Предельные теоремы для приращений сумм независимых случайных величин и случайных процессов

Пусть {Xfc} — последовательность независимых случайных величин,.

Sn = Xi + Х2 + ¦ • • + Хт Sq = О, ап} — неубывающая последовательность натуральных чисел, 1 < ап < п. Наша первая цель — исследовать асимптотическое п.н. (почти наверное) поведение приращений длины ап сумм Sn, т. е. поведение величин вида.

Un = max (Sk+an — Sk), Тп = Sn+an — Sn,.

0<�к<�п-ап, а также целого ряда подобных Un и Тп функционалов от случайного блуждания. В этой работе мы опишем класс последовательностей положительных постоянных {Ьп} таких, что-либо limsup^ = l п.н., (1).

П-¥-00 0п либо, если это возможно, lim = 1 п.н., (2).

Т1-ЮО bn, а также укажем условия, необходимые и/или достаточные для соотношений (1) и (2). При этом мы будем всегда стремиться к тому, чтобы получить универсальную (т.е. единую для всего возможного диапазона последовательностей {ап}) формулу для нормирующей последовательности {Ьп}.

Теоремы об асимптотическом поведении приращений, нормированных универсальной последовательностью, мы будем называть универсальными теоремами. Отметим, что это отличается от терминологии, иногда используемой при рассмотрении подобных задач. Часто (см., например, Класс [160], [161], Айнмаль и Мэйсон [129]) универсальными называют результаты, полученные при наименьших моментных ограничениях на распределение слагаемых.

Отметим, что Un = max Х^ при on = 1 и Un = Sn при ап = п. По.

1 <�к<�п этому такие классические сильные предельные теоремы теории вероятностей, как усиленный закон больших чисел (УЗБЧ) и закон повторного логарифма (ЗПЛ), также лежат в русле нашего исследования и будут постоянно появляться в качестве следствий наших результатов для приращений. Более того, некоторые хорошо известные результаты из этой области будут использоваться в качестве источников оптимальных условий для наших теорем.

Наряду с суммами независимых случайных величин важнейшими объектами современной теории вероятностей являются случайные поля и процессы. Естественной задачей является исследование предельного п.н. поведения аналогичных Un и Тп функционалов от случайных полей независимых одинаково распределенных случайных величин и траекторий случайных процессов в том же самом ключе, что и в случав сумм. Решение этой задачи и есть наша вторая цель. Построив единую теорию сильных предельных теорем для сумм и обладая соответствующим методом, мы исследуем в этой работе поведение приращений случайных полей и двух важных классов случайных процессов с непрерывным временем — процессов восстановления и однородных процессов с независимыми приращениями.

В заключение мы вернемся к исследованию свойств случайного блуждания и исследуем асимптотическое п.н. поведение приращений сумм вдоль серий успехов и монотонных блоков в сопровождающей последовательности. Изучение поведения подобных функционалов от случайного блуждания дает представление об асимптотике максимального выигрыша игрока в беспроигрышных сериях и в сериях игр с нарастающими выигрышами, и представляет интерес, например, в некоторых моделях актуарной и финансовой математики.

Перед тем, как перейти к систематическому изложению, сделаем ряд технических замечаний.

Нумерация параграфов, теорем, лемм, следствий и замечаний устроена так: первая цифра обозначает номер главы (0 обозначает введение), вторая цифра обозначает порядковый номер параграфа или соответствующего утверждения. Например, теорема 1.3 — это третья теорема главы 1. Во введении мы также приводим ряд результатов глав 1−6 с нумерацией из основного текста.

Каждая глава и соответствующий этой главе параграф введения содержит обозначения всех используемых объектов. Обозначения в каждой главе предполагаются не зависящими от обозначений других глав, так что обозначения некоторых объектов из разных глав могут быть похожими или даже совпадать. Так, например, аналог функционала ип для случайных полей имеет такое же обозначение, а для случайных процессов обозначается 11тМы предпочитаем сохранить смысловую преемственность обозначений, т.к. это существенно сокращает их количество без ущерба для текста.

Диссертация состоит из введения и шести глав.

Введение

разбито на параграфы, каждый из которых содержит обзор результатов соответствующей его номеру главы. Исключение составляют параграфы 0.1 и 0.2. Параграф 0.1 посвящен результатам глав 1 и 2. Параграф 0.2 посвящен обзору литературы по рассматриваемой тематике.

1. Боровков А. А. Вероятностные процессы в теории массового обслуживания. — М.: Наука, 1972.

2. Боровков А. А. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1986.

3. Боровков К. А. О функциональном законе больших чисел Эрдёша-Реньи// Теория вероятностей и ее применения. — 1990. — Т. 35, в. 4. С. 758−762.

4. Булдыгин В. В. Усиленные законы больших чисел и сходимость к нулю гауссовских последовательностей// Теория вероятностей и математическая статистика. — 1978. — №. 19, — С. 33−41.

5. Булинский А. В. Замечание о нормировке в законе повторного логарифма// Теория вероятностей и ее применения. — 1977. — Т. 22 в. 2. С. 407−409.

