Элементы нестандартного анализа и логико-речевая символика — как средства повышения математической культуры учащихся средней школы

Сама жизнь и изменяющиеся социальные обстоятельства в обществе постоянно оказывают влияние на образовательную систему нашей страны. Это нашло своё отображение в Законе РФ «Об образовании», в котором работникам образования предоставляется возможность самостоятельно выбирать организационные формы и дидактические приёмы обучения с целью повсеместной гуманизации и гуманитаризации учебно-воспитательного процесса в школе и вузе.

Путей усовершенствования математического образования достаточно много. В основах «Концепции непрерывного образования» приводятся наиболее важные их положения и идеи. Преподавателям-новаторам даются большие права для творческой работы, применения новых форм и методов обучения различным предметам, в том числе и математике.

Поэтому неудивительно, что исследования многих новаторов и творчески мыслящих преподавателей математики убеждают насурок из категории основной формы обучения в общеобразовательной школе переходит в разряд одной из основных форм обучения. К примеру, в работах Батракова И. С., Дьяченко В. К., Зайкина М. Н., Молчанова М. А. и многих других анализируются тенденции децентрализации управления системой образования на фоне изменяющихся социальных основ общества. Всё это даёт жизнь таким формам организации личностно-ориентированного обучения, как урок по инициативе учащихся, урок изобретательства, межпредметный урок, урок- «погружение», урокделовая игра и др.

Конечно, учитывая, что традиционные школьный урок и вузовская лекция не потеряли актуальности и играют всё же доминирующую роль среди других форм обучения, необходимо упомянуть об исследованиях Зотова Ю. Б., Махмутова М. И., Онищука В. А., Эрдниева П. М., Яковлева Н. М. и многих других, в которых очень чётко прослеживаются тенденции установления вариативности урока в форме урока-семинара, урока-дискуссии, интегрированного урока, урока-закрепления изученного материала на базе укрупнённых дидактических единиц {УДЕ) и т. д.

Закон РФ «Об образовании» и уставы школ дают возможность учителям-математикам самостоятельно выбирать формы обучения, чем существенно обогащается арсенал методических приёмов построения и проведения уроков по математике на высоком уровне. С этой точки зрения находят своё применение результаты исследований Воловича М. Б., Глейзера Г .Д., Гусева В. А, Дорофеева Г. В., Кудрявцева Л. Д., Луканкина ГЛ., Мамия К. С., Монахова В. М., Мордковича А. Г., Фридмана JLM., Шихалиева Х. Ш., Эрдниева П. М., Эрдниева Б. П. и др., а также передовой опыт учителей-новаторов Карпа А. П., Окунева А. А., Рыжика ВЛ., Шаталова В. Ф., Щетинина М. П., статьи Гузее-ва В.В., Дудницына Ю. П., Зильберберга Н. И., Магомедова Н. Г., Финкель-штейна В.М., Черниковой Т. М. и др.

Проблемы, возникающие в связи с изменением значения традиционного урока в школе и вузовской лекции, могут быть успешно решены лишь при дальнейшем значительном совершенствовании дидактических основ, улучшающих и повышающих учебно-воспитательный уровень уроков математики, математическую культуру учащихся через совершенствование математического языка (в частности, рассматриваемой нами логико-речевой символики). Вопросы «совершенствования школьного математического образования, в частности вопросы, связанные с усилением логической основы школьного курса, включением в него элементов математической логики» ([56], стр. 3) рассматриваются в работах многих видных математиковА.Н. Колмогорова, А. И. Маркушевича, А. С. Столяра, А. М. Пышкало, X. IIL Шихалиева, П. М. Эрдниева и др. Применяемые нами логико-речевые символы как раз и отвечают задачам усиления логической основы курса математики.

