Предлагаемая работа посвящена созданию последовательной асимптотической канонической теории взаимодействия заряженных частиц и нерелятивистских квантовых систем с внешними электромагнитными полями. Также решается ряд точных задач, связанных с указанными проблемами: впервые корректно вычислено гиромагнитное отношение для электрона в рамках классической физикирассмотрен вопрос о физических причинах возникновения эффекта Ааронова-Бома и с помощью формулы разложения Титчмарша получены новые правила квантования и обобщение уравнения Шредингера для классических систем с не плоским фазовым пространством. Кроме того, рассматривается приложение полученных результатов к задаче о взаимодействии быстрых заряженных частиц с фронтами бесстолкновительных магнитогидродинамических (МГД) ударных волн в межпланетном пространстве и об устойчивости точного резонанса в квантовых стандартах частоты и магнитометрах при возбуждении когерентности гармоническим резонансным полем.
Изучение движения отдельных заряженных частиц в электромагнитных полях — одна из самых фундаментальных задач физики. Соответствующие исследования важны для понимания процессов в электронных приборах, ускорителях, термоядерных установках, в различных астрофизических ситуациях и т. п. По существу, рассмотрение движения отдельных заряженных частиц лежит в основе развития физики плазмы /1/. Так, например, практически все существующие типы магнитных ловушек для удержания плазмы в термоядерных экспериментах были созданы на основе анализа движения отдельных частиц /2/.
Однако класс точно решаемых задач о движении заряженной частицы в электромагнитном поле оказывается слишком узким для анализа многих случаев, возникающих в различных конкретных ситуациях. Как отмечено в книге С. А. Ломова «Введение в общую теорию сингулярных возмущений» /3/, эра нахождения точных решений в условиях все большего усложнения возникающих новых задач приходит к концу и весьма актуальными становятся приближенные методы их решения. Одним из таких методов является метод усреднения, который позволяет во многих случаях существенно упростить анализ нелинейных уравнений и исследование физических процессов. Основы метода усреднения были разработаны еще в трудах создателей небесной механики. Прочное обоснование он получил в более поздних работах, в частности, в исследованиях Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова, Ю. А. Митропольского /4, 5, 6/. Этот метод лежит в основе исследований, излагаемых в настоящей диссертационной работе.
В динамике заряженных частиц с помощью асимптотических методов была успешно исследована задача о движении частицы в медленно меняющихся в пространстве и времени слабом электрическом и сильном магнитном полях. В простейших случаях впервые X. Альфвен /7/ получил дрейфовые уравнения движения и, исходя из наглядных, хотя и не строгих соображений, показал, что магнитный момент заряженной частицы, вращающейся в сильном магнитном поле — адиабатический инвариант. А позднее, в работе Н. Н. Боголюбова и Д. Н. Зубарева /5/ на основе асимптотического метода интегрирования дифференциальных уравнений Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова (метода усреднения) /5,6,8−10/ дрейфовые уравнения были получены в общем виде. Был указан также алгоритм построения высших приближений. Практически все дальнейшие исследования движения заряженных частиц в электромагнитных полях основывались на анализе дрейфовых уравнений, полученных в этих работах и уточненных в работе С. И. Брагинского /11/. Обзор результатов, полученных в этом направлении до 1963 г., приведен в работах Д. В. Сивухина /12/ и А. И. Морозова и Л. С. Соловьева /13/.
В настоящей диссертационной работе проведено дальнейшее развитие теории движения заряженных частиц в электромагнитных полях в классическом и квантовом случаях на основе метода усреднения. При этом не принимаются основные положения существующей адиабатической теории движения, т. е. поле, в котором движется частица, не предполагается слабо неоднородным в пространстве и медленно меняющимся во времени.
Работа состоит из одиннадцати глав.
В первой главе* рассмотрена задача о движении релятивистской заряженной частицы в заданных сильно неоднородных электрическом и магнитном поляхпри этом — и тоже в отличие от существующей теории — допускается не малая напряженность электрического поля. В существующей адиабатической теории релятивистские дрейфовые уравнения впервые получил Хеллвиг /14/ методом, отличным от метода Крылова-Боголюбова. Эти же уравнения приводятся в обзорах /12,13/. Рассматриваемая в настоящей работе геометрия электрического и магнитного полей является довольно частной, однако представляет интерес по следующим причинам. Во-первых, это, по-видимому, первый нетривиальный случай движения релятивистской частицы в сильно неоднородных полях, когда удалось провести разделение движений. Во-вторых, он важен для ряда задач астрофизики, где электромагнитное поле на фронтах бесстолкновительных МГД-ударных волн оказывается частным случаем поля, рассмотренного в диссертационной работе. Кроме того, в этой задаче возникают методические особенности. Одна из них состоит в том, что в обычной теории адиабатических инвариантов члены, возмущающие Основные результаты этой главы опубликованы в работе К. Ш. Ходжаева, С. Д. Шаталова и автора /15/. гамильтонову систему, являются функциями медленного времени т -81. В нашем же случае возмущающие члены сами должны определяться путем решения системы уравнений в стандартной форме. Кроме того, при рассмотренной конфигурации поля интерес представляет и задача для слабо неоднородного поля, поскольку основной вывод существующей адиабатической теории о сохранении поперечного адиабатического инварианта в данном случае тривиален и необходимо вычислить следующее приближение асимптотического метода.
Исходная система уравнений не является системой с одной быстрой фазой и не сводится к ней ни известной заменой переменных, применяемой в существующей теории движения частицы в слабо неоднородном поле /4, 8/, ни другой заменой, найденной в /16/ для задачи о движении нерелятивистской заряженной частицы в сильно неоднородном поле. Поэтому оказались необходимыми новые способы преобразования уравнений движения.
В первой главе указывается новый адиабатический инвариант, отличный от известного поперечного адиабатического инварианта и переходящий в него в случае слабой неоднородности поля. Построенный инвариант обобщает также и инвариант, найденный в работе /16/. Приведены эволюционные (дрейфовые) уравнения медленных движений частицы, которые оказываются гамильтоновыми. Полученный эффективный потенциал имеет нелокальный характер и позволяет провести сравнение задач о движении заряженной частицы в сильно и слабо неоднородных полях. Рассмотрены также условия прохождения частицы через область сильной неоднородности поля, условия ее отражения и изменение энергии.
