Асимптотические методы в прямых и обратных задачах высокочастотной динамики упругих сред

Математические модели высокочастотной динамической теории упругости находят широкое применение в геофизике, строительной механике, теории машин и механизмов, дефектоскопии, дефектометрии, акустоэлектронике, в современных инженерных и технических приложениях при исследовании колебаний конструктивных элементов и сложных конструкций в целом, коротковолновых датчиков различного назначения. Среди многочисленных важных проблем в динамической теории упругости выделим те, различные аспекты которых будут рассмотрены в диссертации. В процессе изготовления или эксплуатации практически все реальные материалы содержат различные нарушения сплошности: нарушения кристаллической структуры, включения, дефекты различной конфигурации. Распространение волн в таких материалах имеет свои специфические особенности, знание которых может дать объективную информацию о поведении во времени исследуемого элемента конструкции или конструкции в целом. Первой проблемой для реальных материалов является расчет волновых полей при различных видах несплошностей материала элемента конструкции. Эта проблема формулируется в рамках прямых задач математической физики. Другой, более сложной, проблемой является выбор видов воздействий на материал, при которых по результатам откликов на эти воздействия можно определить местонахождение препятствия в материале, его форму, механические и другие характеристики. Такая проблема формулируется в рамках обратных задач математической физики.

Одним из важных технических приложений обратных задач является ультразвуковой неразрушающий контроль (УЗНК). Разработка математических моделей и создание эффективных алгоритмов их решения в настоящее время является актуальной задачей.

По типу возбуждаемых в среде волновых полей динамические задачи можно разделить на нестационарные и стационарные (установившиеся по времени). Нестационарные постановки задач позволяют получить оценки местонахождения дефекта по времени прихода отраженного сигнала, однако они значительно сложнее с точки зрения анализа математической модели по сравнению со стационарными постановками задач.

В УЗНК материалов [245, 256] используются модели как с нестационарными, так и со стационарными волновыми полями, в зависимости от поставленных целей. Рабочие частоты в УЗНК при использовании моделей установившихся по времени колебаний берутся, в основном, из интервала 2 МГц — 5 МГц.

Расчет волновых полей в упругих средах, содержащих включения, усложняется тем, что в этих средах существуют продольные и поперечные волны, и в связи с этим необходим учет трансформаций и переотражений волн на граничных поверхностях неоднородностей. Поэтому полное изучение родственных скалярных моделей в качестве первого шага является вполне естественным.

Исследованиям по распространению и дифракции линейных упругих и акустических волн посвящена обширная литература. Выделим монографии, в которых освещены основные классические результаты по исследованию волновых процессов в неограниченных средах и в телах конечных размеров Аки К. и Ричардса П. [1], Бабича В. М. и Булдырева В. С. [12], Боровикова В. А. и Кинбера Б. Е. [42], Бреховских Jl. М. [45], Бреховских Jl. М. и Година О. А. [46], Ваганова Р. Б. и Каценеленбаума Б. 3. [57], Галишниковой Т. Н. и Ильинского А. С. [80], Гринченко В. Т. [88], Гринченко В. Т. и Мелешко В. В. [89], Горюнова А. А. и Сасковца А. В. [87], Гузь А. Н. и Головчан В. Т. [90], Гузь А. Н., Кубенко В. Д. и Черевко М. А. [91], Ермолова И. Н. [104], Жария О. Ю. и Улитко А. Ф. [107], Исимару А. [111], Исраилова М. Ш. [112], Кайно Г. [113], Клещева А. А. и Клюкина И. И. [118], Колтона Д. и Кресса Р. [120], Космодамианского А. С. и Сторожева В. И. [123], Купрадзе В. Д. [127], Купрадзе В. Д., Гегелиа Т. Г., Башелейшвили М. О., Бурчуладзе Т. В. [128], Михлина С. Г., Морозова Н. Ф., Паукшто М. Ф. [140], Нигула У. К., Метсавээра Я. А., Векслера Н. Д.,.

Кутсера M. Э. [144], Новацкого В. [145], Панасюка В. В., Саврука М. П. и Назарчука 3. Т. [148], Партона В. 3. и Перлина П. И. [149], Петрашеня Г. И. [150], Петрашеня Г. И., Молоткова JL А. и Крауклиса П. В. [151], Поручикова В. Б. [157], Романова В. Г. [163], Сеймова В. М., Трофимчука А. Н. и Савицкого О. А. [169], Слепяна Л. И. [171], Скучика Е. [170], Уайта Дж. [185], Фелсена JL и Маркувица Н. [187], Фока В. А. [190], Хенла X., Мауэ А. и Вестпфаля К. [192], Шендерова Е. Л. [195], Штагера Е. А. [197], Штагера Е. А. и Чаевского Е. В. [198], Яхно В. Г. 199], Achenbach I. D. [200], Achenbachl. D, Gautesen A. К., McMaken H. [202], McNamara D. A., Pistorius C. W. I., Malherbe I. A. G. [252], Pao Y. H., Mow С. С. [260], Ramm A. G. [264], Sumbatyan M. A и Scalia A. [276].

Монографии Бабешко В. A. [10], Бабешко В. А., Глушкова Е. В., Зинченко Ж. Ф. [11], Вайнштейна Л. А. [59], Викторова И. А. [72], Воровича И. И., Александрова В. М., Бабешко В. А. [76], Воровича И. И. и Бабешко В. А. [77], Воровича И. И., Бабешко В. А. и Пряхиной О. Д. [78], Гетмана И. П. и Устинова Ю. А. [82], Калинчука В. В. и Белянковой Т. И. [114], Миттра Р. и Ли С. [139], Сеймова В. М. [168], Jones D. S. [232], Lamb H. [248] посвящены исследованию волновых проблем в полуограниченных областях.

