Емкостные свойства равномерно совершенных множеств и конденсаторов

Главным объектом исследований, представленных в данной работе, служит конформная емкость пространственных конденсаторов и свойства приведенных модулей компактных множеств в пространстве. Использование конформной емкости в теории пространственных квазиконформных отображений, начавшееся в середине прошлого века с работ Ф. Геринга и Ю.Г. Ре-шетняка, наряду с применением мощного метода модулей семейств кривых (Б. Фюгледе, Б. В. Шабат, В. А. Зорич, Ю. Вяйсяля, И. П. Митюк, В.М. Ми-клюков, A.B. Сычев, П. М. Тамразов, В. А. Шлык и др.), уже доказавшим свою эффективность в решении экстремальных задач терпи однолистных аналитических функций (Дж. Дженкинс, Г. В. Кузьмина, В. Н. Дубинин и др.), способствовало созданию современной теории квазиконорфных, квазирегулярных и квазимероморфных отображений, находящей многообразные приложения в смежных областях топологии (теория клейновых групп и многообразий — JL Альфорс, А. Бердон, Ф. Геринг, Б. Ананасов, A.B. Те-тенов и др.), геометрии (теория минимальных поверхностей — В.М. Ми-клюков, теория орбифолдов — А. Д. Медных, А. Ю. Веснин и др.), математического анализа (анализ на группах Карно и Каратеодори — С. К. Водопьянов, П. Коскела и др.), дифференциальных уравнений эллиптического типа (В.Г. Мазья, Ю. Г. Решетняк, Б. Боярский, Т. Иванец и др.). Теорема о равенстве конформной емкости конденсатора и модуля семейства кривых, соединяющих его пластины, доказанная в самой общей форме В. А. Шлыком в 1993 г., устанавливает эквивалентность методов, основанных на применении емкости конденсаторов и модулей семейств кривых. В настоящее время эти методы играют важную роль в теории соболевких функциональных классов на достаточно общих метрических пространствах (П. Хайлаш, М. Громов, С. К. Водопьянов, П. Коскела, Ю. Хейнонен и др.).

Приведенный модуль — асимптотика конформного модуля конденсатора с вырождающейся пластиной — играет важную роль в теории аналитических функций на протяжении всего XX века, и его пространственный аналог, введенный в работах И. П. Митюка, находит применение в теории квазиконформных отображений и емкостной томографии. Мощный импульс развитию терии и приложениям приведенных модулей дали работы В. Н. Дубинина и его учеников, по изучению более общего понятия приведенного модуля в системе точек.

Важнейшую роль в теории конформной емкости конденсаторов и теории приведенных модулей играют методы получения оценок для этих величин и свойство непрерывности рассматриваемых емкостных характеристик компактных множеств и конденсаторов относительно топологической сходимости. Известные нижние оценки для конформной емкости конденсатора и верхние оценки для приведенного модуля были получены в литературе только для конденсаторов со связными пластинами и, соответственно, для связных компактов. В тех же условиях были установлены и теоремы сходимости для этих характеристик. Рассмотрение свойства непрерывности конформной емкости для конденсаторов с разрывными пластинами было начато в работах П. М. Тамразова и продолжено исследованиями В. В. Асеева, в которых условие связности пластин конденсатора было заменено условием их равномерной совершенности. Понятие равномерно совершенного множества, введенное на плоскости (Л. Альфорс и А. Берлинг, Ч. Помме-ренке), и его обобщение на случай произвольных метрических пространств (П. Тукия и Ю. Вяйсяля, П. Ярви и М. Вуоринен) оказалось весьма плодотворным метрическим аналогом топологической связности и, как показано в данной диссертации, позволяет получить в классе конденсаторов с равномерно совершенными пластинами такие же результаты, какие были получены ранее для конденсаторов со связными пластинами (нижние оценки конформной емкости, верхние оценки приведенного модуля, теоремы сходимости конформной емкости и приведенного модуля относительно топологической сходимости и относительно сходимости к ядру).