Во второй главе* рассматривается задача о движении нерелятивистской заряженной частицы в сильно неоднородных электрическом и магнитном полях. Для нерелятивистской частицы решение задачи предыдущей главы и анализ результатов значительно упрощаются, причем в отличии от /16−21/ все нужные соотношения могут быть получены предельным переходом из соответствующих соотношений первой главы. Однако решение задачи для нерелятивистского случая проще и нагляднее, чем для релятивистского. Кроме того, результаты, относящиеся к нерелятивистскому случаю, существенно используются и конкретизируются в связи с приложениями к физически важному случаю движения заряженной частицы в поле МГД-ударной волны, рассмотренному в третьей главе. По этой причине решение нерелятивистской задачи в основном приводится заново.
Далее в этой главе с помощью методов, развитых в предыдущей, рассматриваются некоторые задачи о движении нерелятивистской частицы в возмущенном аксиально-симметричном поле. В результате анализа этих задач построены новые адиабатические инварианты для некоторых конкретных геометрий магнитного поля, а также приведены эволюционные уравнения движения. Более подробный анализ движения не проводится, так как он легко может быть выполнен методами, аналогичными развитым в первой главе.
В третьей главе на примере взаимодействия быстрой заряженной частицы с фронтом бесстолкновительной МГД-ударной волны показано применение теории, развитой в предыдущих главах. Бесстолкновительные ударные волны в последнее время вызывают большой интерес и становятся объектом интенсивного исследования. Результаты второй и третьей глав опубликованы в работах В. Н. Васильева, К. Ш. Ходжаева, С. Д. Шаталова и автора/16 — 23/.
Изучение бесстолкновительных ударных волн стимулируется как экспериментальным их обнаружением в межпланетном пространстве /24/, так и развитием работ в области управляемого термоядерного синтеза /25/. Межпланетные ударные волны влияют не только на перенос частиц от Солнца, но и могут вызвать ускорение частиц. Измерение потоков быстрых протонов далеко за орбитой Земли дают прямые указания на то, что ускорение быстрых частиц в межпланетном пространстве действительно имеет место /26, 27/.
Ударная волна в турбулентной среде может ускорять частицы в результате действия трех факторов: регулярного электрического поля волны /28−31/, фермиевского ускорения магнитными неоднородностями, которые движутся с различными скоростями перед фронтом и за ним /32/, ускорение частиц турбулентностью за фронтом /33/. Ускорение частиц (с учетом всех трех факторов) фронтом МГД-ударной волны бесконечно малой толщины рассматривалось в работах /17,34−37/.
В настоящей диссертационной работе рассмотрено ускорение быстрых частиц в результате действия регулярного электрического поля межпланетной бесстолкновительной МГД-ударной волны произвольной толщины, т. е. при произвольном соотношении между характерным масштабом изменения поля на фронте ударной волны и гирорадиусом частицы.
Электромагнитное поле на фронте ударной волны (в системе покоя фронта) является частным случаем рассмотренного в предыдущих главах, то позволяет применить полученные в них результаты в полном объеме.
В п. 3. 2 рассмотрено взаимодействие быстрой частицы с фронтом МГД-ударной волны бесконечно малой толщины. Ранее эта задача рассматривалась в работах Л. И. Дормана и Г. Л. Фрейдмана /29/, Б. А. Тверского /33/, В. П. Шабанского /31/, И. И. Алексеева, А. П. Кропоткина и В. П. Шабанского /28/, В. Н. Васильева, И. Н. Топтыгина и автора /35/ с помощью иных методов. Как показано в работах /28,31/, магнитный поток, охватываемый за один цикл движения двумя дугами ларморовских окружностей, сохраняется во время дрейфа частицы через фронт и, следовательно, должен совпадать с адиабатическим инвариантом, являющимся частным случаем инварианта, приведенного в гл. 2. Это соответствие нетрудно установить, учитывая связь фазы влета с медленными переменными, а в п. 3. 2.
Новое рассмотрение этой известной задачи позволяет провести сравнение развитых методов с прежними и, кроме того, полезно, поскольку случай поля в виде «ступеньки» единственный, для которого удается получить явные аналитические выражения.
Далее впервые с помощью строгих методов решается задача о взаимодействии частицы с фронтом бесстолкновительной МГД-ударной волны конечной толщины. Вычислены изменения энергии при прохождении частицей фронта и отражении от него, В общем виде условие отражения через отношение полей в области перед фронтом и за ним выразить аналитически не удается. Это возможно сделать только для частиц, отражающихся в области однородности поля за фронтом. В этом случае результат совпадает с полученным ранее в работе /35/. Для поперечной ударной волны приведено сравнение аналитических результатов с численными, представленными в работе М. Е. Пессеса /38/.
В случае взрывной ударной волны за областью фронта, где поле изменяется резко, следует волна разрежения, в которой поле, медленно меняясь, возвращается к невозмущенному значению. Задача о движении частицы в области волны разрежения относится к случаю, когда характерный масштаб изменения поля много больше гирорадиуса частицы. Решение этой задачи, охватываемой адиабатической теорией движения в слабо неоднородных полях, в общем случае известно достаточно хорошо (см. например, /1,4,5,7,8,11−13/). Тем не менее, она рассматривается заново по следующим причинам.