Одной из проблем, рассматриваемых в диссертационной работе, является проблема рассеяния высокочастотных волн на поверхностях препятствий в сплошных средах. В этом направлении исследований выделим монографии [1, 12,41,42, 45, 46, 57, 59, 87−91, 104, 105, 111−113, 125, 1170, 185, 194, 195, 197, 198] и работы [63, 70, 74, 81, 85, 98, 106, 117, 121, 137, 146, 191, 201, 205, 206, 227, 230, 246, 251, 253, 257, 267, 269, 291, 296, 297, 302].

Одним из основных подходов в исследовании проблемы рассеяния волн в упругих средах является использование интегрального представления Сомильяны [144] для поля перемещений через граничные значения векторов перемещений и напряжений. Наряду с граничными интегральными уравнениями (ГИУ), полученными на основе формул Сомильяны, существует и другой подход. Он связан с введением в рассмотрение неизвестных плотностей поверхностных потенциалов [46, 48]. Такой метод получения ГИУ принято называть непрямым методом [18], а подход, основанный на формулах Сомильяны, называют прямым методом [18]. Для ограниченных областей оба метода приводят к союзным ГИУ [18].

Аналогом интегрального представления Сомильяны в дифракционных задачах акустики являются формулы Гельмгольца — Кирхгофа [192, 243].

С точки зрения практического решения задач, основное преимущество метода ГИУ заключается в том [44], что он позволяет понизить размерность исследуемой задачи на единицу, а в случае неограниченной области свести к задаче для ограниченной области.

Кроме того, методы исследования построенных ГИУ можно также разделить на два класса — высокочастотные и низкочастотные. Достоинство высокочастотного метода состоит в том, что длина зондирующего импульса имеет тот же или меньший порядок, что и характерный размер препятствия. Это приводит к регистрации интерференционных явлений, которые легко обнаружить и использовать для идентификации препятствия. Достоинства низкочастотного режима зондирующих колебаний состоят в возможности использования квазистатических результатов для решения динамических задач.

Среди рассматриваемых видов дефектов в сплошных средах выделим несплошности в виде трещин и их скоплений и дефекты в виде одиночных полостей, а также их скоплений.

Рассматриваемые в диссертации формулировки и методы решения прямых задач находятся в тесной взаимосвязи с формулировкой геометрических обратных задач динамической теории упругости с приложением их в УЗНК для определения формы невыпуклых препятствий в упругих средах.

В диссертации динамические задачи рассматриваются в рамках высокочастотных монохроматических установившихся колебаний. В связи с этим исследование некоторых из этих прямых задач возможны в рамках теории дифракции. Обзоры методов решения задач дифракции содержится в классической монографии Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К [192]. Среди важных результатов этой теории отметим теорию Зоммерфельда [272] и асимптотические теории Кирхгофа [241] и Келлера [238]. Математическим методам в теории упругих волн посвящен обзор [14]. Точные аналитические решения известны лишь для некоторых задач рассеяния на объектах канонической формы, которые допускают разделение переменных.

Точные решения были получены в задачах дифракции для кругового цилиндра в акустической среде в виде ряда Ватсона [192], дифракции плоской волны на упругом цилиндре (Pao Y. Н. и Mow С. С. [259]) и на сферической полости (Pao Y. Н. и Mow С. С. [261]). Решения некоторых задач могут быть получены в квадратурах [145, 149]. Наиболее полное изложение подходов, приводящих к точным решениям задач дифракции для акустических сред можно найти в монографиях [170, 132], а для задач дифракции в упругих средах — в монографиях [89−91, 112, 157]. Построенные аналитические решения важны при тестировании алгоритмов приближенных и численных методов решения задач дифракции. Численным методам в задачах дифракции посвящена монография [80].

С появлением ЭВМ начали бурно развиваться численные методы краевых задач. Одно из важных направлений, возникающих при решении широкого класса задач дифракции упругих и акустических волн, состоит в сведении их к сингулярным и регулярным граничным интегральным уравнениям (ГИУ). Математические методы решения таких уравнений описаны в монографиях Бабешко В. А. [10], Воровича И. И. и Бабешко В. А. [77], Митра Р. и Ли С. [139], Партона В. 3. и Перлина П. И. [149], Сеймова В. М. [168], Угодчикова А. Г. и Хуторянского Н. М. [186] и других. Применение численных методов к решению ГИУ можно найти в монографии [80]. Важной особенностью данного метода ГИУ, в основе которого лежит классическая теория потенциала [127] является сведение краевой задачи в области к решению регулярных и сингулярных ГИУ и систем меньшей размерности. Однако это преимущество достигается за счет определенных потерь, в связи с тем, что получаемые для внешней задачи ГИУ неразрешимы на собственных частотах внутренней краевой задачи. Методы, позволяющие обойти указанную трудность, излагаются в монографии Колтона Д. и Кресса Р. [120]. Вместе с тем описанные ими методы носят больше теоретический характер разрешения вопросов существования и единственности решения и в задачах коротковолновой дифракции неприменимы из-за уплотнения спектра резонансных частот, на которых внешняя задача становится неразрешимой.