В первой главе диссертации дано описание используемой символики и основных понятий из теоретико-множественной топологии, метрической топологии и теории отображений и, в частности, определения конформной емкости и конформного модуля конденсаторов. Приведены с указанием источников основные теоремы о свойствах конформной емкости, и, в том числе, теорема Геринга о непрерывности конформного модуля кольцевых областей относительно топологической сходимости. Приведено общее определение и свойства трансфинитного диаметра и трансфинитного модуля в полуметрических пространствах. Эта глава не содержит новых результатов и имеет вспомогательный характер.

1. Аксентьев J1.A. Локальное строение поверхности внутреннего конформного радиуса для плоской области.// - Изв. вузов. Математика. -2002. — No 4. — Стр. 3−12.

2. Аксентьев Л. А. Выпуклость поверхности конформного радиуса и оценки коэффициентов отображающей функции.// Изв. вузов. Математика, 2004, No 4, стр. 8−15.

3. Андриевский В. В. Прямые теоремы теории приближения на квазиконформных дугах.// М. — 1979. — Деп. в ВИНИТИ. — № 313−79 Деп.

4. Асеев В. В. Непрерывность конформной емкости для конденсаторов с равномерно совершенными пластинами.// Сиб. матем. ж. — 1999. — Т. 40. No 2. — Стр. 243−253.

5. Асеев В. В. Обобщенный приведенный модуль в пространственных задачах емкостной томографии.// Дальневосточн. матем. ж. — 2007. — Т. 7. N0 1−2. — Стр. 17−29.

6. Асеев В. В. Факторизация пространства конденсаторов и сходимость к ядру.// Вестник НГУ. — 2009. — Т. 9. — Вып.1. — Стр. 3−23.

7. Асеев В. В. Кузин Д.Г., Лазарева O.A. Трансфинитный диаметр. Часть 1, Определение и основные свойства. (Учебно-методическое пособие к курсу «Геометрическая теория функций и отображений»).// Новосибирск: Изд-во НГУ. — 2005. — 56 стр.

8. Асеев В. В., Лазарева O.A. Трансфинитные диаметры и модули конденсаторов в полуметрических пространствах.// Дальневосточн. матем. ж. — 2004. — Т. 5. — No 1. — Стр. 12−21.

9. Асеев В. В., Лазарева O.A. О непрерывности приведенного модуля и трансфинитного диаметра.// Изв. вузов, матем. — 2006. — No 10(533). -Стр. 10−18.

10. Асеев В. В., Лазарева O.A. Отображения полуметрических пространств, сохраняющие трансфинитные модули.// Материалы конф. «Геом. анализ и его приложения». — Волгоград. — 2004. — Стр. 12−14.

11. Асеев В. В., Лазарева O.A. О непрерывности приведенного модуля и трансфинитного диаметра.// Материалы междунар. конф. «Алгебра и анализ». — Казань. — 2004. — Стр. 80−81.

12. Асеев В. В., Сычев A.B. Заполнение конденсаторов и сходимость к ядру.// Вестник НГУ. — 2005. Т. 5. — No 3. — Стр. 3−19.

13. Асеев В. В., Сычев A.B. О множествах, устранимых для пространственных квазиконформных отображений.// Сибирск. матем. ж. — 1974. Т.15. No 6. — Стр. 1213−1227.

14. Асеев В. В., Тетенов A.B., Кравченко A.C. О самоподобных жор-дановых кривых на плоскости.// Сиб. матем. ж. — 2003. — Т. 44. — No 3. Стр. 481−492.

15. Асеев В. В., Троценко Д. А. Квазисимметрические вложения, четверки точек и искажение модулей.// Сибирск. матем. ж. — 1987. — Т. 28. No 4. Стр. 543−548.

16. Бердон А. Геометрия дискретных групп.// М: Наука — 1986. -304 стр.

17. Виттих Г. Новейшие исследования по однозначным аналитическим функциям.// М., Физматгиз. — 1960. — 319 стр.

18. Волковыский Л. И., Лунц Г. Л., Араманович И. Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного.// М.: Наука. — 1970. — 320 стр.

19. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного.// М., Наука. — 1966. — 628 стр.

20. Дженкинс Дж. Однолистные функции и конформные отображения.// М.: ИЛ, 1962, 266 с.

21. Дубинин В. Н. Симметризация в геометрической теории функций.// Успехи мат. наук. — 1994. — Т. 49. — N0 1(295). — Стр. 3−76.

