Факультативный курс «Инварианты групп симметрий некоторых многогранников» для учащихся старших классов с углубленным изучением математики

В последнее время значительное внимание уделяется вопросу становления каждого учащегося как творческой личности. Формирование творческой личности является одной из главных целей школьного математического образования. На современном этапе образовательное пространство характеризуется усилением внимания к развитию личностных качеств ученика, так как, раскрывая свои способности и, воплощая их в жизнь, ученик усваивает опыт, накопленный человечеством, и приносит пользу всему обществу. Учебный процесс строится так, чтобы знания, усваиваемые учеником, имели бы для него личностный смысл. Все это обусловливает необходимость развития творческого потенциала учащихся, формирования умений и навыков исследовательской работы, самостоятельности их мышления.

Одним из средств достижения перечисленных целей является введение в школе факультативных занятий, которые были бы организованы не только для углубления знаний учащихся, но и для знакомства с важнейшими достижениями науки, умения самостоятельно пополнять знания, ориентироваться в научной информации, для развития их разносторонних интересов и способностей, сознательного отношения к учебе.

В учебном плане средней школы, а особенно в классах и школах с углубленным изучением математики, значительное место занимает курс математики, поэтому факультативные занятия по математике выделяются среди общей системы факультативов по числу учащихся, принимающих участие в их работе. Также как и по другим предметам, в основе выбора учениками факультативного курса по математике лежит интерес к ней и ее приложениям, понимание необходимости овладения математическими знаниями, которые нужны для изучения смежных дисциплин и для продолжения образования.

Организация факультативных занятий способствует профильной дифференциации в обучении математике, цель которой состоит в развитии личности ученика с учетом его индивидуальных особенностей.

Современный взгляд на образование состоит в том, что образование «предполагает направленность обучения от личности, ее структуры через учебный предмет к личности (индивидуальности) конкретного ребенка. Это проявляется, прежде всего, в целях обучения и через них в содержании образования, методах, формах и средствах обучения» [101].

Трактовка содержания образования, направленная на целостное развитие личности, изложена в работах Ю. К. Бабанского [10], П. Я. Гальперина [28], В. А. Гусева [37], С. Н. Дорофеева [40], И. В. Егорченко [45], М. И. Зайкина [49], Т. А. Ивановой [53], Л. С. Капкаевой [55], В. В. Краевского [70], Ю. М. Колягина [67], И. Я. Лернера [79], А. Х. Назиева [90], Д. Пойя [100], Г. И. Саранцева [109], В. А. Сластенина [115], И. М. Смирновой [117], Н. Ф. Талызиной [121], Р. А. Утеевой [122], П. М. Эрдниева [140] и др.

По их мнению, традиционное содержание математического образования, направленное на приобретение школьниками знаний, умений и навыков, не может служить источником развития и формирования всех подструктур в целостной структуре личности. Содержание образования, направленное на формирование личности ученика средствами математики, может быть установлено с позиции усвоения математического знания, специфики творческой математической деятельности и ее приемов.

Факультативные занятия помогают поднять уровень обучения учащихся на более высокий теоретический и методический уровень и способствуют решению ряда других актуальных задач, стоящих перед школой.

В нашей работе исследуется проблема разработки теории и методики реализации факультативного курса по математике для учащихся старших классов, с максимальной полнотой отвечающего задаче реализации комплексного подхода к развитию математических способностей учащихся и их становлению как творческих личностей.

Необходимость особого внимания к таким курсам в старших классах диктуется, прежде всего, тем, что учащиеся этого возраста стоят на пороге вступления в самостоятельную жизнь. Главным для них становится выбор жизненного пути, подготовка к будущей самостоятельной деятельности.

Поэтому, прежде всего, факультативные занятия в старших классах призваны развивать стержневые познавательные интересы и творческие способности учащихся в области определенной науки, готовить их к практической деятельности, влиять на раскрытие способностей и склонностей школьников, развивать навыки самостоятельной работы учащихся с научно-популярной, справочной и научной литературой.

Также на данном этапе необходимо усиление воспитательного воздействия обучения, особенно по линии выработки научного мировоззрения, развития логического мышления и творческих способностей [88, с.28].