За последние годы появилось большое число работ, посвященных вычислительным аспектам решения ГИУ [73, 106, 211, 233, 234]. Численным способам расчета сингулярных интегралов посвящены работы [122, 166]. Методы дискретизации ГИУ в трехмерных задачах имеют существенные отличия от двумерного случая и рассматриваются в работах [73, 106]. Метод ГИУ получил свое развитие в работах Ватульяна А. О. и его учеников [60]. Для широкого круга задач ими сформулированы ГИУ первого рода с гладкими ядрами, основываясь на преобразовании Фурье и анализе характеристического многочлена оператора упругости на полярных многообразиях и не используя понятия фундаментальных решений. Гладкость ядер может нарушаться только на особых множествах задачи (ребрах, углах, точках смены граничных условий). Сочетая классические методы дискретизации МГЭ с методами регуляризации удается построить дискретный аналог ГИУ первого рода, достаточно хорошо аппроксимирующий исходный оператор. При этом обязателен учет структуры решения на этапе дискретизации для эффективного учета окрестностей особых точек. Этот метод применяется в работе Ватульяна А. О., Ворович И. И. и Соловьева А. Н. [61] для решения обратных задач.

Для слоистых сред с полостями и упругими включениями канонических форм методы ГИУ были развиты Ляпиным А. А. и Селезневым М. Г. [136, 137]. Дальнейшее развитие волновые задачи в областях сложной геометрии получили в монографии Гетмана И. П. и Устинова Ю. А. [82].

Применение метода ГИУ и основанного на ГИУ метода граничных элементов (МГЭ) [18, 117, 126, 211, 268, 269, 282] для решения высокочастотных задач сопряжено с большими вычислительными трудностями. С уменьшением длины волны необходимо увеличивать число граничных элементов для достижения приемлемой точности, а, следовательно, возрастает размер матрицы алгебраической системы (дискретного аналога ГИУ). Это приводит к резкому увеличению объема памяти, времени счета и ухудшению обусловленности системы. Описанное свойство МГЭ является не столько недостатком метода, сколько вызвано существом проблемы — сама коротковолновая задача неизмеримо сложней длинноволновой.

Пути решения этой проблемы связаны прежде всего с развитием более мощной вычислительной техники и разработкой специальных численно-аналитических [48] подходов в задачах с высокочастотными колебаниями.

Из многочисленных работ, посвященных дифракции на цилиндрических препятствиях с произвольной направляющей [70, 156, 164, 237, 285−289] выделим работы Тобокмана [285−289], в которых решение строится с использованием аппроксимации Паде и метода простых итераций, начинающихся с приближенного решения Кирхгофа. Численные результаты показывают эффективность аппроксимаций только для средних частот.

В работах [156, 164] решение для цилиндрической и осесимметричной полости в упругой среде получено в рядах.

Большое практическое применение в задачах теории дифракции получили приближенные подходы. К ним относятся борновское приближение [87] и приближение по Рытову [134, 165]. Эти подходы основаны на определенных требованиях к среде рассеивающей неоднородности. Так борновское приближение справедливо для слабых рассеивателей, а приближении по Рытову для плавной границы перехода среда — рассеиватель. В высокочастотной области колебаний акустических и упругих сред эффективным является применение методов геометрической оптики [41,81, 121, 124, 189, 208, 230, 299] и асимптотических методов [124, 239, 297, 299].

Развитие асимптотических методов решения задач дифракции неразрывно связанно с теорией, предложенной Кирхгофом. На основе физически ясных предположений основные свойства рассеянного поля находятся без трудоемкой процедуры решения ГИУ. Суть теории в том, что волновое поле в отверстии и на освещенной поверхности экрана принимают равным волновому полю в падающей волне. При этом не принимаются в расчет искажения волнового поля в непосредственной близости от границы отверстия. Предполагается также, что на теневой стороне экрана потенциал скорости и его нормальная производная равны нулю, как если бы экран был полностью поглощающим для дифрагированного поля. Эта теория, изначально предположенная для скалярных задач акустики, впоследствии была применена к задачам дифракции на трещинах в упругих средах [33, 210]. В диссертации эта теория обобщается для задач дифракции на полостях сложной невыпуклой формы, находящихся в упругой среде. Теория Кирхгофа дает хорошие результаты в случае, когда диаметр отверстия больше трех длин волн, а точка наблюдения удалена от плоскости экрана. Вблизи края решение Кирхгофа значительно отличается от точного решения. Учет формы дифрагирующего тела возможен при более точном учете граничных условий. При этом можно дополнить значение падающего поля граничными значениями, полученными из решения Зоммерфельда [109, 111].

Геометрической теории дифракции посвящены многочисленные работы [42, 57, 125, 170]. Наиболее полный обзор лучевых методов содержится в монографии [192] и в работах [13, 95]. Основы теории заложены Келлером [238]. Согласно этой теории, кривизна дифрагирующего края была учтена путем введения геометрооптического коэффициента расхождения. Приближение Келлера приводит к аналитическим формулам, которые хорошо согласуются с результатами точных расчетов. Его можно применить для отверстий произвольной формы даже в тех случаях, когда линейный размер отверстия соизмерим с длиной волны. Этот подход можно обобщить на случай рассеяния на цилиндрах с направляющей произвольной формы и на пространственных телах, ограниченных гладкими поверхностями. Метод состоит в том, что отраженное поле вычисляется по законам геометрической оптики, а дифракция на крае учитывается на основе законов дифракции. Дифрагированные лучи образуют конус, вершина которого лежит на дифрагирующем элементе, а осью является касательная к этому элементу. Падающий луч и «дифракционный конус» расположены с противоположных сторон плоскости, нормальной к краю элемента. Считается, что угловое распределение интенсивности дифрагированных лучей имеет точно такой же вид, как и при дифракции на полуплоскости, а для учета кривизны дифрагирующего края предполагается, что дифрагированные лучи расходятся так, как если бы они распространялись перпендикулярно краю.