22. Дубинин В. Н. Некоторые свойства внутреннего приведенного модуля.// Сиб. матем. ж. — 1994. — Т. 35. — N0 4, — Стр. 774−792.

23. Дубинин В. Н. Приведенные модули открытых множеств в теории аналитических функций.// Доклады РАН. — 1998. — Т. 363. N0 6. — Стр. 731−734.

24. Дубинин В. Н. Емкости конденсаторов в геометрической теории функций.// Владивосток: Изд-во Дальневосточн. ун-та. — 2003. — 116 стр.

25. Дубинин В. Н., Ковалев Л. В. Приведенный модуль комплексной сферы.// Зап. науч. сем. ПОМИ. — 1998. — Т. 254. — Стр. 76−94.

26. Дубинин В. Н., Эйрих Н. В. Обобщенный приведенный модуль.//- Дальневосточн. матем. ж. 2002. — Т. 3. — N0 2, — Стр. 147−162.

27. Зорий Н. В. Одна точная оценка 2-емкости конденсатора.// Укр. матем. ж. — 1990 — Т. 42. — N0 2. — Стр. 253−257.

28. Зорий Н. В. О емкостях конденсаторов.// Укр. матем. ж. — 1990. Т. 42. N0 7. — Стр. 912−918.

29. Зорий Н. В. Функциональные характеристики пространственных конденсаторов: их свойства и соотношения между ними.// Украинский мат. ж. — 1987. — Т. 39. — N0 5. — Стр. 565−573.

30. Зорич В. А. Теорема М.А. Лаврентьева о квазиконформных отображениях пространства.// Матем. сб. — 1967. — Т. 74. — Стр. 417−433.

31. Ибрагимов З. Ш. Метрическая плотность и квазимёбиусовы отображения.// Сибирск. матем. ж. — 2002. Т. 43. — No 5. — Стр. 1007−1019.

32. Ковалев JI.B. Монотонность обобщенного приведенного модуля.// Зап. науч. семин. ПОМИ. — 2001. — Т. 276. — Стр. 219−236.

33. Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах.// -М., Постмаркет. 2000. — 352 стр.

34. Кузнецов В. О. О свойствах конформного радиуса области.// -Зап. науч. семин. ПОМИ. 2001. — Т. 276. — Стр. 237−252.

35. Кузьмина Г. В. Модули семейств кривых и квадратичные дифференциалы./ / Труды мат. инст-та им. В. А. Стеклова. — Т. 139 — JL: Наука, Ленинградское отд. — 1980. — 240 стр.

36. Куратовский К. Топология.// Том 1. — 1966. М.: Мир.

37. Куратовский К. Топология.// Том 2. — 1969. -М.: Мир.

38. Лаврентьев М. А. К теории конформных отображений.// Труды физ.-мат. ин-та АН СССР. — 1934. Т. 5. — Стр. 195−246.

39. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного.// — М.: Наука. 1987. — 688 стр.

40. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Квазилинейные эллиптические уравнения и вариационное задачи со многими независимыми переменными.// Успехи матем. н. — 1961. — Т. 16. — Вып.1. — Стр. 19−20.

41. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа.// М.: Физматгиз. — 1964.

42. Лазарева O.A. О некоторых свойствах приведенного модуля в пространстве.// Сибирск. матем. ж. — 2008. — Т. 49. — No 1. — Стр. 145 152.

43. Лазарева O.A. Непрерывность приведенного модуля и сходимость к ядру.// Тезисы докл. междунар. школы-конф. «Компл. анализ и его приложения» им. проф. И.П. Митюка". — Краснодар. — 2005. — Стр. 61.

44. Ландкоф H.С. Основы современной теории потенциала.// М., Наука. — 1966. — 516 стр.

45. Левицкий Б. Е. Приведенный р-модуль и внутренний р-гармонический радиус.// Доклады АН СССР. — 1991. — Т. 316. — No 4. -Стр. 812−815.

46. Левицкий Б. Е., Митюк И. П. Узкие теоремы о пространственных модулях.// Доклады АН СССР. — 1979. — Т. 248. — No 4. — Стр. 780−783.