6. Булинский А. В. Предельные теоремы для случайных процессов и полей. — М.: Изд. МГУ, 1981.

7. Булинский А. В., Дильман С. В. Универсальная нормировка в законе повторного логарифма// Успехи мат. наук. — 2002. — Т. 57, №. 2. С. 193−194.

8. Булинский А. В., Ширяев А. Н. Теория случайных процессов. — М.: ФИЗМАТЛИТЛаборатория базовых знаний, 2003.

9. Володин Н. А., Нагаев С. В. Замечание к усиленному закону больших чисел// Теория вероятностей и ее применения. —1977. — Т. 22, в. 4. — С. 829−831.

10. Гихмал И. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов. Т. 1. — М.: Наука, 1971.

11. Гихман И. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов. Т. 2. — М.: Наука, 1973.

12. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. Изд. 6-е. — М.: Наука, 1988.

13. Егоров В. А. О законе повторного логарифма// Теория вероятностей и ее применения. — 1969. — Т. 14, в. 4. — С. 722−729.

14. Егоров В. А. Об усиленном законе больших чисел и законе повторного логарифма для последовательности независимых случайных величин// Теория вероятностей и ее применения. — 1970. — Т. 15, в. 3. — С. 520−527.

15. Егоров В. А. Обобщение теоремы Хартмана-Винтнера о законе повторного логарифма// Вестник ЛГУ, сер. матем., механ., астрон. — 1971. в. 2. — С. 22−28.

16. Егоров В. А. Несколько теорем об усиленном законе больших чисел и законе повторного логарифма// Теория вероятностей и ее применения. — 1972. — Т. 17, в. 1. — С. 84−98.

17. Зайцев А. Ю. Multidimensional version of a result of Sakhanenko in the invariance principle for vectors with finite exponential moments. I// Теория вероятностей и ее применения. — 2000. — Т. 45 в. 4. — С. 718−738.

18. Зайцев А. Ю. Multidimensional version of a result of Sakhanenko in the invariance principle for vectors with finite exponential moments. И// Теория вероятностей и ее применения. — 2001. — Т. 46 в. 3. — С. 535−560.

19. Зайцев А. Ю. Multidimensional version of a result of Sakhanenko in the invariance principle for vectors with finite exponential moments. Ill// Теория вероятностей и ее применения. — 2001. — Т. 46 в. 4. — С. 744−769.

20. Зинченко Н. М. Асимптотика приращений устойчивых случайных процессов со скачками одного знака// Теория вероятностей и ее применения. 1987. — Т. 32, в. 4. — С. 793−796.

21. Золотарев В. М. Одномерные устойчивые распределения. — М.: Наука, 1983.

22. Зубков А. М., Михайлов В. Г. Предельные распределения случайных величин, связанных с длинными повтореними в последовательности независимых испытаний// Теория вероятностей и ее применения. 1974. — Т. 19, в. 1. — С. 173−181.

23. Зубков А. М., Михайлов В. Г. О повторениях в-цепочек в последовательностях независимых случайных величин// Теория вероятностей и ее применения. — 1979. — Т. 24, в. 2. — С. 267−279.

24. Ибрагимов И. А., Линник Ю. В. Независимые и стационарно связанные величины. — М.: Наука, 1965.

25. Козлов А. М., Питербарг В. И. О больших скачках случайного блуждания// Теория вероятностей и ее применения. — 2002. — Т. 47, в. 4. Р. 803−814.

26. Козлов М. В. О частичных суммах Эрдёша-Реньи. Большие уклонения, условное поведение/ / Теория вероятностей и ее применения. — 2001. Т. 46, в. 4. — Р. 678−696.

27. Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. — МЛ.: ОНТИ, 1936; М.: Наука, 1974.

28. Круглов В. М. Поведение сумм независимых случайных величин// Теория вероятностей и ее применения. — 1974. — Т. 19, в. 2. — С. 387−393.

29. Лоэв М. Теория вероятностей. — М.: Иностранная литература, 1962.

30. Мартикайнен А. И. О необходимых и достаточных условиях для усиленного закона больших чисел// Теория вероятностей и ее применения. 1979. — Т. 24, в. 4. — С. 814−821.

31. Мартикайнен А. И. Три теоремы о верхнем пределе сумм независимых случайных величин// Вестник ЛГУ. — 1979. — №. 1, С. 45−51.

32. Мартикайнен А. И. Обращение закона повторного логарифма для случайного блуждания// Теория вероятностей и ее применения. — 1980. — Т. 25, в. 2. С. 364−366.

33. Мартикайнен А. И. Об одностороннем законе повторного логарифма/ / Теория вероятностей и ее применения. — 1985. — Т. 30, в. 4. — С. 694−705.

34. Мартикайнен А. И. Обобщенный закон повторного логарифма и усиленный закон больших чисел. — ЛГУ: Диссертация на соиск. уч. степени доктора физ.-мат. наук, 1987.

35. Мартикайнен А. И., Петров В. В. О необходимых и достаточных условиях для закона повторного логарифма// Теория вероятностей и ее применения. — 1977. — Т. 22, в. 1. — С. 18−26.

