Обобщение теорем Неванлинны и изменение асимптотического поведения целой функции при сдвигах ее нулей

В общей теории аналитических и субгармонических функций одно из центральных мест занимают вопросы распределения нулей голоморфных функций и их асимптотического поведения.

Особый интерес вызывает исследование распределения нулей голоморфных функций в единичном круге И комплексной плоскости С и их асимптотического поведения вблизи границ области определения. Полученные результаты представляют интерес не только как внутренние вопросы теории распределения значений голоморфных функций, но и как необходимый этап исследования таких вопросов теории функций комплексного переменного, как теории аппроксимации, интерполяции, аналитического продолжения, спектрального синтеза и т. д.

Работу условно можно разделить на две части, связанные между собой тем, что они опираются на вопросы распределения нулей функций.

Первая посвящена изучению распределения нулей голоморфных функций в единичном круге /) комплексной плоскости С и представления мероморфных функций в виде отношения голоморфных.

В качестве основной отправной точки этого исследования можно рассматривать классический результат Р. Неванлинны, опубликованный в работах [26], [27] (1939, 1941гг.). Развитие этой тематики продолжено в работах: М. М. Джрбашяна [13], [14], [15] (1945, 1969, 1973гг.), А. Г. Нафталевича [23], [24] (1953, 1961 гг.), М. Цудзи [78] - [80] (1956, 1959, 1975гг.), Б. Коренб-люма [66], (1975г.), Т. Гамелина [57] (1978г.), Ф. А. Шамояна [44] (1983г.), Р. Коулвела [56] (1985г.), Д. Паскуаса [71] (1988г.), С. Горовица [60], [61] (1974, 1995гг.), Е. Беллера [48], [49] (1977, 1994гг.), П. Кусиса [19] (1984г.), Дж. Гарнета [6] (1984г.), Г. Бомаша [50] (1992г.), Д. Бруна и К. Массанеда [52] (1995г.), К. Сейпа [75] - [77] (1994, 1995гг.), Д. Льюкинга [67] (1996г.), А. Боричева и Г. Хеденмальма [51] (1997г.). Актуальность данной тематики видна в работах последних лет. Значительные результаты в этой области получены Г. Хеденмальмом, Б. Коренблюмом и К. Жу [59] (2000г.), A.A. Кондратюком и Я. В. Васильковым [65] (2001г.), В .Я. Эйдерманом и Маттс Эссеном [46] (2002г.), С. Сандбергом [74] (2002г.), О. Бласко, А. Кукуряка и М. Новаком [53] (2004г.), Б. Н. Хабибуллиным [29] - [32], [39] (2003, 2004, 2007, 2009 гг.) и др.

Приведем объединенные формулировки теорем Р. Неванлинны о распределении нулей и о функциях ограниченной характеристики, следуя [30]. Обозначим через D (z, t) открытый круг на комплексной плоскости С с центром в точке zeС радиуса t > 0, D := Z)(0,1) — единичный круг, 3D— единичная окружность. Через Zeroу последовательность нулей.

А = {Лк}, к G N функции f в единичном круге D, перенумерованную с учетом кратности.

Теорема Неванлинны (о нулях). Попарно эквивалентны следующие утверждения:

1. Последовательность, А = {Лк}, k е N — последовательность нулей ограниченной голоморфной в D функции.

2. Для любой функции fA, голоморфной на единичном круге, с последовательностью нулей Zero г —К — {Лк} выполнено условие.

0.1).

3. А = {Ak} = ZerOf последовательность нулей для некоторой голоа морфной на единичном круге функции fA удовлетворяющей условию (0.1).

4. Выполнено соотношение ^ —<+оо. к=1 I I.

5. Выполнено соотношение ^ (1 — Як |)< +°о.

Г га<1.

6. Выполнено соотношение I п&trade- {t)dt < +со где (г) — считающая функция последовательности, А — {Я^}.

7. Л = {Хк}, к е N — подпоследовательность нулей для некоторой ограниченной голоморфной в 2) функции.