47. Левицкий Б. Е., Митюк И. П. Некоторые свойства квазиконформных отображений в пространстве.// Математический анализ. Сборник научн. тр. — Том 2. — Краснодар: Кубанский гос. ун-т. — 1975. — Стр. 79−98.

48. Мазья В. Г. Пространства Соболева.// Ленинград: Изд-во ЛГУ.- 1985. 416 стр.

49. Мазья В. Г. О непрерывности в граничной точке решений квазилинейных эллиптических уравнений.// Вестник ЛГУ. — 1970. — No 13. -Вып.З. — Стр. 42−55.

50. Мазья В. Г., Хавин В. П. Нелинейные теории потенциала.// Успехи мат. наук. — 1972. — Т. 27. — № 6. — Стр. 66−138.

51. Миклюков В. М. Об устранимых особенностях квазиконформных отображений в пространстве.// Докл. АН СССР. — 1969. — Т. 188. — No 3. Стр. 525−527.

52. Миклюков В. М. О некоторых граничных задачах теории конформных отображений.// Сибирск. матем.ж. — 1977. — Т. 18. — No 5. — Стр. 1111−1124.

53. Митюк И. П. Приведений модуль у випадку простору.// ДАН УРСР. — 1964. — Т. 5, Стр. 563−566.

54. Митюк И. П. Про квазиконформш воображения в npocTopi.// -Доповад АН УРСР. 1964. — No 8. — Стр. 1022−119.

55. Миткж И. П. Обобщенный приведенный модуль и некоторые его свойства.// Изв. вузов. Математика. — 1964. — No 2 — Стр. 110−119.

56. Мостов Г. Д. Квазиконформные отображения в n-мерном пространстве и жесткость гиперболических пространственных форм.// Матем. Сб. переводов. — 1972. — Т. 16. — No 5. — Стр. 105−107.

57. Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях.// М.: Мир. — 1971.

58. Решетняк Ю. Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением.// Новосибирск: Наука. — 1982.

59. Солынин А. Ю. О разделении континуумов окружностями.// -Зап. науч. сем. ЛОМИ. 1988. — Т. 168. — Стр. 154−157.

60. Солынин А. Ю. Неравенство Юнга для трансфинитного диаметра.// Зап. науч. сем. ЛОМИ. — 1991. — Т. 196. — Стр. 132−137.

61. Сычев A.B. Модули и пространственные квазиконформные отображения./ / Новосибирск: Наука. — 1983. — 152 стр.

62. Хаусдорф Ф. Теория множеств.// М.: ОНТИ НКТП СССР. -1937.

63. Шлык В. А. О равенстве р-емкости и р-модуля.// Сибирск. матем. ж. — 1993. — Т. 34. — No 6. — Стр. 216−221.

64. Математическая энциклопедия. // Том 2. Д-Коо. — М.: Изд-во «Советская энциклопедия». — 1979. — 1104 с.

65. Ahlfors L., Beurling A. Conformai invariants and functional-theoretic null-sets.// Acta Math. — 1950. — V. 83. — Pp. 101−129.

66. Anderson G.D., Vamanamurthy M.K. The transfinite moduli of condensers in space.// Tohoku Math. J. — 1988. — V. 40. — No 1. — Pp. 1−25.

67. Aseev V.V. Quasi-symmetric embeddings.// J. Math. Sei. (NewYork). 2002. — V. 108. — No 3. — Pp. 375−410.

68. Bagby T. The modulus of a plane condenser.// J. Math. Mech. -1967. — V. 17. — Pp.315−329.

69. Beardon A.F. The Apollonian metric of a domain in Rn-// -«Quasiconformal mappings and analysis (Ann Arbor, MI, 1995)». Springerverlag: New York. — 1998. — Pp. 91−108.

70. Beardon A.F., Pommerenke Ch. The Poincare metric of plane domains.// J. London Math. Soc.(2). — 1978. — V. 18. — Pp. 475−483.

71. Caraman P. n-Dimensional quasiconformal (QCf) mappings.// -Abacus Press Tunbridge Wells, Kent, England. 1974. — 554 p.

72. Caraman P. New cases of equality between p-modulus and incapacity.// Ann. polon. math. — 1991. — V. 55. — Pp. 37−56.

73. Caraman P. Relations between p-capacity and p-module (II).// Rev. Roumaine Math. Pures Appl. — 1994. — V. 39. — No 6. — Pp. 555−577.