36. Мартикайнен А. И., Фролов А. Н. Об асимптотике максимальной длины монотонного блока// Тезисы VII Всеросс. ппсолы-коллокв. по стохастич. методам, в Обозрении приклад, и промышл. матем. — 2000. — Т. 7, в. 2. С. 511.

37. Новак С. Ю. Скорость сходимости в задаче о максимуме длин серий успехов// Сиб. матем. журн. — 1991. — Т. 32, №. 3. — С. 113 118.

38. Новак С. Ю. О распределении максимума частичных сумм Эрдёша-Реньи// Теория вероятностей и ее применения. — 1997. — Т. 42, в. 2. С. 274−293.

39. Петров В. В. Обобщение предельной теоремы Крамера// Успехи мат. наук. — 1954. — Т. 9, в. 4. — С. 195−202.

40. Петров В. В. Предельные теоремы для больших уклонений при нарушении условия Крамера. I// Вестник ЛГУ. — 1963. — № 19. — С. 49−68.

41. Петров В. В. Предельные теоремы для больших уклонений при нарушении условия Крамера. II// Вестник ЛГУ. — 1964. № 1. ~ С. 58−75.

42. Петров В. В. О вероятностях больших уклонений сумм независимых случайных величин// Теория вероятностей и ее применения. — 1965. — Т. 10, в. 2. — С. 310−322.

43. Петров В. В. Суммы независимых случайных величин. — М.: Наука, 1972.

44. Петров В. В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. — М.: Наука, 1987.

45. Питербарг В. И. О больших скачках случайного блуждания// Теория вероятностей и ее применения. —1991. — Т. 36, в. 1. — С. 54−64.

46. Прохоров Ю. В. Об усиленном законе больших чисел// Изв. АН СССР, сер. матем. — 1950. — Т. 14, в. 6. — С. 523−536.

47. Прохоров Ю. В. Усиленная устойчивочть сумм и неограниченно делимые распределения// Теория вероятностей и ее применения. — 1958. — Т. 3, в. 2. С. 154−165.

48. Прохоров Ю. В. Несколько замечаний к усиленному закону больших чисел// Теория вероятностей и ее применения. — 1959. — Т. 4, в. 2. — С. 103−113.

49. Прохоров Ю. В. Закон больших чисел и закон повторного логарифма// Успехи мат. наук. — 1983. — Т. 38, в. 4. — С. 281−287.

50. Розовский Л. В. О законе повторного логарифма для сумм независимых случайных величин с конечной дисперсией// Записки научных семинаров ПОМИ. — 1997. — Т. 244. — С. 257−270.

51. Розовский Л. В. Обобщение одной теоремы А. Н. Колмогорова о законе повторного логарифма// Теория вероятностей и ее применения. — 1997. Т. 42. в. 1. — С. 134−143.

52. Розовский Л. В. Оценка снизу вероятностей больших уклонений суммы независимых случайных величин с конечными дисперсиями// Записки научных семинаров ПОМИ. — 1999. — Т. 260. — С. 218−239.

53. Розовский Л. В. О нижней границе вероятностей больших уклонений для выборочного среднего при выполнениии условия Крамера// Записки научных семинаров ПОМИ. — 2001. — Т. 278. — С. 208−224.

54. Самарова С. С. О длине максимальной серии успехов для марковской цепи с двумя состояниями// Теория вероятностей и ее применения. — 1980. — Т. 26, в. 3. — С. 510−520.

55. Саханенко А. И. Скорость сходимости в принципе инвариантности для разнораспределенных величин с экспоненциальными моментами// Предельные теоремы для сумм случайных величин. Тр. ин-та математики Сиб. отд. АН СССР. 1984. — Т. 3 — С. 4−49.

56. Саханенко А. И. Оценки в принципе инвариантности// Предельные теоремы для сумм случайных величин. Тр. ин-та математики Сиб. отд. АН СССР. 1985. — Т. 5 — С. 27−44.

57. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. — М.: Наука, 1985.

58. Скороход А. В. Случайные процессы с независимыми приращениями. — М.: Наука, 1986.

59. Феллер В.

Введение

в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 2. М.: Мир, 1967.

60. Фролов А. Н. О законе больших чисел Эрдёша-Реньи при нарушении условия Крамера// Вестник ЛГУ, сер. 1. — 1990. — в. 4, № 22. С. 26−31.

61. Фролов А. Н. О законе больших чисел Эрдёша-Реньи при нарушении условия Крамера для независимых неодинаково распределенных случайных величин// Вестник ЛГУ, сер. 1. — 1991. — в. 2, № 8. — С. 57−61.

62. Фролов А. Н. Законы Эрдёша-Реньи. — СПбГУ: Диссертация на соиск. уч. степени кандидата физ.-мат. наук, 1993.

63. Фролов А. Н. Об асимптотическом поведении приращений сумм независимых случайных величин// Вестник ЛГУ, сер. 1. — 1993. — в. 4, № 22. С. 45−48.

