Коммутирующие дифференциальные операторы и их приложения в дифференциальной геометрии

Диссертация посвящена построению коммутативных колец обыкновенных дифференциальных операторов ранга 2, их разностных аналогов, коммутативных колец дифференциальных операторов нескольких переменных с матричными коэффициентами, связанных с многомерными алгебраическими многообразиями, а также некоторым приложениям теории интегрируемых систем в дифференциальной геометрии и математической физике.

Глава 1 посвящена обыкновенным коммутирующим дифференциальным операторам ранга 2.

Уравнения коммутации двух обыкновенных дифференциальных операторов представляют собой сложную систему нелинейных уравнений на их коэффициенты. Одни из первых результатов по этим уравнениям были получены в 1920;30-е годы Берчналлом и Чаунди [1]-[3]. В частности, Берчналл и Чаунди доказали следующее утверждение.

• Если ЬЬ2 = ?г-^ъ то существует ненулевой полином от двух коммутирующих переменных такой, что 0-(Ь, Ь2) = 0.

Например, несложно убедиться, что операторы п—2 т-2 сР 2 (р 3 с1 3 -— , — — + коммутируют между собой, при этом они связаны полиномиальным соотношением Ь = Ь.

Новый интерес к коммутирующим дифференциальным операторам появился в 1960;70-е годы в связи с тем, что было замечено, что некоторые нелинейные уравнения типа уравнения Кортевега-де Фриза эквивалентны условию коммутации специально подобранных операторов. Например, операторы.

Ь = д1+и, А = дг-{&х +^идх + ^их) коммутируют в том и только в том случае, когда функция и (х,?) удовлетворяет уравнению Кортевега-де Фриза.

Щ = ^(бгшя + иххх).

Наличие Ь, А-пары позволяет строить точные решения этих уравнений.

В основе построения операторов и Ь2 лежит спектральная кривая Г — пополнение кривой, заданной в С2 уравнением (¿-(г, ги) = 0. Мы будем рассматривать только случай общего положения, когда кривая Г гладкая. Для каждой точки Ре Г найдется совместная собственная функция ф (х, Р) (функция Бейкера-Ахиезера) операторов и Эта функция имеет существенную особенность в некоторой выделенной точке ц? Г, а на Г{<?} она мероморфна. При этом и-ф = Х{(Р)ф, (1) где Лг (Р) — некоторая мероморфная функция на Г с единственным полюсом в точке д. Число I линейно независимых совместных собственных функций, отвечающих общей точке Р Е Г называется рангом пары 1,1,½. Порядки операторов Ьх и Ь2 делятся на 1: п = п'1, т = т'1. Порядки полюсов функций Ах и Л2 в точке q равны соответственно п' и га'. В случае ранга 1 ф можно выразить через тэта-функцию кривой Г и коэффициенты операторов восстанавливаются по ф (см. [4]). В случае ранга I > 1, как показал Кричевер [5], нахождение ф сводится к решению интегрального уравнения, точное решение которого получить не удается. На самом деле для нахождения операторов ранга I > 1 не обязательно знать ф. Кричевер и Новиков [6] предложили следующий метод (называемый методом деформации параметров Тюрина) нахождения таких операторов.

Пусть фо (х, Р),., •?/'г-1(ж, Р), Р € Г совместные собственные функции, нормированные следующим образом.

2) где хо — некоторая фиксированная точка. Обозначим через Ф матрицу Вронского.

Ф -=.

V А.

Компоненты хЖх>Р) матрицы.

Фо Ф’о.

1−1).

Ф1−1 Ф1−1 ф.

1х ф.

— 1.

0 1 0. 0.

0 0 1. 0.

0 0 0. 1.

V Хо XI Х2 • • Х/-1 / не зависят от выбора точки ж0. По функциям х* из разложения ХоФз.

2, й1−1, йX1 и нормировки (2) можно находить производные любого порядка в точке Хд. Далее, из (1) можно найти значения коэффициентов операторов Ьг в точке ж0. Поскольку функции Хз не зависят от получаем значения коэффициентов операторов в любой точке. Таким образом нахождение операторов сводится к нахождению функций ХзНовиков и Кричевер [6] нашли Хз в случае кривой рода 1 и ранга 2. Мохов [7] нашел Хз в случае д = 1 и I = 3. Как указали Новиков и Гриневич спектральная теория периодических операторов ранга I > 1, связанных с кривой Г, сводится к спектральной теории операторов ранга 1 после перехода к /-листному накрытию кривой Г [8], [9].

Необходимо отметить, что к задаче отыскания пар коммутирующих операторов существует и чисто алгебраический подход. Диксмье [10] изучал коммутативные подкольца в некоммутативных кольцах. В частности, такое подкольцо задается коммутирующими операторами рода 1 ранга 2 с полиномиальными коэффициентами ь2 = (4ч — хл — аА (4-х — я3 — аА + (~ - X3 х2 / 2 с? е2) с1×2 где, а — некоторая константа.

Гриневич [11] выделил среди операторов рода 1 ранга 2, найденные Кричевером и Новиковым, те которые имеют рациональные коэффициенты. Моховым [7] получен аналог этого результата для операторов рода.

1 ранга 3.

В § 1.1 мы рассматриваем спектральную кривую рода 2, при этом выделенная точка q отлична от точки Вейерштрасса. Основной результат этого параграфа заключается в следующем. Пусть I — 2 и кривая Г рода.

2 задается в С2 уравнением ги2 = = г6 + с5гъ + с4г4 + с3г3 + с2г2 + сгг + с0, где с0 ф 0. Кривая Г допускает голоморфную инволюцию сг: Г —> Г, а (г, го) = (г, —го), которая имеет 6 неподвижных точек (гг, 0), где г* — точки ветвления (корни уравнения Р (г) = 0). Мы рассматриваем случай, когда аХг — XI.

Тогда функция Х определена на Г/а, т. е. можно считать, что XI зависит только от г и не зависит от ги. Функцию Хо мы представляем в виде.

2 (Хо + о-Хо) + 2>/(Хо — ^Хо)2, где хо + и (хо — &-Хо)2 также определены на С. Таким образом мы сводим задачу нахождения Хг на Г к нахождению трех функций Хъ Хо + сХо и (хо — сгХо)2 на С. Смена знака у >/(Хо — 0″ Хо)2 дает функцию стхо-Имеет место.

Теорема 1.1 [63] Компоненты Хо (я, Р) и Р) матрицы^гФ-1 имеют следующий вид х Р = ^(ж) 71 72.

1 ' г — 71 (ж) 2−72(.т) 71 (х) 72(ж)'.

1Н (ХШХ), 1, «я (а?) 1 гтй—.ч.

Хо (:Г'Р) = -2,-71(0-) «2 , — 72 (а-) + 2^ + 1» + 2^^, 202(хЫ (х) + 1 + I (2Ы*)+Ъ№) + £Л + 712(*)722(*) г — ч2{х) г2 г 71(ж)72(.т) с0) с0.

Все нули функции Я имеют первый порядок и расположены в точках ветвления, все полюсы имеют второй порядок (поэтому функция у/Я корректно определена на Г). Функции 71 (.т) и 72(2-) удовлетворяют нелинейному дифференциальному уравнению, которое интегрируемо в квадратурах относительно 71 (х), если положить.

В этом случае решение этого уравнения имеет следующий вид.

— и I / У№ (2су ^ yF{y2){B + АУ1у ^ где ^ «.

С — Вух.

Функции Н (х), Fi (x), Gi (x) и к2(х) выражаются через 71 (х) и 72(2-) по формулам (1.23), (1.19)-(1.22) и (1.13).

Следствие 1.1 Оператор, отвечающий функции.

Л= Л +.

