроме того, вектор состояния часто недоступен измерению. Процедуры же ?1 -анализа и ¿-/-синтеза, оформившиеся к середине 80-х (М. Сафонов, Дж. Дойл [261, 193, 194, 195, 196]) и предназначенные для работы со структурированными неопределенностями в частотной области, в случае параметрической неопределенности так же могут приводить к грубому результату, а вычислительные трудности многократно возрастают. Все это делает весьма актуальной разработку новых подходов к анализу и синтезу МСАУ при конечных отклонениях физических параметров модели от расчетных.

Проблема немоделируемой динамики и нелинейностей тесно связана с запасами устойчивости по фазе и коэффициенту усиления в тех точках контура где имеются частото-зависимые неопределенности либо нелинейности. Это хорошо прослеживается на примере LQоптимальных систем с регуляторами состояния, для которых характерны высокие запасы устойчивости в каждом контуре по входу объекта (А.Г. Александров [3, 6]) и которые допускают введение без нарушения устойчивости в каждый контур нелинейностей из определенного класса (Б. Андерсон, Дж. Мур [148]). Позже М. Сафонов и М. Атанс [257], также при исследовании запасов устойчивости LQрегуляторов состояния, получили частотное неравенство для мультипликативного динамического возмущения, вводимого по входу объекта без нарушения устойчивости. В настоящей диссертационной работе этот подход развивается с целью получения менее жестких ограничений на немоделируемую динамику или нелинейности на входе объекта. Заметим, что если строится цифровой LQрегулятор состояния, то наличия запасов устойчивости не гарантируется [13, 14, 258, 267]. Это также проблема, решаемая в диссертации. Применение наблюдателя или фильтра для оценки неизмеряемого вектора состояния может приводить к существенному уменьшению запасов устойчивости [8, 190]. Процедуры же построения наблюдателя или фильтра с целью сохранения запасов устойчивости (А.Г. Александров [9, 12], Дж. Дойл, Г. Стейн [191, 192] и др.) эффективны лишь для минимально-фазовых объектов. Это делает актуальной задачу построения регулятора по выходу по заданным запасам устойчивости.

Третья проблема робастного управления тесно связано с зарождением в начале 80-х годов теории Н^ -оптимизации, постановка проблем синтеза регуляторов которой осуществлена Дж. Зеймсом [289]. Существенной чертой этой теории по сравнению с LQоптимизацией и модальным управлением является учет внешних возмущений. Вместе с тем эта теория ограничена классом внешних возмущений из пространства ^[0, оо), который представлен исчезающими функциями времени, хотя в одномерном случае критерий теории имеет физически ясное толкование на языке гармонических сигналов [20, 198, 291, 292]. Это, в частности, привело к появлению 1 теории управления (ЕД. Якубович, А. Е. Барабанов, О. Н. Граничин, М. Видьясагар, М. Дахлех, Дж. Пирсон [143, 144, 19, 21, 278, 176, 177, 178, 238]). В h теории класс внешних возмущений—произвольные ограниченные функции времени, а критерием оптимизации является максимум модуля отклонения регулируемой переменной. Однако минимизация отклонений регулируемой переменной для произвольных ограниченных возмущений вовсе не означает, что будут выполнены заданные требования к точности в установившемся режиме при действии типовых внешних возмущений (например, ступенчатых или гармонических, широко используемых в инженерной практике). Кроме того, непрерывные L регуляторы могут быть нерациональными (трансцендентными) [21, 177], что нежелательно при реализации. Таким образом, с инженерной точки зрения проблема подавления внешних возмущений в установившемся режиме пока не получила удовлетворительного решения в рамках современных подходов. Вместе с тем проблеме точности в установившемся режиме при типовых возмущениях были (с начала 70-х) посвящены работы, опирающиеся на выбор структуры и коэффициентов квадратичного функционала в рамках теории LQ-оптимизации (А.Г. Александров, Ю. К. Тимофеев, Ю. В. Садомцев, Е. Ф. Волков, H.H. Ершов и др. [4, 12, 104, 95, 96, 97, 98, 99, 33]). Настоящая работа продолжает исследования в этом направлении в плане расширения класса объектов, а также класса внешних возмущений до полигармонических с неизвестными амплитудами и частотами, мощность которых ограничена. При этом в качестве математического инструментария решения задачи обеспечения заданной точности наряду с LQоптимизацией используются процедуры Ноосубоптимального управления.

В дополнение к сказанному выше сделаем несколько замечаний общего характера, которые затрагивают все современные математические технологии синтеза регуляторов.

Критерий оптимизации, содержащий некоторые весовые коэффициенты (и/или частото-зависимые функции либо матрицы) постулируется, т. е. считается заданным и вопрос о выборе весовых коэффициентов (функций) да и самого критерия в рамках математической теории не рассматривается. Между тем это нивелирует «оптимальность» получаемого решения, поскольку именно выбор весовых функций определяет инженерный смысл процедуры оптимизации. Этот выбор в современной теории управления отдан на откуп интуиции проектировщика. Поэтому не удивительно, что порой «оптимальные «системы ведут себя нежелательным с инженерной точки зрения образом. Это ведет к основной проблеме, каждый раз возникающей при проектировании, — выбору самого критерия оптимизации и весовых функций (матриц), которые бы соответствовали физическому существу поставленной инженерной задачи. Однако, зачастую (особенно в многомерном случае) критерий оптимизации мало поддается инженерной интуиции, а существующие «рецепты» выбора весовых функций не имеют строгого обоснования [270, 291, 292].

Вопрос о выборе весовых коэффициентов квадратичного функционала впервые возник в начале 60-х годов в связи с созданием LQ-оптимизации благодаря работам A.M. Летова [60] и Р. Калмана [214]. A.M. Летов прекрасно понимал постулируемый характер оптимизируемого функционала и в монографии [61] отмечал большие математические трудности его выбора в силу отсутствия строгих математических критериев, отражающих трудно формализуемые инженерные требования к качеству управления. Он также заметил, «что когда мы научимся решать эту проблему выбора, конструирование систем управления будет выполняться на строго научной основе». Эта же проблема привела в свое время Р. Калмана к формулировке обратной задачи оптимального управления для LQ-регуляторов состояния [44]. Дан регулятор, найти функционал в смысле которого он оптимален. Решение этой задачи, данное Калманом, оказалось удивительным. Оказывается любой стабилизирующий регулятор состояния (даже сколь угодно плохой с инженерной точки зрения) оптимален в смысле некоторого квадратичного функционала оптимизации. Поэтому, проблема осмысленного выбора его структуры и коэффициентов—фундаментальная проблема теории управления, претендующей на практическое использование. Следует отметить, что острота данного вопроса всегда хорошо понималась инженерами, занятыми проектированием реальных систем, что также нашло отражение и в научной литературе [256], где зачастую методы пространства состояния подвергались справедливой с этой точки зрения критике [211].

Однако, с середины 80-х годов, в связи с появлением Н^, ?1 и 1 теорий и разработки их математического формализма, этот весьма важный вопрос был отодвинут на второй план. Более того, большинство математиков, работающих в этой области, как правило, вообще не признают самого существования этой проблемы. Вместе с тем, одни из создателей этих теорий в конце 80-х начале 90-х пришли при решении соответствующих обратных задач к результату, аналогичному результату Калмана, который упоминался выше. Любой стабилизирующий регулятор по выходу (даже сколь угодно плохой с инженерной точки зрения) является Н2, Нгуо и 11 оптимальным при соответствующем выборе весовых функций (матриц) [185, 228]. Выбор же весовых функций либо матриц, как уже отмечалось выше, в рамках этих теорий не рассматривается, а существующие отдельные рекомендации даже для систем с одним входом и выходом имеют нестрогий интуитивный характер [291, 292].

Помимо проблемы выбора весовых функций все современные технологии синтеза регуляторов LQG{Hl2), H?, l, /1 имеют ряд малопривлекательных с инженерной точки зрения черт.

Во-первых, высокий порядок регулятора по сравнению с порядком объекта. Например, в монографии С. Скогестада и Я. Постлетвайта 1997 года [270] приведено использование технологии //-синтеза для объекта 2-го порядка, результатом применения чего стал регулятор 22-го порядка! Такой высокий порядок регуляторов объясняется наличием частото-зависимых весовых функций критерия оптимизации, которые включаются в модель объекта, тем самым повышая ее порядок, а также самой технологией решения задач оптимизации частотными методами [202].

Во-вторых, сложность процедуры синтеза, ее чисто вычислительный характер и отсутствие ясной физической интерпретации критерия, позволяющей проектировщику включить инженерную интуицию. Это приводит к многократному повторению шагов синтеза регулятора. Кроме того, такая широко разрекламированная на западе технология как^{-синтез} по своей сути является итерационной, включающей повторяющиеся шаг синтеза Н^-регулятора по выходу и шаг //-анализа с аппроксимацией частото-зависимых множителей и введением их в расширенную модель объекта. Причем сходимость этой итеративной процедуры ничем не гарантирована, особенно в случае наличия вещественной неопределенности модели.