Общий лучевой подход к решению задач коротковолновой дифракции в акустической среде состоит в том, что потенциал давления представляется в виде ряда по обратным степеням волнового числа [120, 125, 252]. В результате задача сводится к решению уравнений для эйконала и переноса, исследованию которых посвящены работы Рытова С. М. [165], Бабича В. М. и Булдырева В. С. [12]. Особенности лучевой теории упругих волн в твердом теле излагаются в монографии Ландау и Лифшица [133], а также в работах ученых киевской школы [156]. Однако отмеченный подход обладает некоторыми недостатками, к числу которых относится неприменимость лучевой теории для определения дифракционного поля на каустиках. Фок В. А. [190] использует для преодоления этого недостатка асимптотическую теорию ползущих волн. Он разработал подход, использующий функцию Эйри при описании волновых полей, имеющих конечное значение на каустике. Во многих работах методом разделения переменных звуковое поле произвольного источника представлено в виде интеграла по горизонтальным компонентам волнового вектора от решений волнового уравнения [12, 46, 57, 124]. Основным способом оценки полей по их интегральному представлению является асимптотический метод эталонных интегралов. Наиболее употребительным его вариантом является метод перевала или седловой точки [188]. Функция Грина в задачах коротковолновой дифракции содержит экспоненту с произведением в показателе большого значения волнового числа и медленно меняющейся функции. Основной вклад в рассеянное поле дает окрестность точки стационарной фазы, определяющий луч, приходящий в точку наблюдения. Фазовая функция в интегральном представлении звукового поля удовлетворяет уравнению эйконала, а амплитуда луча — уравнению переноса. Описание применения метода стационарной фазы для расчета локационного отражения волны от гладких выпуклых поверхностей препятствий излагается в монографии [195]. Локационное отражение от полостей с выпуклой гладкой границей в упругой среде исследовано в работах [97, 277].

При исследовании волновых полей в твердых телах важно учитывать, что скорость продольных волн в два раза больше, чем поперечных. В прикладных задачах УЗНК можно считать, что волны указанных двух типов распространяются в упругих средах независимо и взаимодействуют только на границе области. В задачах излучения волн различными датчиками на расстояниях порядка нескольких длин волн продольная и поперечная составляющие волнового поля разделяются и каждая из них определяется своим скалярным потенциалом из соответствующего уравнения Гельмгольца. Если моделировать нестационарную задачу о генерировании ультразвуковых волн в упругую среду датчиками с коротким импульсом (3−4 периода стандартной синусоиды) с помощью гармонического во времени процесса, одновременный учет продольной и поперечной составляющих поля внутри области является некорректным. Это связано с тем, что такой короткий импульс, посылаемый с границы области, порождает упругую волну, продольная компонента которой приходит в точку наблюдения примерно в два раза быстрее поперечной. Значит, во всех внутренних точках среды продольная и поперечная составляющие практически никогда на появляются одновременно. В связи с этим в УЗНК широко используется скалярная (жидкостная) модель.

Наряду с высокочастотными задачами в интегральной постановке в практически важных задачах УЗНК материалов весьма актуальными являются задачи высокочастотного рассеяния на препятствиях в локальной постановке.

Исследованию таких классических задач лучевыми методами в рамках геометрической теории дифракции (ГТД) для акустических сред посвящены монографии [12, 42, 45, 46, 87, 125] и работы [13, 43, 124, 146]. Для упругих сред решение задач рассеяния усложняется, и связано это с существованием в упругих средах двух типов волн: продольных и поперечных. В рамках ГТД рассмотрены задачи однократного отражения в монографиях и работах [81, 89−91, 105, 106, 164, 191, 202, 222, 257] в двумерном случае, а в [189, 191, 252] - в трехмерном. В задачах реконструкции формы невыпуклых препятствий или скопления препятствий в сплошных средах важен учет многократных переотражений высокочастотных волн [111, 240]. Методами ГТД в [197, 198] исследованы задачи двукратного переотражения для некоторых тел канонической формы в скалярной модели. В последних работах [222] задача рассеяния от конечного числа N сфер одинакового радиуса в акустической среде решается с помощью переразложения рядов. В работе [223] обсуждается вопрос ускорения сходимости рядов. В монографии [252] получена формула амплитуды давления в однократно отраженной высокочастотной акустической волне от поверхности акустически твердого рассеивателя произвольной формы.

В диссертации на основе модификации интегральных представлений методом стационарной фазы получены формулы для амплитуды переотраженных произвольное конечное число раз акустических волн и упругих волн с учетом их возможных трансформаций на произвольных гладких граничных поверхностях препятствий.

При исследовании различных проблем естествознания закономерным образом возникают два основных подхода в постановке задач — прямой и обратный.

При исследовании 03 математической физики предполагаются известными постановки ПЗ, каждая из которых может быть сопоставлена в рамках идентифицируемой модели с некоторым множеством 03.

В соответствии с принятой в механике математической моделью к причинным характеристикам относят граничные условия и их параметры, начальные условия, коэффициенты дифференциальных уравнений, а также геометрические характеристики области задания уравнений. Тогда следственные характеристики будут описывать состояния исследуемого объекта, под которыми обычно понимают поля физических величин той или иной природы.

Если по определенной информации о физических полях требуется восстанавливать некоторые причинные характеристики, то получаем ту или иную 03. Заметим, что 03, как правило, приводят к математически некорректным задачам [5, 16, 130, 131, 143, 181, 182, 183].

В соответствии с физическим смыслом искомой функции выделяют следующие типы 03 [4]:

1) ретроспективные задачи, заключающиеся в установлении предыстории данного состояния процесса;

2) граничные 03 — восстановление граничных условий или величин, в них входящих;

3) коэффициентные 03 — определение коэффициентов уравнений, описывающих те или иные процессы;

4) геометрические 03 — нахождение геометрических характеристик граничной поверхности.