На наш взгляд, весьма удачными дидактическими находками являются УДЕ П. М. Эрдниева [116], теоретико-множественные технологии Х. Ш. Шихалиева [110] и обобщённые УДЕ, или ОУДЕ В. В. Тульчия [90] в школьном и вузовском курсах математики. Кроме того, они весьма хорошо соотносятся с точкой зрения С. Г. Манвелова [65], выражающейся следующей формулой:

Проводя поурочные групповые занятия необходимо добиваться того, чтобы они носили характер коллективного творчества педагога и обучающихся." .

Несмотря на то, что математика имеет, несомненно, большое значение для формирования общей культуры учащихся, становится все более очевидной тенденция в нашей системе образования на непрерывное уменьшение времени на изучение математики в старших классах. Кроме того, из учебных планов по математике в старших классах обычных школ исчезли такие основополагающие вопросы, как понятие предела функции и непрерывность. Это накладывает определённые требования на подбор учебного материала для создаваемых учебных пособий по школьной математике и их объём. В этих условиях возрастает роль правильного выбора рациональных методов изложения материала.

На фоне указанных проблем нестандартная модель математического анализа (Н-анализа), предложенная А. Робинсоном в 1960 г. и интенсивно развивающаяся в настоящее время, отличается математической простотой и широтой приложений, в результате чего, как отмечает М. Девис ([28], стр.21), курс математического анализа стал «.более живым и увлекательным как для преподавателей так и для студентов». В этом убеждает опьгг преподавания нестандартного анализа во многих зарубежных вузах и школах.

Как известно, классический, или стандартный анализ О. Коши базируется на понятии бесконечно малой как переменной величины, т. е. стремящейся к нулю функции, в то время как нестандартный анализ Робинсона, следуя Г. Лейбницу, трактует это понятие как постоянную достаточно малую (в рамках проводимого исследования) величину, и в его нестандартном анализе оно является стержневым. Новая модель нестандартного анализа В. В. Тульчия.

90], которую мы будем использовать, сохраняя все основополагающие концепции стандартного анализа, вводит новые обобщённые математические понятия и предложения (такие, например, как предел и непрерывность абстрактного неметризованного множества и др.), а также принципы.

• топологической эквивалентности,.

• компактности и.

• предельного перехода, существенно упрощающие дидактику изложения основных разделов анализа, делая его более прозрачным и доступным для учащихся старших классов, а также допускают создание полиязычных (оптимально 2-ь4 языка) учебных пособий при небольшом увеличении их объёма по сравнению с существующими моноязычными пособиями того же характера.

Это убедительно показал наш эксперимент преподавания нестандартного анализа учащимся 10−11 кл. муниципальной СШ № 7 г. Армавира. Увлечение и интерес, с которым учащиеся изучали предлагаемую им модель нестандартного анализа, может быть объяснена только математической общностью и глубиной новых идей, излагаемых общедоступно и наглядно с помощью, как пишет М. Дэвис ([28], с.23): «Математически простых, элегантных и красивых нестандартных методов доказательств классических теорем», записываемых в символической форме. Это позволяет запрограммировать процесс контроля и самоконтроля знаний по курсу математики и использовать в этих целях компьютер.

Как показал наш опыт проведения факультативных занятий в СШ № 7 новые обобщённые понятия и нестандартные методы доказательств теорем, характерные для нестандартного анализа, логико-речевая символика (ЛРС) ([90]), УДЕ П. М. Эрдниева ([116]), теоретико-множественные технологии Х.Ш. Ши-халиева [110−113], и обобщённые {логические) укрупнённые дидактические единицы ОУДЕ (ЛУДЕ) ([90]) — позволяют учащимся за существенно более короткое время (по сравнению со временем освоения элементов матанализа по другим учебникам) изучить основные понятия и предложения анализа, знания по которому они углубят в вузе.