Приведем близкую по идее теорему того же автора о представлении мероморфной функции.

Теорема Неванлинны (о функциях ограниченной характеристики). Если для мероморфной в единичном круге ?) функции f, представленной в виде отношения голоморфных функций / — £/с[, причем шах{| ?" (0) |,| д (0) |} ^ 0, выполнено условие зирГ (г-/)<+оо, г< 1 или голоморфные функции g и # ограничены в I), то найдутся ограниченные голоморфные функции и в единичном круге 2) без общих нулей такие, что справедливо представление / = g0/qQ на 1У. Где Т (г — /")—характеристика Неванлинны мероморфной функции /.

В* первой части данной работы, главах 1 и 2, получены результаты об описании последовательностей нулей определенных классов голоморфных функций в единичном круге 2). Этот класс функций выделен ограничением на, рост функций вблизи границы круга посредством весовых функций умеренного роста. Весовые функции, определяющие этот, класс субгармонические, возможно нерадиальные и не обязательно всюду положительные. Приведены новые результаты и для радиальных ограничений. Эти результаты являются обобщением классических. теорем Р. Неванлинны.

Будем исследовать представленные теоремы Неванлинны в классах пространства Но1(?1-.М) — пространства всех голоморфных в области Г2 функций У таких, что.

Но1(П-М):= Бир < +оо схрМ (г) где М: П —> (—оо,+оо) — функция-мажоранта, порождающая этот, весовой класс, субгармоническая, возможно нерадиальная и не обязательно всюду положительная.

В главе 1 диссертационной работы приведен обзор результатов исследований Б. Н. Хабибуллина [30] о распределении нулей для этих весовых классов голоморфных функций и о представлении мероморфных функций в? терминах функции Грина и гармонических мер. Эти результаты являются основой для изучения новых версий теорем Р. Неванлинны для области П — 2).

В главе 2 сформулирована и доказана не положительная нерадиальная вариация теорем Р. Неванлинны в единичном круге (Теорема 1).

Радиальной назовем такую функцию М: /) —> (—00,+°°), длякоторой — М{ z |). для каждой, точки z е 2). Не положительной — функцию, если существуют точки г е в которых М (г) < 0.

В Теореме 1' рассматриваются классы пространств (0.2) дляобласти С1 = /). Получены описания последовательностей? нулей голоморфных функций из этих классов, определенных субгармонической, нерадиальной и не обязательно всюду положительной функцией-мажорантой Ми Более того она может достаточно быстро стремиться к — оо при приближений к точкам окружности дО по некасательным направлениям: В этой главе приводятся примеры, подтверждающие нетривиальность подобных классов функций.

Также в этой теореме установлены новые представления мероморфных функций в виде отношения голоморфных функций, с ограниченичением на> рост вблизи границы единичного круга посредством весовых функций М.

Для борелевской меры у на С (или в I)) полагаем.

Для субгармонической функции М в области П мера Рисса определяется равенством.

1 2 ж, где оператор Лапласа, А действует в смысле теории обобщенных функций, или теории распределений!. '.

Для подмножества ?0 <�ё /), обозначим через 178 совокупность всевозможных связных объединений ?> о б’о конечного числа кругов D{Zjr>tj)шDi / = 1 исключая те области в дополнении которых есть изолированные точки. Через СО^г,-) обозначим гармоническую меру в точке г относительно области П^С, через gD (•, z)-продолженную функцию Грина для И с полюсом вге!).

Для г = гев, 0 < г < 1, где в е 08., и числа, а > О введем в рассмотрение «полярный прямоугольник» относительного размера а.

П (2- а) := {с = 1е1ЦГ: (г — 1 — г2)+ < I < 1, | - в) |< я л/1 — г2 } и функцию 1 qM (Z):= I а-с)dvM (a.

1 — Z ¦?•(—") где функция М определена выше. Приведем сокращенный вариант Теоремы 1.

Теорема 1'. Пусть М — субгармоническая функция такая, что М{ 0) > -оо и 2/г sup—^M (rew)dO < +оо. r< 1 27 Г 0.