Возможны комбинированные постановки 03.

Последние годы характеризуются ростом числа публикаций, посвященных обратным задачам дифракции. Этот интерес, особенно возросший в последние 20 лет, объясняется в первую очередь практической важностью таких исследований в радиолокации, акустике океана, медицинской ультразвуковой диагностике, ультразвуковом неразрушающем контроле. Обратным задачам математической физики посвящены монографии [55, 56, 94, 163, 193, 199] и статьи [9, 20, 21, 47, 75, 79, 184, 210, 216, 255, 290, 291, 295]. Решение обратных задач (ОЗ) связано с преодолением трех сложностей принципиального характера: некорректностью, нелинейностью и неединственностью.

Для решения некорректных задач применяется теория регуляризации Тихонова А. Н. [180−182] и подход Лаврентьева М. М. [130, 131], основанный на применении классических итерационных процедур, при этом погрешность входных данных связывается с номером итерации, на котором следует обрывать итерационный процесс. Этот подход использовался при численном решении ОЗ теплои массообмена [3, 4, 6−8]. Для решения нелинейных задач в основном применяется метод последовательных приближений Ньютона [147]. На каждом итерационном шаге задача сводится к линейной проблеме. Для решения линейных проблем с большим числом обусловленности используются методы регуляризации, специальные методы для решения плохо обусловленных задач [17] и достаточно универсальный вычислительный алгоритм Пэйджа — Саундерса [258], созданный на основе проекционных методов. В некоторых работах [108, 266] для решения некорректных нелинейных задач применяются методы глобального случайного поиска [108, 173]. Монография [5] посвящена экстремальным методам решения некорректных задач.

Вопросы существования и единственности рассматриваемых в диссертации 03 дифракции изложены в монографии Колтона Д. и Кресса Р. [120]. Численные аспекты решения некорректных задач исследуются в монографиях [4, 16, 86, 119, 180−182] и статьях [48, 141, 142, 258].

В диссертации разрабатываются методы решения одного из самых больших классов обратных задач — это обратные задачи рассеяния (ОЗР) и их приложения в УЗНК. Задача состоит в определении характеристик препятствий в сплошных средах (акустических, упругих) на основе рассеянного или волнового поля. Обзор литературы по ОЗР содержится в монографии Горюнова А. А. и Сасковца А. В. [87]. Важные результаты в ОЗР получены с применением борновского приближения в акустических средах и с использованием геометрической теории дифракциианализ их содержится в обзорах [49, 50, 95]. Борновское приближение или приближение Кирхгофа [192] вместе с высокочастотной асимптотикой дает возможность применять метод стационарной фазы [188] для получения лучевой формулы. В лучевой теории рассеянное поле обусловлено локальной геометрией [15, 152, 153.] рассеивающей поверхности в стационарных точках. В работах Емеца В. Ф. [99−103] борновское приближение применено для получения лучевой формулы и на этой основе исследуются ОЗР. Однако упрощенные модели не всегда адекватно описывают процесс рассеяния волн на препятствиях в сплошных средах.

Теоретические проблемы в практике УЗНК [77] связаны с геометрической обратной задачей (ГОЗ) дифракции о восстановлении формы препятствия по известному рассеянному на нем волновому полю. В этом направлении выделим статьи [48−54, 62, 64−69, 75, 85, 116 160, 161, 179, 184, 203, 204, 207, 209, 210, 214, 215, 217, 221, 223−226, 229, 235, 242, 247, 248 250, 270, 273, 290, 295]. Среди основных подходов к решению ГОЗ можно выделить разложение известной функции рассеяния в дальнем поле в ряд Фурье [167, 231]. Тогда коэффициенты разложения однозначно определяют рассеянное поле в виде сходящегося ряда во внешности наименьшего круга, содержащего отражатель. При этом граница неизвестного препятствия восстанавливается при соблюдении граничных условий. Для восстановления невыпуклых объектов применяется прием последовательного продолжения волнового поля рассеянной волны. Такой подход очень сложен в реализации, так же, как и вычисление суммы ряда рассеянного поля, когда точки лежат вблизи круга его сходимости. В [265] к решению рассматриваемой задачи применяется метод Ньютона и отмечается, что существуют диапазоны изменения длины волны, в которых предложенный метод теряет устойчивость. В [247] применяется подход, основанный на методе штрафных функций при минимизации невязки. Для каждого значения штрафного параметра минимизация осуществляется квазиньютоновским методом. В [217] доказывается некорректность рассматриваемой проблемы. Для ее исследования предлагается метод квазирешения, при котором решение разыскивается на некотором компактном множестве. В результате задача сводится к задаче условной минимизации функционала невязки.

Выделим подход [218, 219], который состоит в использовании целых функций, удовлетворяющих уравнению Гельмгольца. Задача сводится к минимизации неотрицательного функционала на компактном множестве. Применение данного подхода на практике вызывает затруднения, так как нужно знать амплитуду рассеяния в дальнем поле на некотором интервале значений волнового числа. Следует отметить, что методы решения, предложенные в большинстве из перечисленных выше работ, не являются универсальными в смысле их эффективности. Они теряют устойчивость либо при изменении длины волны, либо при изменении характера исходных данных, либо при увеличении вытянутости тела, либо при переходе от выпуклых тел к невыпуклым и т. д.

Существенным недостатком описываемых методов является неприменимость их в случае, когда известен лишь модуль рассеянного поля в дальней зоне. Кроме того, большинство из существующих подходов способны восстанавливать границу только звездной области, их применение к реальным трехмерным задачам в высокочастотной области приводит к существенному увеличению количества определяемых неизвестных, что неприменимо в реальном масштабе времени на используемых в УЗНК персональных компьютерах.