64. Фролов А. Н. Точная скорость сходимости в законе Эрдёша-Реньи для независимых неодинаково распределенных случайных величин// Вестник ЛГУ, сер. 1. 1993. — в. 1, № 1. — С. 124−125.

65. Фролов А. Н. Об асимптотическом поведении приращений сумм вдоль серий успехов// Записки научных семинаров ПОМИ. —1999. — Т. 260. — С. 263−277.

66. Фролов А. Н. Об асимптотическом поведении приращений сумм независимых случайных величин// Доклады Академии наук.2000. Т. 372, № 5. — С. 596−599.

67. Фролов А. Н. Сильные предельные теоремы для приращений сумм независимых случайных величин// Тезисы VII Всеросс. школы-коллокв. по стохастич. методам, в Обозрении приклад, и промышл. матем. — 2000. — Т. 7, в. 2. — С. 539.

68. Фролов А. Н. Об асимптотическом поведении приращений сумм вдоль монотонных блоков// Записки научных семинаров ПОМИ. —2001. Т. 278. — С. 248−260.

69. Фролов А. Н. О вероятностях умеренных уклонений сумм независимых случайных величин// Записки научных семинаров ПОМИ. —2002. Т. 294. — С. 200−215.

70. Фролов А. Н. Об асимптотике максимального выигрыша в беспроигрышных сериях// Тезисы III Всеросс. симпозиума по приклад, и промышл. матем., в Обозрении приклад, и промышл. матем. — 2002. — Т. 9, в. 2. С. 480.

71. Фролов А. Н. Об асимптотическом поведении больших приращений сумм независимых случайных величин// Теория вероятностей и ее применения. 2002. — Т. 47, в. 2. — С. 366−374.

72. Фролов А. Н. О законе больших чисел Эрдёша-Реньи для процессов восстановления// Теог. veroyatn. matem. statist. — 2003. — Т. 68. С. 142−151.

73. Фролов А. Н. Об асимптотическом поведении приращений процессов с независимыми приращениями// Тезисы X Всеросс. школы-коллокв. по стохастич. методам, в Обозрении приклад, и промышл. матем. — 2003. — Т. 10, в. 2. — С. 363−364.

74. Фролов А. Н. Об асимптотическом поведении приращений случайных полей// Записки научных семинаров ПОМИ. — 2003. — Т. 298. — С. 191−207.

75. Фролов А. Н. Предельные теоремы для приращений процессов с независимыми приращениями// Доклады Академии наук. 2003. — Т. 393, № 2. С. 165−169.

76. Фролов А. Н. Предельные теоремы для приращений сумм независимых случайных величин// Теория вероятностей и ее применения. — 2003. Т. 48, в. 1. — С. 104−121.

77. Фролов А. Н. Сильные предельные теоремы для приращений процессов восстановления// Записки научных семинаров ПОМИ. — 2003. — Т. 298. — С. 208−225.

78. Ширяев А. Н. Вероятность. — М.: Наука, 1989.

79. Щербакова О. Е. Скорость сходимости для приращений случайных полей// Записки научных семинаров ПОМИ. — 2003. — Т. 298, — С. 304−315.

80. Эмбрехтс П., Клюппельберг К. Некоторые аспекты страховой математики// Теория вероятностей и ее применения. — 1993. — Т. 38, в. 2. С. 374−416.

81. Acosta de A., Kuelbs J. Limit theorems for moving averages of independent random vectors// Z. Wahrsch. Verw. Geb. — 1983. — V. 64. P. 67−123.

82. Arratia R., Gordon L., Waterman M. S. The Erd6s-R6nyi law in distribution for coin tossing and sequences matching// Ann. Statist. — 1980. V. 18. — P. 539−570.

83. Arratia R., Waterman M. S. Critical phenomena in sequence matching// Ann. Probab. 1985. — V. 13. — P. 1236−1249.

84. Arratia R., Waterman M. S. The ErdSs-R6nyi law with shifts// Adv. Math. 1985. — V. 55. — P. 13−23.

85. Arratia R., Waterman M. S. The ErdSs-R&iyi strong law for pattern matching with a given proportion of mismatches// Ann. Probab. — 1989. V. 17. — P. 1152−1169.

86. Bacro J.-N., Brito M. On Mason’s extension of the ErdSs-R6nyi law of large numbers// Statist. Probab. Lett. 1991. — V. 11 — P. 43−47.

87. Bacro J.-N., Deheuvels P., Steinebach J. Exact convergence rates in Erd6s-R6nyi type theorems for renewal processes// Ann. Inst. Henri PoincanS. 1987. — V. 23. — P. 195−207.

88. Binswanger K., Embrechts P. Longest runs in coin tossing// Insur. Math. Econom. 1994. — V. 15. — P. 139−149.

89. Book S. A. An extension of the ErdSs-R6nyi new law of large numbers// Proc. Amer. Math. Soc. — 1975. — V.48, N.2. — P. 438−446.

90. Book S. A. A version of the Erd6s-R6nyi law of large numbers for independent random variables// Bull. Inst. Math. Acad. Sinica. — 1975. V. 3, N. 2. — P. 199−211.