Пусть, А = — последовательность точек м 0 0 А, а /л — некоторая голоморфная в ТУ функция с последовательностью нулей.

2его1к =Л = Ш.

Тогда если выполнено условие на единичном круге I) sup.

Dei/ so Л.

2>д|А>0Ь M{z)dmD{z) k D J oo, (0.3) то для любых 6? (0,1) и а> 1 последовательность, А — последователъ.

Условие (0.3) этой теоремы является аналогом 4 соотношения теоремы Р. Неванлинны о нулях, в которой речь шла лишь о постоянных функциях-мажорантах М = 0 на D.

В Следствии из Теоремы 1 приведены модификации полученных результатов для случая, когда сужение на отдельные сектора в единичном круге D мажоранты М радиально.

Результаты второй главы были сформулированы и доказаны в совместной работе с научным руководителем Б. Н. Хабибуллиным [20], где автором диссертации доказывается результат касающийся обобщению теорем Р. Неванлинны, а Б. Н. Хабибуллиным исследуется ситуация умеренного роста функций.

Другой актуальный вопрос, исследуемый в данной работе, это изменение поведения целой функции при сдвиге ее нулей или более общий — изменение поведения субгармонической функции при трансформации ее меры Рисса. Основополагающие результаты в этой области получены в работах Б .Я. Левина [21] (1956г.), A.A. Гольдберга [7] (1965г.), И.Ф. КрасичковаТер-новского [16] - [18] (1966, 1967, 1972гг.), B.C. Азарина [1] - [3] (1969, 1973, 1979 гг.), А. Ф. Гришина [10] (1969г.), В. В. Напалкова и М. И. Соломеща [22], [28] (1995г.), Б. Н. Хабибуллина [33] - [38] (1984, 1985, 1989, 1993гг.). Исследования по этой теме проводятся и в последние годы. В этом направлении работают А. Ф. Гришин и Т. И. Малютинина [11] (2005г.), Т. ностъ нулей функций класса Но1 2), А^ Ч—> постоянная СЕ.

2-я зависит только от ?, и.

Рансфорд [72], [73] (1995, 2001гг.) — Б. Н. Хабибуллин [29] - [32] (2006, 2008, 2009гг.) и др.

В диссертации изучается изменение поведения целой функции при глобальном' изменении расположения нулей, задаваемого через специальные суммы сдвигов, а также поведения субгармонической функции при интегральной оценке трансформации ее меры Рисса.

Детальный исторический обзор результатов о сдвигах нулей приведен-в главе 3. Эти результаты явились отправной точкой данного исследования.

К числу первых утверждений, отражающих изменения поведения целой функции при сдвиге ее нулей, относятся результаты, приведенные в книге Б. Я. Левина [21] (лемма 1, с. 130, лемма 4, с 143). В его фундаментальной монографии при построении теории целых функций вполне регулярного роста важнейшую роль сыграли результаты об оценках изменения роста целой функции конечного порядка при сдвиге ее нулей по аргументам. Он рассмотрел отображение Т: С—>С такое, что.

ТХк = Як, ж§>ТЯкdigAk 0 положительное число. Эти утверждения вошли в основной аппарат теории целых функций конечного типа и послужили основой создания теориицелых функций вполне регулярного роста.

Как показал A.A. Гольдберг [7, § 6, Лемма], указанные результаты Б. Я: Левина справедливы и тогда, когда последовательность нулей — последовательность лишь конечной верхней плотности при порядке р, или при уточненном порядке. A.A. Гольдберг уточнил оценки роста целых функций по таким же сдвигам.