В настоящей диссертационной работе система исходных уравнений записана в безразмерной форме, что позволяет ввести малый параметр. Кроме того, рассматриваемые уравнения приводятся не к системе с одной быстрой фазой, а к системе в стандартной форме Крылова-Боголюбова, усреднение которой проводится более просто. При этом уравнения в стандартной форме записаны относительно переменных, которые наиболее близки к изучаемому здесь случаю ускорения заряженных частиц и в такой форме ранее не рассматривались. Наконец, при рассматриваемой частной геометрии поля конечные результаты упрощаются, что позволяет обнаружить ранее неизвестные особенности движения заряженной частицы в медленно меняющемся поле. Как видно из эволюционных уравнений, в том случае, когда угол наклона поля мал, скорость дрейфа частицы становится на порядок меньше, чем в общем случае. При этом, однако, решения эволюционных уравнений близки к решениям исходной системы на временах / ~ /е1, а не 1/е, как было бы в общем случае. В свою очередь, этот результат приводит к тому, что в рассматриваемой геометрии поля изменение кинетической энергии частицы будет величиной «нулевого» порядка, причем в силу сохранения адиабатического инварианта полное изменение энергии при прохождении частицей ударного фронта и волны разрежения будет равно нулю. Новым является также и установление того факта, что поперечный адиабатический инвариант сохраняется с точностью до членов второго порядка. В общем случае этот результат справедлив только при равенстве продольной скорости нулю во все время движения /1/.
В пункте 3.5 рассмотрена задача о влиянии мелкомасштабных неоднородностей на движение заряженной частицы через фронт МГД-ударной волны конечной толщины. Показано, что для пролетных частиц влияние неоднородностей сводится только к изменению времени прохождения области неоднородности. Этот результат позволяет объяснить неизвестный ранее факт отсутствия влияния осцилляторной структуры фронта бесстолкновительной ударной волны на изменение энергии заряженных частиц при взаимодействии с фронтом.
Условия отражения и прохождения частицы при наличии и при отсутствии большой неоднородности поля будут, вообще говоря, разными, что можно отнести к числу эффектов, обусловленных такой неоднородностью. Вообще, с помощью полученных результатов, в адиабатическую теорию движения заряженных частиц вводится новый параметр — характерный масштаб изменения магнитного поля. Его влияние прослеживается на модельной задаче о движении заряженной частицы в постоянном магнитном поле П-образного вида. Показано, что условия отражения существенно зависят от произведения \Л, где 1гвысота барьера, А — его ширина.
В пункте 3.6 впервые рассмотрена одномерная модель ускорения заряженных частиц сходящимися бесстолкновительными МГД — ударными волнами. Показано, что при характерных для межпланетных ударных волн параметрах кинетическая энергия быстрых частиц возрастает приблизительно на порядок.
В заключение третьей главы методом канонического усреднения вычислены высшие приближения в задаче о движении заряженной частицы в поле бесстолкновительной МГД — ударной волны конечной толщины. Полученные результаты полностью согласуются с общими теоремами классической механики о поведении гамильтоновых систем, близких к интегрируемым системам (KAM — теорема, теорема Нехорошева). В частности видно отсутствие изменения переменной действия во всех порядках теории возмущений, в отличие от случая не канонического усреднения, где сохранение адиабатического инварианта требует специального доказательства даже в первом порядке.
В четвертой главе* рассматривается задача о движении заряженной частицы в высокочастотном (ВЧ) электромагнитном поле, причем особое внимание уделено корректному учету нелинейного воздействия ВЧ поля на частицу.
Теоретические и экспериментальные исследования воздействия сильных СВЧ-полей на плазму были вызваны в 1956 г. предложением академика В. И. Векслера осуществить радиационное ускорение сгустков плазмы /39,40/, а впоследствии открытием космических источников мощного ВЧ излучения /41,42/.
В настоящее время практический интерес к исследованиям взаимодействия электромагнитных волн с плазмой связан с изучением распространения радиоволн в ионосфере Земли, разработкой СВЧ-методов зондирования плазмы, термоядерными экспериментами, созданием вакуумных СВЧ-приборов, а также астрофизическими приложениями.
Литература
связанная с этими проблемами, весьма многочисленна, что не позволяет указать здесь все близкие работы. Обширную библиографию можно найти в книге И. Р. Геккера «Взаимодействие сильных электромагнитных полей с плазмой» /45/. Близкие вопросы рассматриваются также в работах В. Я. Давыдовского (см., например, /46/, а также ссылки в ней).
Впервые усредненные уравнения движения нерелятивистской заряженной частицы первого приближения получены в работах А. В. Гапонова и М. А. Миллера /47/, М. А. Миллера /48/, и Р. 3. Сагдеева /49/, высшим приближениям посвящена работа Г. А. Литвака, М. А. Миллера и Н. В. Шолохова /50/. Тем не менее, в настоящей диссертационной работе эта задача рассматривается заново по следующим причинам.
Исходные уравнения движения берутся в безразмерном виде, что позволяет корректно ввести малые параметры, и приводятся к стандартной форме Крылова-Боголюбова, иначе, чем в /50/. Это позволило получить более простые уравнения и рассмотреть более общий случай по сравнению с /50/, при этом усредненные уравнения в высших приближениях оказываются отличными от указанных в /50/. Кроме того, в /50/ имеются и методические неточности. Так, например, не указано, как выбираются произвольные функции медленных переменных при построении высших приближениймежду тем, от выбора этих функций существенно зависит структура усредненных уравнений.
В настоящей диссертационной работе указанные произвольные функции выбираются так, чтобы усредненные уравнения движения имели вид либо уравнений движения материальной точки, либо уравнений Гамильтона. Вычислены второе, а в частном случае, рассмотренном в /50/, третье приближения. В первом приближении усредненный гамильтониан найден в работе Э. Л. Бурштейна и Л. С. Соловьева /51/, однако следующие приближения построены неверно. Результаты этой главы опубликованы в работе К. Ш. Ходжаева, С. Д. Шаталова и автора /39 / и А. В, Баженичева, К. Ш. Ходжаева и автора /40/.
Близко к указанным задачам примыкает задача о циклотронном резонансе, рассмотренная в последнем разделе этой главы. Задача о резонансном движении частицы в поле плоской волны и постоянном магнитном поле уже рассматривалась в /52,53/. В этих работах скорость частицы не предполагалась малой по сравнению с фазовой скоростью волны. Поэтому формально результаты, имеющиеся в /52,53/, более общие. Чтобы получить результаты этой работы из /52/, надо ввести в соответствующих уравнениях малый параметр, перейти к переменной действия, заменить бесселевы функции первыми членами их разложений по степеням аргумента и т. д. В итоге оказывается, что случай малой скорости частицы, не рассмотренный непосредственно в /52,53/, проще изучить отдельно, как это сделано. Такое рассмотрение позволило обнаружить новый, неизвестный ранее, адиабатический инвариант в этой задаче.
