Сходимость нелинейных образов мер по вариации

Общая характеристика работы.

Актуальность темы

.

Нелинейные преобразования и различного рода сходимость мер играют важную роль во многих задачах функционального анализа, теории вероятностей и теории случайных процессов. Изучение этих объектов было начато более чем полвека назад в классических трудах А. Н. Колмогорова, А. Д. Александрова, Н. Н. Боголюбова, Н. М. Крылова, Дж. фон Неймана, Л. В. Канторовича, Ю. В. Прохорова, А. В. Скорохода и других исследователей. Особенно здесь можно отметить работы 1,2>3'4. Подробный историко-библиографический обзор дан в книге0. В настоящее время активные исследования в этом направлении продолжаются, обогащая взаимодействующие области математики.

Можно выделить следующие два общих вопроса нелинейной теории меры, с которыми так или иначе связано множество самых разных более специальных задач. Пусть дана последовательность измеримых отображений Fj на пространстве с мерой fi. Будут ли индуцированные меры (j, oFу1 сходиться в каком-то смысле? Многие задачи нелинейного анализа и теории вероятностей приводят к рассмотрению слабой сходимости мер, однако весьма важен и случай более сильной сходимости по вариации, причем этот случай гораздо менее изученряд важных результатов получен здесь в связи с предельными теоремами теории вероятностей 6,7.

Александров А.Д. О поверхностной функции выпуклого тела. Матем. сб., 1939, т. 6(48), в. 1, 167−174.

Bogoliouboff N.N., Kryloff N.M. La th^orie g? nerale de la mesure dans son application a l’etude de systfemes dynamiques de la n^canique non-lin^aire. Ann. Math., 1937, B. 38, 65−113.

Канторович JT.B. О перемещении масс. ДАН СССР, 1942, т. 37, в. 7−8, 227−229.

Прохоров Ю. В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей. Теория вероятн. и ее примен., 1956, т. 1, в. 2, 177−238.

Богачев В. И. Основы теории меры. Т. 1,2. 2-е изд. РХД, МоскваИжевск, 2006.

Давыдов Ю.А., Лифшиц М. А., Смородина Н. В. Локальные свойства распределений стохастических функционалов. Физматлит, Москва, 1995. 7.

Жакод Ж., Ширяев А. Н. Предельные теоремы для случайных процессов. Т: 1,2. Наука, Москва, 1994. и вариационным исчислением8. В этом направлении в диссертации исследуется сходимость по вариации образов заданной меры относительно сходящейся в подходящем смысле последовательности отображений. Типичная ситуация возникает при сходимости дифференцируемых в смысле С. Л. Соболева (или даже еще более слабом смысле) отображений к отображению, у которого производная невырожденна почти всюду относительно преобразуемой меры. Результаты этой части работы тесно связаны с геометрической теорией меры9'10'11 и существенно опираются на последнюю.

Второй общий вопрос связан с возможностью преобразовать одну заданную вероятностную меру в другую вероятностную меру у. Хорошо известно, что при весьма широких предположениях такие преобразования имеются. Например, так обстоит дело, если эти меры заданы на достаточно хороших пространствах (например, полных сепарабельных метрических или суслинских) и ц не имеет атомов. Однако преобразования такого рода обычно задаются весьма неявно. Кроме того, подобные общие теоремы существования не дают каких-либо канонических способов выбора преобразования. Лишь для мер на прямой имеется естественная конструкция перевода одной меры в другую с помощью их функций распределения и обратных к ним. В частности, всякую вероятностную меру без атомов можно преобразовать в любую другую меру с помощью возрастающей функции. Имеются содержательные многомерные и даже бесконечномерные аналоги возрастающих функций. Например, весьма важный для приложений и интересный теоретически класс таких отображений составляют так называемые оптимальные транспортировки, возникающие в задаче Монжа-Канторовича и ее современных версиях12'13. 0.