Результаты Б. Я. Левина и A.A. Гольдберга были усилены в работах[16], [17] И. Ф: Красичкова — Терновского в предположении, что нули целой функции сдвигаются в произвольных направлениях при нецелом и целом порядке функций. В [16] предполагалось, что нули Хк сдвигаются в произвольных направлениях:

1 -b;

Лъ. Z при всех достаточно больших к. Дальнейшие более общие количественные результаты были им установлены в применинии их к задачам спектрального синтеза и к вопросам полноты систем экспонент [16]. Из теоремы И.Ф. Красичкова-Терновского легко вытекает теорема Б. Я. Левина. Формулировки всех перечисленных теорем дана в третьей главе. Дальнейшее развитие теоремы И.Ф. Красичкова-Терновского было приведено впоследствии в [33, Теорема А] Б. Н. Хабибуллиным.

В [1] B.C. Азарин вервые дал общую субгармоническую интерпретацию для концепции сдвигов нулей целой функции. Он получил результат, использованный им для асимптотической аппроксимации субгармонических функций логарифмами модуля целой функции, для построения целой функции вполне регулярного роста на произвольной заданной замкнутой системе лучей, для расщепления целой функции на произведение целых функций с заданным ростом на бесконечности [2]. Еще один результат B.C. Азарина [3, вариационная теорема], относящийся к рассматриваемым здесь вопросам, формулируется в терминах сходимости в пространствах обобщенных функций, или на языке теории предельных множеств в смысле B.C. Азарина. Для убывающей функции d: [0,+оо) —> (0,+оо), где lim sup —< -fco он рассмотрел отображение Т: (С —>С такое, что г d (2t).

В своих работах B.C. Азарин использовал понятие Тсдвига борелев-ской меры: пусть отображение ТС —" С измеримо по Борелю и, кроме того, для любого ограниченного в С подмножества В его прообраз Т~1 В также ограничен в С.

Для меры V ее Тсдвиг VT определяется по правилу vT{B) := v (T~lB), В с: С — борелевское множество.

Новые методы для изучения асимптотического поведения приращения субгармонических функций при сдвиге использовал в своей работе А. Ф. Гришин [10]. Он рассмотрел асимптотики | u (z + hz) — u (z) | при z —> со в зависимости от величины сдвига hz. Эти результаты также можно интерпретировать как влияние на изменение субгармонической функции специального варьирования ее меры Рисса, порожденного преобразованием плоскости вида Т: z l—> z + hz, z е (С, при фиксированном h. Рассмотренный им метод может быть полезен при исследовании изменения поведения субгармонической функции при достаточно произвольном варьировании ее меры Рисса.

Наиболее детально вопрос Тсдвига рассматривался в работах Б. Н. Хабибуллина [35], [36]. В главе 3 приведены его улучшенные оценки для субгармонических функций.

Далее в этой главе представлены совместные результаты В. В. Напалкова и М. И. Соломеща [22], прямо вписывающийся в рассматриваемую здесь тематику. Ими рассмотрен случай целых функций произвольного роста. Показано, что при достаточно малых сдвигах нулей разность логарифмов модулей целой функции / и полученной с новыми нулями, отличается на константу вне некоторого малого исключительного множества.

В главе 4 сформулирована аппроксимационная теоремаБ.Н. Хабибуллина [39] для целых функций экспоненциального типа. Где для функции ф 0 из сходимости рядаS.

Гк’Ч*0.

1 1 л п.

0.4) следует существование другой целой функций экспоненциального типа g ф0, где Zero j = (Лк), Zerog—{yk) последовательности нулей этих функций.

В данной работе этот результат будет распространен на целые функции произвольного конечного порядка р. На роль обобщения условия (0.4) предложена сходимость ряда вида.

Я^о I /ьк L.

Гк.

Л*.

0.5).

Отталкиваясь от представленных исследований Б. Н. Хабибуллина, автором диссертации получены новые результаты в оценке изменения роста субгармонической функции (Теорема 2). Для этого используется более общий подход, основанный на технике Тсдвига ее меры Рисса, предложенной B.C. Азариным. При этом условия (0.4), (0.5) заменяются на интегральные ограничения изменения меры Рисса для функции произвольного порядка р.

Далее в Теореме 3 сформулирован и доказан аналогичный результат на языке целых функций.

