Конечнозонные решения уравнений Sin — Гордон и Sh — Гордон

Диссертация посвящена построению конечнозонных решений уравненийГордон и ьЬГордон на основе метода полиномиальных замыканий и исследованию их поведения на бесконечности и вблизи особых точек. Названные уравнения имеют вид щ*." и** (I).

УъьЧх* + ¿-Ни = 0 (2) и находят важные приложения в физике и геометрии.

Задача Коши для уравнения (I) в классе быстроубывающих (по модулю .2.7Г) начальных данных исследовалась методом обратной задачи рассеяния. Как известно, этот метод основан на коммутационном представлении нелинейных уравнений с помощью линейных дифференциальных операторов (представление Лакса). Такие представления были найдены в работах [I] и [2] для уравнения и>1 * ^ ^ ~ 0 ^ и решена задача об отыскании многосолитонных решений этого уравнения. Далее В. Е. Захаров, Л. А. Тахтаджян, Л. Д. Фаддеев в М находят представление Лакса для уравнения (I) и дают полное описание его многосолитонных решений, и затем Л. А. Тахтаджян и Л. Д. Фаддеев в работе [Ь ] устанавливают эквивалентность задач Коши для уравнений (I) и (3) в классе быстроубывающих начальных данных (функций из пространства Шварца). Полное решение обратной задачи теории рассеяния для ассоциированных с уравнениями (I) и (2) линейных дифференциальных операторов и на этой основе описание мно-госолитонных решений этих уравнений представлено в диссертации Л. А. Тахтаджяна ([ 5]).

Следует отметить, что достаточно быстрое убывание начальных, данных (для уравнения (I) — по модулю ЛЖ), связанное с применением метода обратной задачи теории рассеяния является принципиальным. В связи с этим решение периодической задачи для уравнений (I) и (2) представляло значительные трудности.

Начало изучению периодических и конечнозонных решений нелинейных эволюционных уравнений было положено в 1974 г. в работах В. А. Марченко (Гб]), С. П. Новикова ([7]) и ПЛакса ([8]), в которых рассматривалось уравнение Кортевега-де Фриса (КдФ). В то же время опубликована работа В. Б. Матвеева и А. Р. Итса ([э]), в которой впервые найдено явное выражение конечнозонных потенциалов оператора Шредингера через тэта-функции Римана. Эта работа вместе с исследованиями С. П. Новикова и Б. А. Дубровина ([ю], [и]) сыграла решающую роль в выражении конечнозонных решений нелинейных уравнений явными формулами.

После первых работ указанных авторов началось интенсивное развитие и обобщение предложенных ими методов в применении к другим важным нелинейным уравнениям, в том числе нелинейному уравнению Шредингера, уравнению? иг-Гордон и многим другим. Здесь следует отметить, что методы нахождения конечнозонных решений, в том числе периодических, предложенные В. А. Марченко с одной стороны и С"П.Новиковым и П. Лаксом — с другой, несколько отличаются, поэтому эти методы для других нелинейных уравнений развивались по двум направлениям. В работах того направления, которое определили результаты С. П. Новикова, В. Б. Матвеева, А. Р. Итса, Б. А. Дубровина и ПЛакса (сюда же следует отнести некоторые более поздние результаты аналогичных исследований Мак Кина и Ван Мербеке ([12]) были установлены глубокие связи спектральной теории оператора Хил-ла с алгебро-геометрическими идеями теории мероморфных функций на римановых поверхностях. Нельзя не упомянуть при этом и о той важной роли, которую в преддверии этих исследований сыграли работы Бейкера ([13]) и Н. И. Ахиезера ({14]). После первых результатов этого направления, связанных с оператором Хилла и уравнением КдФ, появились близкие по времени и другие результаты. Так Б. А. Дубровин, И. М. Кричевер, С. П. Новиков изучают с этих позиций уравнение Шредингера в периодическом поле ([15]), А. Р. Итс рассматривает нелинейное уравнение Шредингера (случай отталкивания), с которым в методе обратной задачи ассоциируется самосопряженный оператор Дирака. Отметим, что в этих исследованиях самосопряженность операторов Хилла и Дирака имела важное значение. Первые обобщения, не использующие самосопряженность линейных дифференциальных операторов, ассоциированных с нелинейными уравнениями, содержатся в последующих результатах В. Б. Матвеева (нелинейные формулы следов) и А. Р. Йтса ([16 — 17]).