В работе [2] проведено теоретическое исследование практических возможностей алгоритма Новикова — Хенкина решения обратной задачи рассеяния методами функционального анализа.

Количество работ, посвященных ОЗР в упругих средах, значительно уступает количеству ОЗР в акустических средах. В этой связи отметим работы [52, 53, 62, 64−69, 71, 85, 101, 173, 184, 221, 225−228, 274, 275]. В рамках упругих моделей возможно более реально описать физический эксперимент по определению формы дефекта, его месторасположения, упругих констант и плотности. Решение строгих ОЗР связано в основном с алгоритмами, которые основаны в процессе своей реализации на многократном решении строгих прямых задач. Успешное решение прямых задач рассеяния во многом связано с применением аппарата ГИУ и основанного на нем МКЭ [64−69, 79, 174, 236, 278−281] Методы решения строгих геометрических ОЗР также связаны с методом ГИУ. В последнее десятилетие идут поиски выработки общих методов для решения геометрических ОЗР в строгой постановке. Отличительной чертой таких задач было то, что в них восстановлению подлежала сразу вся поверхность рассеивателя.

Одним из первых примеров удачного решения строгой геометрической ОЗР в дифракционной постановке является работа Воровича И. И. и Сумбатяна М. А. [79]. В качестве входной информации рассматривалась круговая диаграмма направленности при всевозможных углах падающего поля. Выделим основные моменты подхода, используемого авторами в этой работе. Во-первых, на основе метода ГИУ формулируются операторные уравнения ОЗ. Во-вторых, производится дискретизация операторных уравнений на основе МГЭ и задача сводится к поиску минимума неквадратичного функционала. Для нахождения минимума применяется классический итерационный метод последовательных приближений. На каждом итерационном шаге решается линейная проблема. Третьим моментом является использование при решении линеаризованного уравнения регуляризирующих алгоритмов. Конкретные примеры реконструкции выпуклых и невыпуклых объектов сложной формы показывают высокую эффективность предложенного алгоритма в области низких и средних частот колебаний.

В диссертации предложенный в статье [79] метод применяется на более сложные задачи реконструкции формы препятствий в упругих средах.

Пожалуй, первой попыткой отказаться от дифракционной постановки при решении строгих ОЗР являются работы японских ученых Танаки М., Накамуры М. и Ямагивы К. [279, 280]. Восстановлению здесь подлежит не только форма дефекта, но и место его расположения в упругой области.

В основе подхода, предложенного японскими авторами, лежит возможность сведения задачи об установившихся колебаниях упругих ограниченных сред к ГИУ. Далее эти ГИУ линеаризуются в окрестности задачи с известным дефектом, который предполагается близким к искомому. В качестве меры близости используется расстояние по нормали между известной границей дефекта и искомой. Эта функция находится из решения линеаризованных уравнений и дает возможность уточнить начальную форму дефекта. Многократное применение линеаризованной схемы предполагает стремление итерационной последовательности получаемых форм к искомой форме. При дискретизации линеаризованных интегральных уравнений, используемых МГЭ, этот метод также эффективен в области низких и средних частот, но при численной реализации требует затрат машинного времени больше, чем [79].

Цель работы состоит в 1) получении в рамках исследования прямых задач высокочастотного рассеяния на основе асимптотических методов аналитических выражений характеристик отраженных произвольное конечное число раз высокочастотных волн от поверхностей системы препятствий, находящихся в акустических и упругих средах;

2) разработке модификации метода граничных интегральных уравнений в задачах рассеяния высокочастотных волн на поверхностях препятствий сложной невыпуклой формы, находящихся в упругой среде;

3) развитии метода решения геометрической обратной задачи рассеяния в дифракционной постановке о реконструкции формы невыпуклого препятствия, находящегося в упругой среде;

4) разработке новых методов решения геометрических обратных задач рассеяния в лучевом приближении о восстановлении граничных поверхностей дефектов сложной невыпуклой формы, находящихся в упругой среде.

Основные научные положения, выносимые на защиту.

На защиту выносится модификация метода граничных интегральных уравнений в задачах рассеяния высокочастотных волн на поверхностях препятствий сложной невыпуклой формы, находящихся в упругой средеаналитические выражения характеристик отраженных произвольное конечное число раз высокочастотных волн от поверхностей системы препятствий, находящихся в акустических и упругих средах, полученные на основе асимптотических методовразработка и развитие методов решения геометрических обратных задач рассеяния в дифракционной постановке и в лучевом приближении о реконструкции граничных поверхностей дефектов сложной невыпуклой формы, находящихся в упругой среде.

Методика исследований поставленных в диссертации прямых и обратных задач высокочастотной динамики упругих сред основана 1) на интегральных представлениях их основных искомых характеристик и применении к их анализу асимптотических методов;

2) на методе граничных уравнений и его модификации в высокочастотной области колебаний с учетом механических особенностей взаимодействия волнового поля с граничной поверхностью объекта сложной невыпуклой формы;

3) на сведении геометрических обратных задач рассеяния в дифракционной постановке к нелинейным системам интегральных уравнений, для которых разрабатывается метод градиентного спуска с квадратичной аппроксимацией на каждом шаге;

4) на сведении геометрических обратных задач высокочастотного рассеяния в лучевом приближении к нелинейному дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка известной геометрической проблемы Минковского в специальной системе координат, для которого построены точные аналитические решения и разработаны численные методы.

В первых трех главах диссертации исследуется классическая задача рассеяния высокочастотной волны от точечного источника, находящегося в акустической или упругой среде на поверхности одного рассеивателя или поверхностей системы рассеивателей с учетом возможных переотражений.