В третьих, решение задач синтеза по упомянутым выше современным технологиям, как показала недавняя работа Л. Килла и Ш. Бхаттачария 1997 года [216], вызвавшая широкий резонанс за рубежом [237], а также встретившая серьезное сопротивление при публикации со стороны авторов вышеупомянутых теорий (см. комментарий редакционной коллегии к этой работе в том же номере журнала), может приводить к системам с весьма малыми запасами устойчивости по фазе и коэффициенту усиления, что недопустимо на практике.

В четвертых, мощные программные средства, функционирующие в среде МАТЛАБ и поддерживающие эти технологии [151, 172, 205], требуют от проектировщика глубокого знания «внутренней кухни» синтеза регулятора, а не только понимания инженерных проблем синтеза. Все это затрудняет широкое использование современных подходов к синтезу регуляторов в инженерной практике.

Все вышеизложенное приводит к необходимости разработки новых подходов к синтезу и анализу робастных многомерных САУ, учитывающих инженерные требования и простоту технологии получения решения.

Более чем полувековая проверка на практике классических частотных методов синтеза одномерных систем [27, 35, 43, 67, 101, 102, 107, 114, 117] показала высокую эффективность инженерных критериев качества, заложенных в их основу. Настоящая работа продолжает эти исследования в рамках теории многомерных САУ. В диссертации сделана попытка совместить некоторые постулаты инженерной практики с постулатами математической теории автоматического управления. Надо отметить, что при этом не преследуется цели решить все поставленные инженерные проблемы в совокупности. Такая задача является очень трудной в силу того, что проблема инженерного качества по своей сути является многокритериальной, в которой каждый отдельный показатель зачастую противоречит другому.

В работе принят следующий подход — берется одна важная проблема и она рассматривается под инженерным углом зрения с целью изучения предельных возможностей линейных регуляторов для ее решения. В ряде случаев это привело к решению задачи до конца, т. е. до необходимых и достаточных условий. Так главы 1, 3, 5 и 6 содержат такие результаты. Кроме того, при разработке и решении практически всех задач автор старался придать им ясную физическую интерпретацию, принятую в инженерной практике в рамках частотных представлений.

Цель работы состоит в развитии частотного направления анализа и синтеза робастных многомерных динамических систем в условиях неопределенности физических параметров моделипри наличии структурированной немоделируемой динамики и статических нелинейностей на входе объекта, а также при действии неизвестных ограниченных по мощности полигармонических внешних возмущений.

Указанная цель достигается решением следующих конкретных задач, возникших в результате анализа современного состояния данной проблемы, кратко проведенного выше и более подробно далее в обзоре:

1. Разработка метода анализа параметрической робастной устойчивости по физическим параметрам, сохраняющего простоту и преимущества классического критерия устойчивости Найквиста и его многомерного обобщения.

2. Построение метода робастной стабилизации многомерных САУ по физическим параметрам, который бы использовал для управления выход объекта, а не его вектор состояния.

3. Разработка подходов к синтезу непрерывных регуляторов МСАУ по состоянию и по выходу, гарантирующих заданные запасы устойчивости, а также с учетом структурированной немоделируемой динамики и статических нелинейностей на входе (выходе) объекта.

4. Построение процедур синтеза цифровых регуляторов состояния МСАУ по заданным запасам устойчивости с учетом статических нелинейностей на входе объекта.

5. Разработка метода синтеза непрерывных МСАУ, удовлетворяющих инженерным требованиям к точности при действии неизвестных поЛигармонических внешних возмущений и помех измерения, ограниченных по мощности.

6. Исследование предельно достижимой точности МСАУ с цифровыми регуляторами при действии типовых внешних возмущений.

7. Реализация полученных результатов в рамках САПР САУ.

Методы исследования. При решении поставленных задач в работе используется аналог частотного критерия устойчивости Найквиста и его многомерное обобщение, аппарат теории матриц и теории дифференциальных уравнений, а также второй метод Ляпунова, элементы теории абсолютной устойчивости и теорий Ь (5 и Нюоптимального управления.

Структура и объем работы. Диссертация помимо введения, содержит семь глав, заключение, список литературы, насчитывающий 292 наименования, и приложение. Работа изложена на 267 страницах текста, включающего 43 рисунка и 1 таблицу.

Первая глава посвящена решению первой из задач, сформулированных выше. Здесь разработана «техника размыкания» многомерных линейных систем по исследуемым физическим параметрам, позволяющая проводить анализ параметрической робастной устойчивости на основе аналога классического критерия устойчивости Найквиста и его многомерного обобщения, а также модифицированного кругового критерия, который получен в данной главе. В случае одного исследуемого параметра, линейно или полиномиально присутствующего в уравнениях системы, результаты носят необходимый и достаточный характер. Типичный пример таких систем—сингулярно возмущенные системы, для которых получены частотные необходимые и достаточные условия устойчивости по «малому» параметру. Для мультилинейных многопараметрических семейств получены только достаточные или необходимые условия робастной устойчивости. Изложение иллюстрируется примерами, подтверждающими эффективность полученных результатов.

Вторая глава решает вторую задачу из списка, приведенного выше. Здесь развит метод синтеза робастных регуляторов по выходу МСАУ, физические параметры которых подвержены отклонениям от расчетных, опирающийся на обеспечение заданных запасов устойчивости по коэффициенту усиления при размыкании замкнутой системы объект-регулятор по исследуемым параметрам путем использования стандартной процедуры Ноооптимизации. Метод имеет достаточный характер. На основе широко используемых в робастном управлении тестовых задач («benchmark problem») продемонстрированы возможности и эффективность предложенного метода по сравнению с известными методами робастной стабилизации.

В третьей главе предложены методы синтеза непрерывных робаст-ных регуляторов состояния и по выходу с учетом структурированной немоделируемой динамики и нелинейностей на входе (выходе) объекта управления, основанные на процедурах LQ и Н^ -оптимизации. Они гарантируют заданные запасы устойчивости по фазе и коэффициенту усиления на входе (выходе) объекта. В случае синтеза регуляторов по выходу на базе процедур Н^ -оптимизации полученные результаты носят необходимый и достаточный характер. Изложение иллюстрируется нетривиальными примерами, которые, в частности, показывают, что значительные запасы устойчивости, проверяемые на входе или выходе объекта, только необходимое условие робастной устойчивости при отклонении от расчетных физических параметров объекта или регулятора.

В четвертой главе разработаны процедуры синтеза цифровых ро-бастных регуляторов состояния с учетом заданных запасов устойчивости, а также статических нелинейностей на входе объекта управления, основанные на модификациях процедуры LQоптимизации и модальном управлении. Выяснены причины по которым (при конечном периоде квантования) только для устойчивых объектов можно гарантировать построение цифрового регулятора, гарантирующего заданные запасы устойчивости по фазе и коэффициенту усиления, а также свойство абсолютной устойчивости в заданном гурвицевом угле.

В пятой главе построены процедуры синтеза многомерных линейных систем по заданной точности в установившемся режиме при действии ограниченных по мощности полигармониче’ских возмущений с неизвестными амплитудами и частотами, опирающиеся на выбор коэффициентов функционала оптимизации линейно-квадратичного и Н00-субоптимального управления. В последнем случае учитываются также ограничения на амплитуды управляющих воздействий в установившемся режиме и ограниченные по мощности полигармонические помехи измерения, а полученные результаты имеют необходимый и достаточный характер. Возможности и эффективность предложенных методов демонстрируются при синтезе регулятора гироплатформы.

Шестая глава посвящена исследованию предельно достижимой точности систем с цифровыми регуляторами состояния и по выходу при действии типовых ступенчатых и гармонических внешних возмущений. Установлены фундаментальные ограничения в виде частотных неравенств на сингулярные значения матрицы возвратной разности, которые определяют точность МСАУ. Дана геометрическая интерпретация полученного результата на языке предельного объема гиперэллипсоида, поверхности которого принадлежат установившиеся значения регулируемых переменных, уменьшить который принципиально невозможно в системах с цифровыми регуляторами.

В седьмой главе рассмотрены вопросы построения непрерывного регулятора по выходу в системе автоматического регулирования главных приводов (формовочного и калибровочного станов) трубоэлектросвароч-ного агрегата (ТЭСА), динамика которых оказывает основное влияние на качество изготавливаемой трубы. При этом помимо требований к точности поддержания угловых скоростей приводных двигателей станов (определяющих скорость перемещения трубной заготовки) учитывались ряд дополнительных требований, связанных с обеспечением равнонагружен-ности приводных двигателей, ограниченности их якорных токов, а также ограничения управляющих воздействий, выходных напряжений тири-сторных преобразователей и времени регулирования.

