Асимптотические свойства условных распределений непрерывных смесей

Работа посвящена изучению класса непрерывных смесей вероятностных мер в бесконечномерных пространствах. В центре внимания находятся условные проекции таких мер: рассматриваются их асимптотические свойства и предельные теоремы для сумм случайных величин, порожденных этими проекциями. Особое внимание уделяется свойствам дифференцируемости изучаемых мер и вычислению их логарифмических производных. Кроме того для логарифмических производных таких мер установлены некоторые результаты о независимости, на основе которых доказаны усиленные законы больших чисел.

Вообще различные свойства смесей вероятностных распределений изучались в работах [27], [28], [22], [20], [41]. Известно, (см. [15], стр. 285, [22], [23], стр. 52) что одномерные смеси, в частности, возникают в результате случайного сумирования случайных величин и играют важную роль во многих приложениях. Смеси в бесконечномерных пространствах можно в свою очередь при определенных условиях рассматривать как результат случайного суммирования случайных процессов.

Изучение условных распределений представляет интерес в связи с так называемыми преобразованиями независимости. Один из вариантов такого преобразования был введен М. Розенблаттом (см. [55]). В настоящей работе изучаются свойства преобразований независимости, которые выражаются через условные распределения. Практически условные функции распределения позволяют записать уравнения для условных квантилей (§ 5 главы 1), которые широко применяются в математической статистике. Кроме того системы, полученные в результате рассматриваемых преобразований независимости, являются в определенном смысле биортогональными. В теории случайных процессов хорошо известны биортогональные гауссовские случайные поля. Системы векторов, биор-тогональные в классическом смысле, используются как в анализе так и в приложениях, например, в теории приближенных решений ОДУ. Отметим также, что практические применения преобразований независимости негауссовских случайных величин и связанных с ними статистических методов в задачах фильтрации изображений и нелинейной регрессии ранее рассматривались в работах С. Я. Шатских, О.В. Горяч-кина, Е. М. Кнутовой, А. Н. Комлева.

В первой главе изучается схема серий асимптотически независимых случайных величин, порожденных конечномерными условными распределениями меры Стьюдента и устойчивых эллиптически-контурированных мер. Для нормированных сумм таких серий в случае, когда размерность условных распределений стремиться к бесконечности, установлена слабая сходимость к гауссовскому распределению. Ранее, в работах [41], [45] для таких серий был установлен усиленный закон больших чисел. В § 1 настоящей главы рассматривается мера Стьюдента, порождающая семейство конечномерных распределений, которые строятся с использованием произвольного ортонормированного базиса гильбертова пространства. Доказана ЦПТ для упомянутых выше нормированных сумм. Также показано, что формулировка ЦПТ существенно зависит от выбора базиса. § 2 посвящен случаю устойчивой эллитически-контурированной меры. В этом случае, когда базис выбран специальным образом (собственный базис оператора, порождающего меру), формулировка теоремы приобретает классический вид.

В § 4 настоящей главы доказана зависимость (в пределах одной серии) системы случайных величин, для которых сформулированы предельные теоремы. Также показано, что характер этой зависимости не позволяет тривиально получить результаты настоящей главы из ранее известных. Именно: показано, что изучаемые случайные величин в пределах одной серии не является ассоциированными, стационарными. В то же время в случае собственного базиса (§ 2), они оказываются перестановочны, и ЦПТ в этом случае является следствием работ [58], [53]. Однако, доказательства, сформулированных там теорем, в общем случае достаточно сложны. В случае нашей модели предложенное доказательство (теоремы 1.3) вполне простое.

Некоторые результаты главы были опубликованы в [32], [33], [35], [36].

Во второй главе рассматриваются сферически-симметричные меры, совпадающие с классом непрерывных смесей гауссовских мер на локально выпуклом пространстве. Приведенные в этой главе результаты о сходимости условных проекций этих мер к гауссовским являются обобщениями работы С. Я. Шатских [41] об устойчивых эллиптически конту-рированных мерах на гильбертовом пространстве.