В своей работе нами использовались результаты исследований психологов и педагогов JI.C. Выготского, АЛ. Леонтьева, СЛ. Рубинштейна, JT.B. Занкова, И. Я. Лернера, М. Н. Скаткина и др., показывающих, что ([56], стр. 4) «при определённых условиях можно достичь не только высокого уровня ЗУН, но и общего развития. В традиционном обучении развитие выступает как желательный, но далеко не предсказуемый продукт обучения».

В исследовании мы также опирались на труды физиологов II.К. Анохина, Н. А. Бернштейна, И. П. Павлова, И. М. Сеченова и др., психолога А. Н. Леонтьева, в которых отмечается, что в коре головного мозга образуются условно-рефлекторные связи в виде особых ансамблей нейронов, которые осуществляют регуляцию деятельности по решению сходных задач, а также обратных, противоположных. «Функциональные системы обретают способность непосредственного схватывания пространственных, количественных и логических отношений» ([118], стр. 12).

Таким образом, учитывая всё сказанное выше, в школе и вузе между потребностью в разработке новых дидактических основ учебно-воспитательного процесса и фактическим состоянием учебного процесса по математике возникли противоречия, которые и обусловили актуальность разработки проблемы по поиску путей совершенствования содержания обучения математике в старших классах в форме факультатива по элементам нестандартного анализа и изучению логико-речевой символики как средств повышения математической культуры учащихся старших классов.

Целью исследования является разработка содержания факультативного курса «Элементы нестандартного математического анализа» с применением логико-речевой символики и укрупнённых дидактических единиц, обобщённых укрупнённых дидактических единиц, логических укрупнённых дидактических единиц и методики его изучения, спскюбствующих повышению математической культуры учащихся.

Объектом исследования — процесс обучения учащихся старших классов математическому анализу.

Предметом исследования являются содержание, методы, формы и средства изучения факультативного курса нестандартного математического анализа, оказывающих формирующее влияние на математическую культуру учащихся старших классов.

В качестве рабочей гипотезы исследования выдвигается предположение, что если разработать содержание факультативного курса по нестандартному анализу с применением технологий укрупнённых дидактических единиц (УДЕ), логических укрупнённых дидактических единиц (ЛУДЕ) и обобщённых укрупнённых дидактических единиц (ОУДЕ) и квазиоптимального варианта логико-речевой символики (ЛPC), то внедрение такого курса в процесс обучения учащихся старших классов средних школ способно эффективно влиять на дальнейшее развитие математического языка учащихся, их математической культуры.

Для достижения поставленной в исследовании цели и проверки сформулированной выше гипотезы потребовалось решить следующие конкретные задачи:

1. Выявить роль математического языка и технологии УДЕ, ЛУДЕ и ОУДЕ в формировании математической культуры учащихся.

2. Разработать содержание факультативных занятий по изучению непрерывности множеств и основополагающих принципов нестандартного математического анализа, принципы отбора материала.

3. Разработать методику изложения факультативного курса.

4. Определить и экспериментально проверить содержание и объем упражнений УДЕ, ОУДЕ с применением Л PC для разработки новых нестандартных методических приёмов приобретения прочных ЗУН-ов в области математики, формирования математической культуры обучающихся.

Указанные выше цели и дидактические задачи реализовывались поэтапно:

На первом этапе (1994;1997 гг.) — констатирующий эксперимент, анализировалась психолого-дидактическая и методическая литература и существующие учебные пособия по математике для старших классов средней школы. Была сформулирована проблема исследования, определены объект и предмет исследования, поставлена цель, выработана гипотеза. Сформулированы задачи и определены методы исследования.

На втором этапе (1997;1998 гт.) — поисковом и экспериментальном, на факультативных занятиях по нестандартному математическому анализу в экспериментальных 10-х — 11-х классах Армавирской CLH № 7 разрабатывалась и допытывалась методика введения нестандартной теории множеств, непрерывности множеств, принципов нестандартного анализатопологической эквивалентности, предельного перехода и компактностиактивно внедрялись УДЕ и ОУДЕ с использованием квазиоптимального варианта ЛРС, дающего максимально компактную запись математических текстов.