Для построения регулятора по выходу в данной главе использовались алгоритмы синтеза, предложенные в пятой главе настоящей работы, которые базируются на процедурах Леосубоптимального управления. Эти алгоритмы послужили основой разработанной в рамках действующей САПР САУ ГАММА-1РС директивы № 144, предназначенной для синтеза регуляторов многомерных систем по заданным требованиям к точности при действии неизвестных ограниченных внешних возмущений и помех измерения. С помощью этой директивы осуществлен синтез регулятора главных приводов ТЭСА и проведен анализ динамических процессов в замкнутой системе при действии ограниченных внешних возмущений, характерных для данного объекта управления. Этот анализ подтвердил эффективность теории синтеза регуляторов многомерных систем по заданной точности, развитой в пятой главе, а также эффективность разработанного на этой основе алгоритмического и программного обеспечения, реализованного в рамках ГАММА-1РС.

Кроме того, разработана методика упрощения регулятора, основанная на технике размыкания (развитой в первой главе) замкнутой системы по исследуемым параметрам регулятора, применение которой позволило получить статический многосвязный регулятор по измеряемым переменным. Как показали проведенные исследования, точностные характеристики упрощенного статического регулятора по выходу лучше чем сложного динамического и практически совпадают с характеристиками регулятора состояния. Это подтвердило эффективность предложенной методики упрощения регулятора.

Приложение содержит документы подтверждающие практическое использование и внедрение полученных результатов.

Новые научные результаты. В процессе решения поставленных задач получены следующие новые положения и результаты, принадлежащие лично автору и выносимые им на защиту:

1. Предложена каноническая форма уравнений замкнутой МСАУ, названная (И7, Л), и приведен алгоритм ее построения. Эта форма является основой введения нового понятия — передаточной матрицы системы, разомкнутой по исследуемым параметрам (параметру), которая позволяет проводить анализ робастной устойчивости по физическим параметрам на основе аналога критерия Найквиста и его многомерного обобщения, а также модифицированного кругового критерия.

2. Развит метод робастной стабилизации МСАУ по физическим параметрам, который опирается на «технику размыкания» системы по параметрам, использует для управления выход объекта и базируется на технологии Ноооптимизации.

3. Построены процедуры синтеза непрерывных регуляторов МСАУ по состоянию и по выходу, гарантирующие заданные запасы устойчивости по фазе и коэффициенту усиления и учитывающие структурированную немоделируемую динамику, а также наличие статических нелинейностей по входу (выходу) объекта. Процедуры синтеза используют модифицированный и стандартный Н^ -подходы.

4. Предложены процедуры синтеза цифровых регуляторов состояния МСАУ, которые в отличие от известных, обеспечивают заданные запасы устойчивости по фазе и коэффициенту усиления, а также свойство абсолютной устойчивости в заданном гурвицевом угле при наличии статических нелинейностей на входе объекта.

5. На основе исследования частотных свойств замкнутых оптимальных систем предложен способ выбора весовых коэффициентов квадратичного функционала оптимизации и разработан метод синтеза регуляторов состояния и по выходу, который гарантирует заданную точность по регулируемым переменным для минимально-фазовых объектов при неизвестных полигармонических внешних возмущениях, ограниченных по мощности.

6. Введено новое понятие — радиус установившегося состояния замкнутой системы, которое наряду с заданными требованиями к точности по регулируемым переменным учитывает аналогичные требования на управляющие воздействия при неизвестных полигармонических внешних возмущениях и помехах измерения, ограниченных по мощности. Поставлена задача синтеза регулятора, обеспечивающего заданный радиус. Получены необходимые и достаточные условия ее разрешимости на основе процедур #оосубоптимального управления путем выбора весовых коэффициентов минимаксного квадратичного функционала оптимизации. Развито среднеквадратичное обобщение такой задачи.

7. Исследована предельно достижимая точность систем с цифровыми регуляторами и установлены принципиальные ограничения в виде частотных неравенств на сингулярные значения матрицы возвратной разности.

Все части работы объединяет в единое целое один принцип — частотных матричных неравенств, в рамках которых может быть выражена цель проектирования регулятора. В качестве математического средства для построения регуляторов в работе используются процедуры LQ и Ноооптимизации. Кроме того, для численного решения ряда вырожденных задач Ноооптимизации привлекается подход линейных матричных неравенств (LMI), развитый в последнее время (A.C. Немировский, Ю. Е. Нестеров, С. Бойд, Т. Ивасаки, А. Лауб и др. [242, 166, 206, 213]), который реализован в МАТЛАБ-пакете LMI Control Toolbox [205].

Практическая ценность полученных результатов заключается в их конструктивности и практической направленности, что привело к разработке инженерных процедур анализа и синтеза МСАУ при отклонении физических параметров от расчетных, наличии структурированной не-моделируемой динамики и статических нелинейностей на входе (выходе) объекта, а также при действии полигармонических внешних возмущений и помех измерения (с неизвестными амплитудами и частотами), ограниченных по мощности. Все полученные результаты имеют ясную физическую интерпретацию на языке частотных понятий, широко применяемых в инженерной практике.

Реализация результатов. Проведенные в работе исследования выполнены в соответствии с Планом фундаментальных и поисковых исследований, проводимых в Институте Проблем Управления РАН (тема 394−96/07) «Разработка фундаментальных проблем теории управления неопределенными объектами», а также в русле основного научного направления кафедры «Автоматизация технологических процессов и производств» Московского государственного института стали и сплавов (Электростальский филиал) «Аналитический синтез регуляторов многомерных систем по инженерным показателям качества». Исследования поддержаны Российским фондом фундаментальных исследований (грант 095−01−5 226а) и программой поддержки ведущих научных школ России (грант 96−15−96 144).

Результаты диссертационной работы внедрены в практику проектирования САУ в АООТ «Электроприбор» (г. Саратов), что подтверждается соответствующим актом. Кроме того, они использовались при проведении хоздоговорных работ по теме «Оптимизация процессов регулирования в системах приводов трубопрокатных станов» (JV2 ГР 1 890 043 946) с ОАО Элекростальтяжмаш, а также при выполнении НИР по контракту с ракетно-космической корпорацией «Энергия» им. С. П. Королева в рамках международного проекта «Морской старт» .

Теоретические результаты, представленные в 1-ой и 3−5-ой главах работы, послужили алгоритмической основой для создания в рамках действующей САПР САУ ГАММА-IPC (ее ранняя версия описана в справочнике по автоматическому управлению под редакцией A.A. Красовского, 1987 г.) ряда директив анализа и синтеза МСАУ. Эта САПР внедрена в учебный процесс на кафедре «Автоматизация технологических процессов и производств» Московского государственного института стали и сплавов" (Электростальский филиал). Кроме того, теоретические результаты работы используются в ряде лекционных курсов, читаемых студентам специальности 2102, в частности, по дисциплине «Оптимальные и адаптивные системы». Результаты второй и частично третьей глав работы реализованы в среде MATJIAB с привлечением пакета LMI Control Toolbox и используются в курсовом и дипломном проектировании.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были представлены и обсуждены на Всесоюзной конференции «Теоретические и прикладные проблемы создания систем управления технологическими процессами» (Челябинск, 1990), Всесоюзной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики» (Саратов, 1991), Всесоюзной конференции «Проблемы многомерного управления технологическими процессами» (Одесса, 1991), семинарах Института Системного Анализа под руководством академика РАН C.B. Емельянова и члена-корреспондента РАН С. К. Коровина (1991 и 1992), Третьей научной школе «Автоматизация создания математического обеспечения и архитектуры систем реального времени» (Саратов, 1992), Международной конференции по интервальным и стохастическим методам в науке и технике (Москва, 1992), 1 Всероссийском Совещании «Новые направления в теории систем с обратной связью» (Уфа, 1993), 17-ой конференции международной федерации.

— 19 по информационным процессам (1Р1Р) «Моделирование и оптимизация систем» (Прага, 1995), 2-ом международном семинаре «Достижения в исследовании робастности: вероятностные и детерминированные методы» (Москва, 1996), международных семинарах «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, 1996, 1998), 4-ой Европейской конференции по управлению (Брюссель, 1997) 2-ой Азиатской конференции по управлению (Сеул, 1997), 1-ой международной конференции по управлению колебаниями и хаосом (Санкт-Петербург, 1997), международной конференции по управлению, посвященной 60-летию Института Проблем Управления РАН (Москва, 1999).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 37 работ. Работы [13, 14, 15], [119]—[132], приведенные в списке литературы, полностью отражают содержание диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ РОВАСТНОГО.

УПРАВЛЕНИЯ.

Теория управления в своем развитии прошла несколько этапов.

Первый (начало 40-х — конец 50-х годов) — этап классической теории автоматического регулирования. На этом этапе была создана в основном законченная теория одномерных (один вход, один выход) САУ, развитая в работах Г. Боде, В. В. Солодовникова, А. М. Горовица, В. А. Бесекерского, Е. П. Попова, Я. З. Цыпкина и др. [26, 27, 35, 43, 67, 102, 107, 114, 117]. Эта теория базировалась в основном на частотных методах, фундаментом которых является критерий устойчивости Найквиста [235]. Более чем полувековая проверка на практике этих методов показала высокую эффективность инженерных критериев качества, заложенных в их основу. Вместе с тем применительно к многомерным объектам (с многими входами и выходами) классические частотные методы испытывали естественные трудности. Это обусловило наступление второго этапа развития: начало 60-х — конец 70-х.