Теорема 3. Пусть / — целая функция с последовательностью нулей — конечной верхней плотности при порядке р и Г = О^) сС, к е N —заданная последовательность. Из сходимости ряда (0.5) и условия lim inf yk! W> (0.6).

А—>оо следует существование целой функции g с последовательностью нулей Zerog = k), для которой при любом числе ?>0 существует такое множество Е£ С С верхней линейной плотности < Б, что log|g-(z)|-log|/(z)||<^|z|p длявсех z еС Е£.

При этом если f конечного типа при порядке р, то функция g такая CI индикаторы роста функций fug совпадают. Заметим, что из сходимости ряда (0.5) можно вывести условие.

Е — м и Гк-Лк*olAfc I.

1 1.

1 4 п.

00, (0.7) если исключить определенные несущественные подпоследовательности точек из (Лк) и (ук).

Условие (0.6) Теремы 3 можно исключить при р — 1, т.к. сходимость ряда (0.7) является в точности условием (0.4). Следовательно этот результат является прямым обобщением аппроксимационной теоремы Б. Н. Хабибуллина.

В конце, в главе 5, рассматривается вопрос о сдвигах нулей целых функций, найдена оценка скорости приближения целых функций целыми функциями с простыми нулями (Теорема 4). Достигнута близость порядка.

0(1/1 z |)вне малого исключительного множества. Показано, что этот результат нельзя улучшить, то есть не возможно добиться асимптотической аппроксимации порядка 0(1/ za), где ОС >1. Можно отметить, что работа с простыми нулями, как правило, облегчает исследования в ряде зада^ аппроксимации и интерполяции.

Приведем сокращенный вариант Теоремы 4.

Теорема 4 Пусть f — целая функция с последовательностью нулей Zero^ = (ЛА). Для любой открытой окрестности G последовательности, А = } найдется целая функция g с последовательностью только простых нулей Zerog = (yk) такая, что верна оценка log|g (z)|-log|/(^)|| = 0 1 ^ чМ2, при всех z е С G, z —" оо.

Полученные результаты диссертационной работы относятся к области фундаментальных исследований по математике, носят теоретический характер. Они могут быть использованы в таких областях комплексного анализа, как теория целых и мероморфных функций, теория аппроксимации, задачи спектрального анализа и синтеза. Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях, проводимых в ИМВЦ УНЦ РАН, Башкирском государственном университете, Санкт-Петербургском отделении Математического института РАН, Ростовском государственном университете, Казанском государственном университете, Институте математики и механики при КГУ, Брянском государственном педагогическом, университете, а также в других ведущих российских и зарубежных (Украина, США, Испания, Норвегия, Израиль, Швеция, Китай и др.) научных центрах.

Основная часть результатов диссертации опубликована в работах [20] и [62]. Совместные с научным руководителем Б. Н. Хабибуллиным работы объединяют различные результаты обоих авторов. В статье [20] автором диссертации доказывается результат, касающийся обобщения теорем Неванлинны (§ 2), а Б. Н. Хабибуллиным исследуются другие классы функций умеренного роста (§§ 3 — 6). В работе [62], как указано в ее аннотации, научному руководителю принадлежит исторический обзор данной тематики (§§ 1, 2), а все новые результаты о вариации субгармонических и целых функций доказаны Е. Г. Кудашевой (§§ 3, 4). Таким образом, в диссертацию вошли только те результаты, которые доказаны лично автором. Указанные работы входят в перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий ВАК РФ.

1. Азарин B.C. О лучах вполне регулярного роста целой функции // Матем. сб. -1969. — Т. 79(121). — С. 463−476.

2. Азарин B.C. О разложении целой функции конечного порядка на сомножители, имеющие заданный рост // Матем. сб. —1973. — Т. 90(132). С. 225−230.

3. Азарин B.C. Об асимптотическом поведении субгармонических функций конечного порядка // Матем. сб. -1979. — Т. 108(150). — С. 147—167.