На первомвтором курсах ФМФ (специальность- '" математикаинформатика") Армавирского государственного педагогического института (АГПИ) также проводилась экспериментальная работа по внедрению символики, УДЕ и ОУДЕ в учебный процесс.

На третьем этапе (1998;1999 г. г.) продолжалась работа по внедрению УДЕ, ОУДЕ и ЛРС в школах и вузах Армавира, анализировались полученные результаты эксперимента, создавалось учебно-методическое пособие для студентов и учащихся школ с углублённым изучением математики. Формулировались теоретические и практические выводы, в результате были решены поставленные задачи исследования.

Теоретической основой исследования являются основные положения отечественной психологии и дидактики— общефилософская теории познания, образования и воспитания, деятельностным подход в процессе обучениятруды методистов и учёных-педагоговразработанная нестандартная теория математического анализа Тульчия В.В.

Методы исследования: анализ психолого-педагогической, математической и методической литературы по проблеме исследованияизучение и обобщение педагогического опытапроведение констатирующего, поискового, и обучающего экспериментов с учащимися старших классов.

На защиту выносятся:

1. Эффективность влияния логико-речевой символики, технологий УДЕ, ЛУДЕ и ОУДЕ на формирование математической культуры обучающихся.

2. Содержание и методика факультативного курса нестандартного анализа по введению понятия непрерывности множеств и принципов нестандартного анализа на основе технологий УДЕ, ЛУДЕ и ОУДЕ.

3. Дидактика регулярного и фронтального использования Л PC, УДЕ и ОУДЕ как на стадии обучения, так и при самоконтроле и аттестационном контроле обучающихся.

Научная новизна диссертационного исследования заключается в том, что повышение математической культуры учащихся старших классов средней школы осуществляется на основе разработанного принципиально нового факультативного курса элементов нестандартного математического анализав реализации целостного подхода при разработке и создании новых учебно-методических пособий, сочетающих в себе Л PC, УДЕ и ОУДЕ, как для учителей (учащихся) школ, так и преподавателей (студентов) вузов.

Практическая значимость результатов диссертационной работы обусловлена возможностью их использования для:

— повышения эффективности обучения математике в вузах и школах, школах с повышенным уровнем преподавания математики;

— более углубленной подготовки студентов-математиков в университетах и педвузах;

— повышения, посредством предложенных дидактических материалов, уровня владения учащимися логико-речевой символикой (составной части математического языка) и, следовательно, повышения их математической культуры;

— непрерывного повышения методического уровня учителей математики через систему повышения квалификации в институтах усовершенствования учителей;

— дальнейшего аналогичного подхода других ученых-педагогов при нестандартном подходе к решению проблем дидактики высшей и средней школы в области таких математических дисциплин как алгебра, геометрия, прикладная математика, информатика и др.

Достоверность и обоснованность обеспечивается опорой на теорию развития личностипсихологией развития мышленияприменением комплекса методов исследования, адекватных его объекту предмету, цели, задачам и логикедеятельностным подходом в формировании новых научных понятий. Основные результаты исследования подтверждены многолетним положительным опытом внедрения JIPC, УДЕ и ОУДЕ при чтении курса анализа в АГПИ, проведении факультатива «Элементы нестандартного анализа» в 10−11 классах Армавирской экспериментальной общеобразовательной школы № 7, чтении курса математического анализа в Новороссийском педагогическом колледже и итогами проведённой опытно-экспериментальной работы.

Апробация и внедрение результатов диссертационного исследования проводилась в вузах и школах Краснодарского края путем проведения совместно с преподавателями Армавирского педагогического института, а также Армавирского ПУ № 11, экспериментов по внедрению ЛРС, УДЕ и ОУДЕ в учебный процесс студентов АГТ1И и учащихся 10−11-х классов Армавирской экспериментальной школы № 7.