Третья глава полностью (кроме § 5, § 6) посвящена логарифмическим производным симметрических мер на пространстве последовательностей Мы рассматриваем симметрические меры на пространстве последовательностей как непрерывные смеси вообще говоря негауссовских распределений, для которых изучаются вопросы их дифференцируемости, а также, вероятностные свойства логарифмических производных. В § 3 получены явные формулы для вычисления логарифмических производных изучаемых мер, а также, доказаны свойства независимости преобразованной системы логарифмических производных вдоль координатных векторов и усиленный закон больших чисел. В частности, рассмотрен важный класс а-симметричных мер (непрерывных смесей устойчивых распределений), изучавшихся в работе [50].

Хорошо известна формула для вычисления логарифмических производных сферически-симметричных мер (непрерывных смесей гауссовских мер, см. представление Шенберга, например, в [13]) на локально выпуклом пространстве (см. [27], [28], [3], стр.283- также, см. дополнения). В первых двух цитируемых работах приведен явный вид формулы логарифмической производной гауссовской смеси, в котором фигурирует случайная величина, введенная в [41] как в^х) и появляющаяся в результатах работ [41], [42], [19], [43]. Как показано в [41], распределение б^х) относительно рассматриваемых сферически-симметричных мер выполняет роль смешивающего распределения. В [20] доказаны характерные общие свойства этой случайной величины (точнее, почти наверное совпадающего семейства этих величин) для класса симметрических распределений. В § 2 настоящей главы рассматриваются различные способы явного задания смешивающей величины Зоо (ж), наряду с ранее используемым. Ранее УЗБЧ и результаты о независимости рассматривались в [42] (для сферически-симметричных мер в гильбертовом пространстве) и в [19] (для меры Стьюдента).

В § 4 главы приведены примеры использования полученных результатов для явного вычисления логарифмических производных сферически-симметричной меры (смеси гауссовских распределений), 1-симметричной меры (смеси распределений Коши), смеси показательных распределений. Также в качестве иллюстрации теорем о независимости и усиленного закона больших чисел приведены соответствующие соотношения для логарифмических производных 1-симметричных распределений. Основные результаты главы были опубликованы в [31].

§ 5, в отличие от предыдущих параграфов этой главы, посвящен логарифмическим производным гауссовских смесей на локально выпуклом пространстве, изучавшимся, как упомняуто выше, в работах [27], [28]. Именно, в данном параграфе получены результаты о независимости и усиленный закон больших чисел для таких логарифмических производных. Эти результаты, с одной стороны, являются следствием результатов главы 2, а с другой стороны, согласуются с результатами предыдущих параграфов главы 3. Необходимо отметить, что связь результатов главы 2 для устойчивых мер в гильбертовом пространстве с логарифмическими производными этих мер, впервые получена в работе [42]. Наконец, в § 6 рассмотрен вариант ЦПТ для случая меры на ЛВП.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, профессору, доктору физико-математических наук Сергею Яковлевичу Шатских за постоянную помощь и полезные советы при подготовке диссертации.

1. Авербух В. И., Смолянов О. Г., Фомин C.B. Обобщенные функции и дифференциальные уравнения в линейных пространствах — Тр. ММО, 1971, вып. 24, с. 132−174.

2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1, М.: Наука, 1973, 296 с.

3. Богачев В. И. Гауссовские меры. М.: Наука, Физматлит, 1997. — 352 с.

4. Богачев В. И. Основы теории меры. Т.1. — Москва-Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамикаИнститут компьютерных исследований, 2006. — 584 с.

5. Богачев В. И. Основы теории меры. Т.2. — Москва-Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамикаИнститут компьютерных исследований, 2006. — 680 с.

6. Богачев В. И. Несколько результатов о дифференцируемых мерах// Мат. сб. 1985. Т. 127, № 3. С. 336−351.