В уже упоминаемой работе В. А. Марченко ([5]) самосопряженность оператора Штурма-Лиувилля тоже играла существенную роль, однако, как им впоследствии было замечено, метод полиномиальных замыканий позволяет выделить конечнозонные решения уравнения КдФ, минуя спектральную теорию. В 1975 г. В. П. Котляров в работе С Г181) и автор в ([19]) распространили этот результат на нелинейное уравнение Шредингера и уравнение (I).Вслед за этим была замечена возможность объединения метода полиномиальных замыканий с алгеб-ро-геометрическим методом получения явных формул. Так в работе [20]) А. Р. Итс и В. П. Котляров явно выразили через тэта-функции.

Римана конечнозонные решения нелинейного уравнения Шредингера (случай притяжения) и далее В. П. Котляровым и автором в [21], [22] была решена задача Коши для уравнения (I) в классе конечно зонных начальных данных и получена явная формула для конечно-зонных решений. Эта формула в несколько уточненном виде была получена также А. Р. Итсом (неопубликованный результат, изложен в лекциях В. Б. Матвеева [23]) с помощью аппарата функций Бейкера-Ахиезера. Отметим, что условия вещественности конечнозонных решений впервые были даны автором в [19 J, и в работах [21], [22] эти условия приведены в параметрах, более естественных для отыскания решений явными формулами.

Метод полиномиальных замыканий впоследствии неоднократно применялся к «конечнозонному интегрированию» различных нелинейных уравнений. Так, например,? Pate. ([2Ч]) и параллельно А. К. Прикарпатский и П. И. Голод ([25]) нашли конечнозонные решения массивной модели Тирринга. Далее, А. К. Прикарпатский, используя этот метод, в [26] находят новый класс уравнений Риккати, интегрируемых в квадратурах, и в [27] рассматривает конечнозонные решения модифицированного нелинейного уравнения Шредингера (полное описание конечнозонных решений этого уравнения и их исследование алгебро-геометрическим методом независимо дано также А. Р. Итсом и В. Б. Матвеевым в [28]). Методом полиномиальных замыканий в [29] исследована дискретная периодическая задача для модифицированного уравнения КдФ (Н.Н.Боголюбов (мл.), А. К. Прикарпатский, В.Г.Самойленко) и в [зо] проинтегрировано в классе конечнозонных решений уравнение Гайзенберга (В.П.Котляров). В за?-ключение отметим работу Ы А. Е .Боровика, который применил метод полиномиальных замыканий для отыскания многосолитонных решений нелинейного уравнения Ландау-Лифшица и работу автора [Ъ2], в которой в рамках этого метода исследовано поведение на бесконечности некоторых классов вещественных конечнозонных решений уравнения (I).

Параллельно с этими исследованиями глубокие результаты были получены алгебро-геометрическими методами «конечнозонного интегрирования». Здесь в первую очередь следует отметить работы И"М. Кричевера (ГЗЗ — 35]), в которых обобщена алгебро-геометри-ческая процедура построения конечнозонных решений для нелинейных уравнений, допускающих коммутационное представление парами Лакса, в том числе пространственно двумерных систем, важным примером которых служит двумерный аналог уравнения КдФ — уравнение Кадомце-ва-Петвиашвили.

Развитие алгебро-геометрических методов, вплоть до последнего времени полно отражено в обзорных работах [23], Г35?, [зв] и [37], а также в книгах [38], [39] .

Отметим вкратце те работы, которые касаются непосредственно уравнения (I).

