Приближенные методы решения краевых задач, для дифференциальных уравнений с частными производными

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Амурский государственный университет

(ГОУВПО «АмГУ»)

Кафедра математического анализа и моделирования КУРСОВОЕ ЗАДАНИЕ на тему: Приближенные методы решения краевых задач, для дифференциальных уравнений с частными производными по дисциплине Методы вычислений Благовещенск 2008

СОДЕРЖАНИЕ Введение

1. Классификация ДУ с частными производными

2. Начальные и краевые условия, задача Коши, смешенная задача

3. Уравнения эллиптического типа

4. Стационарное тепловое поле, постановка краевых, задач

5. Метод конечных разностей, конечно-разностные аппроксимации производных

6. Уравнения Лапласа и Пуассона (уравнения эллиптического типа) в конечных разностях

7. Решение краевых задач для криволинейных областей

8. Постановка курсового задания

9. Решение курсового задания Заключение

ВВЕДЕНИЕ

Значительное число задач физики и техники приводят к дифференциальным уравнениям в частных производных (уравнения математической физики).

Установившиеся процессы различной физической природы описываются уравнениями эллиптического типа.

Точные решения краевых задач для эллиптических уравнений удаётся получить лишь в частных случаях. Поэтому эти задачи решают в основном приближённо. Одним из наиболее универсальных и эффективных методов, получивших в настоящее время широкое распространение для приближённого решения уравнений математической физики, является метод конечных разностей или метод сеток.

Суть метода состоит в следующем. Область непрерывного изменения аргументов, заменяется дискретным множеством точек (узлов), которое называется сеткой или решёткой. Вместо функции непрерывного аргумента рассматриваются функции дискретного аргумента, определённые в узлах сетки и называемые сеточными функциями. Производные, входящие в дифференциальное уравнение и граничные условия, заменяются разностными производными, при этом краевая задача для дифференциального уравнения заменяется системой линейных или нелинейных алгебраических уравнений (сеточных или разностных уравнений). Такие системы часто называют разностными схемами. И эти схемы решаются относительно неизвестной сеточной функции.

1. Классификация дифференциальных уравнений с частными производными В общем случае дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными, имеет вид

(1)

где , — независимые переменные, — искомая функция,, ,, , — ее частные производные.

Решением уравнения называется функция, обращающая это уравнение в тождество. График решения представляет собой поверхность.

Уравнение называется линейным, если оно первой степени, относительно искомой функции и всех ее производных и не содержит их произведений. Линейное уравнение может быть записано в виде:

(2)

где коэффициенты A, B, C, a, b, c могут зависеть от x и y. Если эти коэффициенты не зависят от x и y, то уравнение называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.

Выражение называют дискриминантом уравнения. В зависимости от знака D линейное дифференциальное уравнение (2) относится в данной области к одному из трех типов:

1) — уравнение эллиптического типа;

2) — уравнение параболического типа;

3) — уравнение гиперболического типа.

2. НАЧАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ, ЗАДАЧА КОШИ, СМЕШЕННАЯ ЗАДАЧА Определение. Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию, называется задачей Коши.

Из всех разделов математического анализа, дифференциальные уравнения являются одним из самых важных по своим приложениям, ибо решая дифференциальное уравнение, т. е. находя некоторую функцию, мы устанавливаем закон, по которому происходит то или иное явление или процесс.

Определение. Решить задачу Коши для уравнения — это значит найти решение данного уравнения в виде функции у (х), удовлетворяющей начальному условию.

Выделение конкретного решения из бесчисленного множества требует задания начальных и краевых условий.

В данной курсовой работе будет рассматриваться замкнутая непрерывная область и гладкая граница

Рисунок 1 — Рассматриваемая область Итак, требуется найти решение ДУ если заданы начальные и краевые условия.

