О продолжении по родам решений уравнения WDVV

Одно из самых важных уравнений в современной математической физике — это уравнение Виттена-Дийкграафа-Верлинде-Верлинде (¥-БУУ) [5]. Рассмотрим формальный рядР, зависящий от переменных Тх,., Т3. Пусть — невырожденное скалярное произведение на пространстве параметров. Определим как матрицу, обратную к щ = (е., е^). Говорят, что Р удовлетворяет уравнению «МПОУУ, если т д3р г, — д3^ сРР а.

1 ] дТадТьдТ. Ц ЩдТсдТа ~ дТадТсдТ^ дТ^дТьдг1У здесь и ниже подразумевается суммирование по повторяющимся индексам. Иными словами, третьи производные ряда Р гЛз = д3р 7Л к (Щдт.дт/1 являются структурными константами коммутативной ассоциативной алгебры. Поэтому уравнение VDVV часто называют уравнением ассоциативности. Простейшие решения уравнения VDVV — это, например, ппЗ гр2 гр гр4 Т^Т где в первом случае скалярное произведение имеет вид: = 1, в двух других случаях: Щ, 2 — т?2д — 1, = '42,2 = 0. В целом, выписывать в явном виде отдельные решения уравнения ДУБУУ — задача черезвычайно сложная, см. [22], а задача классификации решений представляется и вовсе необозримой (полиномиальные решения уравнения УБУУ рассмотрены в [12]). Однако, очень часто решения уравнения YDVV естественно возникают в разных областях геометрии. Например, уравнению ассоциативности удовлетворяют инварианты Громова-Виттена в роде 0 (это является неким отражением геометрии пространства модулей кривых в роде ноль, см. главу 1 и [19]. Также к уравнениям ассоциативности сводится классификация бигамильтоновых интегрируемых иерархий [6].

Часто оказывается, что решения уравнения ассоциативности появляются как часть некоторых значительно больших рядов, которые называются их квантованием или продолжением по родам. Так, в теории Громова-Виттена можно рассматривать инварианты Громова-Виттена старших родов на малом фазовом пространстве, а также инварианты Громова-Виттена с потомками (^-классами).

Мы изучаем решения уравнения ¥-БУУ, приходящие из так называемых с Л" -алгебр. В этом подходе решения уравнения ассоциативности появляются как суммы по трехвалентным деревьям. Естественное продолжение по родам получается при рассмотрении трехвалентных графов произвольного вида. Однако, с включением в рассмотрение потомков дело обстоит несколько сложнее. А именно, один из вариантов воспринимать естественно структуру сН-алгебр кроется в теории инвариантов Цвибаха (это некоторое обобщение теории инвариантов Громова-Виттена, см. [17]). При этом подходе возникает естественное определение полного потенциала. Нужно рассматривать графы с произвольными вершинами, а не только трехвалентные, при этом, вершинам сопоставляются корреляторы, отвечающие пересечениям '¡-/'-классов на пространстве модулей кривых.

Естественная задача, при наличии двух разных теорий продолжения по родам решений уравнения ассоциативности (в нашем случае — теория Громова-Виттена и с/7-алгебры), — каким либо образом сравнить эти две теории. Напомним, что одним из стандартных способов сравнения теорий продолжения по родам решений уравнения VDVV заключается в сравнении универсальных соотношений, которым, помимо WDVV, удовлетворяют эти решения. В частности, черезвычайно важны, так называемые, тавтологоичсские соотношения, приходящие из топологии компактификации Делиня-Мамфорда пространства модулей кривых [2].

Случай, когда потомки в сН-алгебрах рассматриваются только в одной точке был изучен в [24]. Однако, долгое время полное определение потомков в сЯ-алгебрах не было нигде сформулировано, потому что не удавалось доказать единственное на настоящий момент известное тавтологическое соотношение, включающее в себя ф-классы в двух и более точках — соотношение топологической рекурсии для гр^ в М.2,2 (TR.Il-(2,2)) [8].

Одним из основных результатов этой работы является доказательство ТШ1-(2,2) для потенциала, полученного из сН-алгебр, в ограничении на малое фазовое пространство. Это позволяет, наконец, сформулировать определение потомков в сН-алгебре, что открывет превосходные возможности для дальнейших исследований.

Другой важный результат, полученный в этой работе — доказательство соотношения Белорусского-Пандхарипанде в с//-алгебрах, тоже в ограничении на малое фазовое пространство. Соотношение Белорусского-Пандхарипанде [2] - одно из двух наиболее сложных тавтологических соотношений, известных на сегодняшний день. Так например, в теории интегрируемых иерархий [6] его пока не удалось воспроизвести. В большом классе случаев соотношение Белорусского-Пандхарипанде вместе с соотношением топологической рекурсии в М2,1 и М.2,2) позволяет однозначно восстановить потенциал в роде два, зная потенциал в родах 0 и 1, см. [18].