И.В.Чередник в работах [чо], [чх] продолжает исследование конечнозонных решений уравнения ¿-¿-кГордон алгебро-геометричес-кими методами, в частности, в рамках этих методов, рассматривает условия вещественности таких решений. Изучению конечнозонных решений уравнений (I) и (2) посвящены работы Мак-Кина [42], Фо-реста и Мак-Лафлина [43], в которых, в частности, начато исследование спектральных свойств несамосопряженных линейных дифференциальных операторов, ассоциированных с уравнениями (I) и (2). Аналогичные вопросы продолжает рассматривать Б. А. Дубровин и в работе [ЦЦ] дает полное описание аналитических свойств спектральных характеристик этих операторов. Им же в работах [37], изучена новая параметризация конечнозонных решений для некоторых нелинейных уравнений, включая уравнение (I), где непосредственными параметрами являются параметры явных формул, выражающие эти решения через тэта-функции Римана. Переход к такой параметризации получил название эффективизации явных формул. Такая эффективизация в случае двухзонных решений является наиболее конструктивной и проведена для уравненияГордон Б. А. Дубровиным и С. М. Натанзоном в Ы1 и Е. Д. Белоколосом и В. З. Энольским в работах /47?, [цв]. Упомянутые работы Е. Д. Белоколоса и В. З. Энольского следует отметить особо, в связи с тем, что авторами не только дана классификация двухзонных решений, но и установлена важная с точки зрения физических приложений их связь с различными типами двухфазных волн в эффекте Джозефсона, который описывает уравнение.

— Гордон. Эти же авторы в работах [ЧЭ], [50] предложили новый подход к решению задачи о нахождении закона суперпозиции, выражающего Мзонные решения нелинейных уравнений, в том числе уравнения (I), через однозонные, сведя эту задачу к классической проблеме редукции.

Далее отметим, что алгебро-геометрическими методами продолжается изучение условий вещественности конечнозонных решений уравнения (I). Вслед за упомянутыми работами И, В. Чередника (Счо], [41]), эти условия рассматривались в работах (?5®,.

Фореста и Мак Лафлина [52], уже процитированной работе Б. А. Дубровина и С. Н. Натанзона [Чб] и наиболее эффективно для алгебро-геометрических конструкций представлены результатами Б. А. Дубровина и С. П. Новикова, полученными в [53] .

Краткий обзор исследований по уравнениям (I) и (2) закончим работой И. М. Кричевера [54], в которой дана конструкция общего решения уравнения (I) и указаны условия, выделяющие в рамках этой конструкции конечнозонные решения этого уравнения.

Перейдем к краткому изложению результатов работы. Диссертация состоит из трех глав и восьми параграфов. Основным содержанием первой главы является описание конечнозонных решений уравнений (I) и (2) на основе метода полиномиальных замыканий. Всюду далее, кроме случаев, оговоренных особо, принята запись уравнений (I) и (2) в едином виде:

—^хх. + ¿-к сиО.

4) где €- I (уравнение (I)) или i (уравнение (2)). Как уже от^-мечалось, мы пользуемся I, мпарой Лакса для уравнения (4), найденной в [3] :

1= + *.

К, Э м- 54.

А, В = и.

6 2.? -&.

52 гиг.

5).

Представление Лакса для уравнения (4) с указанной /., Мпарой означает, что операторы, М перестановочны тогда и только тогда, когда функции И (^-Ь), иГф-к) удовлетворяют системе уравнений б) эквивалентной уравнению (4).

Пусть ^РСя^гге — матрица перехода на интервале (х эс+зто) уравнения ?-У-О (~ 2-х компонентный вектор-столбец), то есть матрица, преобразующая значение решения уравне кия 'Чг~ О в точке в значении того же решения в точке ос + аго :

— иг — фиксированы).

Предложение I. Если операторы I-, М коммутируют, а функции, яг^^ - периодические по с периодом дг0, то матрицы перехода удовлетворяют системе уравнений.

СЧ> л] } Ф — Г? в].

Далее изучаются общие свойства систем вида.

ЗГ'" с У, А1, У* С%ВЗ (7) с матрицами Л и ?3, определенными, согласно (4), и без предположения, что функции и^-к) 9 г*Т (х,-Ъ) связаны между собой системой уравнений (5).

Заметим прежде всего, что величины^Р ^ и з! е УСъ^Ъд — всегда являются интегралами системы (б), то есть их значение не зависит от ос, Ь. Решения с нулевым следом и не равные тождественно нулю будем называть нетривиальными решениями этой системы.