2z3 24z2c0 z 4c0 имеет следующий вид где fA = аЗа0, /з = -ба'0 — 36ь.

2 = /? — 7о'о' - 6bi — Зах — 2аа0 + За§-, i = —2abi + 3a0&i — 3b2 — 2аа|, + 6a0ao — 6a[ - 76″ - 4a'0″, о = 7- + аа2 — Oq — 2aai + 3a0ai + 2(a'0)2.

— 2"6- - 66'2 — aa" + 3a0a'? — 7a!{ - 4b'" - alQv.

Функции a0(x), ai (x), bi (x) и b2(x) находятся из разложений x’o u Xi 6 ряд по степеням z 1.

Xo — + a0 + aiz + 0(z2), xi = hz + b2z2 + 0(z3),.

H (x) 7I (a-) H{x)j2{x) к2 71 (s) + 72(2) cx ao[X) 2Ъ (х) + 2Ъ (х) + 2 + 2ъ (х)ъ (х) + 4с0'.

Н{хЩх) H (x)j2{x) F^itjx) G1(x)jl (x) F2(x)^(x) l[X) 2T?(rr) + 272(0-) + 4rft{x) 27I («) 4Ъ2(х).

С?а (®)У2(а-) + ЦЩ (х) ^ /2(71^)+ 72(*)) + ?L.

273(0-) 4c0 16 V c0 l Ггч TI (^), 72 (ж), / л 7I (a?), У2(ж) а, /3 и 7 — коэффициенты разложения, А в рлд.

1 а Р л = 7з + 7 +.

Z ^ Z.

2 с0 8 & 7 32 с1 8 ск 4 с0' с2 с С? С1С2.

— о.

Операторы, коммутирующие с Ь, легко находятся из уравнений коммутации.

Ниже мы приведем примеры операторов с полиномиальными коэффициентами.

Эту конструкцию можно обобщить на гиперэллиптические спектральные кривые рода 3 и 4 [64] (см. § 1.1.2), причем среди операторов, отвечающих спектральным кривым рода 4 можно выделить операторы с полиномиальными коэффициентами. Примеры таких операторов мы также приведем в § 1.1.2.

В § 1.2 построены некоторые обыкновенные формально самосопряженные коммутирующие дифференциальные операторы ранга 2, отвечающие кривой рода 2, причем выделенная точка д совпадает с точкой Вейерштрасса.

Основной результат этого параграфа заключается в следующем. Пусть I = 2 и кривая Г рода 2 является гладким пополнением бесконечно удаленной точкой оо кривой, заданной в С2 уравнением которая имеет б неподвижных точек q — оо, 0), где — точки ветвления (корни уравнения Р{г) = 0). Мы рассматриваем случай, когда го2 = Г (г) = г5 + с3г3 + с2г2 + схг + с0.

Кривая Г допускает голоморфную инволюцию о: Г Г, ги) = (г, —т),.

Х = XI.

Справедлива.

Теорема 1.2 [65] Имеют место равенства.

Хг = УУ г —у 2 ~ (7 + с).

1 ЯхУ 1 Я2У к 1 ги.

Хо = -х-^ - г-Г1-,—г + 77 + о где.

2 г — 7 2 г — (7 -Iс) 2 2 (г — 7) (г — (7 + с))'.

— 47'4 + 8сУ2У — с27″ 2 + 2с2УУ" с = 2.

2с2 у: = У5+^С2/4+^(10С2+Зсз)?/3+^(5СЗ+2С2+ЗССЗ)У2-Ь (С4+С1+СС2+С2СЗ)2/+5, у = 7(ж),(5, с б С. Функции Щ (х) выражаются через ^(х) по формулам (1.27)-(1.29).

Следствие 1.2 Оператор, отвечающий функции г имеет вид.

Укажем пример. Пусть кривая Г задается уравнением.

2 5 10 3 7 ги2 = гь — —г6 + -г О о и пусть.

Тогда Ь имеет вид.

1024 с = 2, 5 = 1, 7=1. хн о4, X6 425 / Ж5 425. х12 245а-4 2569.

49 152 6×2 / х 8192 За-3/ * 9 663 676 416 589 824 144а-4'.

Оператор десятого порядка, отвечающий функции ги, мы здесь не приводим из-за его громоздкости.

В главе 2 найдены дискретные коммутирующие операторы Кричевера.

Новикова с полиномиальными коэффициентами, т. е. коммутирующие разностные операторы ранга 2, отвечающие спектральной кривой рода 1, коэффициенты которых являются полиномами от дискретной переменной п. Результаты этой главы опубликованы в [66]—[67].

В теориях коммутирующих обыкновенных дифференциальных операторов и коммутирующих разностных операторов существует много общего. Как и в случае дифференциальных операторов, для коммутирующих разностных операторов.

ЛГ+ м+.

1 = 53 щ{п)Т Ь2 = Уг (п)Т.

NМгде п € Ъ — дискретная переменная, Т — оператор сдвига по дискретной переменной.

Г/(п) = /(п + 1), существует спектральная кривая Г, заданная в С2 некоторым полиномом <3(А,/л), которая параметризует их совместные собственные функции и собственные значения.

Ьхф{п, Р) = Хф (п, Р), Ь2ф (п, Р) = цф{п, Р), Р = (А, а0 6 Г.

Точно также как и в гладком случае определяется ранг операторов Ьу и Ь2, как размерность пространства совместных собственных функций в точке Р? Г общего положения. Одним из основных отличий дискретного случая от гладкого заключается в следующем. Любое коммутативное кольцо обыкновенных дифференциальных операторов изоморфно кольцу мероморфных функций на алгебраической кривой с единственным полюсом в выделенной точке д е Г, а любое коммутативное кольцо разностных операторов изоморфно кольцу мероморфных функций на алгебраической кривой с тп полюсами, где тп может быть любым натуральным числом [12]. Такие операторы называются т-точечными.

Мамфордом [13] и Кричевером [14] найдены спектральные данные, отвечающие двухточечным операторам ранга 1.

Мы будем рассматривать только одноточечные операторы. При I > 1 нахождение функции ф (п, Р) сводится к решению задачи Римана и найти ее в явном виде не удается. Метод деформации параметров Тюрина работает также и в дискретном случае: Кричевером и Новиковым [12] показано, что коэффициенты операторов можно восстановить из решений уравнений на параметры Тюрина голоморфных стабильных расслоений, которые однозначно задаются функцией 1р (п. Р), при этом коэффициенты операторов зависят от произвольных I функциональных параметров. А именно, ими показано, что для восстановления коэффициентов операторов достаточно найти матричную функцию х (п, Р) = Ф (п + 1, Р)Ф" 1(п, Р), где Ф (п, Р) — матрица Вронского, построенная по некоторому базису в пространстве совместных собственных функций. Используя этот метод Кричевер и Новиков нашли операторы ранга 2, отвечающие эллиптической кривой. При этом коэффициенты операторов выражены через? и р-функции Вейерштрасса от двух функциональных параметров.

Мы укажем спектральные данные для операторов ранга 2, отвечающие эллиптической кривой, коэффициенты которых выражаются через элементарные функции от функциональных параметров. В частности, мы укажем операторы, которые как и операторы Диксмье имеют полиномиальные коэффициенты.

Можно считать, что аффинная часть спектральной кривой Г задана в С2 с координатами (г, ги) уравнением ги2 = = + с2г2 + схг + 1.

В качестве выделенной точки возьмем точку § = (0,1) € Г (кольцо коммутирующих разностных операторов изоморфно кольцу мероморфных функций на Г с полюсом в ц). Кривая Г допускает голоморфную инволюцию, а: Г —> Г, сг (г, к-) = (г, — ги). При I = 2 матрица х (п> Р) имеет вид х (п, Р)=[ т /гл), Р=(г, ш) бГ.