91. Book S. A., Shore T. R. On large intervals in the Csorg5-R6v6sz theorem on increments of a Wiener process// Z. Wahrsch. Verw. Geb. 1978. — V. 46. — P. 1−11.

92. Book S. A., Truax D. R. An Erd0s-R6nyi strong law for sample quantiles// J. Appl. Probab. 1976. — V. 13. — P. 578−583.

93. Cai Z. Strong approximation and improved ErdSs-R&iyi laws for sums of independent non-identically distributed random variables// J. Hangzhou Univ. 1992. — V. 19., N. 3. — P. 240−246.

94. Chan A. H.C. Erdos-Renyi type modulus of continuity theorems for Brownian sheets// Studia Sci. Math. Hungar. — 1976. — V. 11. — P. 59−68.

95. Chernoff H. A measure of asymptotic efficiency for tests based on the sum of observations// Ann. Math. Statist. — 1952. — V. 23. — P. 493−502.

96. Choi Y. K., Kono N. How big are increments of a two-parameter Gaussian processes// J. Theoret. Probab. — 1999. — V. 12. — P. 105 129.

97. Cramer H. Sur un nouveau theoreme-limite de la theorie des probabilites// Actual. Sci. Indust. — 1938. — N. 736. — Hermann, Paris.

98. Csorgo M., Horvath L., Steinebach J. Invariance principles for renewal processes// Ann. Probab. 1987. — V. 15. — P. 1441−1460.

99. Csorgo M., Revesz P. How big are the increments of a multiparameter Wiener process?// Z. Wahrsch. verw. Geb. —1978. — V. 42. — P. 1−12.

100. Csorgo M., Revesz P. How big are the increments of a Wiener process?// Ann. Probab. 1979. — V. 7. — P. 731−737.

101. Csorgo M., Revesz P. Strong approximations in probability and statistics. — Budapest: Akademiai Kiado, 1981.

102. Csorgo M., Shao Q. M. A self-normalized Erdos-Renyi type strong law of large numbers// Stoch. Proc. Appl. — 1994. — V. 50. — P. 187−196.

103. Csorgo M., Steinebach J. Improved Erdos-Renyi and strong approximation laws for increments of partial sums// Ann. Probab. — 1981. — V. 9. P. 988−996.

104. Csorgo S. Bahadur efficiency and Erdos-Renyi maxima// Sankhya, Ser.A. 1979. — V. 41. — P. 141−144.

105. Csorgo S. Erdos-Renyi laws// Ann. Statist. — 1979. — V. 7. — P. 772 787.

106. Csdki E. On the increments of additive functionals// Studia Sci. Math. Hungar. 1991. — V. 26. — P. 185−199.

107. Csdki E., CsorgS M. Inequalities for increments of stochastic processes and moduli of continuity// Ann. Probab. — 1992. — V. 20. — P. 10 311 052.

108. Cs&ki E., Foldes A. On the length of the longest monotone block// Studia Sci. Math. Hungar. 1996. — V. 31. — P. 35⁴⁶.

109. Csdki E., Foldes A., Koml6s J. Limit theorems for ErdSs-R6nyi type problems// Studia Sci. Math. Hungar. 1987. — V. 22. — P. 321−332.

110. Csdki E., R6v6sz P. How big must be the increments of a Wiener Process?// Acta Math. Acad. Sci. Hungar. — 1979. — V. 33. — P. 3749.

111. Deheuvels P. On the Erdds-R&iyi theorem for random fields and sequences and its relationships with the theory of runs and spacings// Z. Wahrsch. verw. Geb. 1985. — V. 70. — P. 91−115.

112. Deheuvels P. Functional ErdSs-R6nyi laws// Studia Sci. Math. Hungar. 1991. — V. 26. — P. 261−295.

113. Deheuvels P. Functional law of the iterated logarithm for small increments of empirical processes// Statist. Neerlandica. — 1996. — V. 50. — P. 261−280.

114. Deheuvels P. Strong laws for local quantile processes// Ann. Probab. — 1997. V. 25. — P. 2007;2054.

115. Deheuvels P., Devroye L. Limit laws of ErdSs-R^nyi-Shepp type// Ann. Probab. — 1987. V. 15. — P. 1363−1386.

116. Deheuvels P., Devroye L., Lynch J. Exact convergence rate in the limit theorems of ErdSs-R6nyi and Shepp// Ann. Probab. — 1986. — V. 14. — P. 209−223.

117. Deheuvels P., Einmahl J. H.J. Functional limit laws for the increments of Kaplan-Meier product-limit processes and applications// Ann. Probab. 1990. — V. 28. — P. 1301−1335.

118. Deheuvels P., Mason D. M. Functional law of the iterated logarithm for the increments of empirical and quantile processes// Ann. Probab. — 1992. — V. 20. — P. 1248−1287.

119. Deheuvels P., Mason D. M. On the fractal nature of empirical increments// Ann. Probab. — 1995. — V. 23. — P. 355−387.

120. Deheuvels P., Steinebach J. Exact convergence rate of an Erd6s-R6nyi strong law for moving quantiles// J. Appl. Probab. — 1986. — V. 23. — P. 355−369.