Доказательство обоих соотношений проводится по одной и той же схеме, с помощью разработанного нами метода, который, 'фактически является алгоритмом для поиска и проверки новых тавтологических соотношений. Это можно рассматривать, как некую альтернативу теории Гивенталя-Ли [9, 10, 11], поскольку, как и у них, мы можем восстанавливать информацию о геометрии пространства модулей кривых с помощью чисто алгебраических конструкций.

Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы.

1. Barannikov, M. Kontsevich. Frobenius manifolds .and formality of LieaJgebras of polyvector fields, 1.ternat. Math. Res. Notices 1998, no. 4, 201−215.

2. P. Belorousski, R. Pandharipande, A descendent relation in genus 2, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci. (4) 29 (2000), no. 1, 171−191.

3. M. Bershadsky, S. Cecotti, H. Ooguri, C. Vafa, Kodaira-Spencer theory of gravity and exact results for quantum string amplitudes, Comm. Math. Phys. 165 (1994), no. 2, 311−427.

4. W. Chen, Y. Ruan, Orbifold Groinov-Witten theory. Orbifolds in mathematics and phisics (Madison, WI, 2001), 25−85, Contemp. Math., 310, Amer. Math. Soc., Providence, RT, 2002.

5. B. Dubrovin, Geometry of 2D topological Geld theories. Integrable systems and quantum groups (Montecatini Terine, 1993), 120−348, Lecture Notes in Math., 1620, Springer, Berlin, 1996.

6. B. Dubrovin, Y. Zhang, Normal forms of hierarchies of integrable PDEs, Frobenius manifolds and Gromov-Witten invariants, arXiv: math. DG/108 160.

7. S. Gervais, A finite presentation of the mapping class group of a punctured surface, Topology 40 (2001), no. 4, 703−725.

8. E. Getzler, E. Topological recursion relations in genus 2. Integrable systems and algebraic geometry (Kobe/Kyoto, 1997), 73−106, World Sci. Publishing, River Edge, NJ, 1998.

9. A. Givental, Gromov-Witten invariants and quantization of quadratic Hamiltonians. Dedicated to the memory of I. G. Petrovskii on the occasion of his 100th anniversary. Mosc. Math. J. 1 (2001), no. 4, 551−568, 645.

10. A. Givental, Symplectic geometry of Frobenius structures. FVobenius manifolds, 91—112, Aspects Math., E36, Vieweg, Wiesbaden, 2004.

11. A. Givental, Y.-P. Lee, in preparation. См. также Y.-P. Lee, Notes on axiomatic Gromov-Witten theory and applications, arXiv: 0710.4349.

12. C. Hertling, Frobenius manifolds and moduli spaces for singularities. Cambridge Tracts in Mathematics, 151. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. x I 270 pp.

13. M. Kazarian, S. Lando, An algebro-geometric proof of Witten’s conjecture, J. Amer. Math. Soc. 20 (2007), no. 4, 1079−1089.

14. Y.-S. Kim, K. Liu, A simple proof of Witten conjecture through localization, arXiv: math. AG/508 384.

15. M. Kontsevich, Intersection theory on the moduli space of curves and the matrix Airy function, Comm. Math. Phys. 147 (1992), 1−23.

16. X. Liu, Geuus-2 Gromov-Witten invariants for manifolds with semisimple quantum cohomology, Amer. .1. Math. 129 (2007), no. 2, 463−498.

17. Yu. I. Manin, Frobenius manifolds, quantum cohomology, and moduli spaces. AMS Colloquium Publications, 47. AMS, Providence, RI, 1999.

18. S. Merkulov, Formality of canonical symplectic complexes and Frobenius manifolds, Internat. Math. Res. Notices 1998, no. 14, 727−733.

19. M. Mirzakhani, Weil-Petersson volumes and intersection theory on the moduli spacc of curves, J. Amer. Math. Soc. 20 (2007), no. 1, 1−23.

20. S. Natanzon, Formulas for Artand /^"-solutions of WDW equations. J. Geom. Phys. 39 (2001). no. 4, 323−336.

21. A. Okounkov, R. Pandharipande, Gromov-Witten theory, Hurwitz numbers, and Matrix models, I, arXiv: math. AG/101 147.

22. S. Shadrin, A definition of descendants at one point in graph calculus, Adv. Theor. Math. Phys. 11 (2007), no. 3, 351−370.

23. E. Witten. Two dimensional gravity and intersection theory on moduli space. Surveys in Differential Geometry, vol. 1 (1991), 243−310.Работы автора по теме диссертации.

24. И. И. Шнейберг, Соотношение топологической рекурсии для ффч в Л^г.2, Функциональный анализ и его приложения, т. 42, вып. 1, 91−94 (2008).

25. S. Shadrin, I. Shneiberg, Belorousski-Pandharipande relation in dGBV algebras, Journal of Geometry and Physics 57 (2007), no. 2, 597−615.В этой работе соискателем доказано соотношение Белорусского-Пандхарипанде.).

26. И. И. Шнейберг, Продолжение по родам в циклической алгебре Ходжа: соотношение Белорусского-Пандхарипанде, Международная конференция к 100-летию со дня рожд. П. Г. Конторовича: тез. докл., Изд-во Урал, ун-та, 2005. ISBN5−7996−0322−2.