Функционально-дифференциальные уравнения второго порядка с быстро убывающими решениями в гильбертовом пространстве

Впервые дифференциально-разностное уравнение вида у'(х) = у (х-1) было рассмотрено Кондорсе в 1771 году в связи с геометрической задачей Эйлера о нахождении линии, подобной своей эволюте. Далее никто не рассматривал уравнения такого типа, не были сформулированы теоремы общей теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, в литературе не было даже четкой постановки задачи. Это впервые сделал А. Д. Мышкис в своей диссертации «Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом» (1949;1950).

Начальным этапом было изучение скалярных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Ими занимались А. Д. Мышкис [33], С. Б. Норкин [34], Л. Э. Эльсгольц [44], Э. Пинни [36], Р. Беллман, К. Кук [16], Н. В. Азбелев [2], А. М. Зверкин, Г. А. Каменский, В. Хан и другие. При исследовании дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием, в основном, применялось преобразование Лапласа и метод шагов.

В последние годы широкое развитие получили исследования по операторно-дифференциальным уравнениям в различных пространствах. В числе книг, где с единой позиции трактовались многочисленные вопросы современной теории функционально-дифференциальных уравнений, можно назвать монографию Дж. Хейла [38]. Исследованиями дифференциально-разностных и функционально-дифференциальных уравнений путем изучения обратимости соответствующих операторов занимался Курбатов В. Г. [29]. Классическими стали результаты исследований Э. Хилле, Р. Филлипса [39], К. Иосиды [22], Т. Като [23] в этом направлении, которыми были получены первые теоремы существования решений задачи Коши для уравнения вида первого порядка с неограниченным оператором в банаховом пространстве, сформулированные в терминах полугрупп операторов.

Следующим шагом в развитии теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом стала работа Т. Като [24], в которой получена теорема существования решения задачи для уравнения вида х'(/) = А (0х (0 с переменным неограниченным оператором А (().

Задачу Коши для операторов более широкого класса изучили С. Агмон и Л. Ниренберг [1]. Ими же были получены асимптотические формулы для решений экспоненциального роста. Такие же результаты были получены А. Пази [35] для уравнения, коэффициенты которого отличаются от постоянных на экспоненциально убывающие слагаемые.

Власов В.В. [17,18] рассмотрел корректную разрешимость начально-краевых задач на полуоси для некоторых классов функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, включающих в себя интегро-дифференциальные, а также дифференциально-разностные уравнения с операторными коэффициентами.

Дальнейшим шагом было изучение Р. Г. Алиевым в работах [3−7] абстрактных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом с неограниченными операторными коэффициентами вида т.

А <0 —? л «)и (г — к, (0) = ДО (1) у-о в гильбертовом пространстве, которые являются обобщением уже изученных уравнений с отклоняющимся аргументом. Были рассмотрены вопросы существования, единственности решения уравнения (1), устойчивость и асимптотическое поведение решений при ^ —> °о.

Р. Чаном [40−42] было рассмотрено уравнение произвольного порядка вида л-1 гп Г «I.

А" «(0 — ЕЕ к + 4 (Ф>е — К — К (')) = ДО. (2) в случае постоянных Ак. и малых в некотором смысле Ак.(1). Им были получены необходимые и достаточные условия существования единственного решения уравнения (2) в случае, когда ДДО = = 0, к > 0, у > 0. В случае маловозмущенного уравнения вида (2) получены достаточные условия однозначной разрешимости. Эти вопросы исследованы как в случае всей оси / е Я, так и полуоси / > /0 > —со, то есть в случае начальной задачи. Исследована также нормальная разрешимость уравнения (2) в случае всей оси.

Я.

В работах Эмировой И. С. [45−47] рассмотрен вопрос о разрешимости уравнения.

— 1 т.

