Алгебра псевдодифференциальных краевых задач на многообразии с гладкими ребрами

Краевые задачи для псевдодифференциальных уравнений на гладких многообразиях с краем рассматривались М. И. Вишиком, Г. И. Эскиным, Л. Буте де Монвелем и др. ([1], [2], см. также [3] — [5]) в связи с различными вопросами теории дифференциальных краевых задач, в основном, для вычисления индекса эллиптических операторов. Впоследствии теория псевдодифференциальных краевых задач нашла приложения в спектральной теории, в теории сингулярных возмущений, к эволюционным задачам, к задачам управления. Различные варианты теоремы об индексе применяются в топологии, дифференциальной геометрии, функциональном анализе, теоретической физике. Например, в квантовой механике требование целочисленности индекса некоторых эллиптических операторов доставляет необходимое условие осуществимости деформационного квантованияс помощью теоремы об индексе изучаются свойства множества решений уравнений квантовой теории полянекоторые геометрические следствия теории индекса оказались полезными при исследовании гравитационных аномалий и т. д. В течение последних двух десятилетий усилия многих специалистов были направлены на то, чтобы обобщить достижения теории краевых задач на ситуацию, когда многообразие и (или) символы операторов имеют особенности. Важным вопросом теории краевых задач является построение исчисления псевдодифференциальных краевых задач на многообразиях с негладкой границей. При этом непригодны способы определения краевых задач, используемые в гладкой ситуации. Разными авторами предлагались различные варианты построения теории псевдодифференциальных краевых задач на многообразии с особенностями на границе (упомянем здесь работы [6], [7], где рассматривались краевые задачи на многообразии с коническими точками для псевдодифференциальных операторов из [8]). Однако соответствующие классы операторов оказывались либо специфическими, либо не инвариантными относительно естественных диффеоморфизмов многообразия. В настоящее время в теории псевдодифференциальных операторов (ПДО) наблюдается существенный прогресс: определены классы ПДО на особых многообразиях, включающие естественные операторы и инвариантные относительно достаточно широкой группы диффеоморфизмов ([9] — [12]). Возникает вопрос о построении исчисления краевых задач для таких операторов. Он был решен в [13]. В последние годы классические алгебры операторов рассматривались с точки зрения теории С*-алгебр. Отметим здесь работы [14] (ПДО с разрывными символами на гладких многообразиях), [10] (ПДО на многообразиях с ребрами), [12] (ПДО на стратифицированных многообразиях), а также обзор [15], где, кроме алгебр ПДО, рассмотрены алгебры операторов Теплица и Винера-Хопфа. Такой подход позволяет выяснить структуру алгебры, получить критерий фредгольмовости ее элементов. Кроме того, для вычисления индекса фредгольмова элемента «существенно некоммутативной» алгебры (такой, например, как алгебры ПДО на негладком многообразии) используются результаты и методы операторной К-теории и некоммутативной теории гомологии, которые формулируются на языке С*-алгебр. Таким образом, изучение алгебры псевдодифференциальных краевых задач с точки зрения С*-теории является актуальной задачей. Представления С*-алгебры псевдодифференциальных краевых задач на многообразии с ребрами найдены в [16]. Теория дифференциальных краевых задач на многообразиях с кусочно гладкой границей развивалась в 1970;80-х годах в работах В. А. Кондратьева, В. Г. Мазьи, Б. А. Пламеневского и др. (см. [17], [18], а также [19]). Оказывается, что решения таких задач теряют гладкость в особых точках границы. Поэтому одним из центральных является вопрос о поведении решений вблизи особенностей. Асимптотика решения представляется линейной комбинацией специальных решений однородной модельной задачи. Формулы для коэффициентов таких комбинаций и методика их вычисления нашли многочисленные приложения в задачах математической физики. При этом сами коэффициенты часто приобретают физический смысл: матрица рассеяния — в теории дифракции, коэффициенты интенсивности напряжений — в теории трещинемкость и тензор поляризации — в электростатике и т. д. Подчеркнем, что вид асимптотики определяется свойствами оператора задачи вблизи особой точки, а упомянутые коэффициенты зависят от данных задачи в целом. Аналогичные вопросы об асимптотике возникают и для решений псевдодифференциальных уравнений и краевых задач. В ряде работ изучалась асимптотика гармонических потенциалов на многообразиях с коническими точками, выводились и формулы для коэффициентов [20]. Для этого использовалась связь рассматриваемых уравнений с соответствующими краевыми задачами Дирихле и Неймана для оператора Лапласа. Однако этот способ непригоден в общем случае, и в работах [21], [22] был предложен новый метод исследования асимптотики и вычисления коэффициентов для решений общих псевдодифференциальных уравнений. Он применим и для изучения асимптотики решений псевдодифференциальных краевых задач. Диссертация состоит из четырех глав. В первой главе дано определение оператора краевой задачи. При этом исходным является определение ПДО, предложенное Сеничкиным в статье [9]. Вводится понятие собственной краевой задачи и каждому оператору, входящему в такую задачу, сопоставляется скалярный символ. Во второй главе проверяется, что класс собственных краевых задач инвариантен относительно композиции, сопряжения и замен переменных. Попутно строится исчисление скалярных символов, с помощью которого устанавливается ограниченность операторов краевых задач в пространствах функций, квадратично суммируемых с весом. Третья глава посвящена изучению С*-алгебры, порожденной собственными операторами краевых задач «нулевого порядка». Приведен полный список классов эквивалентности ее неприводимых представлений. В четвертой главе даны асимптотические представления для решений эллиптических уравнений и краевых задач вблизи изолированных особенностей многообразия и выведены точные формулы для коэффициентов. Перейдем к формулировке основных результатов диссертации. Формулировка результатов.