В главе 1 рассматривается двумерная задача о рассеянии высокочастотных продольных и поперечных волн на криволинейных контурах полостей, находящихся в упругой среде.

1. В рамках двумерной задачи динамической теории упругости исследовано высокочастотное рассеяние продольной и поперечной волн на криволинейной замкнутой гладкой границе полости, находящейся в изотропной упругой среде. Падающая высокочастотная круговая волна обусловлена сосредоточенной силой, изменяющейся во времени по гармоническому закону. На основе оценки дифракционного интеграла Кирхгофа методом стационарной фазы получен главный член асимптотики перемещений в отраженных продольной и поперечной волнах.

2. Исследовано высокочастотное рассеяние упругих волн на граничных контурах системы двух полостей, находящихся в безграничной упругой среде. Для двукратно отраженных волн изучены все случаи переотражений с учетом возможных трансформаций волн: продольной в поперечную и поперечной в продольную.

3. На основе асимптотической оценки кратных интегралов Кирхгофа методом многомерной стационарной фазы получены главные члены асимптотики перемещений в переотраженных произвольное конечное число раз упругих волн с учетом их возможных трансформаций на граничных поверхностях систем полостей, находящихся в упругой среде.

Глава 2 посвящена развитию лучевой теории дифракции применительно к произвольным невыпуклым гладким препятствиям в скалярном случае. Рассматривается трехмерная задача. Излагается асимптотический метод оценки дифракционных интегралов, основанный на методе многомерной стационарной фазы. Дифракционные интегралы получены на основе обобщения физической теории дифракции Кирхгофа. Получены явные формулы для давления в отраженной волне в случаях её однократного, двукратного и произвольного конечного числа переотражений.

В главе 3 рассматривается классическая задача рассеяния высокочастотных волн от точечного источника в упругой среде на расположенной в ней полости или системе полостей. Полости ограничены произвольными гладкими поверхностями. Изучены случаи однократного отражения продольной и поперечной волн с учетом их трансформаций на граничной поверхности и многократные отражения с различными возможными трансформациями упругих волн: продольной в поперечную и поперечной в продольную. Для исследования задачи развит метод, основанный на оценке дифракционных интегралов методом многомерной стационарной фазы. На основе разработанного метода получены в замкнутом виде главные члены асимптотики перемещений дифрагированного поля в случаях однократных и многократных отражений.

В главе 4 разработаны усовершенствованные численные методы, эффективные для высокочастотных прямых и обратных задач рассеяния динамической теории упругости.

В параграфе 4.1 разрабатывается модификация метода граничных интегральных уравнений для исследования двумерных задач высокочастотного рассеяния на препятствиях с произвольным гладким контуром, находящихся в упругой среде.

В параграфе 4.2. на основе четырехкратного дифракционного интеграла Кирхгофа разработан прямой численный метод в трехмерной задаче коротковолновой дифракции сферической волны с учетом её двукратного переотражения на системе двух абсолютно твердых шаровых препятствий, находящихся в безграничной акустической среде.

В параграфе 4.3 рассматривается обратная задача дифракции о восстановлении формы полости по рассеянному на ней волновому полю. Задача в такой постановке относится к геометрическим обратным задачам рассеяния (ОЗР) и имеет важные прикладные приложения в ультразвуковом неразрушающем контроле (УЗНК). Задача сведена к системе трех нелинейных уравнений относительно трех неизвестных функций. В связи с тем, что соотношение для рассеянной волны в дальнем поле является интегральным уравнением 1-го рода с гладким ядром, задача является некорректной по Тихонову. Поэтому для решения задачи следует применять один из методов регуляризации. Алгоритм реконструкции состоит в минимизации неквадратичного функционала невязки уравнений. Минимизация осуществляется итерационным методом градиентного спуска с использованием для него на каждом шаге квадратичной аппроксимации. Показывается, что предложенный подход не совпадает ни с методом Левенберга — Маркардта, ни с методом регуляризации Тихонова, ни с другими известными методами.

В главе 5 разрабатываются новые методы реконструкции полостей невыпуклой формы, находящихся в упругой среде. Эти методы базируются на реально измеряемых в процессе практического сканирования двух величинах. Предполагается, что при облучении полости в эхо-режиме высокочастотными монохроматическими волнами в любом направлении известными являются время прихода эхо-сигнала и вещественная амплитуда отраженной волны. Обратная задача высокочастотного рассеяния формулируется с использованием методов дифференциальной геометрии. Форма неизвестной граничной поверхности полости задается опорной функцией Минковского в координатах нормали к поверхности. Относительно функции Минковского [19, 154, 155] дан вывод основного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка в частных производных. Для осесимметричных поверхностей препятствий получено точное аналитическое обращение оператора обратной задачи в форме повторного интеграла по угловой координате. В общем случае граничных поверхностей предлагается численный метод решения основного уравнения. Приведены примеры восстановления формы как осесимметричных полостей, так и полостей сложной невыпуклой формы.

В заключении представлены основные результаты и выводы по исследованиям, изложенным в диссертации.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 27 работ [22−40, 174−178, 274−275, 294], из них 11 работ [25, 27, 29, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 174, 175] в изданиях, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки РФ для опубликования результатов докторских диссертаций и 3 [274, 275, 294] работы в ведущих западных журналах (список публикаций приводится в конце автореферата). Часть из этих основных работ выполнена в соавторстве с коллегами.