Предложение П. Если система (7) имеет нетривиальное решение вида.

— е>о.

Кй м то она имеет и такое решение.

— со.

Л*.

КЬЛУ-1 о -?!

I о / удовлетворяющее соотношениям и, кроме того, соотношениям.

V О о.

9).

Ю) если, Ш (^-Ь) т. вещественные функции.

Основное значение для дальнейшего имеет следующее Предложение Ш, Если система (7) имеет решение вида (8), то функции И (З)Ь) удовлетворяют системе уравнений б) и, при наличии свойств (10), являются вещественными. При этом имеет место равенство.

II).

Таким образом, наличие решений вида (8) приводит к некоторым решениям уравнения (4). При этом система (7) не замкнута, так как только функция ЪО" (а)4.) 9 согласно (II), выражается через элементы матрицы. Следующим шагом является замыкав ние системы (7) и выделение конечнозонных решений уравнения (4).

Определение. Функция У (я)-Ь) называетсязонным решением уравнения (3), если система (б) имеет решение УС*}^ ъ) вида (8), полиномиально зависящее от Н, и не имеет полиномиального решения меньшей степени,.

Полиномиальность матрицы-функции вида (7) означает, что М>° и для всех К ** О Ук (х}-ь) =*О, Полиномиальное решение системы (7), удовлетворяющее условию (8) имеет вид.

У (^Ь^) " ??.

Я/ (*,*> Ь ^ где , — полиномы:

12) к* о у.

13).

Яу Т. V (*>*) **, г + * +£Г1.

Для вещественных функций УС^-Ь), иГ (з?-ь) в силу (10), имеем условия.

Рн — рк&Ь),^к «^к (^) > I.

Требование наличия у системы (7) полиномиальных решений полностью ее замыкает, что означает следующее а) функции Ц (сс}ь), иУ (ос^ь) выражаются через элементы матрицы Ъ) гф—ь) = еГц (х'ь)= г^^-ь)[-%-о ] (15) б) коэффициенты полиномов (12) удовлетворяют по эс и некоторым системам обыкновенных автономных дифференциальных уравнений ((1.37), (1.38), (1.39)).

Справедливо и обратное утверждение: а) упомянутые выше системы автономных дифференциальных уравнений удовлетворяют условиям теоремы Фробениуса, которые обеспечивают их совместность. Следовательно, для любых начальных данных в произвольной точкеЫ) они имеют в некоторой окрестности этой точки совместное решение б) если задать произвольные полиномы с числовыми коэффициентами.

Ъач*.

I &bdquo-¿-к С.

А «о и условиями: ~? , 2<Г Ф О (назовем их начальными полиномами), и взять в качестве начальных данных в точке (осс^-Ьс) для автономных систем числа } (о? /<? М-1), то, согласно предыдущему, существует единственное локальное совместное решение рц (эс,-1), (з^Ь) этих систем. При этом матрица (12), элементы которой определены через рК (эс}-Ь), я}-Ь) согласно (13), является единственным решением системы (7), удовлетворяющим начальному условию 2 (VJ HJM.

У I) — Le.

Следовательно, функция V (Xj-L), найденная из (15), является, по определению, Мзонным решением уравнения (Ю в некоторой окрестности точки (ос0)Ь0). Как показывает структура автономных систем, эти решения бесконечно дифференцируемы в указанной окрестности. Необходимым и достаточным условием вещественности Узонных решений являются условия (14) на числа рл Такова суть метода полиномиальных замыканий в применении к уравнению (4) и ассоциированной с ним паре Лакса (15). Изложенное выше составляет содержание первых двух параграфов первой главы.

Как уже отмечено, конечнозонные решения определены, вообще говоря, локально, поэтому важно выяснить, при каких условиях на начальные полиномы эти решения существуют при всех зс, -Ь • Эти условия сформулированы в двух теоремах третьего параграфа.

Рассмотрим построенный по начальным полиномам многочлен т>т — г'-Р^ш который равен детерминанту матрицы.

