Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Спектральные свойства операторов Шредингера и существование решений одного класса нелинейных самосогласованных задач

ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Результаты главы У, дополнительно к устанавливаемой в главах П, Ш устойчивости низкоэнергетических состояний, устанавливают компактность некоторых связанных с низкоэнергетическими состояниями спектральных характеристик и наблюдаемых. Эти результаты качественно играют роль, своего рода,(неконструктивных) теорем существования алгоритмов для вычисления соответствующих объектов. Оценка £-энтропии… Читать ещё >

Спектральные свойства операторов Шредингера и существование решений одного класса нелинейных самосогласованных задач (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • Глава I. РАВНОМЕРНЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
  • Глава II. В03М7ЩЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
  • Глава III. ВОЗМУЩЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ПРОЕКТОРОВ Г л, а в, а 1У. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ИЗОЭНЕР ГЕТИЧЕСКИХ ПОВЕРХЮСТЕЙ
  • Глава V. О КОМПАКТНОСТИ НЕКОТОРЫХ ШКЦЮНАЛЬНЫХ И
  • ОПЕРАТОРНЫХ МНОЖЕСТВ, СВЯЗАННЫХ С ОДНОЧАС -ТИЧНЫМИ ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ОПЕРАТОРАМИ ШРЕЩИН ГЕРА В ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ЯЧЕЙКЕ Г л, а в, а У1. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ХАРТРИ ФОКА-СЛЭТЕРА

Одной из' интенсивно развивающихся областей физики твердого тела является так называемая зонная теория /1−3/. Математическая сущность зонной теории заключается, во-первых, в исследовании свойств спектра и собственных функций (собственных функционалов) оператора Шредингера И с периодическим потенциалом V (X) заданного формальным дифференциальным вырахением+ (I)в трехмерном евклидовом пространстве ft и, во-вторых, в создании и реализации алгоритмов для численного расчета спектра и собственных функций этого оператора. Важно заметить, что работа во втором направлении базируется на результатах первого надравления, что придает качественным исследованиям свойств оператора «Н особую важность.

Первые результаты по свойствам спектра и собственных функций одномерного оператора Шредингера с периодическим потенциалом (оператора Хилла) получены в работах /4,5/ указавших на «по -*лосатую» структуру спектра: интервалы непрерывного спектра (зоны устойчивости) разделены «лакунами» (зоны неустойчивости). Подробное изложение можно найти в работах /6−8/. Именно свойство «полосатости» спектра сыграло впоследствии основную роль в приложениях к теории твердого тела.

В более поздних исследованиях оператора Хилла получена глубокая детализация свойств его спектра и собственных функций. Например, с кавдой зоной устойчивости была связана периодическая непрерывная функция j (K) квазиимпульса К порожденного спектральным представлением унитарного оператора трансляции, коммутирующего о оператором Хилла /9/, выяснены дифференциальные характеристики Ау (К) получены различные оценки/10−12/. Многочисленные публикации посвящены изучению обратной задачи для оператора Хилла, укажем некоторые из них: /13−17/ • Обилие интересных и важных результатов в одномерном случае связано в первую очередь с тем, что рассматриваемое уравнение имеет лишь два ли нейно независимых решения, этот факт лежит в осшве всех исследований.

В главе ЗУ на основе метода линеаризации операторных пучков /43/ и теорем об устойчивости существенного спектра замкнутого оператора /37,44/ доказано, что множество Г вида (4) может иметь лишь конечное число общих точек в Qg с рациональной кривой довольно общего вида в пространстве квазиимпульсов. Эти результаты опубликованы в /25/.

В главе У доказаны несколько утвервдений о компактности функциональных и операторных множеств, связанных с семействами операторов вида (3) в предположении, что потенциалы V принадлежат шару фиксированного радиуса в (Q).В частности, доказана компактность (в С) сужений множества мер плотностей"состояний /Ю/ на любой конечный отрезок. Далее, множество семейств операторов (3), рассматриваемых при фиксированных потенциалах из шара в Z% (О.) метризуетсядоказывается, что получаемый таким образом метрический компакт эквивалентен в смысле оценок величин? -емкости и?энтропии {см. /45−48/) метрическое компакту, который образует шар в4 (Я) рассматриваемый с метрикой, индуцированной негативной нормой — пространства с негативной нормой и «оснащения» гильбертовых пространств рассматриваются, например, в работах /49/ (используемые в настоящей работе обозначения следуют этому источнику) и/50,51/. Результаты главы У опубликованы в виде препринта /52/" -«и заметки /53/.