В пятой главе* с точностью до членов порядка малого параметра включительно получена функция Гамильтона заряженной частицы в слабо неоднородном магнитном поле. Составлены уравнения движения, усредненные по быстрой фазе. Показано, что эти уравнения интегрируются в квадратурах. Тем самым задача о движении частицы в слабо неоднородном поле в первом приближении оказывается в принципе решенной.
При составлении функции Гамильтона частицы в слабо неоднородном поле используются координаты, связанные с полем, и производится каноническая замена переменных с помощью производящей функции, которая в случае однородного поля приводит к переменным действие-угол. Ранее такая схема была использована в работе Г. В. Ступакова /55/. Однако в этой работе не был явно введен малый параметр и не получены Результаты этой главы опубликованы в работах В. Е. Тарасова, К. Ш. Ходжаева и автора /54, 184/. окончательные выражения для малой и немалой частей функции Гамильтона. Между тем, оказывается, что малая часть функции Гамильтона представляет собой тригонометрический полином относительно быстрой фазы (это может быть существенно при анализе влияния дополнительных возмущений), а усредненные уравнения вполне обозримы и интегрируются в квадратурах.
Кроме того, построенные в настоящей работе, усредненные уравнения имеют структуру уравнений механики, чего нельзя сказать об уравнениях, полученных в /4,5,11/. В такой форме гамильтоновы уравнения движения заряженной в слабо неоднородном магнитном поле получены впервые и позволяют рассматривать «дважды» возмущенные задачи, принципиально не решаемые в рамках дрейфовой теории. Например, задачу о циклотронном резонансе в слабо неоднородном магнитном поле, сформулированную в последнем пункте этой главы.
В шестой главе* рассматривается один из самых загадочных эффектов движения заряженных частицэффект Ааронова-Бома.
В 1939 и 1949 гг. /59,60/ был предсказан, а в 1959 г. /61/ независимо переоткрыт и более подробно теоретически исследован Аароновым и Бомом своеобразный квантовомеханический эффект. Сущность его заключалась в том, что квантовая заряженная частица, движущаяся в области, где отсутствует постоянное магнитное (или электрическое) поле, но вектор-потенциал (или скалярный потенциал) отличен от нуля, испытывает некоторое воздействие.
Понимание сущности эффекта Ааронова-Бома вырабатывалось в ходе Результаты этой главы опубликованы в работах, А Н. Агеева, С. Ю. Давыдова и автора /56/ и А. Н. Агеева и автора/57, 58,185/. длительной дискуссии (см. обзоры /62,63/), однако до сих пор не решен даже вопрос о его природе-квантовой или классической /64,65/.
В данной главе показано, что необходимым условием существования эффекта Ааронова-Бома является присутствие в общей структуре потенциалов потенциалов нулевых полей (т.е. не создающих электромагнитного поля) и неустранимых калибровочными преобразованиями. Поскольку такие потенциалы должны иметь вид —• 1 34*.
A°=gradx?, (р°=———, («потенциалы нулевого поля»), то функцию Ч> с dt практически во всех работах стали, вообще говоря, незаконно, отождествлять с функцией градиентного преобразования потенциалов, что и приводило к парадоксу, как в классическом, так и в квантовом случае: «. мы можем сохранить существующую локальную теорию, если будем рассматривать, А (г), как физическую переменную. Это значит, что мы должны быть способны обнаруживать физическое различие между двумя квантовыми состояниями, которые различаются только калибровкой"/61/.
В работах, посвященных эффекту Ааронова-Бома, необходимое условие его существования практически не обсуждалось. В стационарном случае обычно ограничивались утверждением о том, что для существования эффекта Ааронова-Бома необходима «нетривиальная топология области, где распространяется заряженная частица» /66/.
Понятие потенциалов нулевого поля («избыточных потенциалов») было впервые введено в работах Д. Н. Четаева для решения краевых задач электродинамики анизотропных сред /67−69/ и практически неизвестно в физической литературе. Впервые в 1959 году академик А. Н. Тихонов предложил использовать электромагнитные потенциалы с отличным от нуля скалярным потенциалом с целью регулярного удовлетворения граничным условиям /70/. В результате развития идей А. Н. Тихонова возник общий метод решения краевых задач электродинамики анизотропных сред, получивший название метода избыточных потенциалов /67−69,71/, основная идея которого состоит в использовании потенциалов, не создающих электромагнитного поля для регулярного удовлетворения граничным условиям. Основные результаты этого метода приведены в пл. 6.1,6.2.
Однако, как настаивали сами авторы «эти потенциалы реального смысла не имеют, ибо они, являлись прямым следствием калибровочной инвариантности, порождают нулевые электромагнитные поля» /71/.
Как показано в п. 6.5, потенциалы нулевого поля, вообще говоря, отличаются от калибровочного преобразования, хотя и имеют одинаковый вид. Тот факт, что два отношения эквивалентности для векторных потенциалов Л и A' (rot А=rot А' и A-A' = grad%), вообще говоря, не совпадают, строго доказывается в теории когомологий/72/.
В седьмой главе* впервые описан механизм вычисления правильного гиромагнитного отношения для электрона в рамках классической физики.