121. Deheuvels P., Steinebach J. Exact convergence rates in strong approximation laws for large increments of partial sums// Probab. Th. Rel. Fields. 1987. — V. 76. — P. 369−393.

122. Deheuvels P., Steinebach J. Sharp rates for increments of renewal processes// Ann. Probab. — 1989. — V. 17. P. 700−722.

123. Dembo A., Kariin S. Strong limit theorems of empirical functionals for large exceedances of partial sums of i.i.d. random variables// Ann. Probab. 1991. — V. 19. — P. 1737−1755.

124. Dembo A., Karlin S., Zeitouni O. Limit distributions of maximal non-aligned two-sequence segmental score// Ann. Probab. — 1994. — V. 22. P. 2022;2039.

125. Deo C. M. A note on Erd?>s-R6nyi law of large numbers// Canad. Math. Bull. 1976. — V. 19. — P. 497−500.

126. Dersch E., Steinebach J. On improved versions of general ErdSs-R&iyi laws and large deviation asymptotics// In: Conributions to Stochastics (ed. by W. Sendler), Physica-Verlag, Heidelberg. — 1987. — P. 38 — 49.

127. Einmahl U. Extensions of results of Komlds, Major and Tusn^dy to the multivariate case// J. Multivar. Analysis. — 1989. — V. 28. — P. 20−68.

128. Einmahl U., Mason D. M. Some universal results on the behavior of increments of partial sums// Ann. Probab. — 1996. — V. 24. — P. 1388−1407.

129. Erdfis P., R6v6sz P. On the length of the longest head-run// In: Topics in Information Theory, Csiszdr, I., Elias, P. (eds.). Amsterdam: North Holland, — Coll. Math. Soc. J. Bolyai. 1975. — V. 16. — P. 218−228.

130. ErdOs P., R&iyi A. On a new law of large numbers// J. Analyse Math. 1970. — V. 23. — P. 103−111.

131. Foldes A. The limit distribution of the length of the longest head-run// Period. Math. Hungar. 1979. — V. 10. — P. 301−310.

132. Feller W. Limit theorems for probabilities of large deviations// Z. Wahrsch. verw. Geb. 1969. — V. 14. — P. 1−20.

133. Frolov A. N. On one-sided strong laws for large increments of sums// Statist. Probab. Lett. — 1998. V. 37. — P. 155−165.

134. Frolov A. N. One-sided strong laws for increments of sums of i.i.d. random variables// Studia Sci. Math. Hungar. — 2002. — V. 39. — P. 333−359.

135. Frolov A. N. One-sided strong limit theorems for increments of sums of i.i.d. random variables// Abstracts 8th Intern. Vilnius Conf. on Probab. Theory and Math. Statist., Vilnius, June 23−29. — 2002. — P. 87.

136. Frolov A. N. Strong laws for increments sums of independent random variables// Abstracts Intern. Gnedenko Conf., Kyiv, June 3−7. — 2002. — P. 13.

137. Frolov A. N. Strong limit theorems for increments of random fields// Theory Stoch. Processes. 2002. — V. 8 (24). Ns. 1−2. — P. 89−97.

138. Frolov A. N. On asymptotics of large increments of sums in non-i.i.d. case// Acta Applicandae Mathematical. — 2003. — V. 78. — P. 129 136.

139. Frolov A. N. On asymptotics of the maximal gain without losses// Statist. Probab. Lett. — 2003. — V. 63. — P. 13−23.

140. Frolov A. N. Universal strong limit theorems for increments of random fields// Abstracts Intern. Conf. «Kolmogorov and contemporary mathematics», Moscow, June 16−21. — 2003. — P. 436.

141. Frolov A. N., Martikainen A. I. On asymptotics of the length of the longest increasing run in Rd// Abstracts Intern. Conf. on Probab. and Statist., St. Petersburg, June 24−28. — 1998. — P. 89−92.

142. Frolov A. N., Martikainen A. I. On the length of the longest increasing run in В*Ц Statist. Probab. Lett. 1999. — V. 41. — P. 153−161.

143. Frolov A. N., Martikainen A. I. On asymptotics behavior of the largest cave in a random field// Proc. 4th Intern. St. Petersburg Workshop on Simulation, June 18−23. 2001. — P. 210−214.

144. Frolov A. N., Martikainen A. I. On the largest cave in a random field// Studia Sci. Math. Hungar. 2001. — V. 37. — P. 213−223.

145. Frolov A. N., Martikainen A. I., Steinebach J. Erd6s-Rdnyi-Shepp type laws in non-i.i.d. case// Studia Sci. Math. Hungar. — 1997. — V. 33. — P. 127−151.

146. Frolov A. N., Martikainen A. I., Steinebach J. On the maximal gain over head runs// Studia Sci. Math. Hungar. — 1998. — V. 34. — P. 165−181.

147. Frolov A. N., Martikainen A. I., Steinebach J. On the maximal excursion over increasing runs// In: Asymptotic methods in probability and statistics with applications. Birkhauser, Boston. — 2000. — P. 225−242.