В работах [36, 174, 175], посвященных разработке методов восстановления формы дефекта по рассеянному волновому полю в упругой среде, Сумбатяну М. А. принадлежит формулировка обратной задачи и разработка метода ее решения для скалярной модели. Диссертанту принадлежит постановка и разработка аналитических и численных методов решения геометрической обратной задачи о реконструкции формы полости, находящейся в упругой среде в двумерном, осесимметричном, пространственном случаях, а также численная реализация построенных алгоритмов. В работах [35, 274], посвященных высокочастотному рассеянию акустических и упругих волн на препятствиях в сплошных средах, Сумбатяну М. А. принадлежит постановка задачи коротковолновой дифракции акустических волн и исследование двумерной скалярной задачи с учетом переотражений. Диссертанту принадлежит постановка и исследование двумерной задачи в случае однократного и двукратного отражения упругих волн с учетом трансформаций на граничном контуре, а также решение пространственной задачи дифракции акустических волн при произвольном числе переотражений.

В работах [33], [294], посвященных прямым и обратным геометрическим задачам в сплошных средах академику РАН Воровичу И. И. принадлежит выбор методов исследования. Сумбатяну М. А. принадлежит разработка модификации метода ГИУ для объектов, находящихся в акустической среде, сведение обратной задачи к проблеме Минковского в декартовых координатах нормали к поверхности. Диссертанту принадлежит разработка модификации метода ГИУ для полостей в упругой среде, получение основного дифференциального оператора Минковского в географической системе координат и точное обращение оператора обратной задачи в двумерном и осесимметричном случаях, а также разработка пошагового численного метода решения пространственной обратной задачи и численная реализация алгоритмов.

В работе [32], посвященной восстановлению контура невыпуклых препятствий в коротковолновой области, Сумбатяну М. А. принадлежит сведение обратной задачи к задаче дифференциальной геометрии. Ватульяну А. О. принадлежит метод фильтрации квадрата амплитуды отраженной волны. Диссертанту принадлежит разработка метода решения двумерных обратных задач и его численная реализация для полостей сложной невыпуклой формы.

В работе [34], посвященной реконструкции дефекта сложной формы по известному времени прихода отраженной ультразвуковой волны, диссертанту принадлежат идея и метод решения задачи, метод реконструкции и получение аналитических формул выпуклой оболочки полости, разработка численного метода использования этих формул для реконструкции формы полости при практическом сканировании. Зотову В. М. принадлежит проведение эксперимента и получение экспериментальных данных. Трояну Э. А. принадлежит реализация численного метода.

В работе [275], посвященной математическому моделированию в практике УЗНК, Сумбатяну М. А. принадлежит разработка метода точного расчета волнового поля преобразователя, работающего на продольных волнах и расчет АРД-диаграмм для монетообразной трещины при ее озвучивании наклонным преобразователем, работающем на поперечных волнах. Диссертанту принадлежит разработка модификации метода ГИУ в двумерной задаче высокочастотного рассеяния контуром полости сложной невыпуклой формы, находящейся в упругой среде.

Работа выполнена при частичной поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (коды проектов — 95−01−240а, 97−100 633, 00−01−313, 05−01−155а), гранта ШТАЗ/А^Ьив № 04−80−7043, гранта Президента РФ для поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ № НШ-2113.2003.1 и государственного контракта № 02.445.11.7042 (Федеральное агентство по науке и инновациям, Ведущая научная школа, шифр работы РИ — 112 / 001 / 428).

Автор выражает искреннюю признательность и благодарность своим научным консультантам, доктору физико-математических наук, профессору Устинову Ю. А. и доктору физико-математических наук, старшему научному сотруднику Сумбатяну М. А. за постоянное внимание и помощь в работе.

Основные результаты и выводы исследований, изложенных в диссертации.

1. В рамках двумерной и трехмерной задач динамической теории упругости на основе интегральных представлений исследована задача в локальной постановке о высокочастотном рассеянии волн на граничных поверхностях системы полостей, находящихся в бесконечной изотропной упругой среде, в замкнутом виде получены главные члены асимптотики перемещений в отраженной волне, претерпевшей конечное число отражений.

2. Асимптотической оценкой дифракционных интегралов Кирхгофа методом многомерной стационарной фазы в замкнутом виде получен главный член асимптотики решения в отраженной произвольное конечное число раз высокочастотной акустической волне от поверхности рассеивателя в скалярном случае.

3. Разработана модификация метода граничных интегральных уравнений для исследования двумерных задач высокочастотного рассеяния на полостях с произвольным невыпуклым гладким контуром, находящихся в упругой среде.

4. Численным и асимптотическим методами исследовано высокочастотное двукратное переотражение сферической волны от двух сферических рассеивателей в скалярном случае, показана эффективность асимптотического решения в области высоких частот.

5. На основе граничных интегральных уравнений развит метод геометрической обратной задачи рассеяния в дифракционной постановке о реконструкции формы невыпуклого препятствия, находящегося в упругой среде.

В лучевом приближении обратная задача о реконструкции формы невыпуклого препятствия в упругой среде сведена к проблеме Минковского о восстановлении формы поверхности рассеивателя по известной гауссовой кривизне. В двумерном и осесимметричном случаях получено точное обращение оператора обратной задачи. Разработан алгоритм восстановления формы невыпуклых двумерных препятствий с негладким граничным контуром положительной кривизны в лучевом приближении.

На основе опорной функции Минковского построены аналитические выражения для декартовых координат точек выпуклой оболочки рассеивателя. Для случая практического кругового сканирования в эхо-режиме разработан алгоритм, позволяющий построить выпуклую оболочку дефекта невыпуклой формы в упругом теле по времени прихода обратной волны, известному для различных углов сканирования.

Разработан пошаговый численный метод реконструкции формы неосесимметричного невыпуклого препятствия, замкнутая поверхность которого составлена из кусков выпуклых поверхностей, имеющих общую линию пересечения.