Giaquinta М., Modica G., Soufek J. Cartesian currents in the calculus of variations. V. I, II. Springer, Berlin — New York, 1998.

Федерер Г. Геометрическая теория меры. Наука, Москва, 1987.

Гольдштейн В.М., Решетняк Ю. Г., Квазиконформные отображения и пространства Соболева. Наука, Новосибирск, 1983.

1^{Решетняк} Ю. Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. Наука, Москва,.

1982.

I 9.

Rachev S.T., Riischendorf L. Mass transportation problems. V. 1,2. Springer, New York, 1998.

II loViIlani C. Topics in optimal transportation. Amer. Math. Soc., Rhode fsland, 2003.

Однако в последние годы стал интенсивно изучаться почти не пересекающийся с классом оптимальных отображений другой класс многомерных аналогов возрастающих функций, состоящий из треугольных преобразований. Эти отображения имеют ясную геометрическую структуру и находят многочисленные применения на стыке выпуклой геометрии и теории вероятностей (см. работы14,10). Существенное продвижение в изучении свойств треугольных преобразований достигнуто в работах16'17 (см. также книгу0), в которых введен ряд новых интересных объектов, в частности, понятие канонического треугольного отображения. В диссертации исследована сходимость канонических треугольных преобразований одной сходящейся по вариации последовательности мер в другую заданную сходящуюся по вариации последовательность мер. Стоит отметить, что оба обсуждавшихся направления имеют интересные связи с теорией условных мер (см. книгу5).

Основные результаты диссертации связаны с исследованием сходимости по вариации образов фиксированной меры относительно сходящейся последовательности нелинейных преобразований, а также с изучением в некотором смысле обратной задачи о сходимости треугольных преобразований, порожденных сходящимися мерами. Таким образом, тематика работы актуальна для обеих указанных выше общих задач нелинейной теории меры.

Цель работы.

Получить достаточные условия сходимости по вариации для последовательности мер, индуцированных сходящимися слабо дифференцируемыми отображениями. Исследовать зависимость канонических треугольных преобразований мер от преобразуемых мер и их образов при наделении пространства мер расстоянием по вариации.

Knothe Н. Contributions to the theory of convex bodies. Michigan Math. J., 1957, v. 4, 39−52.^Bobkov S.G. Large deviations via transference plans. Adv. Math. Research, 2003, v. 2, 151−175.^{Богачей} В.И., Колесников А. В., Медведев К. В. Треугольные преобразования мер. Матем. сб., 2005, т. 196, п 3, 3−30.

Богачев В.И., Колесников А. В. Нелинейные преобразования выпуклых мер. Теория вероятн. и ее примен., 2005, т. 51, n 1, 27−51.

Научная новизна.

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Доказана сходимость по вариации образов абсолютно непрерывной меры /i на Hd при отображениях Fj: —> БД которые сходятся к отображению F, при условии, что якобианы Fj удовлетворяют некоторым условиям ограниченности, а якобиан F невырожден почти всюду относительно ц.

2. Построены примеры, показывающие, что использованные в теореме о сходимости условия близки к оптимальным и не могут быть существенно ослаблены. 3. Получены аналоги первого результата для отображений пространств или многообразий разной размерности, а также для отображений бесконечномерных пространств в конечномерные.

4. Доказано существование треугольных преобразований мер на счетных произведениях измеримых пространств и доказана сходимость канонических треугольных преобразований заданной последовательности вероятностных мер fin на R°° в другую заданную на R°° последовательность вероятностных мер vn при условии сходимости обеих последовательностей мер по вариации.

Методы исследования.

В работе применяются методы теории меры, в частности, теория условных мер, функционального анализа, теории вероятностей, а также некоторые оригинальные конструкции.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в теории меры, теории вероятностей, теории случайных процессов, математической статистике, нелинейном анализе и математической физике.

Апробация диссертации.

Результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре &bdquo-Бесконечномерный анализ и стохастика" под руководством проф. В. И. Богачева и Н. А. Толмачева (1998— 2007 гг.), на международном семинаре &bdquo-Бесконечномерный стохастический анализ" в Билефельде (Германия, ноябрь 1999 г.), на конференции молодых ученых Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова (апрель 2005 г.) и на международной конференции по теории вероятностей в г, Черновцы (июнь, 2005 г.).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах автора, список которых приведен в конце работы.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, двух глав, включающих 5 параграфов, и списка литературы из 48 наименований. Общий объем диссертации составляет 58 страниц.

1. Александров А. Д. О поверхностной функции выпуклого тела. Матем. сб. 1939. Т. 6, N 1. С. 167−174.

2. Богачев В. И. Гауссовские меры. Наука, М., 1997.

3. Богачев В. И. Основы теории меры. Т. 1,2. 2-е изд. Регулярная и хаотическая динамика. Москва—Ижевск, 2006.

4. Богачев В. И., Колесников А. В., Медведев К. В. О треугольных преобразованиях мер. Докл. РАН. 2004. Т. 396, N 6. С. 727−732.

5. Богачев В. И., Колесников А. В., Медведев К. В. Треугольные преобразования мер. Матем. сб. 2005. Т. 196, N 3. С. 3−30.

6. Богачев В. И., Колесников А. В. Нелинейные преобразования выпуклых мер и энтропия плотностей Радона-Никодима. Докл. РАН. 2004. Т. 397, N 2. С. 155−159.

7. Богачев В. И., Колесников А. В. Нелинейные преобразования выпуклых мер. Теория вероятн. и ее примен. 2005. Т. 51, N 1. С. 27−51.

8. Богачев В. И., Майер-Вольф Э. Потоки, порожденные векторными полями соболевского типа, и соответствующие преобразования вероятностных мер. Докл. РАН. 1998. Т. 358, N 4. С. 442−446.

9. Георги Х.-О. Гиббсовские меры и фазовые переходы. Мир, М., 1992.

10. Гольдштейн В. М., Решетняк Ю. Г. Квазиконформные отображения и пространства Соболева. Наука, Новосибирск, 1983.

11. Давыдов Ю. А. О сходимости по вариации образов одномерных мер. Зап. научн. семин. ПОМИ, т. 194. 1992. Проблемы теории вероятностных распределений, XII. С. 48−58.

12. Давыдов Ю. А., Лифшиц М. А., Смородина Н. В. Локальные свойства распределений стохастических функционалов. Физматлит, М., 1995.

13. Далецкий Ю. Л., Фомин С. В. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах. Наука, М., 1983.

14. Жакод Ж., Ширяев А. Н. Предельные теоремы для случайных процессов. Т. 1,2. Наука, М., 1994.

15. Жданов Р. И., Овсиенко Ю. В. Оценки соболевских норм треугольных отображений. Вестник МГУ. Сер. мех., матем. 2007. N 1. С. 3−6.

16. Канторович Л. В. О перемещении масс. ДАН СССР. 1942. Т. 37, N 78. С. 227−229.

17. Прохоров Ю. В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей. Теория вероятн. и ее примен. 1956. Т. 1, N 2. С. 177−238.

18. Колесников А. В. Неравенства выпуклости и нелинейные преобразования мер. Докл. РАН. 2004. Т. 396, N 3. С. 300−304.

19. Пономарев С. П. Субмерсии и прообразы множеств меры нуль. Сиб. матем. журн. 1987. Т. 28, N 1. С. 199−210.

20. Пономарев С. П. Об iV-свойстве гомеоморфизмов класса WСиб. матем. журн. 1987. Т. 28, N 2. С. 140−148.

21. Решетняк Ю. Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. Сиб. матем. журн. 1967. Т. 8, N 3. С. 629−658.

22. Решетняк Ю. Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. Наука, М., 1982.