Второй этап — этап математической теории оптимальных систем. Эта теория во многом обязана своим зарождением и развитием пионерским работам А. М. Летова [60] и Р. Е. Калмана [214]. Несомненные математические достижения этого этапа нашли отражение в многочисленных монографиях, опубликованных в этот период (см., например, [16, 28, 32, 39, 42, 45, 47, 51, 54, 55, 65, 66, 103, 105, 145, 148]). Методы синтеза (получившие название методов пространства состояний [17]), развитые на этом этапе, легко решали проблему устойчивости многомерных систем. В тоже время эти методы столкнулись с трудностями практического использования. Это связано с тем, что в них трудно заранее учесть требования, обычно предъявляемые инженерами-проектировщиками к реальным МСАУ. Прежде всего это касается вопросов робастности по отношению к немоделируемой динамике и параметрическим возмущениям, а также способности подавления постоянно действующих неизмеряемых внешних возмущений.

Все это привело к третьему—современному этапу развития—этапу ро-бастного управления. Данный этап был подготовлен развитием методов пространства состояний с позиций частотных представлений, начало которому положила фундаментальная работа P.E. Калмана [44]. Важную роль в этом процессе сыграли работы, посвященные обобщению критерия устойчивости Найквиста на многомерный случай [2, 153, 186, 231, 233, 255], а также работы, посвященные исследованию запасов устойчивости LQоптимальных систем [1]—[6], [148, 231, 257, 258]. При этом ключевой шаг был сделан М. Сафоновым и М. Атансом в работе [257]. Они предложили понятие частото-зависимого мультипликативного возмущения, вводимого по физическому входу объекта без нарушения устойчивости замкнутой системы. Дальнейшее развитие этого подхода привело к зарождению в начале 80-х годов теории Н^ -оптимизации, четкая постановка проблем которой осуществлена Дж. Зеймсом [289]. Эта теория в свою очередь послужила толчком к развитию 1 теории оптимального управления, а также /у, методологии.

Приводимый ниже краткий обзор, посвящен в основном проблеме ро-бастности свойства асимптотической устойчивости по отношению к немо-делируемой динамике (возмущениям в частотной области) и параметрическим возмущениям (отклонениям параметров модели от расчетных).

Заметим, что термин робастность, принятый сейчас в мировой литературе, имеет гораздо более широкий смысл нежели термин грубость, используемый в отечественной литературе со времени введения его во второй половине 30-х годов Андроновым и Понтрягиным [18]. Так, в частности, термин робастность допускает конечные отклонения параметров от расчетных, тогда как термин грубая система означает, что она сохраняет устойчивость при достаточно малых отклонениях.

Критерий Найквиста и его многомерное обобщение.

Критерий устойчивости Найквиста оказал огромное влияние на развитие методов частотных характеристик в автоматическом управлении, основные этапы развития которых охарактеризованы в прекрасном обзоре [235]. Замечательной чертой этого критерия является то, что устойчивость замкнутой системы может быть исследована по амплитудно-фазовой частотной характеристике (АФЧХ) разомкнутой системы, снятой экспериментально (при условии устойчивости разомкнутой системы).

Естественным выводом из критерия Найквиста служит то, что степень близости замкнутой системы к неустойчивости можно оценить по мере удаления годографа АФЧХ разомкнутой системы от критической точки (—1,^0) на комплексной плоскости. В качестве косвенной меры робаст-ности в классических методах частотных характеристик выступают концепции запасов устойчивости по фазе <�р3 и модулю Ь, впервые введенные Г. Боде [27], а также показатель колебательности м [26, 43, 107]. Практика автоматического регулирования показала эффективность этих косвенных критериев робастности одномерных САУ по отношению к ограниченным отклонениям параметров передаточной функции разомкнутой системы, а также к возможному изменению динамического порядка объекта управления (пренебрежение малыми, по сравнению с частотой среза, постоянными времени) [101]. Кроме того, в работе [7] установлена связь между запасами по фазе и модулю с одной стороны и допустимыми отклонениями параметров передаточной функции разомкнутой системы от расчетных с другой. Из этой работы следует, что рекомендуемые в инженерной практике значения [26] р3 > 30° 60°, ь > 2, м < 2.5 соответствуют (по крайней мере при вещественных нулях и вещественных устойчивых полюсах передаточной функции разомкнутой системы) робастной САУ, допускающей отклонения параметров от расчетных в пределах 10 процентов.

Другим способом определения меры удаления годографа АФЧХ передаточной функции гУразС^) разомкнутой системы от критической точки (—1,70) является понятие радиуса запасов устойчивости г [10].

Определение 0.1. Число г называется радиусом запасов устойчивости одномерной САУ, если для всех вещественных частот и выполняется неравенство.

1 + «-раз (-^)][1 +^раз (^)] > Г2 (0.1).

Это число г имеет ясную геометрическую интерпретацию и равно максимальному радиусу круга с центром в точке (—1,^0) на плоскости годографа АФЧХшразО'1^), который годограф гОразО'^) не пересекает.

Связь между числами Ь, <�р3, М, г установлена в работах [10, 97]. Интересная интерпретация радиуса запасов устойчивости с точки зрения немоделируемой динамики и параметрических возмущений коэффициентов передаточной функции разомкнутой системы дана в работе [89].

Необходимо отметить, что реальные САУ подвержены действию не только параметрических возмущений и немоделируемой динамики, а и влиянию нелинейностей, от которых ни одна физическая система не свободна. Оказывается и в этом случае, для асимптотической устойчивости (в целом [23],[24],[57, 58]) замкнутой нелинейной САУ достаточно наложить определенные ограничения на область расположения годографа АФЧХ линейной части нелинейной системы. Подобное рассмотрение привело румынского ученого В. М. Попова к созданию знаменитого критерия устойчивости, который носит его имя [90]. Эта работа ([90]) «послужила поворотным пунктом в истории развития теории устойчивости» [62] и способствовала распространению методов частотных характеристик на класс нелинейных систем. Обобщение Я. З. Цыпкиным критерия Попова на случай дискретных систем [115],[116] и развитие этих идей в работах [75],[76] с применением обычных логарифмических частотных характеристик позволило решать с помощью простых инженерных методов не только задачи анализа, а и синтеза [76]. Таким образом, на языке частотных характеристик получили ясное выражение свойство САУ допускать параметрические возмущения и немоделируемую динамику, а также способность сохранять устойчивость (в целом) при введении в контур регулирования определенного класса нелинейностей.

Мы видели, что частотный критерий устойчивости Найквиста играл главную роль во введении удовлетворительных с практической точки зрения понятий запасов устойчивости одномерных систем и поэтому его обобщение на многомерный случай представляет исключительный интерес. Первые результаты в этом направлении были получены в работах [2] и [231], где основой такого обобщения является тождество, обобщающее известное для одномерных систем [2] где — характеристический полином (ХП) замкнутой системы,.

— ХП разомкнутой системы, ^^3(5) — передаточная матрица системы, разомкнутой по физическому входу объекта управления и, который является т — мерным векторомздесь и далее верхний индекс у передаточной матрицы (функции) означает точку размыкания системы, а 1Кединичная матрица размера к х к .

Обобщенный критерий устойчивости типа Михайлова-Найквиста многомерных систем непосредственно следует из тождества (0.2) (путем применения принципа аргумента) и формулируется обычным образом для годографа АФЧХ так называемой обобщенной передаточной функции многомерной системы [2] (см. также [11],[225]).

Выражение (0.3) не изменится, если систему «размыкать» по физическому выходу объекта управления [11], [97]. В работах [2] и [231] используется описание САУ в пространстве состояний. В том случае, когда исходная система описывается на языке передаточных матриц, тождество, аналогичное (0.2) получено в [186]. При этом общими требованиями к объекту управления и закону управления, предъявляемыми для корректной оценки устойчивости многомерной системы по годографу АФЧХ (0.3) будут требования полной управляемости (стабилизируемости) и на.

0.2).

0.3) блюдаемости (детектируемости) [16] объекта управления и регулятора по соответствующим сигналам.

В отличие от классического критерия Найквиста, его обобщение на основе (0.3) имеет одну особенность. При введении в контур управления (например, по входу объекта) скалярного коэффициента усиления к, необходимо каждый раз строить годограф АФЧХ чтобы проанализировать устойчивость для множества значений коэффициента усиления к. Эта трудность была преодолена на основе подхода, использующего для анализа устойчивости многомерной системы построение годографов собственных значений передаточной матрицы разомкнутой системы, определяемых из уравнения имеющего га корней Аг-(«), которые являются функциями комплексной переменной 5. Впервые такой подход был предложен в работе [153]. Затем он был довольно сложным образом строго обоснован в [232], [233], а в [234] построена процедура синтеза, использующая годографы АФЧХ iijuj), которая получила название метода характеристических годографов. Очень ясный и простой вывод обобщенного критерия Найквиста в рамках этого подхода приведен в работе [186], где он был обобщен и на класс систем с распределенными параметрами.