7. Богачев В. И., Смолянов О. Г. Аналитические свойства бесконечномерных распределений! Успехи мат. наук. 1990. Т.45, JV83. С. 3−83.

8. Боровков A.A. Теория вероятностей. М.: Наука, 1986, 432 с.

9. Булинский A.B., Вронский М. А. Статистический вариант цеп-тральной предельной теоремы для ассоциированных случайных полей. // Фундаментальная и прикладная математика. 1996., Т.2, № 4, стр. 999−1018.

10. Булинский A.B., Шашкин А. Предельные теоремы для ассоциированных случайных полей и родственных систем. М.: Физматлит, 2008. — 480 с.

11. Булинский A.B., Ширяев А. Н. Теория случайных процессов. -М.:ФИЗМАТЛИТ, 2005. 408 с.

12. Вахания H.H. Вероятностные распределения в линейных пространствах. Тбилиси: Мецниереба, 1971.

13. Вахания H.H. Тариеладзе В. И. Чобанян С.А. Вероятностные распределения в банаховых пространствах. М.: Наука, 1985. — 368 с.

14. Гихман И. И. Скороход A.B.

Введение

в теорию случайных процессов. 2-е изд., М.:Наука, 1977, 570 с.

15. Гнеденко Б. В Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988, 448 с.

16. Го Х.-С. Гауссовские меры в банаховых пространствах. М.:Мир, 1979, 176 с.

17. Дынкин Е. Б. Классы эквивалентных случайных величин.//УМН, 54 (8), 1953, с.125−134.

18. Золотарев В. М. Одномерные устойчивые распределения М.: Наука, 1983. — 304 с.

19. Кнутова Е. М. Асимптотические свойства стьюдентовских условных распределений в гильбертовом пространстве// Вестник Сам-ГУ. 2001. — № 4(22). — С. 42−55.

20. Кнутова Е. М. Шатских С.Я. Асимптотические свойства условных квантилей для одного класса симметрических распределений на пространстве К30// Обозрение прикладной и промышленной математики, 2000, т. 7, в. 2, с. 495−496.

21. Кнутова Е. М. Воспроизводимость условных квантилей многомерного распределения Стьюдента// Изв. РАЕН. Серия МММИУ. 1997. Т.1. № 1. С. 36−58.

22. Круглое В. М. Смеси вероятностных распределений//Вестник моек, ун-та, сер. 15, ВМиК, 1991, 2, с. 3−15.

23. Круглов В. М., Королев В. Ю. Предельные теоремы для случайных сумм. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990. — 269 с.

24. Куратовский К. Топология. Т.1.М.: Мир, 1966, 719 с.

25. Лифшиц М. А. Гауссовские случайные функции Киев: TBiMC, 1995. — 246 с.

26. Муштари Д. Х. Вероятности и топологии в банаховых пространствах. Казань, 1989, — 152 с.

27. Норин Н. В., Смолянов О. Г. Несколько результатов о логарифмических производных мер на локально выпуклом пространстве// Ма-тем. заметки. 1993. — Т.54. — № 6. — С. 135−138.

28. Норин Н. В. Свойства дифференцируемости смесей гауссовских мер// Обозрение прикладной и промышленной математики. Редакция журнала «ОП и ПМ». 2006. Т.13, вып. 6. С. 983−992.

29. Прохоров A.B., Ушаков В. Г., Ушаков Н. Г. Задачи по теории вероятностей: Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы. М.: Наука, 1986, 328 с.

30. Савинов Е. А. Асимптотические свойства конечномерных условных распределений сферически-симметричных мер на локально выпуклом пространстве// Известия вузов: Математика. 2005. № 3. С. 71−78.

31. Савинов Е. А. Логарифмические производные симметричных распределений в пространстве последовательностей и их вероятностные свойства// Вестник СамГУ. 2004. Спец. вып. С. 36−48.

32. Савинов Е. А., Шатских С. Я. Центральная предельная теорема для случайных величин, порожденных условными распределениями а-аддитивной меры Коши// Вестник СамГУ. 2005. № 6(40). С. 51−59.