1. Вишик М. И., Эскин Г. И., Нормально разрешимые задачи для эллиптических систем уравнений в свертках. — Мат. Сборник, 74(116), 1967, сс. 326−356.2. Boutet de Monvel, L.

2. Эскин Г. И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений. — М., Наука, 1973.

3. Ремпель Ш., Шульце Б.-В., Теория индекса эллиптических краевых задач. — М., Мир, 1982.

4. Grubb, G. Functional calculus of pseudo-differential boundary problems. — Progress Math, 65, Birkhauser, Boston. 1986.

5. Дервиз А. О. Краевые задачи для мероморфных псевдодифференциальных операторов. — Изв. вузов. Мат., 1985, 3, сс. 64−66.

6. Пламеневский Б. А. Алгебры псевдодифференциальных операторов. — М.: Наука, 1986.

7. Сеничкин В. Н. Псевдодифференциальные операторы на многообразиях с гладкими ребрами. — Дифференциальные и псевдодифференциальные операторы, Пробл. мат. анал., вып. 13, С.-Петербург, ун-т, С.-Петербург, 1992, сс. 162−214.

8. Сеничкин В. Н. Спектр алгебры псевдодифференциальных операторов на многообразии с гладкими ребрами. — Алгебра и анализ, 8, 1996, N6, сс. 105−147.

9. Пламеневский Б. А., Сеничкин В. Н. О классе псевдодифференциальных операторов на Rm и на стратифицированных многообразиях. Мат. сб. 191, 2000, N5, сс. 109−142.

10. Пламеневский Б. А., Сеничкин В. Н. Представления С*-алгебр псевдодифференциальных операторов на кусочно гладких многообразиях. — Алгебра и анализ, 13, 2001, N6, сс. 124−174.

11. Сарафанов О. В. Исчисление псевдодифференциальных краевых задач на многообразиях с гладкими ребрами. — Труды С.-Петербург, мат. о-ва, 10, 2004, сс. 191−244.

12. Пламеневский Б. А., Сеничкин В. Н. О спектре С*-алгебр псевдодифференциальных операторов с особенностями в символах. — Math. Nachr., 1985, 121, сс. 231−268.

13. Пламеневский Б. А., Сеничкин В. Н. Разрешимые алгебры операторов. — Алгебра и анализ, 6, 1994, N5, сс. 895−968.

14. Сарафанов О. В. Спектр С*-алгебры псевдодифференциальных краевых задач на многообразии с гладкими ребрами. — Проблемы математического анализа, 27, 2004, сс. 213−276.

15. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками — Труды Моск. мат. о-ва., 16, 1967, сс. 209−298.

16. Мазья В. Г, Пламеневский Б. А. Коэффициенты в асимптотиках решений эллиптических краевых задач в областях с коническими точками Math. Nachr., 76, 1977, S. 29−60.

17. Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей. — М.: Наука, 1991.

18. Левин А-. В., Мазья В. Г. Об асимптотике плотностей гармонических потенциалов вблизи вершины конуса. — Zeitschr. fur Analysis und ihre Anwendungen, 1989, Bd 8, N 6, S. 501−514.

19. Пламеневский Б. А.,. Сарафанов О. В., Об асимптотике решений псевдодифференциальных уравнений в окрестности конических точек, Вестник С.-Петербургского университета, Сер. 1, № 1, 2000, сс. 58−67.

20. Лаутер Р., Пламеневский Б. А.,. Сарафанов О. В. Труды С.Петербург. мат. о-ва, 8, 2000, сс. 152−185.

21. Диксмье, Ж. С*-алгебры и их представления. М.:Наука, 1974.

22. Гохберг И. Ц., Сигал Е. И., Операторное обобщение теоремы о логарифмическом вычете и теоремы Руше — Матем.сб., 1971, 84, № 3, сс. 607−629.

23. Мазья В. Г., Назаров С. А., Пламеневский Б. А. — Асимптотика решений эллиптических краевых задач в областях с сингулярновозмущенной границей, Тбилиси, Изд-во Тбилисского Университета, 1981, 208 с.

24. Пламеневский Б. А., Розенблюм Г. В., Об индексе псевдодифференциальных операторов с изолированными сингулярностями в символах — Алгебра и Анализ, 2, № 5, 1990, сс. 165−188.

25. Melrose, R. В., Mendoza, G. Elliptic operators of totally characteristic type. MSRI preprint, 1983.

26. Melrose R. B. The Atiyah-Patodi-Singer index theorem. Research Notes in Mathematics. Vol. 4. AK Peters, Wellesley, Massachusetts, 1993.