Непрерывные линейные обратные к операторам сужения аналитических функций и их производных

Актуальность темы

В настоящей работе решается проблема, которую в общей ситуации можно сформулировать следующим образом. Пусть Е и ^ — локально выпуклые пространстваТ: Е —>• Р — линейный непрерывный оператор. При каких условиях существует линейный непрерывный правый обратный (коротко: ЛНПО) или линейный непрерывный левый обратный (коротко: ЛНЛО) к оператору Т?

Задача о нахождении ЛНПО и ЛНЛО для бесконечномерных локально выпуклых пространств индивидуальна и ее решение зависит от свойств конкретного оператора. Для различных классов пространств Е и .Р (бесконечно дифференцируемых, голоморфных функций, распределений, пространств последовательностей) и операторов Т (дифференциальных операторов в частных производных, операторов свертки, представления рядами экспонент и их обобщений, продолжения бесконечно дифференцируемых функций) эта задача ставилась и решалась Л. Шварцем, А. Гротендиком, Б. С. Митягиным, Б. А. Тейлором, К. Швердтфегером, Р. Майзе, Д. Фогтом, Ю. Ф. Коробейником, М. Лангенбрухом, М. Тидтеном, У. Франкеном, 3. Моммом, X. Бонетом, С. Н. Мелиховым, А. В. Абаниным, Д. А. Абаниной и другими математиками.

Основным объектом изучения в данной работе является оператор сужения функций и их производных на дискретную последовательность точек. Он определен на некотором функциональном пространстве Е и отображает его в связанное с Е естественным образом пространство числовых последовательностей Р. С помощью теории двойственности к проблеме существования линейных непрерывных обратных к оператору сужения, например, сводится задача о существовании ЛНПО к оператору представления элементов различных функциональных пространств рядами экспонент или их обобщений. Опишем коротко историю задачи о существовании ЛНПО к оператору представления аналитических функций рядами экспонент. Пусть С — произвольная ограниченная выпуклая область в СА{С) — пространство Фреше всех аналитических в С функций. В середине 60-х годов прошлого века А. ф. Леонтьев доказал, что существует последовательность комплексных чисел (А^)^^, |А^| ^ +оо, такая, что любую аналитическую в С функцию / можно разложить оо в ряд /(г) =? с,-еА'" г, абсолютно сходящийся в А© (к /). При з=1 этом 3 Е Ш, — простые нули специальной целой функции Ь экспоненциального типа с сопряженной диаграммой О {О — замыкание С в С). В связи с неединственностью разложения функций / Е А© в ряды вида.

00 г) = ^ с^е² возникает задача о линейном и непрерывном способе 3=1 определения коэффициентов Отметим, что А. Ф. Леонтьев указал.

00 способ вычисления коэффициентов с^ представлений /(г) = ^ с3ех^.

3=1 для функций /, аналитических на С. Но этот способ неприменим ко всем функциям / Е А{С). Результаты А. Ф. Леонтьева о разложениях в ряды экспонент побудили Ю. Ф. Коробейника к построению теории представляющих систем. Если ввести пространство Фреше числовых последовательностей оо.

Ах := |с = (с^еи: ^^ сз^У абсолютно сходится в А© |.

3=1 и оператор представления оо.

ША^^С), (П (с))(г).

3=1 то проблема коэффициентов трансформируется в сформулированную Ю. Ф. Коробейником задачу: когда сюръективный оператор П: А^ —У А© имеет ЛНПО, т. е. существует линейный непрерывный оператор Р: А{С) К такой, что П о Р (/) = /, / Е Л©? Для показателей (А^ем, являющихся нулями специальной целой функции, она была решена Ю. Ф. Коробейником и С. Н. Мелиховым [23].

Известно [13], что сильное сопряженное к, А © пространство можно отождествить с некоторым пространством целых функций экспоненциального типа Е, а сильное сопряженное с Л1 пространство — с некоторым пространством числовых последовательностей К^. Тогда оператором, сопряженным к оператору П, будет оператор сужения R: Е —К^, R (f) := {f (j))jen, линейно и непрерывно отображающий Е в К^. Так как пространства A (G) и Ai — рефлексивные пространства Фре-ше, то оператор П имеет ЛНПО тогда и только тогда, когда оператор R имеет JIHJIO, т. е. когда существует линейный непрерывный оператор х: Еж Е такой, что я о R (f) = f, f Е Е. Итак, с помощью теории двойственности задача о ЛНПО к оператору представления сводится к задаче о существовании ЛНЛО к оператору сужения на последовательность соответствующих показателей рядов экспонент, определенному на счетном индуктивном пределе весовых банаховых пространств целых функций.