4. Васильюв Я. В., Процик Ю. С. Каношчный штеграл Вейерштрасса для субгармоншних функцш несюнченного порядку // Bicronc Харювсього нащонального ушвеситету. Сер. Матем., прикл. Матем., мех. — 542:51. —2002. -С. 118−130.

5. Викарук АЛ. Аналоги теорем Неванлинны для минимальных поверхностей // Матем.сб. Т. 100(142) :4(8). -1976. — С. 555−579.

6. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции // Мир, М. -1984.

7. Голъдберг A.A. Интеграл по полуаддитивной мере и его приложения. IV // Матем. сб. 1965. — Т. 66(108). — С. 411- 457.

8. Голъдберг A.A., Левин Б. Я., Островский И. В. Целые и мероморфные функции // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундам. напр. -Т.85. ВИНИТИ. -М. — 1991. С. 5−185.

9. Григорян A.C. Обобщенные аналитические функции // УМН. — 49:2.1994. — С. 3−42- англ.пер.: S.A. Grigoryan. Generalized analytic fanctions // Russian Math. Surveys. 49:2. — 1994. — P. 1⁰.

10. Гришин А. Ф. О регулярности роста субгармонических функций // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. — 1968. — вып. 6. С. 3−29- 1969. вып. 7, — С. 59−84- 1969. — вып. 8. — С. 32−48.

11. Гришин А. Ф., Малютина Т. И. Новые формулы для индикаторов субгармонических функций // Математическая физика, анализ, геометрия. — 2005.-Т. 12, 1.-С. 25−72.

12. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы // Общая теория, ИЛ, М. 1962; пер. с англ. N. Dunfort, J.T. Schwartz Linear operators // I. General theory, Interscience Publ. — New York, London. — 1958.

13. Джрбашян M.M. О каноническом представлении мероморфных в единичном круге // Докл. АН Арм ССР. -1945. Т.З. -№ 1. — С. 3−9.

14. Джрбашян М. М. Теория факторизации функций, мероморфных в круге // Матем. сб. 1969. — Т.79(121). — № 4(8). — С. 517−615.

15. Джрбашян М. М. Теория факторизации и граничных свойств функций, мероморфных в круге // УМН. 1973. — Т. 28. -вып. 4(172). — С. 314.

16. Красичков-Терновский] И. Ф. Сравнение целых функций конечного порядка по распределению их корней // Матем. сб. — 1966. —Т. 70(112). С. 198−230- Матем. сб. — 1966. -Т. 71(113). — С. 405^-19.

17. Красичков-Терновский И. Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. I, П. Спектральный синтез на выпуклых областях // Матем. сб. 1972. -Т. 87(129). -№ 4. — С. 459−489- Матем. сб. — 1972. — Т. 88(130).-№ 1.-С. 3−30.

18. Красичков-Терновский И.Ф. О свойствах однородности целых функций конечного порядка // Матем. сб. — 1967. — Т. 72(114). С. 412−419.

19. Кудашева Е. Г., Хабибуллин Б. Н. Распределение нулей голоморфных функций умеренного роста в единичном круге и представление в нем мероморфных функций // Математический сборник. — Т.200. — № 9. — 2009. -С. 95−126.

20. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций // Физматгиз. -Москва. 1956. — 632 с.

21. Нафталевич А. Г. об интерполировании функций, мероморфных в единичном круге // Лит. Мат. сб. 1961. — Т. 1. — № 1−2. — С 159−180.

22. Неванлинна Р. О распределении значений однозначных аналитических функций // УМЫ. 1939. — № 6. — С. 183−221.

23. Неванлинна Р. Однозначные аналитические функции // ОГИЗ, М. -Л.-1941.

24. Привалов И. И. Граничные свойства аналитических функций // ГИТТЛ, М. -Л. 1950.

25. Соломещ М. И. Операторы типа свертки в некоторых пространствах аналитических функций // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. — Уфа. —1995. — 110 с.

26. Хабибуллин Б. Н. Последовательности нулей голомофных функций, представление мероморфных функций. II. Целые функции // Матем. сб. — 200:2. 2009. — С. 129−158.