3. УРАВНЕНИЙ ЭЛЛЕПТИЧЕСКОГО ТИПА При исследовании стационарных процессов различной физической природы (колебательных, теплопроводных, диффузионных) обычно приходят к уравнениям эллиптического типа. Распространенным уравнением эллиптического типа является уравнение Лапласа:

(3)

Функция называется гармонической в области Т если она непрерывна в этой области со своими производными до второго порядка включительно и удовлетворяет уравнению Лапласа.

4. СТАЦИОНАРНОЕ ТЕПЛОВОЕ ПОЛЕ, ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ Температура нестационарного теплового поля удовлетворяет дифференциальному уравнению теплопроводности

Если поле стационарно, то уравнение имеет вид

где

Если имеется тепловой источник то (3) имеет вид

(4)

где , — плотность тепловых источников. Уравнение (4) часто называют уравнением Пуассона.

Рассмотрим некоторый объем, ограниченный контуром, задача о стационарном распределении температуры внутри формулируется следующим образом: найти функцию, удовлетворяющую внутри уравнению и граничному условию которое может быть взято в одном из следующих видов:

1) на (первая краевая задача). Физически означает, что на поверхности задан температурный режим. Эта задача еще носит название задачи Дирихле.

2) на (вторая краевая задача). Физически означает, что задан тепловой поток на поверхности. Эта задача носит название задача Неймона.

3) на (третья краевая задача). Физически означает, что задан и тепловой поток и температурный режим.

Где, ,, заданные функции, а производная по внешней нормали заданной поверхности.

Замечание. Для второй задачи должна удовлетворять условию т. е. равен нулю суммарный поток через границу области, только тогда процесс будет стационарным.

Если ищем решение внутри области, то краевая задача внутренняя, если вне области, то задача внешняя.

Если нет начальных условий, то означает стационарный процесс не зависит от времени.

5. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ, КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ АПРОКСИМАЦИИ ПРОИЗВОДНЫХ Идея методов конечных разностей, или метода сеток заключается:

1) В плоской области (двумерная задача) строится сеточная область ограниченная кусочнонепрерывным контуром аппроксимирующим гладкую границу области (рис 2).

Рисунок 2. — Сеточная область границе области

2) Заданное ДУ в узлах построенной сетки заменяется конечноразностным уравнением (в связи с конечно разностными аппроксимациями производных).

3) Схема внутренних и граничных узлов области и границы связывается системой линейных (либо нелинейных) уравнений. Таким образом, непрерывное решение аппроксимируем выбранным набором дискретных значений в узлах сеточной области.

Введем в рассмотрение сетку, построенную на плоскости с узлами сеточной области:

где, .

Проведя аналогично с одномерным случаем получим аппроксимации производных первого и второго порядка используя разложение в ряд Тейлора функции двух переменных.

где, .

Ограничиваясь первыми двумя членами получим:

Где

.

Аналогичные формулы можно получить и для частных производных вида:

.

От выбора основного размера клетки зависит величина погрешности аппроксимации дифференциального уравнения конечноразностным методом.

Очевидным требованием является .

Однако на практике такой подход является трудоемким, либо нереализуемым вовсе. Поэтому для вычислительных процедур используют схему двойного пересчета: решение строят на сете с шагом и с шагом и. Решение уравнений в частных производных методом конечных разностей приводит к массовым вычислениям единообразных процедур, поэтому такие методы легко программируются.

6. УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАССА И ПУАСОННА (УРАВНЕНИЯ ЭЛЛЕПТИЧЕСКОГО ТИПА) В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ Напомним уравнение Пуассона (4)

(4)

На практике к построению конечноразностных схем применяют несколько шаблонов.

1. Конечноразностная схема «крест» .

Пусть

Рисунок 3 — шаблон схемы «крест»

Запишем конечно разностную аппроксимацию

(5)

Для уравнений Лапласа с равноотстоящими узлами, следует

(6)

Видно, что значение функции являющаяся решением уравнения Лапласа в узле есть среднее арифметическое соседних узлов.