V Хг{п, Р) Х2(п, Р)) к '.

Предположим, что.

XI (п, Р)=Х1(п, а (Р)), тогда имеет место.

Теорема 2.1 Функции х (х, Р) иР) имеют вид где г — 7(га) 7(п) — 7(га + 1)' / 1 а (п) гиу (п) .

Р) = 21 + + 2гШ-Х) +.

ОД =.

47(п)(7(П) -у (п- 1)) а (п + 1) — 1ЬЫ + (<*(«) + 1) т (п + 1).

2(7(77.) — 7(п + 1))7(га + 1).

7(п), а (п) — произвольные функции дискретной переменной пей.

Функция Ах (г) на кривой Г, имеющая единственный полюс второго порядка в точке q, выглядит следующим образом 1 С ги.

Обозначим через Ь^п), е-(га) и р{ коэффициенты разложений функций хи Х2 и Лх в ряд в окрестности д:

XI (п, г) = Ьо (п) + дх (п)г + ., хг (п> = ^ + е0(п) + ех (п)г + ., л 1, Р1, С1, с2 С! г2 1 г ' «» ' «'» ' 1~6 ' 4 ' ^ 2.

Коэффициенты г = 0,1 выражаются через 7(гг), а (п) по формулам.

2.5)-(2.8).

Следствие 2.1 Оператор ¿-(Ах) имеет следующий вид.

Ь (А2) = Т2 + и1(п)Г + и0(п) + и^{п)Т~х + и2(га)Т-2, где щ (п) =ре0(п) — е0(га + 1), щ (п) =р0- Ь0(п) — Ь0(п + 1) -рге0(га) + бо (гг) — е{п) — еЦга-Ь 1), и1(п) = -6х (п) + Ь0{п)^-Рх — +е0(п- 1) + е0(п)^, м2(п) — Ь0(п)Ь0(п — 1).

Основным результатом этой главы является Теорема 2.2 Если функциональные параметры а (п), у (п) положить равными а (п) = п + 1, 7(п) = п, то операторы имеют полиномиальные по п коэффициенты. При этом.

Ь2 = Т2 + 2(п + 2) Т — (у + п3 — ^(1 — с2) п2 — 1(8 — С1 — с2) п).

-^(п3 + (с2 — 1) п + с1−2)(п2 + п- 1) Т" Ч ^(п3 + (с2 — 1) п + С! — 2)(п3 — Зп2 + (2 + с2) п + а — с2 — 2)(п +1) (п — 2) Т~2.

Глава 3 посвящена построению коммутативных колец дифференциальных операторов нескольких переменных с матричными коэффициентами, чьи совместные собственные вектор-функции и собственные числа параметризуются точками спектрального многообразия Ук, которое является пересечением гладких гиперповерхностей Уах П • • • П Уак в главно поляризованном абелевом многообразии X9 размерности д, к < д — 1. Гиперповерхность является сдвигом на элемент а3 6 X9 тэта-дивизора У С X9. Через С^ обозначим многообразие У^ П У. Далее будем предполагать, что многообразие У^ трансверсально пересекается с и с У, 3 + й < к, пусть У7 и являются гладкими неприводимыми и пусть также набор а,., Чк находится в общем положении (т.е. принадлежит некоторому открытому всюду плотному множеству в Xя х • • • х X9).

Имеет место.

Теорема 3.1 [68] Существует вложение кольца мероморфных функций на многообразии Ук с полюсом на в кольцо д х д-матричных дифференциальных операторов по д — к переменным с аналитическими в окрестности 0 коэффициентами к: Ак-+ М&Ь (д, дк).

Образом вложения является коммутативное кольцо (д — к)-мерных матричных дифференциальных операторов.

Теорема 3.1 непосредственно вытекает из свободности модуля Бейкера-Ахиезера на многообразии Ук (теорема 3.2).

Теорему 3.1 мы докажем, используя результаты Накаяшики [15] (см. также [16]), который построил вложение кольца мероморфных функций на X9 с полюсом на У в кольцо^{-мерных} д х ^¡—матричных дифференциальных операторов. Двумерные 2×2-матричные такие операторы (операторы Накаяшики) изучались в работах автора [17] и [18].

В частном случае, когда <7==3,г = 1, ав качестве спектральной поверхности служит тэта-дивизор, теорема 3.1 была доказана Накаяшики [15].

Ротштейн в [19] построил другой пример коммутирующих матричных дифференциальных операторов. В этом примере д = 5, г = 1, размерность матриц N = 5, а в качестве спектральной поверхности служит поверхность Фано.

С коммутативными кольцами из теоремы 3.1 связан аналог иерархии уравнений Кадомцева-Петвиашвили дга ~ д10 — Ьр] = О, где Ьа и Ьр — д х ^¡—матричные дифференциальные операторы по д — к переменным, коэффициенты которых зависят от ¿-а и ¿-/з, а и ?3 принадлежат счетному множеству индексов.

Глава 4 посвящена построению п-ортогональных криволинейных систем координат вЁ" и фробениусовых многообразий, отвечающих сингулярным спектральным кривым. Результаты этой главы получены совместно с И. А. Таймановым и опубликованы в [69],[70].

Построение п-ортогональных систем координат в Мп является классической задачей дифференциальной геометрии. В наше время интерес к этой задаче обусловлен тем, что она тесно связана с задачами теории систем гидродинамического типа и топологической теории поля (Дубровин, Новиков, Царев, Кричевер, см. ссылки в [20, 21]).

К задаче явного построения плоских криволинейных п-ортогональных систем координат применимы методы интегрируемых систем: Захаров [21] применил метод одевания, а Кричевер [20] получил конечнозонный аналог этого метода. Причем в конструкции Кричевера предполагается, что спектральная кривая является гладкой. Это влечет то, что координатные функции выражаются через тэта-функцию спектральной кривой и, следовательно, классические системы координат таким способом не могут быть получены.

В случае, когда спектральная кривая является приводимой, а каждая неприводимая компонента изоморфна СР1, мы показываем, что нахождение ортогональных криволинейных систем координат сводится к решению систем линейных уравнений. Мы также показываем как в эту схему вкладываются классические системы координат, такие как полярные координаты на плоскости, цилиндрические координаты в трехмерном пространстве и сферические координаты в Мп, где п > 3.

Справедлива.

Теорема 4.1 Теорема Кричевера (см. § 4.1.1) останется справедливой для сингулярной алгебраической кривой, если в формулировке заменить род спектральной гривой д на ра (Г)> т. е. на арифметический род Г и предположение о гладкости кривой Г/сг заменить на условие, что Р,., Рп и полюсы Г2 являются несингулярными точками.

В § 4.2 мы находим, используя схему Кричевера [20], решения уравнений ассоциативности двумерной топологической теории поля с однородными корреляторами, отвечающие сингулярным спектральным кривым, и расширяем эти решения до фробениусовых многообразий.

Если применить схему Кричевера для гладкой спектральной Кривой, то решения уравнений ассоциативности выражаются через тэта-функцию спектральной кривой и достаточно очевидно, что корреляторы не могут быть квазиоднородными.

Мы используем подход, развитый в § 4.1 и применяем схему Кричевера для приводимых рациональных кривых. В этом случае нами найдены достаточные условия для того, чтобы корреляторы были однородными функциями.

В теореме 4.2 указаны некоторые достаточные условия, при которых спектральные данные отвечают метрикам Дарбу-Егорова, по которым строятся решения уравнений ассоциативности с однородными корреляторами сд/37. С помощью леммы 4.3 мы расширяем полученные решения до фробениусовых многообразий. В этом параграфе мы также указываем конкретные примеры приводимых спектральных кривых, отвечающих фробениусовым многообразиям.