АЧ0-Е1Л.(ОА'иС -(0) = ДО (3) к=О у=0 с произвольными операторными коэффициентами ДДО и произвольными отклонениями аргумента кк. на полуоси t >t0> —со. При этом предполагается для (решение заданным.

Ч0 = + = к = 0,., п-. (4).

Доказана непрерывная обратимость оператора, порождаемого задачей (3), (4) в некоторых пространствах, а также получена оценка для ее решения.

Дыдымова Х.И. [19] - [21] рассмотрела вопрос о разрешимости уравнения.

1 т к=О у=0 на полуоси i >t0 > —оо. Доказаны теоремы существования, единственности и асимптотическая устойчивость решения данного уравнения. Также рассмотрен вопрос разрешимости функционально-дифференциального уравнения с линейным отклонением аргумента на полуоси.

Вопросу существования решений, убывающих быстрее экспоненты уравнения.

1 du. , ч.

— — -Аи (0 = 0, (5) i at посвящена работа Р. Г. Алиева [3]. Доказанные в этой работе теоремы могут быть истолкованы как результаты, аналогичные классической теореме Фрагмена-Линделефа, которая для гармонической в полуполосе 0 < х < 1, t > 0 функции и{рс, t), удовлетворяющей граничным условиям u (0,t) = м (1,/) = 0, утверждает, что если она ограничена в данной полуполосе, то она убывает экспоненциально (по t).

П.Д. Лаке [30] распространил эту теорему на решения эллиптического уравнения, коэффициенты которого не зависят от t, вследствие чего пространство решений этого уравнения становится инвариантным относительно сдвига по t. Лаке доказал, что если S — инвариантное относительно сдвига внутренне компактное пространство, то существует такое положительное число а, что для всех u (t) gS u (t)Pdt < оо, ]||"(0|Г e" dt.

Из результатов работы Агмона и Ниренберга [1] следует, что если резольвентный оператор Rx = (ЛЕ — А)~х регулярен в верхней полуплоскости Im X > 0 ив любой полосе 0<1т/1<�я<�оо норма Rx в X удовлетворяет условию ||/2я|| = 0(1) при |Я| —>00, то всякое решение u (t) уравнения (5) с.

0||ге 4(0,оо) удовлетворяет оценке \u (t)\x < сQxp (-at) для />0, с = const.

В работе Алиева Р. Г. 3] получены условия на, при которых имеет место оценка вида.

ЩОЦ* < сехр (-Шр), а > О, /? > 1.

В данной диссертации продолжаются исследования, начатые Р. Г. Алиевым на случай уравнения второго порядка с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве.

В частности, получены условия на Ак.(^), НкХ/) и на резольвенту то есть убывает быстрее экспоненты.

Диссертационная работа состоит из введения и двух глав. В первой главе рассматривается начальная задача для функционально-дифференциального уравнения второго порядка с неограниченными операторными коэффициентами.

1. Agmort S., Nirenberg L. Properties of solutions of Ordinary Differential Equation in Banach Space // Communs Pure and Appl. Math. l6.№ 2, 1963, p. 121−239.

2. Азбелев H. В. и др.

Введение

в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991.

3. Алиев Р. Г. О дифференциальных уравнениях в банаховом пространстве, решения которых убывают быстрее экспоненты. // Вестник Московского университета, № 5, 1974, с.3−7.

4. Алиев Р. Г. О разрешимости уравнения с отклоняющимся аргументом в гильбертовом пространстве // ДАН СССР.Т.274, № 6,1979,с. 1289−1291.

5. Алиев Р. Г. Существование, единственность и асимптотическое поведение решений уравнения с линейным отклонением аргумента в гильбертовом пространстве // Известия вузов, Т.№ 12, 1981, с. 4−7.

6. Алиев Р. Г. К вопросу о необходимости и достаточности условий однозначной разрешимости уравнений с отклоняющимся аргументом и неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве // ДАН СССР. Т. 267,№ 1, 1982, с. 11−14.