27. Хабибуллин Б. Н. Последовательности нулей голомофных функций, представление мероморфных функций и гармонические миноранты // Матем. сб. 198:2. — 2007. — С. 121−160.

28. Хабибуллин Б. Н. Критерии (суб-)гармоничности и продолжение (суб-)гармонических функций // Сиб. матем. ж. 4:4. -2003. -С. 905−925.

29. Хабибуллин Б. Н., Хабибуллин Ф. Б., Чередникова Л. Ю. Подпоследовательности нулей для классов голоморфных функций, ихустойчивость и энтропия линейной связности. П'// Алгебра" и анализ. — 20:1 (2008). С. 190−236.

30. Хабибуллин Б. Н. Оценки снизу и свойства однородности субгармонических функций // Сб.: Исследования по теории аппроксимации функций, Башкирский филиал АН СССР. Уфа. -1984. — С. 148—159i.

31. Хабибуллин Б. Н. Распределение нулей целых функций и выметание // Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Харьков. -1993. — 322 с.

32. Хабибуллин Б. Н. Распределение нулей целых функций и выметание // Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. — Уфа. —1993. — 18 с.

33. Хабибуллин Б. Н. Сравнение субгармонических функций по их ассоциированным мерам // Матем. сб. -1984. Т. 125(167), 4(12). — С. 522 538.

34. Хабибуллин Б. Н. Наилучшая-аппроксимация целой функции целой функцией с простыми нулями // Сб.: Тезисы докладов конференции молодых ученых, Башкирский филиал АН СССР. Уфа. -1985. — С. 177.

35. Хабибуллин Б. Н. Аппроксимационная теорема для целых функций экспоненциального типа и устойчивость нуль-последовательностей // Матем. сб.-2004.-Т. 195, 1. — С. 143—156.

36. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции // Мир, Москва. -1980.-304 с.

37. Хейман У. Мероморфные функции // Мир, М. — 1966. — 287с.

38. Чередникова Л. Ю. Последовательности неединственности для весовых алгебр голоморфных функций в единичном круге // Матем. заметки. — 77: 5. -2005. С. 775−787.

39. Шамоян Ф. А. Факторизационная теорема М. М. Джрбашяна и характеристика нулей аналитических в круге функций с мажорантой конечного роста // Изв. АН Арм.ССР. Математика. — ХШ:5−6. -1978. С. 405−422.

40. Шамоян Ф. А. О нулях аналитических в круге функций, растущих вблизи гранцы // Изв. АН Арм.ССР. Математика. 1983. — Т. XVIII. — № 1. -С. 15−27.

41. Шварц Л. Анализ. Т. I // Наука, Москва. -1967. 824 с.

42. Эйдерман В .Я., Маттс Эсса’н Теоремы единственности для аналитических и субгармонических функций // Алгебра и анализ. 14:6. — 2002. — С. 1−88.

43. Axler S., Bourdon Р., Ramey W. Harmonie funetion theory // SpringerVerlag. New York. -1992.

44. Beller E., Horowitz C. Zero sets and random zero sets in certain function spaces // J. Analyse Math. V.64. -1994. — P. 203−217.

45. Beller E. Factorization for non-Nevanlinna classes of analytic functions // Israel J. Math. V. 27. — № 3−4. — 1977. — P. 320−330.

46. Bomash G. A Blashke-type product and random zero sets for Bergman spaces // Arkiv far Math. V. 30. -1992. — P. 45−60.

47. Borichev A., Hedenmalm H. Harmonic functions of maximal growth: invertibility and cyclicity in Bergman spaces // J.Amer. Math. Soc. — 1997. -10:4 (1997). P. 761−796.

48. Bruna J., Massaneda X. Zero sets of holomorphic functions in the unit ball with slow growth // J. Analyse Math. 66 (1995). — P. 217−252.

49. Blasco O., Kukuryka A., Nowak M. Luecking’s condition for zeros of analytic functions // Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska Sect A. — Lublin — Polonia, LVHI: A. —2004. — P. 1−15.