Глава 5 посвящена некоторым приложениям интегрируемых систем в теории минимальных и гамильтоново минимальных лагранжевых подмногообразий вС и СРп.

Многие задачи дифференциальной геометрии, такие как построение поверхностей постоянной отрицательной гауссовой кривизны в К3, построение торов постоянной средней кривизны в К3, сводятся к нахождению решений солитонных уравнений, которые эквивалентны условию коммутации матричных дифференциальных операторов (уравнения Захарова-Шабата) дх — А, ду — В] = 0- где А, В — матричные функции. В частности, к этому классу задач относятся и некоторые задачи построения минимальных и гамильтоново-минимальных лагранжевых подмногообразий вСи СРп.

В § 5.1 мы укажем новый метод построения гамильтоново-минималь-ных и минимальных лагранжевых погружений некоторых многообразий в С" и в СРп, а также получим некоторые результаты, которые будем использовать в дальнейшем. В частности, с помощью этого метода можно построить погружения таких многообразий как обобщенная бутылка Клейна /Сп, многомерный тор, /С" -1 х Б1, 5П-1 х й" 1 и др. В некоторых случаях эти погружения являются вложениями. Например, вложить молено следующие многообразия: /С2п+1, 52п+1×51, /С2п+1×51, 52п+1×51×5х.

Погружение ф: Ь Р п-мерного многообразия Ь в симплектическое.

2п-морное многообразие Р с симплектической формой и> называется ла-гранжевым, если ф*(и>) = 0.

В дальнейшем в качестве симплектического многообразия Р будем рассматривать кэлерово многообразие с симплектической формой ш = —где ¿-в2 — эрмитова метрика на Р.

Лагранжево погружение ф называется гамильтоново-минималъным (Н-минимальным), если вариации объема ф (Ь) вдоль всех гамильтоно-вых полей с компактным носителем равны 0.

У01 ШЩы = 0, где фо{Ь) = ф (Ь), фг (Ь) — деформация ф (Ь) вдоль гамильтонова поля У, т. е. такого поля, что 1-форма и}цг (ф*(^)) — Ф*<^(Щ 0 является точной на I/, уо1 (фг (Ь)) — объем деформированной части фь{Ь).

Примером гамильтоновых деформаций могут служить деформации единичной окружности на единичной сфере 52, при которых 52 разбивается в каждый момент времени на две части одинаковой площади. Напомним, что погружение называется минимальным, если вариации объема 'Ф (Ь) вдоль всех полей равны нулю.

Пусть МсК&trade— /¡—мерное подмногообразие, заданное системой уравнений второго порядка е^и Н——-Ь = ??1 з = 1,., п — к, (3) где ^ € е,^ 6 Ъ.

Так как сИтМ = к, то можно считать, что уравнения (3) линейно независимы и целочисленные векторы е3 = (ел,., еЯпк)) е Ъп~к, з = 1,., п задают решетку, А в Еп-А: максимального ранга. Обозначим через А* двойственную решетку к А, т. е.

А* = {А* е КП-*|(А*, А) 6 2, А € А}.

Обозначим через Г следующую фактор-группу.

Г = Л*/2Л*. Имеет место очевидный изоморфизм.

Г = Щ~к.

Через Тп~к обозначим (п — &-)-мерный тор rjin-k ^ е7Г г (е", 1/)^ ^^m ^ где y = (yi,., yn-k)eRn~k, ej, y) — ejiyiI——-h ецп-к)Уп-к.

Определим действие группы Г на многообразии М х Тп~к. Для 7 € Г положим.

7(ui,., ип, у) = («г cos 7 г (еь 7),., ип cos7r (en, 7), у + 7). Отметим, что cos7r (ej, 7) = ±1. Введем отображение р: Мх Тп-к С» ,.

2/) =.

Обозначим посредством е вектор е — ехЛ——-h е&bdquo-.

Мы полагаем, что на С" задана евклидова метрика и симплектическая форма ш = dxi A dyi + • • • + dxn A d?/n.

Справедлива.

Теорема 5.1 [71],[72] Группа Г действует наМхТп~к свободно. Отображение <р задает погружение.

Ф1: Mi = М х Тп~к/Г Сп.

Погружение фх является Н-минимальным лагранжевым. Если е = О, тофх — минимальное лагранжево погружение.

Как нам указал Д. Джойс минимальные (но не гамильтоново-мини-мальные) подмногообразия из этой теоремы могут быть получены методом перпендикулярной симметрии, развитым в [22], но в [22] фактически не указано какие подмногообразия можно получать методом перпендикулярной симметрии.

Ниже мы покажем, что ф является взаимно однозначным отображением между открытыми всюду плотными подмножествами в и Ф{М), которые определяются неравенствами и3 ф 0,] = 1 ,., п. Таким образом самопересечения у ^(Мг) могут возникать только в тех точках, у которых и^ = 0 для некоторого.

Для того, чтобы М было замкнутым достаточно, например, потребовать чтобы одно из уравнений (3) задавало эллипсоид.

Понятие^{-минимальности} ввел О [23]. Он же доказал, что тор

Ых-х^УсС", где — окружность радиуса rj, является^{-минимальным} лагранжевым подмногообразием в С". Другие примеры^{-минимальных} ла-гранжевых торов в С2 построили Кастро и Урбано [24] и Хела и Ромон [25]. В работе [26] Хела и Ромон построили погруженную (с самопересечением) Н-минимальную лагранжеву бутылку Клейна в С2. Как показал Немировский [27] в С2 не существует вложенных лагранжевых бутылок Клейна. Этим исчерпываются известные ранее примеры Н-минимальных лагранжевых подмногообразий в С" .

Отметим, что пример О также вытекает из того факта, что окружность 5х (г) в С является^{-минимальной} и из следующей леммы. Лемма 5.1 Пусть Р — х и со = + тг^^, где — кэлерово многообразие, пг: Р —> Рг — проекция, г = 1,2. Пусть Ьг С Рг — Н-минимальное лагранжево подлтогообразие, г = 1,2. Тогда подмногообразие Ь — Ь х ½ С Р является Н-минимальным лагранжевым подмногообразием.

Рассмотрим случай, когда М является конусом, т. е. ^ = 0 в уравнениях (3). Тогда этому конусу отвечает погружение Ф2 в комплексное проективное пространство СРп~г (п — 1)-мерного многообразия М2, которое получается факторизацией многообразия.

М — {0}) х Тп~к/Г по действию К* ф2(ии ., ип, у) = (ще*^ ипе-<*•'">).

Мы полагаем, что на СРп~1 задана метрика Фубини-Штуди и в качестве симплектической формы берется кэлерова форма О этой метрики. Имеет место.

Теорема 5.2 [71],[72] Погружение ф2 является Н-минимальным ла-гранжевым погружением.

Если е — 0, то ф2 является минимальным лагранжевым погружением.

Очевидным образом строятся примеры замкнутых многообразий М2. Для этого достаточно, например, чтобы в одном из уравнений (3) все коэффициенты кроме одного были положительные.

Хела и Ромон [28] установили соответствие между ¿-/" -минимальными лагранжевыми конусами в С3 и. Неминимальными лагранжевыми поверхностями в СР2, но конкретных примеров таких поверхностей в [28] предложено не было. Кастро и Урбано [29] построили примеры лагран-жевых минимальных торов в СР2.

Из леммы 5.1 следует, что используя примерыНеминимальных ла-гранжевых погружений в Сп и СР" можно строить Л-минимальные ла-гранжевы погружения вС" х СР" 1 х • • • х СРПк.