Гаудсмит и Уленбек, выдвинувшие гипотезу спина электрона, представляли себе электрон как некое твердое тело, вращающееся вокруг своей оси. Такую модель рассматривал ранее Крониг, но отбросил ее по совету Паули, Крамерса и Гейзенберга, которые считали существенным пороком этой модели тот факт, что скорость вращения, вычисленная исходя из величины спина и оценки радиуса электрона, оказалась больше скорости света. Тем не менее, гипотеза спина завоевала признание благодаря ее успеху в объяснении эффекта Зеемана и дублетной структуры спектральных линий щелочных атомов. В связи с непригодностью механической модели спина физики оказались лицом к лицу с концепцией спина, не имеющей Результаты этой главы опубликованы в работе И. В. Казинца и автора /73/. какого-либо физического обоснования. Постепенно физики стали рассматривать спин, как глубинное квантовое свойство электрона, которое недоступно физическому объяснению. Иногда делается предположение, что природа спина кроется во внутреннем (неустановленном) строении электрона. Время от времени в качестве утешения указывается, что спин естественным образом возникают из уравнения Дирака или из анализа представлений группы Лоренца. Действительно, уравнение Дирака содержит значительную информацию о спине и позволило вычислить точное значение гиромагнитного отношения. Но при всем этом спин играет просто роль добавочного неорбитального момента импульса неизвестного происхождения, т. е. и теория Дирака не дает понимания физического механизма, ответственного за появление спина.
Однако гиромагнитное отношение для электрона не содержит постоянной Планка, а это означает, что оно может быть рассчитано в рамках классической механики. Вычисление гиромагнитного отношения для электрона в классической физике и есть задача этой главы. Причем под словом «электрон» понимается точечная частица, имеющая только заряд и не имеющая высших моментов (дипольных электрического и магнитного, квадрупольных и т. д.).
Впервые получено правильное значение гиромагнитного отношения для электрона. Далее показано, что применение квазиклассических правил квантования Маслова-Лере /74−76/, позволяет получить точный спектр Ландау, найденный из уравнения Паули. Этот факт означает, что спин в классической механике существует, но не сказывается на классической траектории.
В восьмой главе* с помощью формулы разложения Титчмарша получены новые правила квантования классических систем, обобщающие традиционные и переходящие в них в случае существования перехода к декартовым координатам. Найдено уравнение, обобщающее уравнение Шредингера на произвольные натуральные системы. Принцип минимальной связи (сильный принцип эквивалентности) позволяет распространить это уравнение на произвольные искривленные пространства.
В монографии /79/ В. А. Стеклов так формулирует основные задачи математической физики: «Задача физики об охлаждении тел, переведенная на язык анализа и соответствующим образом обобщенная, приводит к двум вопросам чистого анализа первостепенной важности:
A). К задаче интегрирования линейного дифференциального уравнения при соответствующих граничных условиях (нахождению собственных или фундаментальных функций и собственных или характеристических чисел).
B) К задаче о разложение произвольных функций в сходящиеся ряды по собственным функциям" .
Обычно в физической литературе основное внимание уделяется задаче А, а задача В практически не обсуждается. Так, явная формула разложения по собственным функциям задачи об атоме водорода приведена только в книгах /80,81/, хотя для теории возмущений (развиваемой в последующих главах) задача В является не менее важной, чем задача А.
Существует три метода решения задачи В. Это, прежде всего, общая спектральная теория линейных самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве (см., например, /82,83/).
Затем методы теории интегральных уравнений, начала которой были заложены Г. Вейлем.
Результаты этой главы опубликованы в работах И. В. Казинца и автора /77/ и А. Я. Бердникова и автора /78/.
Другой, но близкий подход к теоремам разложения изложен в монографии Э. Титчмарша /84/, в которой даются доказательства справедливости разложений, основанные на контурном интегрировании и теории вычетов. Этот метод, таким образом, позволяет избежать привлечения и теории интегральных уравнений и общей теории линейных операторов.
Последнее особенно важно по следующим причинам. Обычно физики практически никогда не различают понятие самосопряженного и симметрического оператора. Это ведет сразу к двум неприятностям: во-первых, область задания оператора в гильбертовом пространстве остается неясной, что не позволяет применять методы спектральной теории, во-вторых, в область определения оператора включаются все функции, для которых аналитические действия в выражении оператора имеют смысл, вне зависимости от того, входят ли сами эти функции (а также результат применения к ним оператора) в гильбертово пространство или нет /85/. Строгое рассмотрение последнего случая требует введения понятия оснащенного гильбертова пространства /86/.
Кроме того, в руководствах по физике очень часто написано, что каждый самосопряженный оператор имеет полную ортогональную систему (базис) собственных векторов. Это так в случае компактных самосопряженных операторов, но гамильтониан никогда не бывает компактным. Другие общие критерии, когда это так, трудно сформулировать, но иногда так бывает и для гамильтонианов (гармонический осциллятор). Этим частным случаем, по-видимому, и кончаются интересные примеры, когда справедлив вышеупомянутый принципоператоры, как правило, имеют и так называемый непрерывный спектр.
В результате таких интуитивных действий формула разложения в широко известной задаче об атоме водорода /80,81/ оказывается, вообще говоря, неверной.
Метод Титчмарша позволяет построить разложение по нормированным собственным функциям только методами классического математического анализа и избежать всех указанных трудностей. Кроме того, как будет ясно из изложения, он вполне доступен по используемой технике. Поскольку метод Титчмарша мало известен, приведены основные положения его теории, необходимые для получения разложения в задаче квантовой механики об атоме водорода.
Далее, на основании этих результатов получены новые правила квантования классических систем, обобщающих традиционные и переходящие в них случае существования перехода к декартовым координатам.
Термин «квантование» возник в двадцатые годы в физической литературе и с самого начала употреблялся в двух смыслах. Во-первых, это дискретизация множества значений той или иной физической величины. Во-вторых — это построение исходя из классической механической системы с с-числовой функцией Гамильтона И (р, д,1) оператора Гамильтона.
Н (рД, 1), где рДоператоры, сопоставляемые классическим каноническим переменным. В предлагаемой работе термин «квантование» употребляется в этом втором значении.
Традиционная схема квантования Вейля-Гейзенберга применима к классическим системам только с плоским фазовым пространством и только в декартовых координатах /87/. В общем случае задача квантования не является тривиальной и однозначной.
Задача квантования натуральных систем (квантование классической системы, заданной на не плоском конфигурационном пространстве) была анонсирована ещё в первой работе Э. Шредингера, однако решение проблемы было представлено только в декартовых координатах.