50. Cole B.J., Ransford T.J. Subgarmonicity without Upper Semicontinuity // J. Funct. Anal. 147. -1997. — P. 420 — 442.

51. Cole B.J., Ransford T.J. Jensen measures and harmonic measures // J. reine und angew. Math. 541. -2001. — P. 29−53.

52. Colwell P. Blaschke Products // Bounded Analytic Functions, Ann Arbor. The University of Michigan Press. — 1985.

53. Gamelin T.W. Uniform algebras and Jensen measures // Cambridge: Cambridge Univ. Press. 1978.

54. Hayman W.K. Subgarmonic functions. V. II. // London: Academic Press. -1989.

55. Hedenmalm H., Korenblum B., Zhu K. Theory of Bergman spaces // Springer-Verlag, Graduate Texts in Mathematics. — 199. — New York. — 2000.

56. Horowitz C. Zeros of functions in the Bergman spaces // Duke Math. — 41 (1974).-P. 693−710.

57. Horowitz C. Zero sets and radial zero sets in function spaces // J. Analyse Math. (1995). Y.65. -P. 145−159.

58. Khabibullin B.N., Kudasheva E.G. Variation of subharmonic function under transformation its Riesz measure // Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry. Ukraine, Kharkov. — V. 3. — № 1. — 2007. — P. 61−94.

59. Klimek M. Plurepotential theory // Clarendon Press. Oxford. 1991.

60. Kondratyuk A.A., Vasyl’kiv Ya.V. Growth majorants and quotient representations of meromorphic functions // Comput. Metods Funct. Theory. — 1:2. -2001.-P. 595−606.

61. Korenblum B. An extension of the Nevanlinna theory I I Acta Math. V. 135.-1975.-P. 187−219.

62. Luecking D. Zero sequences for Bergman spaces I I Complex Variables Theory Appl. 30:4. -1996. — P. 345−362.

63. Lyubarskii Yu. I., Seip K. A uniqueness theorem for bounded analytic functions // Bull. London Math. Soc. 29. -1997. — P. 49−52.

64. Nevanlinna R. Uber beschrankte Funktionen, die in gegebenen Punkten vorgeschriebene Werte annehmen // Ann. Acad. Sei. Fenn. A. — 13. —1920. P. l— 71.

65. Nevanlinna R. Uber beschrankte analytische Funktionen // Ann. Acad. Sei. Fenn. A. 32. -1929. № 7.

66. Pascuas D. Zeros interpolaciy en espais de funcions holomorfes del disc unitat // Tesi doctoral. — Universitat Autynoma de Barcelona. — 1988.

67. Ransford T.J. Potential Theory in the Complex Plane // Cambridge Univ. Press, Cambridge. -1995. 232 p.

68. Ransford T.J. Jensen measures // Approximation, Complex Analysis and Potential Theoiy (Montreal, Qs, 2000). -NATO Sei. Ser. IL Math-Phys-Chem. 37. Dordrecht: Kluwer. 2001. — P. 221−237.

69. Sundberg C. Measures induced by analytic functional and a problem of Walter Rudin // J. Amer. Math. Soc. 2002. — V. 16. — № 1. — P. 69−90.

70. Seip K. On a theorem of Korenblum // Ark. Math. 32. -1994. — P. 237−243.

71. Seip K. On Korenblum’s density condition for the zero sequences of A ~a // J. Analyse Math. 67. -1995. — P. 307−322.

72. Seip K. An extention of the Blaschke condition // J. London Math. Soc. 51.-1995.-P. 545−558.

73. Tsuji M. Potential theory in modern function theory // Chelsea Publ. Co. New York. — 1975.

74. Tsuji M. Canonical product for meromorphic function in a unit circle // J. Math. Soc. Jap. 1956. — V. 8. — № 1. — P. 7- 21.

75. Tsuji M. Potential theory in modern fanctional theory // Tokyo: Maruzen Co. 1959.