В § 5.2 получены уравнения для гамильтоново-минимальных лагран-жевых поверхностей в СР2 (Лемма 5.5) и указаны их частные решения в случае торов. Имеет место.

Теорема 5.3 [73] Отображение ф: М2 —СР2, заданное формулой ф (х, у) = (Р1(х)е^х)+а1у): Р2(х)е^х)+а^: Р3(х)е{{Сз{х)+азу)), является конформным лагранжевьш Н-минимальным погружением плоскости, где индекс г рассматривается по модулю 3), а> а2 > 0, си* — вещественные числа, удовлетворяющие неравенствам (5.19), (5.20), константы С1, с2, а, аз выражаются через аг-, щ по формулам (5.14), (5.16) и из уравнения (5.17), эп — эллиптическая функция Якоби.

Если при этом а^, а2, аз ЕЪ и где Т — период функции е2у^ (см. (5.18)), т Е К, то ф — двояко периодическое отображение с периодами в = (0,1) и е2 — М (Т, т), N — некоторое натуральное число.

Отметим, что Ах и Л2 зависят от свободных параметров ах, а2, т и поэтому Лх, А2 Е 27 г (!2 для плотного множества троек (ах, а2, т) из некоторой области.

Кастро и Урбано [29] построили минимальные лагранжевы торы в СР2, которые являются частными случаями торов из теоремы 5.3 при а2 + аз = 0 и (ах + а2)(с% + с) — аа = 0.

В § 5.3 мы покажем, что иерархия Веселова-Новикова [30] задает интегрируемые деформации конечнозонных минимальных лагранжевых торов в СР2. Пусть Б5 — единичная сфера в С3, %: 5″ 5 СР2 — расслоение Хопфа. Будем задавать конформное лагранжево погружение (р: ?1 СР2 области С Е2 как композицию г: —> ?5 и %.

Имеет место лемма Лемма 5.6 Компоненты гвектор-функции г удовлетворяют уравнению Шредингера.

Ах = Сх (Г) — (Т) + (ах — а<3)т е 2тг<&А2 = 02{Т) — С3(Т) + (а2 — а3) т Е 2тгО,.

Ьг^ - + д2уг^ + г{0хдхг^ + Рудуг^) + 4е1т^- = 0, где 2ё" (с1×2 + с1у2) — индуцированная метрика на поверхности ц>{0), а Р (х, у) — лагранжев угол, определяемый равенством ег/3 = 2 А с^з (а), .

.

•^ъ ^2) — координаты в С3, х, у — координаты в П, а — репер образованный векторами г, -¡-^у.

Лемма 5.6 позволяет ввести следующее определение.

Лагранжев тор, заданный двояко периодическим конформным отображением р = Пог: К2 Р2, называется конечнозонным, если отвечающий ему оператор Шредин-гера Ь с периодическими коэффициентами, является конечнозонным на нулевом уровне энергии, т. е. если блоховские функции (совместные собственные функции Ь и операторов трансляций — операторов сдвига на периоды) оператора Ь на нулевом уровне энергии параметризуются ри-мановой поверхностью Г конечного рода. Риманова поверхность Г называется спектром лагранжева тора, а ее род — спектральным родом тора.

Так как отображение (р двояко периодическое, то компоненты вектор-функции г являются блоховскими функциями оператора Ь.

Конечнозонные операторы Шредингера по отношению к одному уровню энергии введены Дубровиным, Кричевером и Новиковым [31]. В [31] также указаны данные обратной задачи, по которым восстанавливаются потенциал и магнитное поле и приведены явные формулы.

У минимальных лагранжевых поверхностей в СР2 лагранжев угол постоянен (см. § 5.1), следовательно, им отвечают потенциальные операторы Шредингера.

Ь = д2х + д2у+ 4е".

В этом случае лемма 5.6 является аналогом известного утверждения, что компоненты вектор-функции, задающей конформное минимальное погружение плоской области в трехмерное евклидово пространство, являются гармоническими функциями.

Тор Клиффорда в СР2 имеет спектральный род 0. Кастро и Урбано [24] и Джойс [22] построили примеры минимальных лагранжевых торов спектральных родов 2 и 4. Отметим, что спектральный род конечно-зонного минимального лагранжевого тора является четным, поскольку спектральная кривая конечнозонного потенциального оператора Шре-дингера обладает голоморфной инволюцией [30].

Шарипов [32] доказал, что метрика минимального тора в ?5 удовлетворяет уравнению Цицейки. Им также построены конечнозонные решения этого уравнения. На самом деле, как уже отмечалось в [33], конструкция Шарипова пригодна для построения всех минимальных лагранжевых торов в СР2. Для этого нужно применить к отображению из М2 в Б5, построенному Шариповым, отображение Хопфа.

Из работы [32] остается неясность по поводу существования минимальных лагранжевых торов произвольных спектральных родов, поскольку в ней не обсуждалась проблема периодичности построенных отображений. Этот пробел восполняет работа Кэрбери и Макинтоша [34], в которой доказано, что для каждого спектрального рода д существует — 2)-мерное семейство минимальных лагранжевых торов в СР2.

Методами работы [35] можно показать, что все минимальные гладко погруженные лагранжевы торы являются конечнозонными. Действительно, метрика минимального лагранжева тора удовлетворяет уравнению Цицейки д2хь + = 4е~2″ - 4е" .

Михайлов [36] доказал, что уравнение Цицейки интегрируемо. Отсюда можно показать, что все его гладкие вещественные двояко периодические решения являются конечнозонными. Конечнозонные решения характеризуются тем, что они стационарны относительно некоторого высшего потока [37]. В нашем случае это вытекает из того, что функция д^ь, где ¿-г — высшее время, удовлетворяет эллиптическому уравнению д2 + д + 8е~2ь + 4е°)диь = 0 на торе К2/Л, где Л — решетка периодов. Так как спектр эллиптического оператора на торе дискретен, то функции д^у линейно зависимы и существует высшее время, относительно которого v стационарно.

Основной результат этого параграфа заключается в следующем. Пусть отображение г: R2 S5 задает конечнозонный минимальный лагранжев тор Т С СР2 спектрального рода д > 4. Тогда справедлива.

Теорема 5.4 [74] Существует отображение r (t), t = (t[, t'{, t'2, t2 .), r (0) г, задающее деформации тора Т в классе минимальных лагранжевых торов в СР2. Отображение г удовлетворяет уравнениям.

Lr = д2хг + d2r + 4 e*r = О, dt, nr = A’nr, dt, rr = A!^r, где A’n, A'n — операторы порядка (2п + 1) по переменным (х, у). Потенциал V — 4ev, v (Q) = v, деформируется согласно иерархии Веселова.

Новикова.

Щ- = [L, А’п] + B’nL, || = [L, <] + ВЩ где В’п, В" — операторы порядка (2п — 1) по переменным {х, у). Деформации r (t) сохраняют спектр тора Т и его конформный тип.

В этом же параграфе рассматриваются симметрии уравнения Цицей-ки. Как было показано с уравнением Цицейки vz, = e~2v — ev естественным образом связан двумерный оператор Шредингера.

L = дгд-г +.

Мы покажем, что симметрии уравнения Цицейки отвечают изоспектраль-ным деформациям этого оператора, заданным иерархией Веселова-Нови-кова (для первых нескольких уравнений). Таким образом ситуация полностью аналогична случаю KdV. С уравнением Кортвега-де Фриза ut — ^(6 иих + иххх) естественным образом связан одномерный оператор Шредингера д2х + и и его изоспектральные деформации, определяемые высшими КёУ, задают симметрии самого Кс1У.

Уравнение Цицейки допускает преобразование симметрии вида если равенство и + (2е-2^ + е")/ = 0 (4) выполнено на всех решениях уравнения Цицейки. В силу того, что.