Развитие познавательного интереса у учащихся, посещающих факультативные занятия по математике, помогает естественным образом углублять материал обязательного курса. В связи с чем, появляется возможность придать большую законченность курсу школьной математики, показать его связи с большой наукой, показать перспективы курса и направления развития его содержания, показать, что углубленное изучение математических теорий ведет к богатым и разнообразным приложениям.

Таким образом, объективная потребность во всестороннем развитии личности подкрепляется в старшем школьном возрасте субъективными факторами развития учащихся. Это создает необходимые и благоприятные предпосылки для решения задачи становления и развития творческой личности и через систему школьных факультативов.

Следует отметить, что среди факультативных курсов по математике геометрические факультативы в старших классах средней школы по своему содержанию отличаются богатством возможных направлений, важных для достижения образовательных, воспитательных и развивающих целей.

На одном из таких возможных направлений, посвященных развитию идеи симметрии, мы и решили остановить свой выбор. Наш факультативный курс называется «Инварианты групп симметрий некоторых многогранников».

Целесообразность данного выбора обусловлена тем, что на примере многогранников можно в достаточно доступной форме изучить с учащимися некоторые вопросы из теории групп, которая является одной из самых плодотворных математических теорий, продолжающей бурно развиваться. Наиболее наглядными иллюстрациями понятия группы являются группы движений, которые, к тому же, ведут к многочисленным приложениям.

Значение теории групп в современной математической науке и ее приложениях определяет значение и место элементов теории групп в программе факультативного курса по математике в средних школах: программа факультатива предусматривает более глубокое овладение рядом специальных понятий, которые в основном курсе математики либо совсем не изучаются, либо изучаются, но в недостаточно полном объеме, не связанном определенной системой. Разработанная нами программа факультатива предполагает, также, знакомство учащихся с группами симметрий некоторых многогранников.

Изучение прикладных вопросов групп симметрий позволяет сделать более полным важный в отношении задач профессионального самоопределения соответствующий раздел факультатива и усилить прикладную, практическую направленность содержания математического образования школьников.

Формирование у учащихся представления о группе занимает важное место в школьном курсе математики, но входит в него в неявном виде (числовые группы и группы движений). Изучение приложений групп симметрий на факультативных занятиях имеет большое методологическое значение, так как дает возможность учащимся взглянуть с единой точки зрения на самые различные явления природы и производства и, тем самым, предохраняет учащихся от «кусочности» в знаниях.

Наряду с теорией групп богатые возможности для решения, как общих образовательных задач, так и задач воспитания и развития учащихся заключают в себе вопросы, связанные с изучением многогранников.

Данная тематика имеет яркую историюразвитую теориюширокие практические приложения, в частности, в естествознании — в кристаллографии. Тема отличается занимательностью, математической красотой, высоким эстетическим потенциалом [117].

Анализ состояния математических факультативов в школах показал, что там, где они проводятся, к сожалению, не обращается должного внимания прикладной и практической направленности материала факультативаучителя школ отмечают, что они испытывают трудности в проведении факультативных занятий, так как не имеют разработок факультативов прикладного характера, в основе которых лежат фундаментальные математические теории, например, теория групп.

В настоящее время выполнен ряд научных исследований по общим вопросам содержания, организации и проведения факультативных занятий.

Среди них математическим факультативам посвящены работы Н. В. Аммосовой [7], Л. С. Атанасяна [5], Ашкын Суата [6], С. В. Бабаджаняна [8], Н. Н. Ивановой [52], И. Кадырова [54], М. С. Маскиной [83], В. М. Монахова [88], И. И. Позднякова [98], М. Е. Сангаловой [111], И. М. Смирновой [117],.

B.Д.Степанова [120], И. Ф. Шарыгина [132], В. В. Фирсова, О. А. Боковнева,.

C.И.Шварцбурда [128] и др.

Они отмечают, что факультативные занятия служат не только приобщению большого числа учащихся к углубленному изучению математики, но и важным средством индивидуализации обучения.

Без факультативных занятий трудно осуществить всемерное удовлетворение и развитие духовных запросов, интересов и способностей каждого школьника в отдельности.