Поскольку в дальнейшем нам не раз придется использовать этот критерий сформулируем его (следуя [100, 113, 233, 222, 236, 284]) в виде следующей теоремы.

Пусть среди полюсов И7^,^) имеется р с положительной вещественной частью и система удовлетворяет условиям стабилизируемости и детектируемости .

Теорема 0.1. Для асимптотической устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы суммарное число охватов семейством т характеристических годографов Х^и) —сю < а? < —оо критической точки (—1/^,^0) в положительном направлении (против часовой стрелки) равнялось р и ни при каком значении и годографы не проходили через критическую точку. ¦

Техника практического применения этого критерия подробно обсуждается в работах [100, 113, 186]. к) = ¿-еЬ 1 т + кУУ^в)] - 1, 5 = ¿-и.

0.4).

Запасы устойчивости многомерных систем.

Известно, что одна из побудительных причин использования обратной связи, нежели управления по разомкнутому контуру, это уменьшение чувствительности выходной переменной системы к вариациям параметров объекта. Количественно, для одномерных систем, это уменьшение чувствительности выражается в терминах модуля возвратной разности [27, 35], который должен быть больше единицы в требуемом диапазоне частот.

1 + <�зМ|>1, * = М (0−5) где w^a3(s) — передаточная функция системы, разомкнутой по физическому выходу у объекта управления.

Элегантное обобщение условия низкой чувствительности систем с обратной связью на многомерный случай было получено Перкинсом и Крузом в работе [174]. Оно имеет вид h + W^-jcof [h + Wyj. H] > h, Vw, (0.6) где H^a^s) — передаточная матрица системы, разомкнутой по физическому выходу у объекта размерности /, а матричное неравенство (0.6), как обычно, понимается в смысле эрмитовой формы (для матриц, А и В неравенство, А > В означает, что хтАх > хтВх для всех комплексных векторов х). Обстоятельное обсуждение этих вопросов имеется в монографии [148]. Много позже (по сравнению с выходом статьи [174]) в работе [225] было показано, что выполнение условия низкой чувствительности (0.6) гарантирует определенные запасы устойчивости на выходе многомерной системы.

Переходя к результатам, непосредственно касающимся запасов устойчивости многомерных систем, нельзя не отметить интереснейший факт, заключающийся в том, что исторически сложилось так, что эти понятия, в основе своей частотные, были первоначально введены для систем, построенных на основе процедуры LQоптимизации, которая, как известно, целиком базируется на временных представлениях. Выдающуюся роль, положившую начало использованию частотных понятий в современной теории управления, сыграла фундаментальная работа P.E. Калмана [44]. В этой работе было введено понятие передаточной функции разомкнутой оптимальной системы (по физическому входу объекта) и получено так называемое условие оптимальности в частотной форме, связывающее модуль возвратной разности с параметрами функционала оптимизации. Обобщение этого условия на случай векторного управления было выполнено в работах [148], [2]. Оно сыграло важную роль в определении запасов устойчивости многомерных оптимальных систем, а матричное неравенство.

1 т + К 1 т + И^СН] > Д, Чи, (0.7) где Wp-i3(s) —передаточная матрица разомкнутой системы, оптимальной в смысле квадратичного критерия качества оо з = I (хТдх + ит11и)(И, д > о, я > о, (о.8) о которое является следствием условия оптимальности систем в частотной форме, послужило прообразом [225] для введения конструктивной оценки запасов устойчивости многомерных систем. Обратим внимание на тот факт, что неравенство (0.7) при Я = 1 т подобно условию (0.6) низкой чувствительности Перкинса-Круза, однако записано оно для передаточной матрицы оптимальной системы,'разомкнутой по физическому входу объекта управления.

Анализ условия (0.7) позволил установить, что оптимальные в смысле функционала качества (0.8) системы со скалярным управлением (ш = 1) имеют гарантированные запасы устойчивости по фазе (р3 > 60° и модулю Ь > 2 на физическом входе объекта управления, независимо от конкретного выбора коэффициентов функционала оптимизации [1], [148].

Первый и наиболее естественный шаг в определении запасов устойчивости многомерной системы, это введение понятий запасов устойчивости на основе обобщения критерия Найквиста на многомерный случай, что и было сделано в работе [2], где эти понятия определялись на основе годографа АФЧХ обобщенной передаточной функции многомерной системы ШобО^) (0.3). Исследование оптимальных в смысле функционала оптимизации (0.8) многомерных систем показало [2], что при К = 1 т гарантируется запас по фазе (р3об > 60°, модулю Ь0 В > 2 и показатель колебательности м0 В < 2. Для неединичной весовой матрицы я, аналогичный результат приведен, например, в [97]. Заметим, однако, что из работы Калмана [44] следует, что если функционал качества отличен от (0.8) и имеет более общий вид, а именно содержит взаимные произведения управлений и состояний, то запасы устойчивости таких оптимальных систем могут быть весьма малыми [12, 225]. В работе [97] найдены ограничения на выбор элементов такого функционала общего вида, когда гарантируются определенные запасы устойчивости по годографу го05(5).

В работе [3] введено понятие передаточной функции т^в) многомерной САУ, разомкнутой по Vому физическому входу объекта управления {у = 1, га), когда остальные га — 1 входов замкнуты через регулятор. Это позволило в качестве запасов устойчивости многомерной САУ рассматривать набор 3га значений запаса устойчивости по фазе, модулю и показателя колебательности соответственно, определяемых по р-ому годографу АФЧХ ту{]оо){у = 1, га). Применительно к оптимальным в смысле функционала качества (0.8) многомерным системам в [3] установлено, что для Я = 1 т имеют место неравенства Рз" > 60°, Ьр > 2, Мр < 2 (ь> = 1, га). Для случая диагональной матрицы Я и функционала оптимизации общего вида аналогичные исследования выполнены в работе [97].

В 1967 году А. А. Красовским [51] была предложена процедура конструирования регуляторов, оптимальных в смысле так называемого критерия обобщенной работы [52, 102]. В отличие от известной процедуры Ы5 -оптимизации Летова-Калмана, основанной на решении нелинейного матричного уравнения типа Риккати [17], она сводится для устойчивых объектов управления к решению линейного матричного уравнения Ляпунова [51, 52], что с вычислительной точки зрения гораздо проще. Самим А. А. Красовским было установлено [51], что коэффициенты усиления в каждом канале управления таких аналитически сконструированных систем можно независимо друг от друга менять в пределах от нуля до бесконечности без потери устойчивости замкнутой системой. Это свойство систем, оптимальных в смысле критерия обобщенной работы предвосхитило будущее понятие о многомерных запасах устойчивости по коэффициенту усиления, введенному впервые в [257] (см. также [225]). В случае систем, оптимальных в смысле критерия обобщенной работы, условие оптимальности в частотной форме порождает следующее матричное неравенство, которому удовлетворяет передаточная матрица разомкнутой системы (по физическому входу объекта) [6],[225] Д^СМ > о- (0.9).

При этом запасы устойчивости и показатель колебательности, определяемые по годографам АФЧХ ъи^и),^ = 1, га) составляют при Я = 1 т.

И '.

90°, —> оо, Му< 1 V = 1, га. (0.10).

Рассмотренные выше понятия запасов устойчивости многомерных систем, основанные на рассмотрении годографов АФЧХ обобщенной передаточной функции многомерной системы и>0б (з) и передаточной функции многомерной системы, разомкнутой по рому входу объекта адДз) для систем, оптимальных в смысле функционала оптимизации (0.8), принимают одинаковые численные значения. Возникает вопрос: имеет ли какие-либо преимущества определение запасов устойчивости многомерных систем на основе и)"^), чем при помощи и>05(5)? Ответ на этот вопрос положительный, поскольку, например, для оптимальных многомерных систем запасы устойчивости по т^з) гарантируются лишь при диагональной весовой матрице Я в критерии качества (0.8) (в работе [225] построен пример, показывающий, что для произвольной Я > 0 запасы устойчивости по модулю для и>&bdquoмогут быть весьма малыми), тогда как для случая 'ш0б (.5) [97], запасы устойчивости гарантируются для всех положительно определенных матриц К. Таким образом, «хорошие» запасы устойчивости по ъи0 В (з) лишь необходимое условие робастности многомерной САУ.

Дальнейшее развитие понятий запасов устойчивости многомерных систем связано с работой [257] (см. также монографию [258]). Принципиальное отличие понятий запасов устойчивости многомерных систем, используемых в [257], от рассмотренных нами ранее, опиравшихся на понятие передаточной функции многомерной системы, разомкнутой по Vому входу объекта [3], состоит в возможности учета одновременных и независимых вариаций коэффициентов усиления либо фазовых сдвигов в каждом канале управления по всем физическим входам объекта управления. Поэтому, если многомерная система обладает запасами устойчивости в смысле работы [257], то это гарантирует те же (не менее) запасы устойчивости по отдельным каналам управления, определяемые по [3]. Обратное утверждение, в общем случае, неверно, что и продемонстрировал пример, построенный в работе [225]. Следовательно, «хорошие» запасы устойчивости по гиДя), {у — 1, т) также лишь необходимое условие робастности многомерной САУ.