— + е") = Дж + (2е2г' + е")/, аъ преобразование симметрии задает поток на пространстве решений.

Теорему 5.4 можно интерпретировать следующим образом. Теорема 5.5 Уравнения иерархии Веселова-Новикова задают высшие коммутирующие потоки на пространстве конечнозонных решений урав-ысния.

Цицейки, т. е. для высшего уравнения Веселова-Новикова вида /п («, Уг, «м, .), где V = еь — потенциал оператора Шредингера Ь, равенство (4) выполнено на всех конечнозонных решениях уравнения Цицейки.

Связь между уравнениями Веселова-Новикова (ВН) и уравнением Цицейки, указанная в теореме 5.5, объясняется еще и тем, что как следует из [38], первое стационарное уравнение ВН является следствием уравнения Цицейки, а следовательно, уравнения ВН должны задавать потоки на пространстве решений уравнения Цицейки. Справедлива теорема.

• Стационарное уравнение Веселова-Новикова.

Ь, А3] + В0Ь = 0,.

5) где.

Ь = д, дг + Аз = д + д — [у + угг) д2 — (у2- + У2г) д" Во = -дг{у2 + и") — д2{у + Ун), равносильно системе уравнений д2(ее" - V,) + 2уг{е~2ь — е" - у2,) = О, д,{е-2″ -еуVяг) + 2у5(е~2у — е" - уг2) = О.

Поскольку класс конечнозонных решений уравнения Цицейки достаточно обширен, то учитывая теорему 5.5, становится очевидно, что уравнения иерархии ВН задают высшие симметрии уравнения Цицейки. Подтверждением этой гипотезы является.

Теорема 5.6 [75] Второе, третье, пятое уравнения Веселова-Новикова заданные формулами (5.36), (5.37), (5.38) (см. § 5.3.2) задают высшие симметрии уравнения Цицейки.

В теореме 5.6 пропущено четвертое уравнение ВН, поскольку оно является следствием уравнения (5), и следовательно, задает тривиальную симметрию у^ = 0.

Отметим, что все симметрии уравнения Цицейки (и соответствующий оператор рекурсии) найдены в [39], а также для эквивалентного уравнения в [40].

В § 5.4 мы укажем новый метод построения минимальных лагранже-вых (МЬ) поверхностей в СР2 с индуцированной диагональной метрикой в терминах функций Бейкера-Ахиезера алгебраических кривых. Результаты этого параграфа опубликованы в [76].

Как уже отмечалось, если на МЬ-торе в СР2 выбрать изотермические координаты с индуцированной метрикой ¿-в2 — еу^х'уйх2 + ¿-у2), то функция у (х, у) удовлетворяет уравнению Цицейки. Это уравнение допускает представление Лакса со спектральным параметром.

На самом деле изотермические координаты не всегда удобны для описания ML-торов в CP2. В подтверждении этого рассмотрим следующий пример из § 5.1. Обозначим через К конус в R3, заданный уравнением ти + пи = (т + п) и, где га, п? Ъ, т, п > 0. Через К обозначим пересечение К с единичной сферой и + U 2 + и — 1.

Построим отображение ф из К х S1 в CP2 как композицию ф — Н о ф, где ф: К х S1 S5, ф (Р) = {щеж1ту, и2етпу, ще^т+п)у), — проекция Хопфа И: S5 CP2, Р G К х S1, у — координата на S1.

Образом отображения ф является либо ML-тор, либо ML-бутылка Клейна. Топологический тип зависит от того сохраняет или не сохраняет ориентацию эллипса mvf nv = т + п инволюция vi, v2) —> (ui COs (Tl7r), V2 COs (w7r)).

Отсюда видно, что эту поверхность можно также задать как образ композиции, Но , где <р: R2 —> S5, ¦!¦(,) VmTn^ /2ш + п eos (х) у/т + п eos2 (ж) | msin^a-)^^ л/m + 2n ' у m + 2п 2ш + п.

В координатах х, у индуцированная метрика имеет диагональный вид ds2 = e^dz2 + eV2dy2, причем можно убедится, что V ф v2. Таким образом с одной стороны ML-торы отвечают гладким периодическим решениям уравнения Ци-цейки (все такие решения выражаются через тэта-функции спектральных кривых), а с другой стороны этот пример наглядно показывает, что существуют координаты х, у, в которых метрика диагональна, и которые более подходят для описания этого МЬ-тора, поскольку в этих координатах тор описывается в элементарных функциях.

В этом параграфе мы построим МЬ-отображение плоскости в СР2 (с индуцированной диагональной метрикой) по спектральным данным, которые проще чем спектральные данные для решения уравнения Ци-цейки. А именно мы построим такое отображение по вещественной алгебраической кривой, которая допускает голоморфную инволюцию. В частности, мы не требуем чтобы спектральная кривая была тригональ-ной (как для решений уравнения Цицейки).

Основное отличие нашего метода от метода Шарипова [32] заключается в следующем. Мы не пользуемся представлением Лакса со спектральным параметром. Вместо этого мы в явном виде строим отображение ср: К2 -> 55 С С3, которое удовлетворяет уравнениям <р, Ч>Х >-< У, <Ру >=< 1Рх, фу >= 0, где < .,. > — эрмитово произведение в С3. Композиция отображении дает лагранжево отображение плоскости в СР2. В теореме 5.10 мы указываем спектральные данные, отвечающие МХ-отображениям плоскости в СР2.

В § 5.5 дано описание одного семейства минимальных конформно плоских лагранжевых торов в СР3, а также одного семейства гамильтоново минимальных конформно плоских лагранжевых торов в СР3. Результаты этого параграфа опубликованы в работах [77],[78].

Как и раньше будем задавать конформно плоское минимальное подмногообразие М как образ композиции р = Яог: Е3 57 СР3. Компоненты вектор-функции г удовлетворяют уравнению Шредингера.

Ьг = Аг + иг = 0, где f = e2vr, ds2 — (dx2 + dy2 + dz2) — индуцированная метрика на.

Если отображение </? является периодическим, то компоненты радиус-вектора г являются блоховскими функциями оператора Ь (собственными для Ь и для операторов трансляций — операторов сдвига на периоды). Из лагранжевости и минимальности М, а также конформности ср следует, что матрица И принадлежит группе U (4), причем det R — const. С точностью до действия на г некоторой постоянной унитарной матрицы, можно считать, что deti? = 1. Таким образом задача построения минимальных конформно плоских подмногообразий сводится к построению отображения г: R3 —>• S7, такого что R 6 SU (4). Введем матрицы X, Y и Z такие, что.

Так как Я € 811(4), то X, У и Z лежат в алгебре Ли ей (4). При этом они удовлетворяют уравнениям совместности.

Мы рассматриваем полностью интегрируемый случай, когда матрицы Х, У и Z зависят только от одной переменной г. Тогда решением уравнений нулевой кривизны являются матрицы вида (5.49),(5.50) и (5.51) (см. § 5.5), при этом V удовлетворяет уравнению.

М.

U{x, у, z) = ~{2Av + (Vv)2 + 12е2и). 1.

Rx = XR, Ry — YR, Rz = ZR.

Xy — Yx + [X, Y] = 0, Xz-Zx + [X, Z] = 0, Yz-Zy + [Y, Z] = 0. v'(z)2 + e2v^ + cie~6vM — 2(c2 + c2) = 0,.

6) где С1, С2 и сз — некоторые вещественные константы, которое после замены интегрируется с помощью абелева интеграла на гиперэллиптической кривой рода 2.

Имеет место.