География внедрения результатов диссертационной работы расширялась путем: публикации и депонирования ее основных разделов в виде учебнометодических пособий:

1. Депонирована статья «УДЕ на занятиях по высшей математике». Москва. НИИ Высшего образования. № 88- 98 от 27.04.98.

2. Депонирована статья «ОУДЕкомпонент проблемного обучения на занятиях по математике». Там же. № 87- 98.

3. Доклад «ОУДЕновая дидактическая структура на уроках по математике в 10−11 классах». Сборник тезисов V-ro годичного собрания Юж. от д. РАО и XVO-x per. психол.- пед. чтений Юга России 1998 г.

4. Доклад «Нестандартные дидактические единицы на уроках математики в 10−11 классах». Науч.- практ. конференция АГПИ. 1998 г.

5. Статья «Интенсификация самостоятельной работы учащихся на базе ОУДЕ» Межвуз.сбор. науч.трудов. Ростов.Госпедуниверситет. 1998.

6. Статья «ОУДЕ на занятиях по теме Функциональные неравенства». Там же.

7. Доклад «Дидактические циклограммы типа ОУДЕ в теории функциональных неравенств». Материалы VI международной конференции «Циклы природы и общества». Ставрополь. 1998 г.

8. Доклад «ОУДЕциклограммы теории функциональных отношений». Там же.

9. Доклад «Н-анализ функций многих действительных переменных». Науч.-практ. конференция АГПИ. 1999 г.

10. Доклад «Циклограммы теории непрерывности Н-анализа.». Материалы VH международной конференции «Циклы природы и общества». Ставрополь. 1999 г.

11. Доклад «Цикличность в нестандартной теории предела и непрерывности множеств.». Материалы I международной конференции «Циклы». Ставрополь. 1999 г.

Материалы исследования обсуждались:

— на межрегиональной научной конференции «Развитие личности в образовательных системах южно-российского региона» Южное отделение РАО, (Пятигорск 1998 г.);

— на VL, VII Международной конференции «Циклы природы и общества», секция «Циклы в педагогике», проводимой РАН, РАЕН, Министерством общего и профессионального образования РФ, Ставропольским университетом (1998 г., 1999 г.);

— на I Международной конференции «Циклы», проводимой РАН, РАЕН, Министерством общего и профессионального образования РФ;

— на научно-практической конференции «Развитие непрерывного педагогического образования в новых социально-экономических условиях на Кубани» в Армавирском государственном педагогическом институте (1998, 1999 гг.).

Основные результаты диссертационного исследования также освещались на межрегиональном методическом семинаре математиков (научный руководитель, профессор В.И. Тульчий) при Армавирском межрегиональном институте усовершенствования учителей (1999 г.).

Структура диссертации отражает концепцию, содержание и примеры внедрения результатов исследований в школе.

Диссертация состоит из введения, 3-х глав, приложения и библиографии, содержащей 119 наименований научно-методических первоисточников:

Основные результаты и выводы, полученные в процессе теоретического и экспериментального исследования, в соответствии с его целями и задачами, сформулированы ниже: Выявлена роль математического языка, и в частности, логико-речевой символики в укрупнении знаний, а, следовательно, форсировании математической культуры. В качестве одной из частей понятия «математическая культура» может выступать следующее предложение: «.осознанное пользование математическим языком как для общения с людьми, так и для описания и познания окружающей действительности» ([110]), которое проявляет значение математического языка в повышении «математической культуры».

2. Разработанные концептуальные основы Н-анализа, его методика и содержание опираются на теоретико-множественный подход, роль которого в развитии науки-математики и школьной математики, как средства их сближения, выявлена в настоящем исследовании. Основополагающие понятая математического анализапредел, непрерывность и равномерная непрерывность определяются в Н-анализе по отношению к множеству, кроме того, применяется ЛРС, вследствие чего доказательство большей части фундаментальных теорем традиционного анализа становится значительно прозрачнее. Показано применение ЛУДЕ в Н-анализе: определение предела и непрерывности множества, принципы топологической эквивалентности, предельного перехода и компактности.