Результаты глав Ш-У позволяют в заключительной главе диссертации — шестой — обосновать правомочность постановки и доказать существование решений нелинейных задач на собственные значения типа уравнения Хартри-Фока-Слэтера. Результаты этой главы анонсированы в /54/ и подробно изложены в препринте /55/.

Конкретно, на защиту выносятся следующие основные положения.

1. Оценка возмущений собственных проекторов одночастичных операторов Шредингера зонной теории — леммы 2,4 главы Ш.

2. Равномерная оценка возмущения низкоэнергетических состояний операторов Шредингера одноэлектронной модели твердого тела при возмущении потенциалов и волновых векторов в предположении равномерной по норме / а ограниченности потенциалов и без дополнительных предположений о распределении собственных значенийоценка (50) главы Ш.

3. Теорема об отсутствии на изоэнергетических поверхностях участков рациональных кривых определенного класса — теорема 2 главы 1У.

4. Теоремы о компактности функциональных. и операторных множеств, связанных с низкоэнергетическими состояниями рассматриваемого класса операторов Шредингера — теоремы 1,3,5,7 главы У.'5. Конструкция метризации рассматриваемого класса операторов Шредингера и характеристика возникающего метрического компактатеорема 8 главы У.

6. Теорема существования решений класса нелинейных задач на собственные значения, включающего уравнения Хартри-Фока-Слэтератеорема 5 главы У1.

В работе принята следующая нумерация формул и система ссылок: формулы и содержательные предложения (определения, утверждения) каждой из глав занумерованы независимо натуральными числами, начиная с единицы. Ссылки внутри главы даются в форме (иг) «гдеKW-номер формулы или утверждения в данной главе. Ссылки на формулы и утверждения из других глав даются в форме (W.n) где иг — номер главы, Yl номер формулы определения или утверждения в ней.

Комбинируя результаты из работ /10,22,38/ можно высказать следующее утверждение, ^.

Заключение

.

1. Результаты глав П, Ш позволяют сделать следующие содержательные выводы: численные характеристики (спектр, собственные функции) одноэлектронной модели твердого тела устойчивы к «входным» параметрам модели, каковыми являются характеристики потенциала (например, коэффициенты ряда Фурье потенциала). Кроме того, устойчивыми являются наблюдаемые (см. /105,106/), связанные с низкоэнергетическими состояниями.

2. Результат главы 1У, являясь по форме отрицательным, тем самым — неконструктивен. Характеризация допустимых кривых на изо-энергетических поверхностях, или, хотя бы, количественная ив^ормация о распределении точек пересечения рассматривавшихся кривых с изоэнергетическими поверхностями сводится к спектральной теории несамосопряженных операторов, или к исследованию множеств уровня функций многих комплексных переменных. Задачи такого рода интенсивно исследуются в настоящее время /107,108/ методами дифференциальной геометрии и топологии, что позволяет, на взгляд автора, расчитывать, привлекая соответствующий современный аппарат, получать содержательные результаты о структуре изоэнергетических поверхностей в рассматривавшемся и сходных частных случаях.

3. Результаты главы У, дополнительно к устанавливаемой в главах П, Ш устойчивости низкоэнергетических состояний, устанавливают компактность некоторых связанных с низкоэнергетическими состояниями спектральных характеристик и наблюдаемых. Эти результаты качественно играют роль, своего рода,(неконструктивных) теорем существования алгоритмов для вычисления соответствующих объектов. Оценка £-энтропии компакта играет важную роль как эвристическая характеристика сложности эффективного вычислительного алгоритма /48/. Величина? -энтропии и? -емкости характеризуют компакт как «конструктивный» объект /45−48/. Получение оценок указанных величин для компактов, рассмотренных в главе У, затрудняется, однако, отсутствием количественных (метрических) характеристик изоэнергетических поверхностей и «слоев» изоэнергетических поверхностей, соответствующих малым интервалам энергии (качественное поведение таких «слоев» дает теорема 2 главы У), Эти вопросы также, на взгляд автора, представляют интересрдля дальнейшего изучения, и продвижение здесь зависит от положительных результатов в смысле П. 2, заключения.