Переходя к формальному описанию понятий запасов устойчивости многомерных систем, использованных впервые в [257], рассмотрим [225] рис. 0.1, где — передаточная матрица объекта управленияК (б).

— передаточная матрица регулятора- (г = 1, т) — постоянные числа с номинальными значениями равными единице при которых замкнутая система рис. 0.1 асимптотически устойчива.

Рис. 0.1.

Рис. 0.2.

Определение 0.2. Многомерными запасами устойчивости по коэффициенту усиления по физическому входу объекта управления называются т интервалов для чисел /гк < к < и, к < 1, Ъ > 1, (г — 1, т), (0.11) где и Гз соответственно нижняя и верхняя границы гго интервала), одновременная принадлежность к которым коэффициентов усиления (г = 1, т) не нарушает свойства асимптотической устойчивости замкнутой системы рис. 0.1.

Рис. 0.2. служит для пояснения понятия многомерных запасов устойчивости по фазе. Здесь вместо коэффициентов усиления в каждый канал управления по каждому физическому входу объекта управления вводятся независимые друг от друга «чистые» фазовые сдвиги (г = 1, т), где — некоторые числа с номинальным значением равным нулю, которые соответствуют асимптотически устойчивой номинальной замкнутой системе рис. 0.2.

Определение 0.3. Многомерными запасами устойчивости по фазе на физическом входе объекта управления называются т интервалов для чисел ф{ ф{<�фг<�фь ф,< 0, ф{> 0, (г = 1, т), (0.12) где ф. и ф1 соответственно нижняя и верхняя границы гго интервала), одновременная принадлежность к которым «чистых» фазовых сдвигов ф{,(г = 1, ш) не нарушает свойства асимптотической устойчивости замкнутой системы рис. 0.2.

Аналогично рассмотренному, вводятся понятия запасов устойчивости на физическом выходе многомерной системы, а также определяются запасы устойчивости дискретных систем [225], [258].

Следует отметить, что в работе [257] не было дано конструктивного подхода к определению численных значений запасов устойчивости многомерных систем, соответствующих определениям 0.2 и 0.3. Однако, для аналитически сконструированных систем, оптимальных в смысле функционала оптимизации (0.8) с <3 > 0 и диагональной Л > 0, в [257] было получено k< -60° < Vi < 60°, (г = T~m), (0.13) j что численно совпадает с полученными ранее значениями запасов устойчивости с использованием понятия wv{s) [3], [6].

Применение данного подхода к системам, оптимальным в смысле критерия обобщенной работы, т. е. построенным на основе решения матричного уравнения А. М. Ляпунова, позволило установить следующие границы гарантируемых этой процедурой запасов устойчивости [225], [287].

0 < k < оо, -90° < ф{ < 90°, (г = 1~т), (0.14) что численно также совпадает с полученными ранее значениями запасов устойчивости на основе подхода [3], [6].

Обратим внимание на следующий факт, из (0.14) следует, что коэффициенты усиления в каждом канале управления у систем, построенных на основе решения уравнения Ляпунова, можно уменьшать до нуля, тогда как у систем, построенных на основе решения уравнения Риккати (оптимальных в смысле функционала (0.8), их можно уменьшать (0.13) лишь в два раза, даже в случае устойчивого объекта. Последнее, рассматривалось в работе [256] как недостаток свойственный оптимальным системам, поскольку [225] наличие в объекте насыщения или зоны нечувствительности затрудняет практическое применение данной процедуры по очевидным причинам возникновения нежелательных автоколебаний и даже неустойчивости. В связи с этим, в работе [225] предложено искать закон управления и = —ВтРх на основе решения следующего уравнения Риккати с параметром ?3.

АТР + РА- ?3PBR~lBTP = -Q, 0 < /3 < 2. (0.15).

В этом случае при диагональной R > 0 и произвольной Q > 0 гарантируются.

Q ¦ (3 < li < оо, ^?l < arceos—, (г = 1, т), (0.16) и, таким образом, при (3 —> 0 запасы устойчивости (0.16), гарантируемые этой процедурой стремятся к оценкам (0.14), а коэффициенты усиления в каждом канале управления в соответствии с (0.16) могут уменьшаться в 2/(3 раз. При (3 = 2 запасов устойчивости не гарантируется. Следовательно, процедура синтеза работы [109] запасов устойчивости по фазе и модулю не гарантирует, несмотря на сколь угодно большую степень устойчивости замкнутой системы. Последнее замечание относится, вообще говоря, ко всем методам модального управления, которые не гарантируют, в общем случае, запасов устойчивости по фазе и коэффициенту усиления у синтезированных систем. При этом косвенная оценка робастности САУ по мере удаления корней характеристического уравнения замкнутой системы от мнимой оси (степени устойчивости) может приводить, как это следует из примеров работ [7, 12, 225], к ошибочному заключению о действительной робастности САУ.

Заметим, что приведенные выше оценки запасов устойчивости аналитически сконструированных систем были получены во многом благодаря тому, что закон управления строился на основе решения известного матричного уравнения (Риккати или Ляпунова). До появления работы [225] было неясно как оценить запасы устойчивости в смысле определений 0.2 и 0.3 для произвольной многомерной системы с заданным регулятором.

Запасы устойчивости систем с устройствами восстановления вектора состояния.

Подчеркнем, что рассмотренные выше оценки запасов устойчивости аналитически сконструированных систем справедливы лишь при полностью измеряемом векторе состояния объекта управления. Если полный вектор состояния объекта недоступен непосредственному измерению, то часто строят специальные динамические устройства (наблюдатели, фильтры Калмана) [16, 28, 47, 65, 79, 80, 148], служащие для восстановления полного вектора состояния по доступным непосредственному наблюдению физическим выходам объекта. Естественно ожидать, что запасы устойчивости систем с устройствами восстановления фазовых переменных будут отличаться от запасов устойчивости системы, имевших место при полном измерении вектора состояния. Анализу свойств систем с устройствами восстановления вектора состояния положила начало работа [4].

Исследование систем с наблюдателем Люенбергера [8] и фильтром Калмана [8, 12, 190] показало, что замкнутые системы с фильтром и наблюдателем могут обладать весьма малыми запасами устойчивости по фазе и модулю на физическом входе объекта управления. В работах [8, 11] проанализированы причины возможности малых запасов устойчивости систем с наблюдателем. Они связаны с наличием взаимно-уничтожающихся при формировании характеристического полинома замкнутой системы полиномов, формируемых различными физическими устройствами (объектом и регулятором), в числителе и знаменателе передаточной функции системы, разомкнутой по физическому входу объекта. А как было показано в [7], при достаточно больших коэффициентах этих полиномов, запасы устойчивости по фазе и модулю указанной передаточной функции малы. Частотным критерием, как показано в [11], позволяющем обнаружить данное явление в многомерной САУ с наблюдателями служат запасы устойчивости по фазе и модулю, вычисляемые по обобщенной передаточной функции (0.3) многомерной системы, разомкнутой по физическому входу (выходу) объекта управления.

Неудовлетворительные свойства систем с наблюдателями породили стремление сконструировать наблюдатель [9] или фильтр Калмана [191] таким образом, чтобы запасы устойчивости по физическому входу объекта в системе с наблюдателем совпадали с запасами устойчивости гарантируемыми в этой точке при полном измерении вектора состояния объекта управления. Работы [9], [191], [192] показали, что в общем случае это возможно сделать, если объект управления минимально-фазовый, при этом требование минимальной фазовости естественно возникает из алгоритма построения наблюдателя [9] или фильтра [191], [192], поскольку полюса наблюдателя, являющиеся частью корней замкнутой системы, компенсируют нули объекта.

Наиболее полное обсуждение свойств систем с наблюдателями в рассматриваемом аспекте имеется в работе [225]. Обеспечению запасов устойчивости по выходу объекта в системе с наблюдателем была посвящена пионерская работа [223], которая и инициировала исследования [191, 192, 225]. Процедуры синтеза этого направления в зарубежной научной литературе получили наименование процедур восстановления робастно-сти (robustness recovery или Loop Transfer Recovery—LTR). Они получили дальнейшее развитие в работах [244, 273, 227, 171].

Часто, когда размерность исходного вектора состояния достаточно высокая, для упрощения модели пренебрегают «быстрой» динамикой объекта и ищут регулятор, исходя из упрощенной модели. Это приводит к так называемым сингулярно возмущенным системам [32], т. е. системам с малым параметром при части производных вектора состояния. Известно, что закон управления по полному вектору состояния стабилизирует сингулярно возмущенную систему при устойчивости «быстрой» части и достаточно малом значении малого параметра [32]. В работах [217], [218] рассматривались сингулярно возмущенные системы с управлением по выходной переменной объекта. При этом показано, что статическая обратная связь и наблюдатель пониженного порядка могут приводить к потере устойчивости исходной сингулярно возмущенной системой в отличие от использования наблюдателя полного порядка.