Общие результаты о ЛНЛО к оператору сужения на весовых (LB)-пространствах целых функций были получены С. Н. Мелиховым [33]. В настоящей диссертации для (ЬБ)-пространств целых функций, задаваемых радиальными весами с естественными ограничениями, получены аналитические реализации (в терминах внутренних свойств весов) абстрактных условий из [33]. Полученные результаты применены также к (£5)-пространствам в нерадиальном случае, а именно, к пространствам целых функций, рост которых определяется уточненным порядком. Отмеченные выше результаты Ю. Ф. Коробейника и С. Н. Мелихова [23] перенесены на случай р-выпуклой области (р > 0).

В работе [32] был доказан критерий существования ЛНПО к оператору представления рядами из квазиполиномов функций, аналитических в ограниченной выпуклой области. Данная задача решена нами для оператора представления рядами из квазимономов.

Если оператор сужения задан на счетном индуктивном пределе банаховых пространств целых функций с ограничениями на их рост, то область его значений содержится в некотором (¿-.^-пространстве последовательностей, рост которых также определяется исходными весами. Если же он задан на пространстве всех функций, аналитических в открытом множестве G С С, и функции и их производные сужаются на дискретное подмножество G, то областью его значений является уже пространство всех последовательностей ш. В связи с этим возникает задача о наличии ЛНПО к такому оператору сужения. При ее решении привлекается теория последовательностей Айдельхайта в сопряженном к пространствам Фреше, и упомянутая выше проблема трансформируется в задачу о наличии ЛНПО у моментного оператора, задаваемого последовательностью Айдельхайта.

По-видимому, первым в этом направлении является результат Б. С. Митягина о том, что оператор &bdquo-вычисления" производных бесконечно дифференцируемых функций на отрезке [—1,1] не имеет ЛНПО [37]. Косвенным образом к данному направлению примыкают результаты польских математиков Ролевича, Бессаги, Пелчинского [71], [53] о дополняемых подпространствах пространств Фреше, изоморфных пространству и. В работе приводятся критерии и (отдельно) достаточные условия того, что моментный оператор имеет или не имеет ЛНПО. Полученные результаты применяются к замкнутым дополняемым идеалам в пространстве А ((7), где С? — область в С, а также к задаче о ЛНПО к оператору свертки, действующему в пространстве целых функций экспоненциального типа. Ранее в работе [36] задача о существовании ЛНПО к оператору свертки решалась для пространства [1, а) всех целых в С функций экспоненциального типа меньше, а Е (0,+оо], изоморфного сопряженному к пространству функций, аналитических в круге Дг := {г? С: < сг}. В диссертации аналогичный результат получен для пространства целых функций, изоморфного сильному сопряженному к пространству А{Сг) уже для произвольной односвязной области С С С. Отметим, что задача о существовании ЛНПО к оператору свертки в пространствах голоморфных функций решалась ранее в работах К. Швердфегера [72], Б. А. Тейлора [73], 3. Момма [67], Ю. Ф. Коробейника [17], [23], [18], С. Н. Мелихова [35], [64], М. Лангенбруха [61] (см. соответствующий обзор в [20, глава 3]).

Цели работы:

• Установить условия наличия линейного непрерывного левого обратного к оператору сужения, определенному на (¿-¿-^-пространстве целых функций, заданном радиальными весами.

• Доказать условия существования линейного непрерывного левого обратного к оператору сужения на весовом (¿-¿-^-пространстве целых функций, рост которых определяется уточненным порядком.

• Доказать критерии существования линейного непрерывного правого обратного к оператору представления аналитических в р-выпуклой области функций рядами по функциям Миттаг-Леффлера.