Содержание и методика проведения факультативных занятий должна привлекать учащихся, что обеспечивается включением в программу факультативов тем, имеющих большое общеобразовательное и прикладное значение [128, с. З].

В.М.Монахов рассмотрел проблемы и перспективы дальнейшего развития факультативных занятий в школе, отметив, что учащиеся должны иметь возможность использовать прикладную направленность изучаемого материала и, что усваиваемый учащимися математический аппарат должен обладать повышенной степенью операционности [88].

Некоторые исследования, посвященные конкретным факультативам, рассматривают математические факультативы по углубленному изучению отдельных разделов математики, в частности, теоретико-групповых, например, работы Г. А. Гинзбург [30], Ф. М. Рафиковой [105], Г. М. Бычковой [20], И. А. Барыбиной [12], Н. Н. Ивановой [52]. Другие исследования посвящены математическим факультативам прикладного характера, например, теории вероятностей (В.В.Фирсов [127]), по осуществлению межредметных связей дисциплин естественно-математического цикла с помощью изучения векторов (С.В.Бабаджанян [8]), применение движений и групп движений в системе факультативов по математике (И.М.Смирнова [117], Н. В. Аммосова [7]), обучение элементам топологии (М.Е.Сангалова [111]), использование компьютерных технологий на математическом факультативе (Ашкын Суат [6]).

Схема настоящего исследования и подбор задач отличаются от схем и задач других авторов тем, что в данной работе описывается факультатив, способствующий формированию знаний, умений и навыков, адекватных основным научно-методическим линиям, понятийному аппарату теории и методики обучения математике: теории движений, теории симметрий, теории групп симметрий и их инвариантовс другой стороны, разработанный факультатив призван помогать решению актуальных задач, стоящих перед школой, — формированию качеств всесторонне развитой личности.

Анализ выполненных исследований в связи с вопросом разработки содержания и методики проведения факультативных занятий, способствующих формированию познавательного интереса у учащихся, позволяет нам сделать следующие выводы: 1) все работы, базирующиеся на теоретико-групповых идеях, в основном, не ставили своей непосредственной целью выявление прикладной направленности рассматриваемого материала, возможностей обучения учащихся математической постановке практических задач- 2) содержание, предлагаемых авторами, факультативов состоит, в основном, из арифметического или алгебраического материала [96], [20]- геометрический материал в большинстве своем рассматривается на базе планиметрии для учащихся старших классов [51], тогда как привлечение пространственного материала чрезвычайно важно для развития пространственного мышления учащихся старших классов- 3) ни в одной работе не рассматриваются содержание и методика проведения факультативного курса по математике, посвященного изучению вопросов из теории групп с дальнейшим выходом на теорию инвариантов.

Все вышесказанное обусловливает актуальность проблемы разработки содержания и методики проведения факультативного курса по данной тематике в школе, способствующего повышению качества знаний учащихся, развивающего познавательный интерес у учащихся к математике, а также, их профессиональной ориентации.

Цель исследования заключается в разработке программы, теоретического и практического содержания, а также методического обеспечения факультативного курса, ориентированного на формирование у старшеклассников умений выделять инвариантно-структурные образы в исследуемой проблемной ситуации, организовывать самостоятельную исследовательскую деятельность, проявлять активность в поиске оригинальных решений математических задач.

Объектом исследования является процесс обучения геометрии в старших классах с углубленным изучением математики, а его предметом — методическая система, включающая цели, содержание, средства, методы и формы развития у старшеклассников математического мышления.

Гипотеза исследования: если в основу развития математического мышления учащихся классов с углубленным изучением математики положить идеи теоретико-группового подхода и идеи симметрии, то это приведет к формированию и развитию у школьников представлений о сущности и происхождении математических абстракций, о месте математики в системе наук, формированию научного мировоззрения, а также, формированию пространственного мышления, развитию логической и эвристической составляющих математического мышления школьников, повышению качества их знаний, навыков и умений.

Для достижения поставленной цели и проверки сформулированной гипотезы необходимо было решить следующие задачи:

1. Выполнить анализ существующих подходов к введению элементов теории групп в школьный курс математики.