У (^иг) (при СL, взятому с обратным знаком).Как уже отмечалось, o/e.-?. VCxj-L^J " :r ole-i У (vct>}-Ц 2), следовательно i.

VW-) = zA /? (w) +? &' сю.

СО ?- i ОО если начальные полиномы удовлетворяют условиям (14). На основе тождества (16) получены априорные оценки для коэффициентов полиномов — Яу с правой частью, не зависящей от д:, Ь. Так как эти коэффициенты являются решением системы дифференциальных уравнений, то, в силу (15), заключаем, что все вещественные конечнозонные решения уравненияГордон существуют при всех ос, Ь • Аналогичного утвервдения для всех вещественных конечнозонных решений уравненияГордон сделать нельзя, и во второй теореме приведены следующие условия на начальные полиномы, при которых эти решения существуют при всех^, ^: нули ± (]= многочлена Р (£) — простые и вещественные (I [е^ I? • •• ?. /е^/), а нули ± (?* ы) многочлена (2?) удовлетворяют неравенствам:? у"* * (1=1,'" ^).

Во второй главе найдены явные формулы для конечнозонных решений уравнения (4). В первом параграфе выводится система дифференциальных уравнений по Vе и для нулей полинома Яу (щ^Л) (Здесь и всюду далее сделана замена). Полином и систему уравнений для его нулей будем называть основными. Через функции «согласно (15), выражается ^ -зонное решение уравнения (4) сш1 О мь*) (I® ли, А где С =¦ (/7 1 и Е^ = л/г). — нули полинома.

Во втором параграфе основная система уравнений рассматривается на римановой поверхности VЛ и линеаризуется известной подстановкой Абеля. При этом возникает классическая проблема обращения Якоби, из которой, как показывает формула л/.

18), достаточно извлечь выражение для функции 2 Г ^J^i (^) i-i.

Такая процедура проделана стандартным способом (I55J), в результате получена формула для t/ -зонных решений уравнения 00 ((2.13), (2.17), (2.22)).

— ?n.

Из этой формулы, в частности, следует, что конечнозонные решения уравнения W не только бесконечно дифференцируемы в области существования, как ранее отмечалось, но и допускают аналитическое продолжение по ^ Ш в некоторую область комплексной плоскости.

В третьей главе исследуется поведение вещественных конечно-зонных решений уравнения (4) вблизи особых точек. Так как рассматриваемые решения уравнения «sth-Гордон существуют при всех X «-?• и, в силу гладкости, ограничены на любом компакте, то вопрос вызывает только их поведение при ¡-cc¡-со e g первом параграфе анализируется характер этого поведения в зависимости от выбора начальных полиномов. При этом выделено два случая: а) решения ограничены при всех х, -к i <0 неограниченно растут при и всехL .

Прежде чем сформулировать результаты, коротко остановимся на параметризации вещественных /Vзонных решений. Эти решения образуют.

ЗУпараметрическое семейство функций. Первоначально вещественные параметры определялись коэффициентами начальных полиномов, это числа рК, Re ZJ?, Re. (о & К Выражая эти же решения явными формулами (19), мы переходим к другим параметрам: простым нулям вещественного полинома РСя) -точкам ветвления } Е-**/ и начальным значениям.

Н1 ~ (I г ^ ' нУлей основного полинома. Хотя на первый взгляд число вещественных параметров увеличилось до ¿-уУ, но эти параметры стали связаны условием, выражающим независимость от х, -к величины у У.

П (д-ЕО — П)(*-%) -ео) где — многочлен степени У-1 с вещественными коэффициентами (фактически (я) = Р^ (л)). Это условие оставляет независимыми по-прежнему ЗУ вещественных параметров. Наконец, при исследовании поведения решений уравненияГордон удобно выбрать параметры следующим образом: В* ?//), нули вещественного полинома />-, {%) — числа ?^ (I* м) (и его коэффициент при старшей степени Я.

При этом на указанные параметры накладывается условие, вытекающее из (20).

Л^-^О-Я^ПГя-О^О (21).

— 1 Ы.

Значения параметров, при которых выполнено условие (21) назовем допустимыми.

