Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем

Курсовая работа Тема: «Mathcad: Решение дифференциальных уравнений и их систем»

Задание на курсовую работу Задача 1. Получить точное решение дифференциального уравнения вручную, операторным методом, приближенное решение с помощью рядов (до 5 элемента ряда) на интервале [0;1], численное решение методами Эйлера и Рунге-Кутты, представить совместное графическое решение ДУ всеми способами. Рассчитать относительную и абсолютную погрешность методов Эйлера и Рунге-Кутты. Рассчитать относительную и абсолютную погрешность всех методов с использованием точного решения.

Задача 2. Решить систему дифференциальных уравнений, получить точное решение вручную, операторным методом, приближенное решение с помощью рядов (до 5 элемента ряда) на интервале [0;1], численное решение методами Эйлера и Рунге-Кутты. Представить совместное графическое решение, рассчитать локальную относительную и абсолютную погрешность.

Содержание Введение Задача 1

Классический способ Операторный метод Решение с помощью рядов Метод Эйлера Метод Рунге-Кутты Совместное графическое решение Задача 2

Классический способ Операторный метод Решение с помощью рядов Метод Эйлера Метод Рунге-Кутты Совместное графическое решение Заключение Список использованных источников

MathCad — система компьютерной алгебры из класса систем автоматизированного проектирования, ориентированная на подготовку интерактивных документов с вычислениями и визуальным сопровождением, отличается легкостью использования и применения для коллективной работы.

Основные возможности:

MathCad содержит сотни операторов и встроенных функций для решения различных технических задач. Программа позволяет выполнять численные и символьные вычисления, производить операции со скалярными величинами, векторами и матрицами, автоматически переводить одни единицы измерения в другие.

Среди возможностей MathCad можно выделить:

Решение дифференциальных уравнений, в том числе и численными методами Построение двумерных и трёхмерных графиков функций (в разных системах координат, контурные, векторные и т. д.)

Использование греческого алфавита, как в уравнениях, так и в тексте Выполнение вычислений в символьном режиме Выполнение операций с векторами и матрицами Символьное решение систем уравнений Аппроксимация кривых Выполнение подпрограмм Поиск корней многочленов и функций Проведение статистических расчётов и работа с распределением вероятностей Поиск собственных чисел и векторов Вычисления с единицами измерения Интеграция с САПР системами, использование результатов вычислений в качестве управляющих параметров

[1]

Задача 1.

Классический метод Решим характеристическое уравнение:

Общее решение ЛОДУ:

Найдем частное решение:

Общее решение данного ДУ:

Подставим начальные условия и решим задачу Коши:

Частное решение ДУ:

График точного решения вручную:

Операторный метод Найдем изображения для каждого члена ДУ:

дифференциальное уравнение погрешность Найдем Х:

График точного решения, полученного операторным методом:

Сравнение решений, полученных классическим и операторным методом

Решение с помощью рядов Разложим в ряд Маклорена:

Сравним решения, полученные операторным методом и с помощью рядов Вычислим погрешности Метод Эйлера Для сравнения решений построим график Вычислим погрешности:

Метод Рунге-Кутты Сравним решение, полученное методом Рунге-Кутты 4 порядка, с точным решением:

Вычислим погрешности

Совместное графическое решение ДУ всеми способами

— погрешность решения с помощью рядов

— погрешность решения с помощью метода Рунге-Кутты 4 порядка

— погрешность решения с помощью метода Эйлера Задача 2

Классический способ Найдем у Операторный метод Найдем изображения Найдем Х и Y

Найдем x (t) и y (t):

Сравним с решением, полученным классическим способом

Решение с помощью рядов Перейдем от системы ДУ 1 порядка к двум ДУ 2 порядка:

Разложим в ряд Маклорена:

Для сравнения, построим графики решения операторным методом и с помощью рядов Вычислим погрешности Метод Эйлера Построим графики решений операторным методом и методом Эйлера Вычислим погрешности Метод Рунге-Кутты Построим графики решений операторным методом и методом Рунге-Кутты Вычислим погрешности Совместное графическое решение

— погрешности решения с помощью метода Эйлера

— погрешности решения с помощью метода Рунге-Кутты 4 порядка

— погрешности решения с помощью рядов

Заключение

Многие физические законы, которым подчиняются те или иные явления, могут быть записаны в виде дифференциальных уравнений. Эти уравнения описывают изменение соответствующих физических величин с течением времени и могут служить в качестве математической модели соответствующего процесса.

Дифференциальные уравнения играют важную роль в прикладной математике, физике и в других науках, таких как биология, экономика и электротехника; в действительности, они возникают везде, где есть необходимость количественного (числового) описания явлений окружающего мира.

Теория численного решения дифференциальных уравнений хорошо разработана и на ее основе создано множество прикладных программ, позволяющих пользователю получить решение и вывести его в графическом виде. Среди этих программ следует в первую очередь отметить такие математические пакеты, как MATLAB, MATHEMATICA, MAPLE и MATHCAD. [3]

В представленной работе были использованы различные методы решения дифференциальных уравнений и их систем:

Классический метод Операторный метод Решение ДУ с помощью рядов Метод Эйлера Метод Рунге-Кутты 4 порядка Продемонстрированы возможности пакета MathCad, показаны расхождения решений разными методами.

В ходе проведения работы было выявлено, что наиболее точные решения получаются при использовании метода Рунге-Кутты 4 порядка и метода Эйлера. Наивысшей точностью обладает метод Рунге-Кутты 4 порядка точности.

Список использованных источников

Казанцева Н. В. Численное решение задач высшей математики с использованием программных пакетов MathCad и MATLAB: метод. указания — Екатеринбург, УрГУПС, 2009 — 56 с.

Шампайн Л. Ф., Гладвел И., Томпсон С. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием MATLAB: Учебное пособие / Пер. с англ. И. А. Макарова. — СПб.: Издательство «Лань», 2011. — 304с: ил. — (Учебники для вузов. Специальная литература).