• Получить критерии наличия линейного непрерывного правого обратного к оператору представления рядами из квазимономов функций, аналитических в ограниченной выпуклой области в С.

• Доказать критерии существования линейного непрерывного правого обратного к моментному оператору, определяемому последовательностью Айдельхайта в сопряженном к пространству Фреше. Применить их к описанию дополняемых идеалов в пространствах аналитических функций, оператору свертки в пространствах целых функций экспоненциального типа, оператору сужения бесконечно дифференцируемых функций и их производных на дискретную последовательность.

Методы исследования. В диссертационной работе используются методы функционального и комплексного анализа, теории целых функций вполне регулярного роста, субгармонических функций, конформных отображений, структурной теории пространств Фреше.

Научная новизна и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты являются новыми, носят теоретический характер и могут найти применения к решению операторных уравнений, уравнений свертки в пространствах аналитических и бесконечно дифференцируемых функций, в теории абсолютно представляющих систем, в задаче Коши для аналитических функций. Они могут быть использованы специалистами, работающими в ЮФУ, Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН, Южном математическом институте ВНЦ РАН и РСО-А, Московском, Башкирском университетах, национальном исследовательском ядерном университете &bdquo-МИФИ", а также в других ведущих российских и зарубежных научных центрах.

Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на научном семинаре по анализу ЮФУ под руководством Ю. Ф. Коробейника и А. В. Абанина, на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова в Абрау-Дюрсо (2004, 2008 гг.), на Международной конференции «Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование» в Волгодонске (2007, 2009, 2011 гг.), на Международной конференции «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» во Владикавказе (2008, 2010 гг.), на Воронежской весенней математической школе «Современные методы теории краевых задач» (2009, 2011 гг.), на Международной конференции молодых ученых «Математический анализ и математическое моделирование» во Владикавказе (2009, 2010 гг.), на Уфимской международной конференции «Комплексный анализ и дифференциальные уравнения «(2011 г.).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в [79]-[92]. В совместных с научным руководителем публикациях [83]—[92] С. Н. Мелихову принадлежит постановка задач и указание метода исследования, а автору диссертации — проведение исследования и доказательство результатов.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы и списка литературы, содержащего 92 наименования. Определения, теоремы, следствия, леммы и замечания имеют свою независимую нумерацию, содержащую номер главы, параграфа и результата. Общий объем диссертации — 131 страница машинописного текста.

1. Абанин А. В. Представляющие системы в р-выпуклых областях // Изв. Сев-Кавказ, научи, центра высшей школы. — 1980. — № 4. — С. 3−5.

2. Абанин А. В. О некоторых признаках слабой достаточности множеств в индуктивных пределах весовых пространств // Матем. заметки. 1986. — Т. 40, № 4. — С. 442−454.

3. Абанин А. В. Распределение показателей представляющих систем обобщенных экспонент // Матем. заметки. 1991. — Т.49, № 2. — С. 3−13.

4. Врайчев Г. Г.

Введение

в теорию роста выпуклых и целых функций. М.: Прометей, 2005. — 232 с.

5. Братищев А. В. Базисы Кете, целые функции и их приложения: Дисс. на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук. Ростов н/Д. — 1993. — 248 с.

6. Вурбаки Н. Топологические векторные пространства. Издательство иностранной литературы, 1959. — 410 с.

7. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции. Учебное пособие. М.: Гос. издат. физ-мат. литературы, 1959. — 470 с.

8. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966. — 672 с.

9. Коробейник Ю. Ф. О решениях дифференциального уравнения бесконечного порядка, аналитических в некруговых областях // Ма-тем. сб. 1966. — Т. 71(113), № 4. — С. 535−544.

10. Коробейник Ю. Ф. О решениях некоторых функциональных уравнений в классах функций, аналитических в выпуклых областях // Матем. сборник. 1968. — Т. 75, № 2. — С. 225−234.

11. Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы // Успехи матем. наук. 1981. — Т.36, в.1. — С. 73−126.

12. Коробейник Ю. Ф. Об одной интерполирующей задаче для целых функций // Изв. ВУЗов. 1985. — № 2. — С. 37−45.

13. Коробейник Ю. Ф. Уравнения свертки в комплексной области // Матем. сб. 1985. — Т. 127(169), № 2(6). — С. 173−197.