2. Исследовать возможности школьного курса математики для развития пространственных представлений учащихся.

3. Изучить состояние использования математических факультативов, в основу которых положены идеи теоретико-группового подхода, и исследовать возможные пути к организации учебного процесса в старшей школе на основе использования идей теории инвариантов.

4. Разработать факультативный курс, посредством которого реализуются идеи теоретико-группового подхода в обучении геометрии с дальнейшим выходом на теорию инвариантов.

5. Экспериментально проверить эффективность разработанной методической системы.

Решение поставленных задач потребовало привлечения следующих методов исследования: изучение и анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы по проблеме исследованиясравнительный анализ программ, учебников и учебных пособий для общеобразовательных школ и школ (классов) с углубленным изучением математикибеседы с учителями о состоянии преподавания факультативных занятий в школе и о возможности проведения разработанного факультатива в старших классах с углубленным изучением математикивыяснение знаний учащихся о преобразованиях пространства, симметриях многогранников и о желании посещать факультативные занятия, на которых они познакомятся с элементами теории инвариантовпроведение эксперимента по проверке методических положений работы, статистические методы обработки его результатов.

Методологической основой исследования явились: структура личности и закономерности ее развитияконцепции межпредметной и внутрипред-метной интеграцииосновные положения теории деятельностного подхода в обучении математике (Ю.В.Варданян, В. А. Гусев, С. Н. Дорофеев, И. В. Егорченко, Т. А. Иванова, Л. С. Капкаева, Ю. М. Колягин, Г. Л. Луканкин, А. Г. Мордкович, Г. И. Саранцев и др.).

Исследование проводилось поэтапно.

На первом этапе осуществлялось изучение и анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы по теме исследования, изучалось состояние исследуемой проблемы в школьной практике.

На втором этапе разрабатывались теоретические основы организации факультативного курса «Инварианты групп симметрий некоторых многогранников" — создавалось соответствующее методическое обеспечение этого курсабыли определены содержание и формы самостоятельной работы у учащихся в процессе овладения знаниями по теории групп и теории инвариантов.

На третьем этапе проводился обучающий эксперимент с целью проверки эффективности разработанной методики. Полученные результаты проанализированы и обработаны средствами математической статистики.

Научная новизна выполненного исследования заключается в том, что проблема разработки теоретического и практического содержания, а также методики изучения факультативного курса «Инварианты групп симметрий некоторых многогранников» решается на принципиально новой основе, которую составляют идеи теоретико-группового подходаразработан новый подход к интеграции алгебраического и геометрического методов в обучении старшеклассниковв процессе формирования практического содержания факультативного курса выявлена позитивная роль приема пространства состояний в оценке дидактической сложности математических задач.

Теоретическая значимость исследования заключается в выявлении роли теоретико-групповых представлений в математическом образовании школьников, исследовании роли факультативного курса «Инварианты групп симметрий некоторых многогранников» при формировании целостных представления о пространственных фигурах на современном этапе развития образования, определении значимости факультативного курса в развитии логического, наглядно-образного и аналитического мышления старшеклассников, в выделении действий и приемов, позволяющих школьникам усвоенные на факультативе знания, умения и навыки использовать в самостоятельной деятельности.

Практическая значимость результатов исследования заключается в вооружении педагогов эффективным методическим обеспечением, на основе использования которого в практике школьной учебной деятельности у учащихся формируются представления о теоретико-групповых основах математических теорий, сущности и происхождении математических абстракций, о месте математики в системе наук.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Реализация в процессе обучения математике принципа фундамента-лизации образования предполагает необходимость формирования у учащихся представлений о базовых, фундаментальных основах математики: математических структурах, теоретико-групповых основах математических теорий.

2. Осуществление комплексного подхода, в основу которого положены идеи теоретико-группового подхода к изучению школьниками инвариантов групп симметрий многогранников, включающего целевой, содержательный и методический компоненты, и раскрывающего факторы, оказывающие наиболее существенное влияние на его реализацию в ходе учебного процесса, способствует достижению основных целей математического образования: формированию и развитию у школьников представлений о сущности и происхождении математических абстракций, о соотношении реального и идеального, о месте математики в системе наук, а также, соответственно, содействует формированию естественно научной картины современного мира, научного мировоззрения.