Широкое обсуждение квантовой теории на римановых многообразиях в математических работах началось почти сразу после создания современной квантовой механики /88,89/. Выражение для обобщенного уравнения, полученное в настоящей работе, совпадает с найденным в ВКБприближении в /89,90/. Точный оператор Шредингера имеет вид-#2(АаЯ)/2т, где Л — оператор Лапласа-Бельтрами, Я — скалярная кривизна," =1/3. Значение постоянной, а существенно зависит от выбранной схемы квантования: в схеме Лю и Кьяна /91/ а =1/8, Андерхилл /92/ нашел, а =½, в схеме геометрического квантования /93/ было найдено значение, а =1/6. Вудхаус /94/, Ву /95/ и Эммрих /96/ получили значение, а =0.
Все указанные операторы Шредингера в плоском пространстве в криволинейных координатах сводятся к оператору Лапласа — Бельтрами (Д=0). В то же время, как очевидно из результатов Титчмарша и уравнения (8.44), в этом случае существует ненулевая поправка к оператору Лапласа, обращающаяся в нуль только в декартовой системе координат. Характерно, что в отличие от настоящей работы, где уравнение (8.44) получено элементарным путем только из физического смысла волновой функции как амплитуды вероятности, все указанные работы имеют чисто математический характер и достаточно сложны.
В девятой главе* на основе метода усреднения Крылова-Боголюбова получены простые расчетные формулы (обобщающие результаты 3, 4 и 5 Результаты этой главы опубликованы в работах автора /97, 98,183,186/ глав) для построения эволюционных канонических уравнений первого и второго приближений и позволяющие проводить каноническое усреднение уравнений классической и квантовой механики по единым формулам. Такое представление позволяет использовать всю мощь современных строго обоснованных методов классической теории нелинейных колебаний (асимптотической теории возмущений) и указать простые условия применимости, полученных результатов. Исходная формулировка задачи теории возмущений в рамках нестационарного уравнения Шредингера позволяет по единым формулам изучать все случаи-стационарный (без вырождения и с вырождением), нестационарный, резонансный, адиабатический и т. д. По-сугцеству, представленная в девятой главе асимптотическая теория возмущений, является универсальной для фундаментальной физики и других научных дисциплин, основанных на вариационном принципе, функциях Лагранжа и Гамильтона.
Канонические (Гамильтоновы) системы занимают особое место в математике, механике и физике. Поэтому вполне естественным является построение для них отдельной асимптотической теории возмущений, использующей преимущества гамильтонова формализма, то есть аппарата канонических замен переменных (в /99/ гл. 2, § 2 возможность такой процедуры отрицается). Для канонических систем математиками были разработаны специальные и достаточно эффективные методы исследования /9,100−103/. Однако стремление к общности делает их весьма громоздкими, в то время как для практического использования достаточно первых двух неисчезающих приближений.
В пунктах 9.2,9.3 продемонстрировано применение полученных результатов для решения задач классической механики. При этом устранены неточности, имеющиеся в существующей физической литературе.
Далее полученные результаты применяются для построения асимптотической теории возмущений (в классическом смысле) в квантовой механике. Традиционно для построения теории возмущений в нерелятивистской квантовой механики математиками используются методы спектрального анализа операторов /104,105/. Однако, при этом необходимо учесть следующее. Обычно физики практически никогда не различают понятия самосопряженного и симметрического операторов. Это ведет сразу к двум неприятностям: во-первых, область задания оператора в гильбертовом пространстве остается неясной, что не позволяет применять методы спектральной теории, во-вторых, в область определения оператора включаются все функции, для которых аналитические действия в выражении оператора имеют смысл., вне зависимости от того, входят ли сами эти функции (а также результат применения к ним оператора) в гильбертово пространство или нет. Строгое рассмотрение последнего случая требует введение понятия оснащенного гильбертова пространства /106/.
По этим причинам невозможно проверить даже условия применимости регулярной теории возмущений Като-Релиха /104,105/ дающей критерии того, что формальные ряды Релея-Шредингера имеют ненулевой радиус сходимости.
Хорошо известно, что ортодоксальная теория возмущений неприменима во многих случаях, так как соответствующие ряды оказываются расходящимися. Асимптотический характер ряда теории возмущений впервые доказал Титчмарш /107/. Строгое доказательство расходимости ряда теории возмущений для ангармонического осциллятора (У~х4), было дано Бендером и Ву /108/.
Кроме большой сложности упомянутые методы обладают еще одним существенным недостатком — они не позволяют получить волновые функции, которые также играют большую роль в изучении физических систем.
В десятой главе* на основе метода канонического усреднения (фазовой теории возмущений в квантовой механике), построенной в девятой главе, при более общих предположениях, чем в существующих приближениях, построены адиабатическое и пост адиабатическое приближения, адиабатическая и нестационарная теория возмущений. Впервые приведена асимптотическая оценка близости точного и приближенного решений.
При переходе от теории квантов Планка и Эйнштейна к квантовой механике большую роль сыграла адиабатическая гипотеза Эренфеста. В 1928 году М. Борн и В. А. Фок /110/ показали, что гипотеза Эренфеста является следствием постулатов квантовой теории. Строгое математическое доказательство адиабатической теории было дано Като /111/ в 1949 г. Затем, на основе аналогии между адиабатическим и квазиклассическим приближениями, было построено адиабатическое приближение Ландау-Дыхне/112−114/.
Однако адиабатическое приближение Борна-Фока, по существу, не является приближением, так как все члены адиабатического ряда Борна-Фока имеют одинаковый порядок малости /114,115/, что, в свою очередь, не позволяет построить пост адиабатическое и следующие приближения. Выбор волновых функций вещественными (условие Борна-Фока) не позволяет использовать это приближение в задачах с магнитным полем.
Результаты адиабатического приближения Ландау-Дыхне переходят в результаты нестационарной теории возмущений только приближенно. Кроме того, оба упомянутых приближения дают неверный предэкспоненциальный множитель /115/. Результаты этой главы опубликованы в работе автора /109, 183/.