7. Алиев Р. Г. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом с операторными коэффициентами. Махачкала: Изд-во Даггосуниверситета, 1990.

8. Антонович А. Б., Радыно Я. В. Функциональный анализ и интегральные уравнения, 1984.

9. Атагишиева Г. С. О дифференциальных уравнениях второго порядка с быстро убывающими коэффициентами в гильбертовомпространстве. Четвертая Северо-кавказская региональная конференция, 1997 г. Тезисы докладов, с. 16.

10. Атагишиева Г. С. О поведении резольвенты параболического оператора. Межвузовский научно-тематический сборник «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения». Выпуск 3,1997 г., с. 34.

11. Атагишиева Г. С. О дифференциальных уравнениях второго порядка с быстро убывающими коэффициентами в гильбертовом пространстве. // Вестник ДГУ-98, Вып.1, с. 102.

12. Атагишиева Г. С. К вопросу о существовании решений функционально-дифференциальных уравнений, убывающих быстрее экспоненты. // Вестник ДГУ 99. Вып.1, с. 44.

13. Беллман Р., Кук К. Дифференциальноразностные уравнения. М.: Мир, 1967.

14. Власов В. В. О поведении решений одного класса функциональнодифференциальных уравнений на полуоси и некоторых спектральных вопросах // Известия вузов. Т.№ 12, 1992, с. 11−20.

15. Власов В. В. Разрешимость одного класса функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве.// Материалы Третьей Северо-Кавказской региональной конференции. Махачкала, 1991, с. 42.

16. Дыдымова Х. И. О некоторых оценках решений начальной задачи для функционально-дифференциального уравнения второго порядка в гильбертовом пространстве. Сб. Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения. Махачкала, 1997, с.108−113.

17. ИосидаК. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.

18. Kato Т. On linear differential equations in Banach Space // Comm. on Pure and Appl. Math. V. 9,1956, p.479−486.

19. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

20. Князев П. Н. Функциональный анализ, Минск, «Вышейшая школа», 1985.

21. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.

22. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967.

23. Кузин С. Ю. О поведении решения первой краевой задачи для параболического уравнения с сингулярными коэффициентами при больших значениях времени. // Вестник МГУ Сер.1, Математика. Механика, 1996, № 3.

24. Курбатов В. Р. Линейные дифференциальноразностные уравнения. Воронеж. Издательство ВГУ, 1990.

25. Морен К. Методы гильбертова пространства. М.: Мир, 1965.

26. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. М.-Л, 1971.

27. Норкин С. Б. Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1965.

28. Pazy A. Asumptotic expansions of the solutions of ordinary differential equation in Hilbert Space // Arch. Rat. Mech. and Anal., 24.3,1967, p. 193−218.

29. Пинни Э. Обыкновенные дифференциальноразностные уравнения. М.: ИЛ, 1961.

30. ТитчмаршЕ. Теория функций.М.-Л., Гостехиздат., 1951.ЪЪ.ХейлДж. Теория функциональнодифференциальных уравненийМ.:Мир, ИЛ, 1984.

31. Хилле, Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.:ИЛ, 1962.

32. Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс.-М.: Физматгиз, 1960.

33. Элъсголъц Л. Э., Норкин С. Б.

Введение

в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971.

34. Эмирова И. С. О разрешимости функционально-дифференционального уравнения п-го порядка с запаздывающим аргументом в гильбертовом пространстве // Сборник. Труды молодых ученых, Махачкала, 1996, с. 55−57.

35. Эмирова И. С. О разрешимости функционально-дифференционального уравнения п-го порядка с запаздывающим аргументом в гильбертовом пространстве // Межвузовский научнотематический сборник, Махачкала, 1997, с. 227−241.

36. Эмирова И. С. Оценка характеристического показателя решения функциональнодифференционального уравнения п-го порядка с операторными коэффициентами // Материалы Четвертой СевероКавказской региональной конференции, Махачкала, 1997, с. 104 105.