3. Исследовательская деятельность учащихся, осуществляемая посредством реализации в процессе обучения факультативного курса «Инварианты групп симметрий некоторых многогранников» способствует формированию пространственного мышления и развитию логической и эвристической составляющих математического мышления школьников.

4. Внедрение в учебный процесс методики изучения специального факультативного курса, включающего: свойства движений пространства, историю правильных многогранников, приложения теории многогранников к изучению кристаллов, симметрий правильных многогранников, построение моделей групп вращений некоторых многогранников способствует повышению качества математических знаний, навыков и умений учащихся старших классов.

Обоснованность и достоверность полученных результатов и выводов обеспечиваются опорой на теорию развития личности, психологию развития мышления, учетом современных достижений в практике методики обучения математике, а также результатами проведенного эксперимента.

Апробация основных положений и результатов настоящего исследования проводилась в форме докладов и выступлений на заседаниях научно-методического семинара кафедры методики преподавания математики Пензенского государственного педагогического университета им. В. Г. Белинского (1999;2002гг.) — на внутривузовской научно-методической конференции (ПГПУ им. В. Г. Белинского — февраль 2001 г., март, 2002 г.) — на заседании научно-методического семинара «Актуальные проблемы математики и методики ее преподавания в вузе и школе» (Пензенский государственный университет — октябрь 2002 г., декабрь 2004 г.) — на заседании методического семинара «Инновационные технологии обучения математике (Пензенская государственная технологическая академия — апрель 2005 г.) — на заседании научно-методического семинара кафедры геометрии Московского государственного областного университета (апрель 2005 г.) — на заседании научно-методического семинара кафедры методики преподавания математики Мордовского государственного педагогического института им. М. Е. Евсевьева (май 2005 г.).

Внедрение результатов диссертационного исследования осуществлялось в ходе экспериментальной проверки разработанного методического обеспечения курса «Инварианты групп симметрий некоторых многогранников» на факультативных занятиях в классах с углубленным изучением математики средней школе № 27 г. Пензы.

Структура диссертации определена логикой и последовательностью решения задач исследования. Она состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложения. Общий объем диссертации составляет 174с.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В работе исследована проблема разработки содержания и методики проведения факультативного курса по математике «Инварианты групп симметрий некоторых многогранников» на материале стереометрии для учащихся 10−11 классов с углубленным изучением математики. Раскрыта роль этого факультатива в повышении качества знаний учащихся, в более глубоком и • осознанном усвоении ими изучаемого материала, в развитии их познаватель;

ных интересов.

Достижению целей повышения качества знаний учащихся, приближения обучения к практике, развитию познавательного интереса школьников способствуют применение разнообразных методических приемов, использование большого набора задач, упражнений, практических работ и т. д., описываемых в работе.

Проведенное теоретическое и экспериментальное исследование позволяет сделать следующие основные выводы:

1. Содержание и методика проведения факультативного курса «Инварианты групп симметрий некоторых многогранников» характеризуются:

1) Непосредственной взаимосвязью с основным курсом геометрии.

2) Богатыми внутри — и межпредметными связями.

3) Яркими приложениями, подводящими к знакомству с современными задачами науки.

4) Обладанием математической занимательностью, в том числе математической красотой.

5) Широкими возможностями включения учащихся в различные формы самостоятельной работы, развития их творчества.

2. Разработанный факультативный курс «Инварианты групп симметрий некоторых многогранников» способствует решению образовательных, вос;

? питательных и развивающих задач обучения, повышению качества знаний.

учащихся по предмету, уровня их воспитания и развития.

3. Рекомендуемая методика изучения факультативного курса «Инварианты групп симметрий некоторых многогранников» оказывает благоприятное воздействие на организацию и результаты самостоятельной работы учащихся, развитие их творческих, исследовательских способностей, содействует их сознательному подходу к выбору направления своей предстоящей деятельности.

В данной работе рассмотрены лишь некоторые из возможных путей проведения факультативных занятий по математике, особенностью которых является углубленное изучение теорий, приводящих к разнообразным приложениям.