3. Разработана методика введения операций на множествах с использованием технологий УДЕ и ОУДЕ. Экспериментально доказана их эффективность.

4. Экспериментально доказано, что максимальная геометризация изложения материала факультатива по Н-анализу, применяемой символики ЛРС и решения УДЕ и ОУДЕ способствует формированию действенных и прочных знаний, умению применять их в практической деятельности, что является составной частью математической культуры.

5. Экспериментально доказано, что систематическое использование УДЕ (а тем более это относится к ОУДЕ) влияет на доречевую, т. е. подсознательную систему мышления, в свою очередь при работе с ОУДЕ идёт ещё более эффективная догрузка этой системы мышления (обусловленной инстинктом и практически одинаковой у всех людей) за счёт эффективного использования учащимися обобщённой логико-речевой символики (ЛРС). Это позволяет учащимся осознанно применять математический язык (в частности ЛРС) для решения сложных задач, составляемых и решаемых учащимися самостоятельно. Следовательно, у них формируется математическая культура.

6. Приведённое в исследовании изложение Н-дидактики непрерывности множества убедительно доказывает возможность построения обучающе-контролирующих тестов в виде компьютерных программ.

Заключение

.

Роль математического звания в современном мире постоянно возрастает. Трудно представить область народного хозяйства, где бы в той или иной мере не применялась математика. Кроме того (международная конференция по народному образованию Женева 1956 г.), «.математика выполняет важную роль как в развитии интеллекта, так и в формировании характера», следовательно, оказывает формирующее влияние на общую культуру человека.

Несмотря на это, всё более просматривается тенденция на сокращение учебного времени и в школах, и в вузах, отводимого на математические дисциплины. Это требует от преподавателя более тщательно относиться к отбору учебного материала к занятиям, но всё же более важным является момент правильного выбора рациональных методов изложения материала. Таким образом, перед преподавателем стоит основная задача педагогики ([118]) — добиться, чтобы обучающийся за меньшее время овладел большим объёмом основательных и действенных знаний. Тем самым, не только повысить общую культуру учащихся, но и математическую.

Данное исследование доказывает, что применение ЛРС в факультативе по Н-анализу приводит ([118]) к переходу к сверхснмволам, к оперированию «более длинными последовательностями символов (кибернетический эффект)». Кроме того, применение ЛРС создаёт возможность программирования процесса контроля и самоконтроля знаний учащихся на компьютерах. Один из важных результатов нашего экспериментавозможность и насущная необходимость включения элементов нестандартной теории предела и непрерывности в учебники математики средней школы уже на данном этапе.

Материал третьей главы настоящего исследования убедительно доказывает, что во время решения обратной задачи «у, шДиеся самостоятельно перестраивают суждения и умозаключения, использованные при решении прямой задачи. При этом они овладевают практически как новыми связями между известными им мыслями, так и новыми, более сложными формами рассуждений.» ([118]).

Приведём мысль П. М. Эрдниева и Б. П. Эрдниева ([118]), которая, на наш взгляд, подтверждая всё ранее сказанное, отображает суть методики УДЕ и ОУДЕ: «.ценны для развития мышления не прямые и обратные задачи, взятые как таковые сами по себенаиболее важный познавательный элемент заключается здесь в процессе преобразования одной задачи в другую, т. е. в тех „невидимых“ и трудноуловимых при логическом анализе элементах мысли, которые связывают процессы решения обеих задач» .

Таким образом, данный метод, наряду с ЛРС, решает очень «важную и ценную функцию обучения» — становление диалектического мышления учащихся, тем самым формируются умения и навыки осознанного пользования математическим языком, а, следовательно, повышается математическая культура.