14. Коробейник Ю. Ф. Нетривиальные разложения нуля по абсолютно представляющим системам. Приложения к операторам свертки // Матем. сб. 1991. — Т. 182, № 5. — С. 661−680.

15. Коробейник Ю. Ф. О правом обратном операторе для оператора свертки // Укр. матем. журн. 1991. — Т.43, № 9. — С. 1167−1176.

16. Коробейник Ю. Ф. О правом обратном для оператора свертки в пространствах ростков на связных множествах в С // Матем. сб. -1996. Т. 187, № 1. — С. 55−86.

17. Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы, их обобщения и приложения. М.: Наука, 2008. — 361 с.

18. Коробейник Ю. Ф. О разрешимости в комплексной области некоторых классов линейных операторных уравнений. Ростов-на-Дону: изд-во ЮФУ, 2009. — 251 с.

19. Коробейник Ю. Ф., Леонтьев А. Ф. О свойстве внутрь-продолжаемости представляющих систем экспонент // Матем. заметки. 1980. — Т.28, № 2. — С. 243−254.

20. Коробейник Ю. Ф., Мелихов С. Н. Линейный непрерывный правый обратный для оператора представления и конформные отображения // Докл. РАН. 1992. — Т. 323, № 5. — С. 826−829.

21. Коробейник Ю. Ф., Мелихов С. Н. Линейный непрерывный правый обратный для оператора представления и приложения к операторам свертки // Сибирский математический журнал. 1993. — Т.34, № 1. — С. 70−84.

22. Краеичков Терновский И. Ф. Одна геометрическая лемма, полезная в теории целых функций, и теоремы типа Левинсона // Матем. заметки. — 1978. — Т. 24, № 4. — С. 531−546.

23. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостех-издат, 1956. — 632 с.

24. Лелон П., Груман Л. Целые функции многих комплексных переменных. М.: Мир, 1989. — 348 с.

25. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976. — 536 с.

26. Маергойз Л. С. Плоские р-выпуклые множества и некоторые их приложения // ИФ СО АН СССР, Красноярск. 1972. — С. 75−91.

27. Маергойз Л. С. Асимптотические характеристики целых функций и их приложения в математике и биофизике. Новосибирск: Наука, 1991. — 272 с.

28. Мелихов С. Н. Об одной некорректной задаче в теории рядов Дирихле // Интегро-дифференциальные операторы и их приложения. Вып.2. ДГТУ. Ростов-на-Дону. 1997. — С. 112−117.

29. Мелихов С. Н. Продолжение целых функций вполне регулярного роста и правый обратный для оператора представления аналитических функций рядами квазиполиномов // Матем. сб. 2000. -Т.191, № 7. — С. 105−128.

30. Мелихов С. Н. О левом обратном к оператору сужения на весовых пространствах целых функций // Алгебра и анализ. 2002. — Т. 14, № 1. — С. 99−133.

31. Мелихов С. Н. Правые обратные к операторам представления рядами экспонент и свертки: Дисс. на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук. Ростов н/Д. — 2002. — 240 с.

32. Мелихов С. Н., Момм 3. О линейном непрерывном правом обратном для оператора свертки на пространствах ростков аналитических функций на выпуклых компактах в С // Изв. вузов. Матем. 1997, № 5. — С. 38−48.

33. Мерзляков С. Г. Правый обратный для оператора свертки в пространстве целых функций экспоненциального типа // Уфимск. матем. журн. 2010. — Т. 3, вып. 4. — С. 85−87.

34. Митягин Б. С. Аппроксимативная размерность и базисы в ядерных пространствах // Успехи матем. наук. 1961. — Т.16, вып. 4. — С. 63−132.

35. Напалков В. В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. М.: Наука, 1982. — 240 с.

36. Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях. М.: Мир, 1971. — 232 с.

37. Робертсон А. П., Робертсон В. Д. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1967. — 257 с.

38. Ронкин Л. И.

Введение

в теорию целых функций многих переменных. М.: Наука, 1971. — 430 с.

39. Савельев В. А. О целых решениях уравнений свертки: Дисс. на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Ростов н/Д. -1990. 102 с.