74. Clarkson I.A. On uniformly convex spaces.// Trans. Amer. Math. Soc. — 1936 — V. 40. — Pp. 396−414.

75. Clop A. Nonremovable sets for Holder continuous quasiregular mappings in the plane.// arXiv: math/60 4444vl math. AP] 20 Apr 2006, pp.1−17- - Michigan Math. J. — 2007. — V. 55. — No 1. — Pp. 195−208.

76. Edgar G.A. Measure, topology, and fractal geometry. (Corrected third printing).// Springer-Verlag, New York Berlin Heidelberg. — 1995. — 232 p.

77. Falconer K. Techniques in fractal geometry.// John Wiley & Sons, Chichester — New York — e.a. — 1996. — 256 p.

78. Fekete M. Uber die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten.// Math. Zeitschr. — 1923. — V. 17. — Pp. 228−249.

79. Fuglede B. Extremal length and functional completion.// Acta Math.- 1957. V. 98. — No 3−4. — Pp. 171−219.

80. Gamelin Th. Complex Dynamics.// Springer-Verlag. — 1993. — 174P.

81. Gehring F.W. Rings and quasiconformal mappings in space.// Trans. Amer. Math. Soc. — 1962. — V. 103. — No 3. — Pp. 353−393.

82. Gehring F.W. Quasiconformal mappings.// «Complex Analysis and its Applications. Lect. Int. Semin. Course. Trieste, 1975, Vol.2» — Vienna. -1976. — Pp.213−268.

83. Gehring F.W. A remark on the moduli of rings.// Comment, math, helv. — 1961. — V. 36. — No 1. — Pp. 42−46.

84. Gehring F.W. Symmetrization of rings in space.// Trans. Amer. Math. Soc. — 1961 — V. 101. — No 3. — Pp. 499−519.

85. Gehring F.W., Vaisala J. Hausdorff dimension and quasiconformal mappings.// J. London Math. Soc. — 2 ser. — 1973. — V. 6. — Part 3. — Pp. 504−512.

86. Granlund S., Lindquist P., Martio O. Conformally invariant variational integrals.// Trans. Amer. Math. Soc. — 1983. — V. 277. — Pp.43−73.

87. Granlund S., Lindquist P., Martio O. F-harmonic measure in space.//- Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1 Math. 1982. — V. 7. — Pp. 233−247.

88. Heinonen J., Koskela P. Quasiconformal maps in metric spaces with controlled geometry.// Acta Math. — 1998. — V. 181. — No 1. — Pp. 1−61.

89. Hesse J. A p-extremal length and p-capacity equality.// Ark. Math.- 1975. V. 13. — No 1. — pp. 131−144.

90. Hinkkanen A. Julia sets of rational function are uniformly perfect.//- Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 1993. — V. 113. — Pp. 543−559.

91. Hinkkanen A. Julia sets of polynomials are uniformly perfect.// -Bull. London Math. Soc. 1994. — V. 26. No 2, Pp. 153−159.

92. Hutchinson J. Fractals and self-similarity.// Indiana Univ. Math. J.- 1981. V. 30. — No 5. — Pp. 713−747.

93. Jarvi P., Vuorinen M. Uniformly perfect sets and quasiregular mappings.// J. London Math. Soc. — Ser. 2. — 1996. — V. 54. — No 174. -Part 3. — Pp.515−529.

94. Koskela P., McManus P. Quasiconformal mappings and Sobolev spaces.// Studia Math. — 1998. — V. 131. — No 1, Pp. 1−17.

95. Kiinzi H. Quasikonforme Abbildungen.// Springer-Verlag, Berlin-Gottingen-Heidelberg. — 1960. — 182 p.

96. Lebesque H. Sur le probleme de Dirichlet.// Rend. Cire. Mat. Palermo. — 1907. — V. 24. — Pp. 371−402.

97. Lindquist P., Martio 0. Two theorems of N. Wiener for solutions of quasilinear elliptic equations.// Acta Math. — 1985. — V. 155. — Pp. 153−171.