33. Савинов Е. А., Шатских С. Я. Центральная предельная теорема для случайных величин, порожденных условными распределениями проекций устойчивой меры на гильбертовом пространстве // Вестник СамГУ. 2007. № 9/1. С. 121−127.

34. Скороход A.B. Интегрирование в гильбертовом пространстве.-М.: Наука, 1975. 232 с.

35. Федорюк М. В. Асимптотика: интегралы и ряды. М.:Наука, 1987.

36. Феллер В.

Введение

в теорию вероятностей и ее приложения. Т.2. М.: Мир, 1984. — 738 с.

37. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3, М.: Наука, 1969, 656 с.

38. Шатских С. Я. Устойчивые эллиптически контурированные меры в гильбертовом пространстве: асимптотические свойства условных распределений! I Изв. РАЕН серия МММИУ. 1999. — Т.З. — № 3. -С. 43−81.

39. Шатских С. Я. Некоторые свойства логарифмических производных эллиптически контурированных мер// Вестник СамГУ. 2001. -№ 4(22). — С. 109−114.

40. Шатских С. Я., Кнутова Е. М. Асимптотические свойства условных квантилей устойчивого сферически симметричного распределения с показателем, а = 2/3// Вестник СамГУ. 1998. — № 4(10). — С. 102−119.

41. Шатских С. Я. Об одном варианте преобразования независимости ~ Теория вероятн. и ее примен., 1992, т. 37, в. 4, с. 815−816.

42. Шатских С. Я. Усиленный закон больших чисел для схемы серий условных распределений эллиптически контурир о ванных мерТеория вероятн. и ее примен., 2005, т. 50, в. 2, с. 291−312.

43. Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции одного переменного. М.: Наука, 1969. — 528 с.

44. Ширяев А. Н. Вероятность-1. М.: МЦНМО, 2004. — 520 с.

45. Ширяев А. Н. Вероятность-2. М.: МЦНМО, 2004 — 408 с.

46. Вероятность и математическая статистика: энциклопедия. Гл.ред. Ю. В. Прохоров. М.: Большая Российская энциклопедия, 1999. — 910с.

47. Bretagnolle J., Dacunha-Castelle D., Krivine J.L. Lois stables et espaces LP. Ann. Inst. H. Poincare, 1966, v. ll, n.2, p.231−259.

48. Bulinski A., Shashkin A. Limit theorems for associated random fields and related systems. Advanced series on statistical science and applied probability — v. 10, 2007, 436 p.

49. Dedecker J., Doukhan P., et al. Weak Dependence: With Examples and Applications. // Lecture Notes in Statistics. 190. Springer., 2007, 318 c.

50. Fortini S., Ladelli L., Regazzini E. A central limit poblem for partially exchangeable random variables. // Теория вероятн. и ее примен., 1996, т. 41, в. 2, с. 353−379.

51. Norin N.V. Ito-Wick decomposition for the mixtures of gaussian measures)/ Frontiers in Pure and Appl. Probab. II. 1996. p.153−162.

52. Rosenblatt M. Remarks on multivariate transformation. Ann. Math. Stat., 1952, v.23, p. 470−472.

53. Shatskih S.Ya. Asymptotic properties of conditional quantiles of the Cauchy distribution on Hilbert space // Journal of Math. Sciences, NY, v. 93, 4, 1999, p.574−581.

54. Shatskikh S.Ya. Conditional quantiles of Gaussian measures in Hilbert spacej/ Journal of Mathematical Sciences, NY, v.89, 5, 1998, p. 15 531 558.

55. Weber N.C. A mrtingale approach to central limit theorems for exchangeable random variables. J.Appl. Probab., 1980, v.17, p. 662 673.

56. Stochastic Processes: Theory and Methods. Handbook of statistics, v.19, ed. by D.N. Shanbhag, C.R. Rao, 2001, 967 p.