В нестационарном случае существенен вопрос о промежутке времени, на котором приближенное решение мало отличается от точного. В упомянутых работах эта проблема не обсуждается вообще.
В данной работе на основе метода канонического усреднения (фазовой теории возмущений) построены новые формулы в нестационарной теории возмущений, позволяющие из одних и тех же выражений рассчитывать случаи адиабатического и пост адиабатического приближения, адиабатической и нестационарной теории возмущений. При этом существенно улучшены результаты теорий Борна — Фока и Ландау — Дыхне. Получено новое доказательство адиабатической теоремы Като. Структура доказательства позволяет не только доказать адиабатическую теорему, но и впервые указывает путь построения пост адиабатического и любых следующих приближений. Преимущества новой теории продемонстрировано и при решении задачи о резонансном возбуждении гармонического осциллятора. Несмотря на простоту постановки, эта задача не может быть решена ни одной из существующих теорий возмущений, так как из-за эквидистантности невозмущенного спектра сингулярными будут члены любого порядка в ряду теории возмущений. Проведено сравнение новых приближений с точными решениями нестационарного уравнения Шредингера для гармонического осциллятора в однородном переменном поле и с приближениями, получаемыми по традиционным формулам /112/. Из этого сравнения видно, что стандартные нестационарные приближения /112/ справедливы только на безразмерных временах t~ 1, в то время как построенные в этой работе на асимптотически больших временах t~j е.
В одиннадцатой главе* приводится пример конкретной физической задачи, имеющей большие практические приложения, для решения которой Результаты этой главы опубликованы в работах E.H. Пестова и автора /116, 117, 183/. требуется некоторая модификация развитой в предыдущих разделах теории возмущений, поскольку невозмущенная задача здесь по-прежнему гамильтонова, но возмущение оказывается не гамильтоновым.
Исследования в области гравитации и вращения Земли, в радиоинтерферометрических экспериментах со сверхдлинной базой, задачи точной наземной и космической навигации различного назначения, а также изучение динамики геомагнитных градиентов на длинной базе для прогнозирования землетрясений требуют от стандартов частоты (времени) и квантовых магнитометров увеличения абсолютной точности и стабильностикратковременной и долговременной. Актуальность этих задач подчеркивается интенсивностью проводимых исследований в этих областях и сложностью разработок при создании квантовых устройств такого типа во многих странах мира.
При создании стандартов частоты и квантовых магнитометров исследователи обычно опираются на определенную совокупность параметров П (/00 S/N, Af, Q, у}, где у — гиромагнитное отношение атома или ядра, а Af — расстройка частоты от резонанса. По сложившемуся мнению, именно этот набор параметров является необходимым и достаточным для повышения точности и стабильности. С учетом этих позиций постоянно предлагаются новые физические схемы /115, 118−121/.
Так, были реализованы квантовые системы, которые позволили получить сверхузкие линии резонанса шириной Af «1 Гц и добротностью Q ~ 1012 (на «ионной ловушке» /118/), высокое отношение сигнала к шуму S/N ~ 20 000 в полосе 1 Гц (на пучках с лазерной накачкой /119, 120/) и др. В квантовых магнитометрах также достигнуты большие успехи, в частности, получены узкие линии зеемановского резонанса порядка 1 Гц /115/.
Несмотря на большое количество работ по исследованию квантовых устройств, включая сложные и экзотические типа «ионных ловушек», «фонтана «с использованием техники лазерного охлаждения, к настоящему времени достигнута лишь высокая кратковременная относительная стабильность частоты ~ 10~14т~'12 на интервале времени г < 103 с.
Однако достижение высокой долговременной стабильности остается проблемой — наблюдается дрейф частоты, неустранимый и непредсказуемый по знаку и величине, природа которого до сих пор не известна. Не лишены уходов частоты и групповые стандарты, укомплектованные несколькими десятками высокоточных стандартов различного типа. Уходы таких групповых стандартов за год могут составлять несколько микросекунд и более.
Экспериментальные исследования стабильности стандартов частоты, проведенные в последнее время с применением компьютерного слежения за центром резонанса с предельной точностью в совокупности с жесткой стабилизацией всех параметров квантовой системы и устройства в целом, всё же показывают наличие долговременного дрейфа номинала частоты стандарта.
При обработке данных измерения стабильности частоты стандартов за рубежом стали пользоваться моделью «двухвыборочной вариации», предложенной Д. Алланом /122/. Получаемая оценка стабильности при этом показывает более благоприятную картину, но не отражает действительного положения дел.
Результаты теоретических работ, посвященных рассмотрению взаимодействия двухуровневой системы с линейно-поляризованным слабым полем [ Н, j Н0 или Ej/E0"1], которое и реализуется в рассматриваемых квантовых устройствах, приводят, в основном, к одному выводу-при резонансе к частоте со{) невозмущенного атомного перехода прибавляется малая поправка — постоянная составляющая второго порядка по амплитуде поля возмущения Я, (ш/м ?,), известная как сдвиг БлохаЗигерта/115,121/.
Теоретические работы более широкого плана, в том числе и работа /123/, в которой без каких-либо упрощений и приближений получена фундаментальнал система решений для поведения двухуровневой спин-системы в условиях взаимно-перпендикулярных полей Нх>Н0со8Ш при любых значениях Н1, Н0 и со, также не смогли вскрыть какую-либо дополнительную динамику системы в окрестности частоты резонанса о)0 .Анализ использованных математических методов показывает, что в них не заложена сама возможность нахождения общего решения задачи о динамике системы в окрестности резонанса.
В настоящей работе на основе асимптотической теории возмущений Крылова-Боголюбова выполнено теоретическое исследование задачи о резонансном взаимодействии двухуровневой системы с переменным слабым полем. Существенная особенность этого метода состоит в том, что он позволяет провести количественный и качественный анализ поведения квантовой системы в окрестности резонанса на асимптотически больших интервалах времени 1−1)8 (0 < б «г /).
В результате исследования впервые установлено существование поправки первого порядка по амплитуде поля возмущения Н1 (или Ех) к резонансной частоте со () двухуровневой системы, взаимодействующей со слабым переменным полем.