4. Теорема существования решений нелинейной задачи в главе У1 неконструктивна, т.к. основана на применении принципа неподвижной точки Шаудера. В общей постановке возможность построения ежимающего отображения, приводящего к неподвижной точке, на взгляд автора, весьма сомнительна. С другой стороны, техника, приведшая к доказательству существования решения в рассмотренном случае, представляется достаточно общей и может, по-видимому, быть использована при изучении других нелинейных задач, широко используемых при построении «самосогласованных» моделей в современной теоретической физике.

5. Полученные в работе результаты могут быть полезны при качественном анализе явлений, описываемых одноэлектронным уравнением Шредингера с периодическим потенциалом, и при разработке численных алгоритмов вычисления различных спектральных характеристик в модели идеального кристалла.

Показать весь текст

Список литературы

  1. Г., Зоммерфельд А. Электронная те орт металлов. — М.-Л.: ОГИЗ, 1938. 352 с.
  2. Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Наука, 1978. 792 с.
  3. Н., Мермин Н. Физика твердого тела. т.1. -М.: Мир, 1979. 398 с.
  4. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958. 474 с.
  5. Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, т.2. М.: ИИЛ, 1961. 555 с.
  6. И.М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов. М.: ГИФМЛ, 1963, 339 с. 9. g&cA. Т. Ц? еь eta QUA* VL 1 М². Pfy. S р. COO.
  7. Рид М., Саймон Б, Метода современной математической физики, т. 4. М.: Мип. 1982. 428 с. ty/a*мл&1 ftMustjuerHA. Ы Jtf, 19Я, f>.W-№.
  8. В.В. Методы расчета энергетической структуры и физических свойств кристаллов. Киев: Наукова думка, 1977, с, 67−77.13. 4f~ocfortadt О* ej 4UMb гулякСс*tout. MuJ Mut.0*af. 13, tterp. 35"3−3'б2.
  9. М.Г., Левитан Б.M. Определение дифференциального оператора по двум спектрам. Усп. мат, наук, 1964, 19, вып. 2, с. 3−63.
  10. В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. -Киев: Наукова думка, 1977. 329 с.
  11. В.А., Островский И. В. Характеристика спектра опера -тора Хилла. Мат. сборник, 1975, 97, вып. 4, с. 540−606.
  12. И.М., Левитан Б. М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции. Изв. АН ССОР.Сер. мат., 1951, 15, вып. 4, с. 309−360.18. 4М- &&JM Яао^М
  13. И.М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции, вып. 3. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений, — М.: ГИФМЛ, 1958. 274 с.
  14. И.М. Разложение по собственным функциям уравнения с периодическими коэффициентами. «ДАН СССР, 73, 1950, с. III7−1120.
  15. Крэкнелл А, Уонг К. Поверхность Ферми. М.: Атомиздат, 1978, 350 с.
  16. В.В., Петрухновский С .И. Некоторые геометрические свойства поверхностей Ферми. ДАН СССР, 1982, 264, № 5, с. III7-III9.
  17. И.М., Каганов М. И. Некоторые вопросы электронной теории металлов. Усп. физ. наук, 87, В 3, 1965, с. 389−469.
  18. У. Теория твердого тела. М.: Мир, 1972. 616 с.
  19. Фок В. А» Начало квантовой механики. М.: Наука, 1976, 376 с.
  20. Л.Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. М.: Наука, 1974, 752 с.
  21. А.С. Квантовая механика. М.: Наука, 1973, 703 с.
  22. MoJjVb J, С. #Щиакивъ oj. htd&odpftp. fbw. n, 191~i, />. arc.
  23. Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. 740 с.
  24. О.А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973, 576 с.
  25. О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные
  26. С.И. Об оценках возмущения собственных проекторов операторов Шредингера с дискретным спектром. Свердловск: Препринт ИФМ УНЦ AH^CCCP >84/3^IS84f 52с.
  27. И.Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию несамосопряженных операторов. -М.: Наука, 1965, 448 с. 44. ХаЛ^ои^е J. Ro^aW-J. ы.^ Meet., 12 IU3h633-m