Теорема 5.9 [77] Если матрицы X, У, Z зависят только от переменной г, то отображение г, задающее минимальное конформное отображение М3 в СР3, с точностью до действия группы 11(4), имеет вид где а>1,а2,с5 — некоторые константы, сг и с2 выражаются через «1,0:2 по форл1улам (5.71) и (5.72), у (г) — решение уравнения (6). Если при этом а1, а2,Сз такие, что уравнение (5.68) имеет два отрицательных корня и не имеет кратных корней, и (г) — периодическое решение уравнения (6), 0−1,0.2 и С4 (см. (5.70)) —рациональные числа, то отображение (р является периодическим по переменным х, у иг.

Условия теоремы будут выполнены, например, при скх = 1, а2 = 2, С3 = 2. При этом знаменатель в формуле для не обращается в нуль. В этом случае отображение ср является периодическим по ж и у, а периодичности по г можно добиться бесконечно малыми шевелениями сз = 2.

Кастро и Вранкен [41] рассмотрели минимальные лагранжевы подмногообразия в СР3, которые допускают поле Киллинга единичной длины, интегральные кривые которого совпадают с геодезическими. Они показали, что такие подмногообразия либо получаются из конструкции Браянта [42], либо отвечают решениям уравнения этЬ-Согёоп. Интересно отметить, что тензор Вейля метрики на многообразиях, получающихся из конструкции Кастро и Вранкена [41] равен 0, следовательно, эти многообразия являются конформно плоскими.

В § 5.5.2 мы обобщим теорему 5.9 на случай конформно плоских га-мильтоново минимальных лагранжевых торов.

Р (г) = Р (г)е^' Р = ^ (ЭД = с3 [ уЦс1 + с2) J.

1. J.L. Burchnall, 1.W. Chaundy. Commutative ordinary differential operators // Proc. London Math. Society. 1923. Ser. 2. V. 21. P. 420−440.

2. J.L. Burchnall, I.W. Chaundy. Commutative ordinary differential operators // Proc. Royal Soc. London 1928. Ser. A. V. 118. P. 557 583.

3. J.L. Burchnall, I.W. Chaundy. Commutative ordinary differential operators // Proc. Royal Soc. London 1931. Ser. A. V. 134. P. 471 485.

4. И. М. Кричевер. Интегрирование нелинейных уравнений методами алгебраической геометрии // Функц. анализ, и его прилож. 1977. Т. 11. Вып. 1. С. 15−31.

5. И. М. Кричевер. Коммутативные кольца линейных обыкновенных дифференциальных операторов // Функц. анализ, и его прилож. 1978. Т. 12. Вып. 4. С. 41−52.

6. И. М. Кричевер., С. П. Новиков. Голоморфные расслоения над алгебраическими кривыми и нелинейные уравнения // УМН. 1980. Т. 35. Вып. 6. С. 47−68.

7. О. И. Мохов. Коммутирующие дифференциальные операторы ранга 3 и нелинейные уравнения // Известия АН СССР. Серия матем. 1989. Т. 53. N. 6, 1989. С. 1291−1314.

8. С. П. Новиков, П. Г. Гриневич. О спектральной теории коммутирующих операторов ранга 2 с периодическими коэффициентами // Функц. анализ, и его прилож. 1982. Т. 16. Вып. 1. С. 25−26.

9. С. П. Новиков. Коммутирующие операторы ранга I > 1с периодическими коэффициентами // ДАН СССР. 1982. Т. 263. N. 6. С. 1311−1313.

10. Ж. Диксмье. Об алгебрах Вейля // Математика. 1969. Т.13, N. 4. С. 16−44.

11. П. Г. Гриневич. Рациональные решения уравнений коммутации дифференциальных операторов // Функц. анализ и его прилож. 1982. Т. 16. Вып. 1. С. 19−24.

12. И. М. Кричевер, С. П. Новиков. Двумеризованная цепочка Тоды, коммутирующие разностные операторы и голоморфные расслоения // УМН. 2003. Т. 58. Вып. 3. С. 51−88.

13. И. М. Кричевер. Алгебраические кривые и нелинейные разностные уравнения // УМН. 1978. Т. 33. N. 4. С. 215−216.

14. A. Nakayashiki. Commuting partial differential operators and vector bundles over Abelian varieties // Amer. J. Math. 1994. V. 116. P. 65−100.

15. A. Nakayashiki. Structure of Baker-Akhiezer Modules of Principally Polarized Abelian varieties, Commuting Partial Differential Operators and Associated Integrable Systems // Duke Math. J. 1991. V. 62. N. 2. P. 315−358.

16. А. Е. Миронов. Коммутативные кольца дифференциальных операторов, связанные с двумерными абелевыми многообразиями // Сиб. мат. журнал. 2000. Т. 41, N 6. С. 1389−1403.

17. А. Е. Миронов. Вещественные коммутирующие дифференциальные операторы, связанные с двумерными абелевыми многообразиями // Сиб. мат. журнал. 2002. Т. 43, N. 1. С. 126−143.

18. М. Rothstein. Sheaves with connection on Abelian varieties // Duke Math. J. 1996. V. 84. N. 3. R 565−598.

19. И. М. Кричевер. Алгебро-геометрические n-ортогональные криволинейные системы координат и решения уравнений ассоциативности // Фуикц. анализ и его прил. 1997. Т. 31. N. 1. С. 32−50.

20. V.E. Zakharov. Description of the n-orthogonal curvilinear coordinate systems and Hamiltonian integrable systems of hydrodynamic type, I: Integration of the Lame equation // Duke Math. J. 1998. V. 94. P. 103−139.

21. D. Joyce. Special Lagrangian m-fold in.

22. Y. Oh. Volume minimization of Lagrangian submanifolds under Hamiltonian deformations // Math. Z. 1993. V. 212. P. 175−192.

23. I. Castro, F. Urbano. Examples of unstable Hamiltonian-minimal Lagrangian tori in C2 // Compositio Math. 1998. V. 111. P. 1−14.

24. F. Helein, P. Romon. Hamiltonian stationary Lagrangian surfaces in C2 // Comm. Anal. Geom. 2002. V. 10. P. 79−126.

25. F. Helein, P. Romon. Weierstrass representation of Lagrangian surfaces in four-dimensional space using spinors and quaternions // Commentari Mathematici Helvetici. 2000. V. 75. P. 680−688.

26. С. Ю. Немировский. Пучки Лефшеца, функции Морса и лагран-жевы вложения бутылки Клейна // Изв. РАН. Сер. матем. 2002. Т. 66. N. 1. С. 153−166.

27. I. Castro, F. Urbano. New examples of minimal Lagrangian tori in the complex projective plane // Manuscripta Math. 1994. V. 85. P. 265−281.

28. А. П. Веселов, С. П. Новиков. Конечнозонные двумерные потенциальные оператор Шредиигера. Явные формулы и эволюционные уравнения // ДАН. 1984. Т. 279. N. 1. С. 20−24.

29. Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, И. М. Кричевер. Уравнения Шре-дингера в периодическом поле и римановы поверхности // ДАН. 1976. Т. 229. N. 1. С. 15−18.

30. Р. А. Шарипов. Минимальные торы в пятимерной сфере // Теор. и мат. физ. 1991. Т. 87. N. 1. С. 48−56.

31. Н. Ma, J. Ma. Totally Real Minimal Tori in CP2 // Math. Z. 2005. V. 249. P. 241−267.

32. E. Carberry, I. Mcintosh. Minimal lagrangian 2-tori in CP2 come in real families of every dimension // London J. of Math. 2004. V. 69. N.2. P.531−544.