23. Решетняк Ю. Г. JV-свойство для пространственных отображений класса W^loc. Сиб. матем. журн. 1987. Т. 28, N 5. С. 149−153.

24. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. Мир, М., 1980.

25. Федерер Г. Геометрическая теория меры. Наука, М., 1987.

26. Хеннекен П. Л., Тортра А. Теория вероятностей и некоторые ее приложения. Наука, М., 1974.

27. Ширяев А. Н. Вероятность. Наука, М., 1989.

28. Эванс Л. К., Гариепи Р. Ф. Теория меры и тонкие свойства функций. Науч. книга, Новосибирск, 2002.

29. Bobkov S.G. Large deviations via transference plans. Adv. Math. Research. 2003. V. 2. P. 151−175.

30. Bogoliouboff N.N., Kryloff N.M. La theorie generate de la mesure dans son application a l’etude de systemes dynamiques de la mecanique non-lineaire. Ann. M^th. 1937. B. 38. S. 65−113.

31. Bogachev V.I. Differentiable measures and the Malliavin calculus, J. Math. Sci., 1997, v. 87, n 5, p. 3577−3731.

32. Bogachev V.I., Mayer-Wolf E. Absolutely continuous flows generated by Sobolev class vector fields in finite and infinite dimensions. J. Funct. Anal. 1999. V. 167, N 1. P. 1−68.

33. Bojarski В., Iwaniec T. Analytical foundations of the theory of quasiconformal mappings in Rn. Annales Acad. Sci. Fennicae, Ser. A. I. Math. 1983. V. 8. P. 257−324.

34. Bouleau N., Hirsch F. Dirichlet forms and analysis on Wiener space. Walter de Gruyter, Berlin New York, 1991.

35. Giaquinta M., Modica G., Soucek J. Cartesian currents in the calculus of variations. V. I, II. Springer, Berlin New York, 1998.

36. Knothe H. Contributions to the theory of convex bodies. Michigan Math. J. 1957. V. 4. P. 39−52.

37. Kolesnikov A.V. Convexity inequalities and optimal transport of infinite-dimensional measures. J. Math. Pures Appl. 2004. V. 83, N 11. P. 13 731 404.

38. Malliavin P. Stochastic analysis. Springer, Berlin New York, 1997.

39. Nualart D. The Malliavin calculus and related topics. Springer, BerlinNew York, 1995.

40. Rachev S.T., Riischendorf L. Mass transportation problems. V. 1,2. Springer, New York, 1998.

41. Rado Т., Reichelderfer P.V. Continuous transformations in analysis. Springer-Verlag, Berlin, 1955.

42. Ren J., Watanabe S., A convergence theorem for probability densities and conditional expectations of Wiener functionals. In: Dirichlet forms and stochastic processes (Beijing, 1993). P. 335−344. De Gruyter, Berlin, 1995.

43. Villani C. Topics in optimal transportation. Amer. Math. Soc., Rhode Island, 2003. G" .

44. Ziemer W. Weakly differentiable functions. Springer-Verlag, New York Berlin, 1989. Работы автора по теме диссертации.

45. Александрова Д. Е. Сходимость треугольных преобразований мер. Теория вероятн. и ее примен. 2005. Т. 50, N 1. С. 145−150.

46. Александрова Д. Е., Богачев В. И., Пилипенко А. Ю. О сходимости индуцированных мер по вариации. Матем. сб. 1999. Т. 190, N 9. С. 320.

47. Alexandrova D., Bogachev V., Pilipenko A. On the convergence in variation for the images of measures under differentiable mappings. Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, ser. 1. 1999. T. 328, N 11. P. 10 551 060.

48. Alexandrova D.E. Convergence of triangular transformations of measures. Abstracts of the International Conference «Modern Problems and New Trends in Probability Theory», Chernovtsi, pp. 3−4. Институт Математики HAH, Киев, 2005.