2. Конечноразностная схема Рисунок 4 — шаблон конечно разностной схемы Для уравнения Лапласа с равномерной сеткой аппроксимация, по такому шаблону, будет соответствовать конечно разностному уравнению

(7)

Рассмотрим решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа

, , (8)

где заданная непрерывная функция Рассмотрим случай квадратной сетки.

Два узла находящиеся на расстоянии называются соседними Узлы сетки принадлежащие внутренней части называются внутренними .

Узлы которые имеют соседним узлом хотябы один внутренний называют граничными узлами первого рода.

Решение задачи (8) строится конечно разностным методом и согласно (6) получаем систему составленную для каждого внутреннего узла расчетной области, а не хватающие уравнения дополняем исходя из граничных условий

(9)

где В ближайшая точка границы Г.

Система (6), (9) всегда совместна и имеет единственное решение. Одним из самых эффективных методов решения является метод прогонки.

При решении задачи Неймана или смешенной краевой дополнительными уравнениями системы вместо (9) будут конечно разностные аппроксимации краевых условий.

7. РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ОБЛАСТЕЙ В случае криволинейной границы нельзя применять ранее полученные конечно-разностные выражения для производных вблизи границы должны быть модифицированы.

Рисунок 5 — конечно-разностная сетка в окрестности криволинейной границы

Предположим, что для некоторой задачи граничная кривая пересекает прямоугольную конечно-разностную сетку, как показано на рисунке 5. Тогда

.

Пусть

где, и — точки, в которых граница пересекает прямые и соответственно. Используя формулу Тейлора, можно записать

(10)

(11)

где — некоторая точка на, а — некоторая точка на .

Из этих двух уравнений получим аппроксимации

(12)

с погрешностью и

(13)

с погрешностью, т. е. точность аппроксимации второй производной в окрестности границы хуже, чем во внутренних узлах сетки. Аналогичным образом можно получить аппроксимации для и. Таким образом, если решается уравнение теплопроводности

(14)

в области с криволинейной границей, вдоль которой заданы значения функции, то в точках типа на рисунке 5 соответствующей конечно-разностной аппроксимацией будет уравнение

(15)

где значения и заданы краевыми условиями.

8. ПОСТАНОВКА КУРСОВОГО ЗАДАНИЯ Потенциал течения грунтовых вод под перемычкой удовлетворяет уравнению

.

Найти этот потенциал в изображенной на рисунке области при указанных краевых условиях Рисунок 6 — Область решения задачи

9. РЕШЕНИЕ КУРСОВОГО ЗАДАНИЯ производный эллиптический аппроксимация mathlab

Необходимо решить задачу о распространении тепла. Будем решать её приближенным методом, а именно методом конечных разностей, используя конечно-разностные аппроксимации производных.

В рассмотрение введена сетка с различными шагами, , соответственно по и .

Из граничных условий следует, что в узлах сетки принадлежащих границе температура постоянна и равна 0. Однако на внешней границе температура не постоянна и определяется следующим уравнением:

Таким образом решаем первую краевую задачу, задачу с заданным температурным режимом на поверхности, которая носит название задачи Дирихле.

В узле 5 необходимо воспользоваться формулами конечно-разностных аппроксимаций для криволинейных областей. Для остальных узлов используем конечно-разностную аппроксимацию типа «крест»

Итак, получим шесть уравнений для определения температуры во всех узлах введенной нами сетки.

Приведем систему к виду пригодному для решения её методом Гаусса.

Решая данную систему методом Гаусса получим:

>> G (A, B)

ans =

0.2715

0.6582

0.1777

0.3615

0.0779

0.6098

Используя возможности пакета Mathlab, а именно PDETool получим графическую интерпретацию распространения температуры в данной области.

Рисунок 8 — графическая интерпретация распространения температуры

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном курсовом задании была решена краевая задача уравнений с частными производными эллиптического типа (в частности задача Дирихле) с использованием метода конечных разностей. Так же приведено графическое решение с использованием пакета Mathlab. Сравнивая результаты получаем свершено идентичные решения поставленной краевой задачи.