40. Borel E. Sur quelques points de la theorie des fonctions // Ann. Sci. Norm. Sup. 1895. — V. 12, № 3. — P. 9 — 55.

41. Domanski P., Vogt D. The coherence of complemented ideals in the space of real analytic functions // Math. Ann. 2010. — V. 347. — P. 395−409.

42. Eidelheit M. Zur Theorie der Systeme linearer Gleichungen // Studia Math. 1936. — V. 6. — P. 139−148.

43. Gruman L. Some precisions on the Fourier-Borel transform and infinite order differential equations // Glasgow math. J. 1973. — V.14, № 2. P. 161−167.

44. Hormander L. Notions of convexity. Progress in Mathematics 127, Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, — 1994.

45. Langcnbruch M. The splitting condition for the weighted^-complex // Results in Mathematics. 1992. — V. 22. — P. 560−597.

46. Langenbruch M. Continuous linear right inverses for convolution operators in spaces of real analytic functions // Studia Math. 1994. V. 110. P. 65−82.

47. Meise R., Vogt D. Introduction to Functional Analysis. Charendon press. Oxford. — 1997. — 448 p.

48. Melikhov S. N., Momm S. Solution operators for convolution equations on the germs of analytic functions on compact convex sets of.

49. Melikhov S. N., Momm S. Analytic solutions of convolution equations on convex sets with obstacle in the boundary // Math. Scand. 2000. V.86. P. 293−319.

50. Momm S. Convex univalent functions and continuous linear right inverses //J. Funct. Anal. 1992. — V. 103, № 1. — P. 85−103.

51. Momm S. A critical growth rate of the pluricomplex Green function // Duke Math. J. 1993. — V. 72. — P. 487−502.

52. Momm S. Convolution equations on the analytic functions on convex domains in the plane // Bull. Sci. Math. II. 1994. — Ser. 118, № 3. -P. 51−75.

53. Иванова О. А. О правых обратных, определяемых последовательностями Айдельхайта // Современные методы теории краевых задач. Материалы весенней математической школы «Понтрягинские чтения XXм, Воронеж: ВГУ. — 2009. — С. 70−71.

54. Иванова О. А. О проблеме моментов в пространстве Фреше без непрерывной нормы // Математический анализ и математическое моделирование. Труды международной конференции молодых ученых, Владикавказ. 2010. — С. 94−95.

55. Иванова О. Л., Мелихов С. Н. Левый обратный к оператору сужения на весовых (//^-пространствах целых функций // &bdquo-Комплексный анализ. Теория операторов. Математическое моделирование". Владикавказ, изд-во ВНЦ РАН. 2006. — С. 35−47.

56. Иванова О. А., Мелихов С. Н. О дополняемости собственных замкнутых идеалов в пространстве аналитических функций // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова, Ростов-на-Дону. 2008. — С. 109.

57. Иванова О. А., Мелихов С. Я. О представлении аналитических функций рядами из квазимономов // &bdquo-Исследования по современному анализу и математическому моделированию". Владикавказ, изд-во ВНЦ РАН и РСО-А. 2008. — С. 30−37.

58. Иванова О. А., Мелихов С. Н. О последовательностях Айдельхайта для пространств Фреше без непрерывной нормы // Современные методы теории краевых задач. Материалы весенней математической школы «Понтрягинские чтения — XXI Воронеж: ВГУ. 2010. С. 100−101.

59. Иванова О. А., Мелихов С. Я. О правых обратных, определяемых последовательностями Айдельхайта // Владикавк. Мат. Журн. -2010. Т.12, вып. 2. — С. 24−30.

60. Иванова О. А., Мелихов С. Н. О линейной непрерывной зависимости решения проблемы моментов от правой части // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы Воронежской зимней математической школы, Воронеж: ВГУ. 2011. -С. 151−152.

61. Иванова О. А., Мелихов С. И. О коэффициентах рядов по функциям Миттаг-Леффлера для аналитических функций // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Серия: Естественные науки. 2012. — № 6. — С. 21−26.

62. Мелихов С. Н., Иванова О. А. О левом обратном к оператору сужения на некотором весовом пространстве целых функций // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова, Ростов-на-Дону. 2004. — С. 129.