Предложение ТУ. Если допустимые параметры^, , ^ таковы, что среди чисел ?^ нет вещественных, то определяемые ими Мзонные решения уравнения «5 ¿-лГордон удовлетворяют неравенству.

I к (//+<) Ж то есть равномерно ограничены по ос, .

Далее указаны значения допустимых параметров, при которых вещественные конечнозонные решения уравнения (I) растут при.

Предложение У. Пусть все числа Bj попарно различны и отрицательны, а числа 4^ удовлетворяют неравенству.

VnCi — Vffi & I * VTs¹ * vW.

Тогда существуют такие окрестности точек /Хг/^и'ч*)} в °.

Ь =: 1- • ••, Ы-i, что при любом выборе чисел с^ по одному I из каадой окрестности, конечнозонные решения уравнения Si. иГордон, отвечающие допустимым параметрам Bj, L*, /aw, удовлетворяют неравенствам I эс — ос о I к Kilx-^l где Кл, Кг — постоянные, не зависящие от^, ^ и выражающиеся через числа Bj.

Во втором параграфе третьей главы рассмотрены вещественные конечнозонные решения уравнения sAГордон, имеющие особенности по ОС в конечной области. В качестве параметров рассматриваемых решений выберем числа Ej, J4?. Если числа Bj все вещественны и различны, то вещественные J4?, в силу соотношения (17) ос-x0j •£.=•¦-Ц), могут находиться только в тех интервалах вещественной оси, где Apfa) > О } и ПрИ всех SC, -? значения функций ji^ (з^-Ь) (нулей основного полинома) остаются в этих интервалах. Такие интервалы будем называть разрешенными. Поэтому, если задать параметры Я" ^ О и попарно не равными, a jy? — по одному в каждом разрешенном интервале, то мы получим вещественные и ограниченные решения уравнения (2). Этот случай уже рассматривался. Рассмотрим другой случай: числа — различны и отрицательны, а ¿-а? заданы по одному в разрешенных интервалах. Особую роль при этом играют интервалы: и (Вь о) (?~). Дей№ вительно, из формулы (18) (? «<) следует, что при таком выборе параметров У (х, ь.) может иметь особенности только при тех значениях, при которых одна из функций ^[(х^) (пусть это будет ^^С^-Ь)) принимает значение либо нуль, либо стремится к бесконечности. Анализ основной системы уравнений показывает, что при каждом фиксированном ^ функция ^(эс-Ь) достигает значения при конечных значениях ос — сск (к- •••), которые образуют неограниченную бесконечную последовательность. В окрест^ ности особых точек поведение решения 1Л (сх?-Ь) определено неравенствами.

С< + ¿-в* v-xA? + где С. л , — константы, не зависящие от^с и /<

В третьем параграфе получены условия сходимости последовав тельности Узонных решений уравненияГордон при со. Параметрами являются числа Bj ^^, которые удовлетворяют условиям О г. ••• ?~ ц. Обозначим и рассмотрим на положительной полуоси бесконечную последовательность непересекающихся сегментов С Bj}) По каждой конечной ее подпоследовательности, задавая внутри сегмента точки J4,°, построим конечнозонные решения уравнения (2). Получим семейства конечнозонных решений. Найдены условия на концы сегментов, , при которых множество и ' d г/у ь) компактно в.

Предложение У1. Если числа? j } Я"* ^'" j ^) удовлетворяют условиям i>° (2D j*4 «/ о'» 1 то множество решений компактно в.

Основываясь на этой теореме, из множества конечнозонных решений можно выделить сходящуюся в равномерной метрике последовательность, пределом которой является некоторое, вообще говоря, обобщенное решение уравнения S-fiГордон.

В диссертации принята независимая нумерация параграфов утверждений и формул в пределах каждой главы. Первая цифра номера обозначает номер главы.

В заключение автор выражает глубокую благодарность научному руководителю академику АН УССР В. А. Марченко за постоянное внимаг-ние к работе и полезные обсуждения.

На защиту автором выносятся следующие впервые полученные результаты: а) полное описание вещественных конечнозонных решений уравнений «St-KГордон и S^i-Гордон на основе метода полиномиальных замыканийб) явные формулы для решений в тэтаг-функцияхв) характер поведения решений на бесконечности и вблизи особых точек.