Получены необходимые и достаточные условия точного резонанса, отличающиеся от общепринятых и актуальные для прецизионных стандартов частоты и квантовых магнитометров. Показано, что традиционно используемая нестационарная теория возмущений для решения задач о взаимодействии двухуровневой атомной системы с резонансным полем указывает лишь на часть необходимого условия резонансаравенство нулю расстройки частот атома и поля.
При нулевой расстройке установлены достаточные условия реализации стационарного режима колебаний, которые трудно осуществить в магнитном резонансе в области низких и средних частот и практически не представляется возможным — в СВЧ и тем более в оптическом диапазоне.
При невыполнении достаточных условий резонанса (обычная ситуация на практике) в квантовых стандартах частоты и магнитометрах имеет место режим колебаний с принципиально неустранимой неустойчивостью, что выражается в дрейфе и долгопериодических вариациях во времени резонансной частоты.
Результаты данной работы открывают возможность оценки и прогноза величин дрейфа и долгопериодических вариаций метрологических стандартов частоты и квантовых магнитометров (а также других квантовых устройств, например, кольцевых лазеров).
Таким образом, на защиту выносятся следующие результаты:
1. Асимптотическое преобразование уравнений движения заряженной частицы в скрещенных сильно неоднородых электрическом и магнитном полях.
2. Установление гамильтоновой структуры эволюционных уравнений и новый адиабатический инвариант.
3. Изменение энергии при прохождении частицей фронта бесстолкновительной МГД-ударной волны конечной толщины и.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
И КРАТКИЕ ВЫВОДЫ.
1. Рассмотрено движение релятивистской заряженной частицы в сильно неоднородных электрическом и магнитном полях специальной геометрии, охватывающей, например, поля на фронте МГД-ударной волны. Уравнения движения содержат в этом случае малый параметр и могут быть исследованы асимптотическим методом. Применение этого метода показывает, что исходные уравнения имеют адиабатический инвариант, отличный от известного инварианта в существующей адиабатической теории, а эволюционные уравнения имеют гамильтонову структуру.
2. Аналогичные результаты справедливы для движения частицы в некоторых сильно неоднородных «возмущенных» аксиально-симметричных полях: уравнения движения допускают адиабатические инварианты нового вида, а эволюционные уравнения гамильтоновы.
3. Проведенное асимптотическое преобразование уравнений позволяет вычислить изменение энергии при прохождении частицей фронта бесстолкновительной МГД-ударной волны конечной толщины и отражении от него. В частности, оказывается, что изменение энергии частицы при переходе через фронт не зависит от конкретной структуры поля на фронте. Рассмотрено ускорение заряженных частиц сходящимися бесстолкновительными МГД — ударными волнами. Показано, что при характерных для межпланетных ударных волн параметрах кинетическая энергия быстрых частиц возрастает приблизительно на порядок. Проведено каноническое усреднение и вычислены высшие приближения в задаче о движении заряженной частицы в поле бесстолкновительной МГД — ударной волны конечной толщины.
4. Рассмотрены высшие приближения в задаче о движении нерелятивистской заряженной частицы в быстро осциллирующем электромагнитном поле. Их вычисление требует некоторых методических усовершенствований при применении метода усреднения. Наиболее целесообразным является такое построение высших приближений, чтобы эволюционные уравнения имели вид либо уравнений движения материальной точки, либо уравнений Гамильтона.
5. Проведено асимптотическое преобразование уравнений движения заряженной частицы в слабо неоднородном магнитном и слабом электрическом полях, приводящее к эволюционным уравнениям движения в канонической форме. Показано, что эти уравнения интегрируются в квадратурах. Тем самым задача о движении частицы в слабо неоднородном магнитном поле в первом приближении оказывается в принципе решенной. Найденная функция Гамильтона позволяет рассматривать дважды возмущенные задачи в принципе не решаемые методами существующей дрейфовой теории.
6. Выяснено, что необходимым условием реализации эффекта Ааронова-Бома является присутствие в общей структуре электромагнитных потенциалов потенциалов нулевого поля. Указан также их физический смысл в классической электродинамике. Впервые построена структура электромагнитного поля, содержащая нестационарные потенциалы нулевого поля, позволяющая исследовать нестационарный эффект Ааронова-Бома.
7. Вычислено гиромагнитное отношение для электрона в рамках классической физики. Показано, что спиновая поляризация существует в классической физике, но не дает вклада в классическую траекторию. Косвенно этот факт подтверждается тем, что при квазиклассическом квантовании энергии электрона получается точный спектр Ландау, рассчитываемый обычно из уравнения Паули.
8. Получены новые правила квантования для произвольных натуральных систем, обобщающие правила квантования Вейля-Гейзенберга и переходящие в них в случае существования перехода к декартовым координатам. Получено уравнение, обобщающее уравнение Шредингера на произвольные римановы пространства.
9. Найдено представление уравнения Шредингера как классической гамильтоновой системы, что позволило построить простые расчетные формулы для получения канонических усредненных уравнений первого и второго приближений, как в классической, так и в квантовой механике.
10.Построены на основе метода канонического усреднения по единым формулам адиабатическое и пост адибатическое приближения, адиабатическая и нестационарная теория возмущений в квантовой механике.
11.Показано, что построенные нестационарные приближения справедливы на асимптотически больших безразмерных временах ь4/е, в то время как традиционные только на временах .
12.Развитая каноническая теория возмущений является универсальной для фундаментальной физики и других научных дисциплин, основанных на вариационном принципе.
13. Установлено существование составляющей первого порядка по амплитуде поля возмущения в резонансной частоте двухуровневой системы, взаимодействующей со слабым переменным полем. Получены необходимые и достаточные условия точного резонанса, отличающиеся.
321 от общепринятых и актуальные для прецизионных стандартов частоты и квантовых магнитометров.
14.Показано, что при невыполнении достаточных условий резонанса в квантовых стандартах частоты и магнитометрах имеет место режим колебаний с принципиально неустранимой неустойчивостью, что выражается в дрейфе и долгопериодических вариациях во времени резонансной частоты.