33. F.S. Hitchin. Harmonic maps from a 2-torus to the 3-spheres //J. diff. geom. 1990. V. 31. P. 627−710.

34. A.V. Mikhailov. The reduction problem and the scatering method //Physica 3D. 1981. N. 1. P. 73−117.

35. Б. А. Дубровин, В. Б. Матвеев, С. П. Новиков. Нелинейные уравнения типа Кортвега-де Фриза, конечнозонные линейные операторы и абелевы многообразия // УМН. 1976. Т. 31. вып. 1. С. 55−136.

36. E.V. Ferapontov. Stationary Veselov-Novikov equation and isothermally asymptotic surfaces in projective differential geometry // Diferential geoin. appl. 1999. V. 11. N.2. P. 117−128.

37. A.B. Жибер. Симметрии и интегралы нелинейных дифференциальных уравнений. Диссертация д.ф.-м.н. Уфа. 1993.

38. В. В. Соколов, А. Б. Шабат. (L, А)-пары и замена типа Рикатти // Функцион. анализ и его прил. 1980. Т. 14. Вып. 2. С. 79−80.

39. I. Castro, L. Vrancken. Minimal Lagrangian submanifolds in CP3 and the sinh-Gordon equation // Result. Math. 2001. V.40. P. 130 143.

40. R.L. Bryant. Conformai and minimal immersion into the 4-sphere // J. Differ, geom. 1982. V.17. P. 455−473.

41. G. Darboux. Lecons sur le Systemes Ortogonaux et Coordonnees Curvilignes, Gauthier-Villars, Paris, 1910.

42. LA. Taimanov. Finite gap theory of the Clifford torus // International Mathematics Research Notices. 2005. P. 103−120.

43. Д. В. Талалаев, A.B. Червов. Система Хитчина на сингулярных кривых // Теор. и матем. физика. 2004. Т. 140. N. 2. С. 179−215.

44. О. И. Мохов. Согласованные метрики постоянной римаповой кривизны: локальная геометрия, нелинейные уравнения и интегрируемость // Функц. анализ и его прил. 2002. Т. 36. N. 3. С. 36−47.

45. А. А. Ахметдшн, Ю. С. Вольвовский, И. М. Кричевер. Дискретные аналоги метрик Дарбу-Егорова // Труды Математического института РАН. 1999. Т. 225. С. 21−45.

46. J.-P. Serre. Algebraic groups and class fields. Graduate Texts in Mathematics. 117, Springer-Verlag, New York, 1988.

47. И. А. Таймаиов. О двумерных конечнозонных потенциальных операторах Шредингера и Дирака с особыми спектральными кривыми // Сибирский матем. журнал. 2003. Т. 44. N. 4. С. 870 882.

48. R. Dijkgraaf, Е. Verlinde, Н. Verlinde. Topological strings in d < 1 // Nucl. Phys. B. 1991. V. 352. P. 59−86.

49. S. Barannikov, M. Kontsevich. Frobenius manifolds and formality of Lie algebras of polyvector fields // Internat. Math. Res. Notices. 1998. N. 4. P. 201−215.

50. V. Shramchenko. «Real doubles» of Hurwitz Frobenius manifolds // Comm. Math. Phys. 2005. V. 256 P. P. 635−680.

51. B. Dubrovin. Geometry of 2D topological field theories. Lecture Notes in Math. 1 V. 1620. Springer. Berlin. 1995. P. 120−348.

52. E. Witten. On the structure of the topological phase of two-dimensional gravity // Nucl. Phys B. 1990. V 340. P. 281−332.

53. B. Dubrovin. Integrable systems in topological field theory // Nucl. Phys. B. 1992. V. 379. P. 627−689.

54. A. Marshakov, A. Mironov, A. Morozov. WDVV-like equations in N = 2 SUSY Yang-Mills theory // Phys. Lett. B. 1996. V. 389. P. 43−52.

55. J. Wolfson. Minimal Lagrangian diffeomorphisms and the Monge-Ampere equation //J. Differential Geometry. 1997. V. 46. P. 335 373.

56. II. H. Ахиезер. Элементы теории эллиптических функций // М.: Наука, 1970.

57. И. М. Кричевер. Нелинейные уравнения и эллиптические кривые // Современные проблемы математики. 1983. Т. 23. С. 79−136.

58. А. В. Жибер, А. Б. Шабат. Уравнения Клейна-Гордона с нетривиальной группой // ДАН. 1979. V. 247. N. 5, С. 1103−1107.

59. R.K. Dodd, R.K. Bullough. Polynomial conserved densities for the sine-Gordon equations // Proc. R. Soc. Lond. A. 1977. V. 352. P. 481−503.

60. G. Tzitzeica. Comptes Rendu de l’Academie des Sciences. 1910. V. 150. P. 1227−1228.Работы автора по теме диссертации.

61. А. Е. Миронов. Кольцо коммутативных дифференциальных операторов ранга 2 отвечающее кривой рода 2 // Матем. сборник. 2004. Т. 195. N. 5. С. 103−114.

62. А. Е. Миронов. О коммутирующих дифференциальных операторах ранга 2 // Сибирские электронные математические известия. 2009. Т.6. С. 533−536.

63. А. Е. Миронов. Коммутативныые дифференциальные операторы ранга 2 отвечающие кривой рода 2 // Функц. анализ и его при-лож. 2005. Т. 39. Вып. 3. С. 91−94.

64. А. Е. Миронов. Коммутирующие разностные операторы с полиномиальными коэффициентами // УМН. 2007. Т. 63. вып. 4. С. 169−170.

65. А. Е. Миронов. Дискретные аналоги операторов Диксмье // Матем. сборник. 2007. Т. 198. N. 10. С. 109−118.

66. А. Е. Миронов. Коммутативные кольца дифференциальных операторов, отвечающие многомерным алгебраическим многообразиям // Сиб. матем. журнал. 2002. Т. 43, N. 5. С. 1102−1114.

67. А. Е. Миронов, И. А. Тайманов. Ортогональные криволинейные системы координат, отвечающие сингулярным спектральным кривым // Труды матем. института РАН. 2006. Т. 255. С. 180 196.

68. А. Е. Миронов, И. А. Тайманов. О некоторых алгебраических примерах фробениусовых многообразий // Теорет. и матем. физ. 2007. Т. 151. N 2. С. 195−206.

69. А. Е. Миронов. О новых примерах гамильтоново-минимальных и минимальных лагранжевых подмногообразий в С" и CP™ // Матем. сборник. 2004. Т. 195. N. 1. С. 89−102.

70. А. Е. Миронов. О гамильтоново-минимальных и минимальных лагранжевых подмногообразиях в С71 и СРП // Доклады РАН. 2004. Т. 396. N. 2. С. 159−161.

71. А. Е. Миронов. О гамильтоново-минимальных лагранжевых торах в CP2 // Сиб. матем. журнал. 2003. Т. 44, N.6. С. 1324−1328.

72. А. Е. Миронов. Иерархия уравнений Веселова-Новикова и интегрируемые деформации минимальных лагранжевых торов в CP2 // Сибирские электронные математические известия. 2004. Т.1. С. 38−46.

73. А. Е. Миронов. Связь между симметриями уравнения Цицейки и иерархией Веселова-Новикова // Матем. заметки. 2007. Т. 82. N. 4. С. 637−640.

74. А.Е. Mironov. Finite-gap minimal Lagrangian surfaces in CP2 // OCAMI (Osaka City University Advanced Mathematical Institute) Studies Series 2010. Vol. 3. P. 185−196.

75. А. Е. Миронов. Об одном семействе конформно плоских минимальных лагранжевых торов в CP3 // Матем. заметки. 2007. Т. 81. N 3. С. 374−384.

76. А.Е. Mironov, D. Zuo. On a Family of Conformally Flat Hamiltonian-Minimal Lagrangian Tori in CP3 // International Mathematics Research Notices 2008 (2008), rnm078, P. 1−13.