Рассмотренные выше работы касались случая, когда для восстановления недоступных непосредственному измерению фазовых переменных использовались фильтр Калмана либо наблюдатель Люенбергера. Последнее в оптимальных системах приводит к естественному изменению минимального значения функционала оптимизации, соответствующего полному измерению вектора состояния объекта, поскольку характеристическое уравнение замкнутой системы имеет увеличенный порядок п + где прпорядок дифференциального уравнения наблюдателя. Как известно [146], существуют два основных подхода к синтезу оптимальных систем с неполностью измеряемым вектором состояния объекта управления. Первый из них связан с получением закона управления в функции состояния и последующим выражением недоступных непосредственному измерению переменных в законе управления по полному вектору состояния путем эквивалентных преобразований уравнений объекта (прямого алгоритма восстановления [4]). Второй, опирается на переход к форме описания «вход-выход» и последующему определению оптимальной передаточной матрицы регулятора, использующего физический выход объекта. Передаточные матрицы, получаемые на основе этих двух подходов, совпадают. Прямой алгоритм восстановления, как показано в работе [4], не изменяет характеристического уравнения замкнутой оптимальной системы и следовательно, его использование не приводит к изменению оптимального значения критерия качества. Прямой алгоритм восстановления сводится к эквивалентным преобразованиям дифференциальных уравнений объекта и регулятора. «А это, как было показано П. В. Надеждиным [72], [73], (см. также [146]) может приводить к замкнутым САУ, теряющим устойчивость при сколь угодно малых отклонениях параметров объекта и/или регулятора от расчетных. В задачах стохастической оптимизации к аналогичному результату независимо пришел Ю. П. Петров [82]. Методы «борьбы» с рассмотренным выше явлением отражены в обзорах [83],[140].

Отметим, что с практической точки зрения важно иметь критерий, который бы мог обнаружить явление [72]. Таким критерием являются запасы устойчивости по фазе и модулю, вычисляемые для передаточной функции (в многомерном случае для обобщенной передаточной функции [14]) системы, разомкнутой по физическому входу объекта управления. Как установлено в [7] для детерминированного случая и в [94] для стохастического в рассматриваемом случае запас по фазе (р3 — 0, а по модулю L = 1 и, таким образом, годографы АФЧХ указанных передаточных функций проходят через критическую точку (—1, j0) на комплексной плоскости их годографа.

Особо отметим тот факт, что в дискретных системах с прямым устройством восстановления аналога явления, обнаруженного в [72], нет [108, 140].

Запасы устойчивости дискретных систем.

Системы с цифровыми регуляторами обладают рядом существенных особенностей. Так переход от непрерывной системы к эквивалентной дискретной при определенном выборе периода квантования может сопровождаться потерей свойства управляемости [45, 47, 57, 79, 80, 188], что приводит к появлению «скрытых» колебаний. Передаточные функции дискретных систем имеют неминимально-фазовый характер [35, 79]. При этом как отмечается в [35, 47, 79] условие низкой чувствительности Перкинса-Круза (аналог (0.6)) в принципе не может быть выполнено для систем с цифровыми регуляторами.

Последнее обстоятельство не позволяет, в отличие от непрерывного случая, гарантировать определенные запасы устойчивости по фазе и модулюоптимальных дискретных систем в общем случае. Так, исследование [5] позволило установить, что гарантированные запасы устойчивости для передаточной функции многомерной дискретной системы, разомкнутой по Vому физическому входу объекта имеют место (численно совпадая с соответствующими непрерывному случаю) лишь для устойчивых объектов и не для всех произвольных коэффициентов функционала оптимизации, а только для тех, которые приводят к оптимальным системам с малыми коэффициентами передачи в разомкнутом состоянии. Это достигается при асимптотическом стремлении к бесконечности весового коэффициента при управлениях в функционале оптимизации. В [258] получены следующие оценки запасов устойчивости многомерных оптимальных дискретных систем, которые имеют место на физическом входе объекта, при полностью измеряемом векторе состояния объекта (в соответствии с дискретным аналогами определений 0.2 и 0.3).

11 а.

—, |^|<2агс8т (^), (г = 1, га), (0.17) аг• +1 1 — а{ 2 в которых а: = г{ + тах (ВтРВУ.

Я = Мад{г1,г2,., гто}, (0.18) где Ядиагональная весовая матрица при управлениях в дискретном аналоге функционала (0.8) — Рположительно определенное решение дискретного матричного уравнения РиккатиВ—матрица при управлениях дискретной модели объектаАтаж (Ф) — максимальное собственное значение матрицы (Ф).

Таким образом, в общем случае, гарантируемые процедурой оптимизации дискретных систем запасы устойчивости нельзя оценить до построения регулятора даже в случае скалярного управления, поскольку оценка (0.17) содержит матрицу Р—решение уравнения Риккати, к нахождению которого сводится процедура синтеза. Некоторые уточняющие оценки запасов устойчивости приведены в работе [267], однако они также включают неизвестную до выполнения этапа синтеза матрицу Р.

В работе [56] рассмотрена задача построения устойчивой дискретной системы со скалярным управлением на входе которой присутствует положительный неизвестный коэффициент, значения которого принадлежат известному диапазону. Принимая во внимание определение 0.2, эту задачу можно трактовать как задачу синтеза дискретной системы с заданным запасом устойчивости по коэффициенту усиления. Авторы [56] получили решение данной задачи, сводящееся к решению нелинейного матричного уравнения обобщающего известное дискретное уравнение Риккати (отличается множителем при квадратичном члене) доказать существование решения которого им не удалось.

Таким образом, в отличие от непрерывного случая, в задачах синтеза дискретных систем с заданными запасами устойчивости получены гораздо менее конструктивные результаты.

Учет нелинейностей.

Кратко остановимся на проблеме учета возможного наличия нелинейностей в контуре управления при синтезе многомерных систем. К настоящему времени разработан достаточно развитый аппарат анализа абсолютной устойчивости нелинейных многомерных САУ [32, 62, 63, 76, 80, 113, 139], однако процедуры синтеза абсолютно устойчивых многомерных систем не так хорошо разработаны и публикаций, посвященных этой важной с практической точки зрения задаче известно совсем мало, как и конструктивных полученных результатов. Прежде всего отметим, довольно неожиданный на первый взгляд, результат, впервые полученный Б.О. Д. Андерсоном и приведенный в монографии [148]. Оказалось, что непрерывные системы, построенные на базеоптимизации, обеспечивают абсолютную устойчивость замкнутой системе с нелинейностя-ми, принадлежащими гурвицеву углу (½, оо). Аналогичный результат получен в [257], а в работах [146, 240] строятся законы управления, позволяющие расширить допустимый класс нелинейностей (гурвицев угол, ограничивающий характеристики нелинейностей увеличен до 90°). Процедура синтеза работы [109] гарантирует существенно меньшие размеры гурвицева угла (1, оо).

В случае дискретных систем известные процедуры синтеза (см., например, [109, 258] не гарантируют свойства абсолютной устойчивости в определенном гурвицевом угле. Это связано с тем, что оценки размеров гурвицева угла зависят от решения дискретного матричного уравнения Риккати к построению решения которого и сводится синтез регулятора состояния.

Анализ и синтез при неопределенностях в частотной области.

Точкой отсчета бурного развития теории робастного управления принято считать начало 80-х годов, когда были сформулированы критерии робастной устойчивости при неструктурированных неопределенностях в частотной области (ограниченных в смысле Н^ -нормы) и принципы подавления внешних возмущений в многомерном случае (Дж. Дойл, Г. Стейн, М. Сафонов и др.) [190, 192, 259, 253, 225, 203, 175]. Эти критерии использовали аппарат сингулярных значений частотных передаточных матриц. Критерии устойчивости, сформулированные в упомянутых работах, во многом опирались на теорему о малом коэффициенте усиления и сначала казалось, что результаты имеют только достаточный характер. Однако работа [169] показала, что они обладают и свойством необходимости. В это же время (на том же языке сингулярных значений) Дж. Зеймсом были поставлены основные проблемы (синтеза регуляторов) теории Ноооптимизации [289]. Решение задач синтеза регуляторов при неструктурированных неопределенностях в частотной области, полученное в работах [220, 239, 280], также имеет необходимый и достаточный характер. Отметим также, что в работе [225] получены конструктивные оценки многомерных запасов устойчивости по фазе и коэффициенту усиления (на входе или выходе объекта) систем с обратной связью.

Исследования [192], [254] подчеркнули, что многомерность объекта при исследовании робастности играет существенную роль. В частности было показано, что известные частотные подходы [234], [255] к синтезу и анализу многомерных систем, основанные на сведении исходной многомерной задачи к последовательности одномерных задач, могут приводить к неверной оценке степени робастности замкнутой системы.