148. Frolov A. N., Martikainen A. I., Steinebach J. Strong laws for the maximal gain over increasing runs// Statist. Probab. Lett. — 2000. — V. 50. P. 305−312.

149. Frolov A. N., Martikainen A. I., Steinebach J. Limit theorems for maxima of sums and renewal processes// Записки научных семинаров ПОМИ. 2001. — V. 278. — P. 261−274.

150. Gantert N. Functional Erd6s-R6nyi laws for semiexponential random variables// Ann. Probab. — 1998. — V. 26. — P. 1356−1369.

151. Hanson D. L., Russo R. P. Some results on increments of Wiener process with applications to lag sums of independent identically distributed random variables// Ann. Probab. — 1983. — V. 11. — P. 609−623.

152. Hanson D. L., Russo R. P. Some limit results for lag sums of independent, non-i.i.d. random variables// Z. Wahrsch. verw. Geb. — 1985. V. 68. — P. 425−445.

153. Hartman P., Wintner A. On the law of the iterated logarithm// Amer. J. Math. 1941. — V. 63 — P. 169−176.

154. Huse V. R., Steinebach J. On an improved Erdos-R6nyi type law for increments of partial sums// Canad. J. Statist. — 1985. — V. 13. — P. 311−315.

155. Karlin S., Dembo A. Limit distributions of maximal segmental score among Markov-dependent partial sums// Adv. Appl. Probab. — 1992. — V. 24. P. 113−140.

156. Karlin S., Ost F. Maximal length of common words among random letter sequences// Ann. Probab. — 1988. V. 16. — P. 535−563.

157. Kesten H. The limit points of a normalized random walk// Ann. Math. Statist. 1970. — V. 41. — P. 1173−1205.

158. Kiesel R., Stadtmuller U. Erdos-R6nyi-Shepp laws and weighted sums of independent identically distributed random variables// J. Theoret. Probab. 1996. — V. 9. — P. 961−982.

159. Klass M. J. Toward a universal law of the iterated logarithm. I// Z. Wahrsch. verw. Geb. 1976. — V. 36. — P. 165−178.

160. Klass M. J. Toward a universal law of the iterated logarithm. 11// Z. Wahrsch. verw. Geb. 1977. — V. 39. — P. 151−165.

161. Klesov O., Rosalski A. A nonclassilcal law of the iterated logarithm for i.i.d. square integrable random variables// Stoch. Anal. Appl. — 2001. — V. 19. P. 627−641.

162. Kolmogoroif A. Sur la loi forte des grand nombres// C. R. Acad. Sei. Paris. — 1930. — V. 191, № 20 — P. 910−912.

163. Kolmogorov A. Uber das Gesetz des iterierten Logarithmus// Math. Ann. — 1929. — V. 101. — P. 126−135.

164. Koml6s J., Major P., Tusnddy G. An approximation of partial sums of independent rv’s, and the sample df. I.// Z. Wahrsch. Verw. Geb. —1975. V. 32. — P. 111−131.

165. Komlds J., Major P., Tusnddy G. An approximation of partial sums of independent rv’s, and the sample df. II.// Z. Wahrsch. Verw. Geb. —1976. V. 34. — P. 33−58.

166. Koml6s J., Tusnddy G. On sequences of «pure heads» // Ann. Probab. 1975. — V. 3. — P. 608−617.

167. Ksir B. Shepp statistic for Markov chains. Application to a long-run cost criterion// J. Appl. Probab. 1989. — V. 27. — P. 767−775.

168. Lanzinger H. A law of the single logarithm for moving averages of random variables under exponential moment conditions// Studia Sci. Math. Hungar. 2000. — V. 36. — P. 65−91.

169. Lanzinger H., Stadtmuller U. Erd6s-R4nyi-Shepp laws for dependent random variables// Studia Sci. Math. Hungar. — 1998. — V. 34. — P. 253−259.

170. Lanzinger H., Stadtmuller U. Maxima of increments of partial sums for certain subexponential distibutions// Stoch. Processes Appl. — 2000. V. 86. — P. 307−322.

171. Lin Z. Y. The increments of the partial sums of depend sequence when moment-generating functions do not exist// Acta Math. Sinica. — 1989. — V. 5. P. 289−296.

172. Lin Z. Y. The ЕЫбв-Кёпу1 laws of large numbers for non-identically distributed random variables// Chin. Ann. Math. — 1990. — V. 11B. — P. 376−383.

173. Lin Z. Y. On the increments of partial sums of^-mixing sequence// Теория вероятностей и ее применения. — 1991. — Т. 36, в. 2. — Р. 326−336.

174. Lin Z. Y., Choi Y. К., Hwang К. S. Some limit theorems on the increments of a multi-parameter fractional Brownian motion// Stoch. Anal. Appl. 2001. — V. 19. — P. 499−517.

175. Lin Z. Y., Lu C. R., Shao Q. M. Contribution to the limit theorems// Contemporary Math. — 1991. — V. 118. — P. 221−237.