  28. A.H., Тихомиров B.M. £-энтропия и? -емкость множеств в функциональных пространствах. Усп.мат.наук, 14, вып. 2(86), 1959, с. 3−86.
  29. А.Г. Оценка сложности задачи табулирования. М.: ГИФМЛ, 1959, 228 с. уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967, 736 с.
  30. Л.Д. Вариации множеств и функций. М.: Наука, 1975, 325 с.
  31. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики. М.: Наука, 1979,.295 с.
  32. Ю.М. Разложения по собственным функциям самосо -пряженных операторов. Киев: Наукова думка, 1965, 798 с.
  33. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мщр, 1971, 371 с.
  34. Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее прило -жения. М.: Мир, 1972, 316.с.
  35. Петрухновский С. И, 0 компактности некоторых функциональных и операторных множеств, связанных с операторами Шредингера с периодическим потенциалом. Свердловск: 1 Препринт ИФМУНЦ^ 1АН СССР Р84/2Д984. 32с.
  36. С.И. Топологические требования к математическим моделям в физике твердого тела. Тезисы докладов У1 респуб -ликанской школы молодых физиков, Ташкент, Ин-т ядерной физики АН УзССР, 1981, 224 с.
  37. В.В., Петрухновский С. И. Существование решений уравне -ния Хартри-Фока-Слэтера. Изв. высш.уч.зав., 12, 1983.
  38. Дякин В, В, Петрухновский С. И. Существование решений одного класса нелинейных задач на собственные значения. Свердловск: фепринт ЙШ УНЦ Щ (Ш3 ^81, 1984, ^^71
  39. С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. М. :Наука, 1974, 808 с.
  40. X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980, 664 с.
  41. Избранные главы анализа и высшей алгебры. Ленинград: Изд-во Ленингр. ун-та, 1981, 200 с.
  42. Никольский С.М.-Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1969, 480 с.
  43. Он Пл. е^вк^или&виД ovk U*оф. у/о?и? — coftlmi. /W1. Qffl.MdL.tJ,
  44. Г. й. Асимптотика спектральной функции эллиптических операторов в ограниченной области. Матем. заметки, 5, 1969, с. 245−261.
  45. Бирман М. Ш, Соломяк М. З. 0 главном члене спектральной асимптотики для «негладких» эллиптических задач. Функц. анализ и его прилож, 4, 1970, с. I-I3.
  46. М.Ш., Соломяк М. З. Спектральная асимптотика негладких эллиптических операторов. Докл. АН СССР, 205, 1972, с. 267 270. •
  47. Кожевников А. Н, 0 распределении спектра дифференциального оператора. Вест. MI7, 2, 1971, с. II-I7.65. Левитан Б. М. СелАби^ сфо^ db^^tuJ? (Ыи йг^М
  48. JUew. М*МЛП0,12, I3fl, р. Щ-ЧЫ
  49. В.Н. Асимптотическое распределение собственных чисел дифференциальных уравнений. Матем.сб., 89, 1972, с. 191−206.
  50. ШхЛъо^
  51. Л. 0 средних Рисса спектральных функций эллиптичес -ких дифференциальных операторов и соответствующих спектральных разложениях. Математика, 12, 5, 1968, с. 91−130.
  52. Ctonl С Жг cuyhipioiCt oLbbzS&dw (j
  53. Oft*/ Zifj^j-UAutur^ boutdc^ fo? t/J? jytoew-51ЛМ kws, i9f? fp.
  54. B.B., Широковский В. П. Нули собственных функций квазипериодической задачи. Дифференц, уравнения, 10, 4, 1974, с. 624−628.
  55. Л.Д. Прямые и обратные теоремы вложения. Приложения к решению вариационным методом эллиптических уравнения. Труды матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР, 55, 1959, с. I-I8I.
  56. Ладыженская 0, А. Простое доказательство разрешимости основных' краевых задач и задачи о собственных значениях для линейных эллиптических уравнений. Вестник Ленингр. гос. ун-та, сер. матем., мех. и астр., 7, 1958, с. 60−69.
  57. О.А. 0 замыкании эллиптического оператора. Докл. АН СССР, 79, 5, 1951, с. 723−725.
  58. А.И. Априорные оценки в L р и обобщенные решения эллиптических уравнений и систем. Усп. мат. наук, 13, № 4, 1958, с. 29−88.
  59. U Сгний. Рим Ttyf. MaJi, 12 t
Заполнить форму текущей работой