Упомянутые выше результаты в различных аспектах в дальнейшем получили развитие и интерпретацию в статьях [180, 182, 187, 203, 226, 245]. А в 1989 г. вышел в свет один из лучших учебников по многомерным системам [236], где в доступной форме излагались основные идеи подхода сингулярных значений матриц частотных характеристик. Это научное направление заложило фундамент теории Н^ -оптимизации, а первыми монографиями, посвященные этой проблематике, были [279, 202]. Для одномерных систем эти вопросы хорошо освящены в [198]. Детальное обсуждение многомерного случая содержат монографии [207, 212, 291, 292]. Программная реализация в рамках среды MATJIAB данного подхода содержится в пакете [172].

Высокая степень эффективности Н^ теории при работе с неструктурированными неопределенностями оказывается крайне низкой при структурированных неопределенностях в частотной области (поэлементно ограниченных в смысле Hqo-нормы). Это привело М. Сафонова [261] и Дж. Дойла [193] к концепции структурного сингулярного значения (/i) и к зарождению теории, которая сегодня известна как /1 -анализ. Дальнейшее развитие эта концепция получила, например, в работах [194, 196, 199, 204, 150, 152], а статья [246] носит обзорный характер. Главы монографий [270, 275, 291, 292] содержат более детальное обсуждение данной теории.

В 1983;1985 гг. Дж. Дойл также предложил [194, 196] итеративную процедуру, позволяющую осуществлять синтез регуляторов, используя понятие структурного сингулярного значения, которая теперь известна, как ?1 -синтез. И ц,-анализ и //-синтез чисто вычислительные процедуры, причем сходимость последней ничем не гарантирована, а порядок синтезируемого регулятора может быть весьма высоким [270]. Данный подход получил программную реализацию в рамках MATLAB-пакета [151].

Для дискретных систем с ограничениями на структурированные неопределенности в смысле 1 -нормы эффективная теория робастного управления представлена в [178].

Отметим также, что в 1996 году вышел фундаментальный справочник по теории управления [274], где все основные современные проблемы получили простую и доступную форму представления.

Анализ и синтез при параметрических неопределенностях.

В анализе параметрической робастной устойчивости выдающуюся роль сыграла работа B.JI. Харитонова [111], где полностью решена задача устойчивости полиномов с заданными интервальными коэффициентами, которые не зависят друг от друга. Попытка распространить этот результат на анализ устойчивости интервальных матриц, предпринятая в [163], как показал контрпример работы [157], окончилась неудачей. Устойчивости интервальных полиномов посвящены многочисленные обзоры (см., например, [37, 40, 86]). Между тем в реальных ситуациях, когда коэффициенты полинома взаимозависимы, харитоновский подход может быть слишком консервативен [282]. Несмотря на это, в ряде частных случаев при мультилинейной зависимости коэффициентов от параметров удалось решить задачу до конца. Такие результаты представлены в работах [48, 251, 252].

Несомненный интерес представляет задача по сути обратная [111]— назначение допусков на коэффициенты устойчивого полинома. Эта задача в частных случаях решалась в [158, 164] и др. Красивое и эффективное решение частотным методом она получила в работах [87, 88].

Если коэффициенты полинома линейно зависят от нескольких параметров, то робастная устойчивость такого семейства полиномов определяется реберной теоремой [160], либо частотным критерием работы [276].

Робастная устойчивость интервальных матриц несравнимо более трудная проблема. И здесь, в общем случае, возможны только достаточные критерии, поскольку для этой задачи доказана NP-трудность [241]. Тем более это справедливо для многомерных систем с обратной связью. Простые достаточные критерии устойчивости интервальных матриц предложены, например, в [179],[210].

Весьма популярным инструментом для решения указанного выше класса задач (в случае описания систем в пространстве состояний) является второй метод Ляпунова. Многочисленные результаты такого плана можно найти в работах [230, 247, 248, 284, 288]. Как правило, оценки полученные этим путем очень грубые, поскольку оценка по норме учитывает возможные отклонения даже тех параметров системы, которые физически меняться не могут (например, нулевых элементов матрицы). Более предпочтительным с этой точки зрения является подход, использующий квадратичные функции Ляпунова, зависящие от параметров [92, 201].

В работе [184] предложена весьма трудоемкая процедура определения условий робастной устойчивости многомерных систем, основанная на теореме об отображении Заде-Дезоера [42]. В работе [165] подчеркивается фундаментальная разница между динамическими (частото-зависимыми) и параметрическими возмущениями. Другой подход к этой проблеме опирается на различные частотные условия абсолютной устойчивости применительно к системе, представленной в так называемой (М, А)-форме, о которой более подробно сказано в первой главе настоящей работы. Такие результаты получены, например, в статьях [150, 199, 200, 208, 209, 262, 272]. Технология //-анализа для чисто параметрических возмущений впервые начала применяться с середины 80-х годов [195, 196] (см. также работу [264] и ссылки в ней). В [200] обсуждаются недостатки этой технологии для случая вещественной неопределенности (см. также обзор [246]) й подчеркиваются серьезные вычислительные трудности из-за невыпуклости задачи и разрывности ?1 в этой ситуации.

Синтез ненастраиваемых регуляторов для систем с отклонениями параметров от расчетных может проводиться с различных позиций. Например, идеи метода модального управления используются в работах [112, 215]. Однако, основным методом решения задач синтеза долгое время оставался подход, использующий идеи второго метода Ляпунова. Так, в основу работ [55, 56, 69, 70, 71, 109, 110], [154]—[156], [168, 243, 281] положен именно ляпуновский подход и в основном используется решение линейного матричного уравнения А. М. Ляпунова. Большое число процедур подобного типа содержит обзорная монография [284]. Особо следует отметить работу В. В. Григорьева [36], в которой выбирается весовая матрица правой части уравнения Риккатиоптимизации, так что разрешается задача робастной стабилизации объектов, содержащих параметрические возмущения только в матрице состояний объекта управления. Более общий случай рассмотрен в многочисленных работах авторов [249, 250]. В работе [219] установлена связь этой проблемы с задачей #оооптимизации. По сути аналогичный минимаксный подход в работах М. М. Когана [49, 50] привел к решению довольно общих задач робастной стабилизации (неопределенности присутствуют во всех матрицах уравнений состояния объекта и не требуется выполнения никаких дополнительных условий их согласования, в отличие от работ упоминавшихся ранее). Правда вектор состояния объекта предполагается измеряемым, что характерно для всех работ этого направления. Это сильно ограничивает их практические возможности.

В этом смысле более реалистичной выглядит процедура^{-синтеза,} где регулятор всегда строится по измеряемому выходу [270, 275, 292]. Однако итерационный характер этой процедуры со значительными вычислительными затратами и проблема ее сходимости, не позволяют считать рассматриваемую здесь задачу робастной стабилизации удовлетворительно решенной.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Проведенные в диссертационной работе исследования могут быть представлены в виде следующих результатов:

1. Разработана «техника размыкания» многомерных линейных систем по исследуемым физическим параметрам, позволяющая проводить анализ параметрической робастной устойчивости на основе аналога классического критерия устойчивости Найквиста и его многомерного обобщения, а также модифицированного кругового критерия. В случае одного исследуемого параметра линейно или полиномиально присутствующего в уравнениях системы результаты носят необходимый и достаточный характер. Для мультилинейных многопараметрических семейств получены только достаточные или необходимые условия робастной устойчивости.

2. Развит метод синтеза робастных регуляторов многомерных систем, физические параметры которых подвержены отклонениям от расчетных, опирающийся на обеспечение заданных запасов устойчивости по коэффициенту усиления при размыкании замкнутой системы объект-регулятор по исследуемым параметрам путем использования стандартной процедуры Ноооптимизации. Метод имеет достаточный характер.

3. Предложены методы синтеза непрерывных робастных регуляторов состояния и по выходу с учетом структурированной немоделируемой динамики и нелинейностей на входе (выходе) объекта управления, основанные на процедурах ЬС} и Н^ -оптимизации.

4. Разработаны процедуры синтеза цифровых робастных регуляторов состояния с учетом заданных запасов устойчивости, а также статических нелинейностей на входе объекта управления, основанные на модификации процедуры ЬС} -оптимизации и модальном управлении.

5. Построены процедуры синтеза многомерных линейных систем по заданной точности в установившемся режиме при действии ограниченных по мощности полигармонических возмущений с неизвестными амплитудами и частотами, опирающиеся на выбор коэффициентов функционала оптимизации линейно-квадратичного и Нсубоптимального управления.

6. Исследована предельно достижимая точность систем с цифровыми регуляторами и установлены фундаментальные ограничения в виде частотных неравенств на сингулярные значения матрицы возвратной разности, которые определяют точность МСАУ при действии типовых (ступенчатых и гармонических) внешних возмущений.

7. Теоретические результаты послужили алгоритмической базой для внедрения их в действующую САПР ГАММА-1РС в виде ряда директив.

— 240 анализа и синтеза МСАУ. С помощью разработанных директив осуществлен синтез регуляторов конкретных технических объектов (в частности, для гироплатформы и многодвигательного электропривода тру-боэлектросварочного агрегата), что показало практическую эффективность полученных в работе результатов.