176. Lynch J. Some comments on the Erd6s-R6nyi law and a theorem of Shepp// Ann. Probab. 1983. — V. 11. — P. 801−802.

177. Mason D. M. An extended version of the Erd6s-R6nyi strong law of large numbers// Ann. Probab. — 1989. V. 17. — P. 257−265.

178. Mason D. M., van Zwet W. A note on the strong approximation to the renewal processes// Publ. Inst. Statist. Univ. Paris. — 1987. — V. 32. P. 81−93.

179. Novak S. Yu. Longest runs in a sequence of m-dependent random variables// Probab. Theory Relat. Fields. — 1992. — V. 91. — P. 269 281.

180. Ortega J., Wschebor M. On the increments of the Wiener process// Z. Wahrsch. Verw. Geb. 1984. — V. 65. — P. 329−339.

181. Petrov V. V. On the law of the iterated logarithm without assumptions about the existence of moments// Proc. Nat. Acad. Sci. USA. — 1968. — V. 10 — P. 1068−1072.

182. Petrov V. V. Limit theorems of probability theory. — New York: Oxford University Press, 1995.

183. Pfuhl W., Steinebach J. On precise asymtotics for the Erd6s-R6nyi increments of random fields// Pub. Inst. Stat. Univ. Paris. — 1988. — V. 33. P. 49−66.

184. Pittel B. G. Limiting behaviour of a process of runs// Ann. Probab. — 1981. -V. 9. P. 119−129.

185. Pruitt E. W. General one-sided laws of the iterated logarithm// Ann. Probab. 1981. — V. 9. — P. 1−48.

186. R6v6sz P. A generalization of Strassen’s functional law of iterated logarithm// Z. Wahrsch. verw. Geb. 1979. — V. 50. — P. 257−264.

187. R6v6sz P. On the increments of Wiener and related processes// Ann. Probab. 1982. — V. 10. — P. 613−622.

188. R6v6sz P. Three problems on the lengths of increasing runs// Stoch. Process. Appl. 1983, — V. 15. — P. 169−179.

189. R6v6sz P. Random walk in random and non-random environment. — Singapore: World Scientific Publ., 1990.

190. Rosalski A. On the converse of the iterated logarithm law// Sankhya. — 1980. V. A 42., N. 1−2 — P. 103−108.

191. Russo R. P. Strong laws for quantiles corresponding to moving bloks of random variables// Ann. Probab. — 1988. — V. 16. — P. 162−171.

192. Scherbakova O. E. The asymptotic behaviour of random fields increment// Abstracts Intern. Gnedenko Conf. Kyiv, June 3−7. — 2002. — page P. 26.

193. Shao Q. M. On a problem of CsorgS and R6v6sz// Ann. Probab. — 1989. V. 17. — P. 809−812.

194. Shao Q. M. On a conjecture of R6v6sz// Proc. AMS. — 1995. -V. 123. P. 575−582.

195. Shepp L. A. A limit law concerning moving averages// Ann. Math. Statist. — 1964. V. 35. — P. 424−428.

196. Steinebach J. On a necessary condition for the Erd6s-R6nyi law of large numbers// Proc. Amer. Math. Soc. — 1978. — V. 68. — P. 97−100.

197. Steinebach J. On general versions of ErdSs-R6nyi laws// Z. Wahrsch. Verw. Geb. 1981. — V. 56. — P. 549−554.

198. Steinebach J. Between invariance principles and Erd3s-R6nyi laws// Coll. Math. Soc. J. Bolyai. 1982. — V. 36. — P. 981−1005.

199. Steinebach J. On the increments of partial sum processes with multidimensional indices// Z. Wahrsch. verw. Geb. — 1983. — V. 63. — P. 59−70.

200. Steinebach J. Improved Erdcfe-R&nyi and strong approximation laws for increments of renewal processes// Ann. Probab. — 1986. — V. 14. — P. 547−559.

201. Steinebach J. Strong laws for small increments of renewal processes// Ann. Probab. — 1991. V. 19. — P. 1768−1776.

202. Steinebach J. On a conjecture of R6v6sz and its analogue for renewal processes.// In: Szyszkowicz B. (Ed.), Asymptotic methods in probability and statistics. ICAMPS 197. Amsterdam, North Holland/Elsevier. — 1998. — P. 311−322.

203. Stout W. A martingale analogue of Kolmogorov’s law of the iterated logarithm// Z. Wahrsch. verw. Geb. 1970. — V. 15. — P. 279−290.

204. Strassen V. An invariance principle for the law of the iterated logarithm// Z. Wahrsch. Verw. Geb. 1964. — V. 3. — P. 211−226.

205. Zinchenko N. M. On the asymptotic behavior of increments of certain classes of random fields// Theor. Probab. Math. Statst. — 1994. — V. 48. — P. 7−11.

206. Фролов A. H. Сильные предельные теоремы для приращений сумм независимых случайных величин// Записки научных семинаров ПОМИ 2004. — Т. 311. — С. 260−285.

207. Фролов А. Н. Универсальные предельные теоремы для приращений процессов с независимыми приращениями// Теория вероятностей и ее применения — 2004. — Т. 49, вып. 3. — С. 601−609.