98. Loewner Ch. On the conformai capacity in space.// J. Math. Mech.- 1959. V. 8. — Pp. 411−414.

99. Mane R., da Rocha L.F. Julia sets are uniformly perfect.// Proc. Amer. Math. Soc. — 1992. — V. 116. — No 1, — Pp. 251−257.

100. Martio O. Equicontinuity theorem with an application to variational integrals.// Duke Math. J. — 1975. — V. 42. — Pp. 569−581.

101. Martio O., Rickman S., Vaisala J. Topological and metric properties of quasiregular mappings.// Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser A1 Math. — 1971. -V. 488. — Pp. 1−31.

102. Michael E. Topology on spaces of subsets.// Trans. Amer. Math. Soc. — 1951. — V. 71. — No 1. — Pp. 152−182.1103. Nakki R. Extension of Loewner’s capacity theorem.// Trans. Amer. Math. Soc. — 1973. — V. 180. — Pp. 229−236.

103. Norton A. Functions non constant on fractal quasi-arcs of criticalpoints.// Proc. Amer. Math. Soc. — 1989. — V. 106. — No 2. — Pp. 397−405.

104. Polya G., Szego G. Uber den transfiniten Durchmesser (Kapazitatskonstante) von ebenen und raumlichen Punktmengen.// Journ. fur reine und angewandte Math. — 1931. — V. 165. — No 1. — Pp. 4−49.

105. Pommerenke Ch. Uniformly perfect sets and the Poincare metric.//- Arch. Math. 1979. — V. 32. — No. 2. — Pp. 192−199.

106. Pommerenke Ch. On uniformly perfect sets and Fuchsian groups.//- Analysis. 1984. — V. 4. — No ¾. — Pp.299−321.

107. Rickman S. Characterization of quasiconformal arcs.// Ann. Acad. Sei. Fenn. Ser. AI Math. — 1966. — V. 395. — Pp. 1−30.

108. Stankewitz R. Uniformly perfect sets, rational semigroups, Kleinian groups and IFS’s.// Proc. Amer. Math. Soc. — 2000. — V. 128. — No 9. — Pp. 2569−2575.

109. Teichmuller O. Untersuchungen uber konforme und quasikonforme Abbildun.// Deutsch. Math. — 1938. — V. 3. — Pp. 621−678.

110. Tsuji M. Potential theory in modern function theory.// Maruzen, Tokyo. — 1959.

111. Tukia P. Spaces and arcs of bounded turning.// Vichigan Math. J.- 1996. V. 43. — No 3. — Pp. 559−584.

112. Tukia P., Vaisala J. Quasisimmetric embeddings of metric spaces.//- Ann. Acad. Sei. Fenn. Ser.Al. 1980. — V. 5. — pp.97−114.

113. Vaisala J. Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings.// -Lect. Notes Math. 1971. — V. 229. — Pp. 1−144.

114. Vaisala J. Capacity and measure.// Michigan Math. J. — 1975. -V. 22. — Pp. 1−3.

115. Vaisala J. On the null-sets for extremal lengths.// Ann. Acad. Sei. Fenn. Ser. A I. — 1962. — V. 322. — Pp. 1−12.

116. Vuorinen M. Conformal geometry and quasiregular mappings.// -Springer-Verlag, Berlin e.a. 1988. — 209 p. (Lect. Notes Math. — V. 1319).

117. Vuorinen M. Quadruples and spatial quasiconformal mappings.// -Math. Z. 1990. — V. 205. — Pp.617−628.

118. Vuorinen M. Some inequalities for the moduli of curve families.// Michigan Math. J. 1983. — V. 30. — Pp. 369−380.

119. Wallece A.D. Separation spaces.// Ann. Math. — 1941. — V. 42. -No 2. — Pp.687−697.

120. Wallin H. Metrical characterization of conformal capacity zero.// -J. Math. Anal. Appl. 1977. — V. 58. — Pp. 298−311.

121. Xe Feng, Yin Yong-chen, Sun Yeshun Uniform perfectness of self-affine sets.// Proc. Amer. Math. Soc. — 2003. — V. 131. — No 10. — Pp. 3053−3057.

122. Yang Sh. Monotone functions and extremal functions for condensers in Rn.// Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1 Math. — 1991. — V. 16. — Pp. 95−112.