1. AUourili К, Каир Р a, feurel A.c., Sej-сг Н. Me-uoJ solirtn^ ihr slhegobcfoh e. j n.-Phtf-s. Res. Le.u., 1343, V-JOp. IJL6JL-ue^.

2. Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Гамильтонова система, связанная с уравнением ttfy + Ы*о .-Труды МИАН СССР, 1976, т. 142, с.254−266. .

3. Тахтаджян Л. А. Полная интегрируемость уравнения и^ь-Изсх* Suhl/ ~ О .- Канд. диссертация, 1975, Ленинград;

4. Марченко В. А. Периодическая задача Кортевега-де Вриза.-Матем.. сб., 1974, т.95, «3. с.331−356.

5. Новиков С. П. Периодическая задача для. уравнения Кортевега-де ВризаЛ.-Функц.анализ и его прилож., 1974, т.8, № 3,с.54−66.

6. Lqoc Р. Р. Ре? odie. So? u-l?oh s of KclVehalte*. U App?. M*?h., Je qiif vT Щ p SS-96.

7. Дубровин Б. А., Новиков С. П. Периодические и условно периодические аналоги многосолитонных решений уравнения Кортевегаде Фриза, — 1ЭТФД974, т.67.И2, с.2131−2143.12. И. Р. Мое ъ&еАеР^юь.4эй-К Зо м 3/ л.

8. Вакеъ нк 4 1И< ?очфос'ф /эареъ^п СоьъиЬъЫъ^ оъсНьочу оре.

9. Ахиезер Н. И. Континуальный аналог ортогональных многочленов. на системе.интервалов.- ДАН СССР, 1961, т.141,№ 2, с.263−266.

10. Дубровин Б. А. Дричевер И.М., Новиков С, П. Уравнение Шрединге-ра в периодическом поле и римановы поверхности.-ДАН СССР, 1976, т.229, И, с.15−18.

11. Итс А. Р. Обращение гиперэллиптических интегралов и интегрирование нелинейных дифференциальных уравнений.- Вестн. Ле-нингр.ун-та, 1976, № 7, с.39−46.

12. Итс А. Р. Точное интегрирование в римановых $ -функциях нелинейного УШ и модифицированного уравнения КдФ.-Кандидатскаядиссерт., 1976, ЛГУ им. А. А. Жданова, Ленинград.

13. Котляров В. П. Периодическая задача для нелинейного уравнения Шредингера.- В сб. Вопросы мат. физики и функц. анализа (мате. риалы научн. семинаров), Киев," Наукова думка", 1976, с.121−131.

14. Козел В, А. Об одном классе решений уравненияВ сб. Вопросы мат.физики и функц. анализа (материалы научн. се-. минаров), Киев," Наук. думка", 1976, с.132−139.

15. Итс А. Р., Котляров В. П. Об одном классе решений нелинейного уравнения Шредингера.-ДАН УССР, сер. А, 1976,№ II, с.965−968.

16. Козел В. А. Дотляров В.П. Почти периодические решения уравнения +. ДАН УССР, сер. А, 1976,№ 10, с.878−681.

17. Козел В. А., Котляров В. П. Конечнозонные решения уравненияVax v ~ ° .- В сб. Дифференциальные уравненияи некоторые методы функционального анализа. Киев," Наук. думка", 1978, с.89−103.

18. Med I^ee vrV. ?. «^?e-?t!ah Fuh^loh s ex h о! иГъееёсиыТp. -4−99.

19. Paie. ?, €>Dcrx.

20. Прикарпатский A.K., Голод П. И. Периодическая задача для классической двумерной модели Тирринга.- Укр.матем.журнал, 1979, т.31, №, с.454−459.

21. Прикарпатский А. К. Об уравнениях Риккати, интегрируемых в. квадратурах .-ДАН СССР, 1980, т.251,№ 5, с.1072−1077.

22. Прикарпатский А. К. Почти-периодическое решение модифицированного нелинейного уравнения Шредингера.- Теор. и мат. физика, 1981, т.47,№ 3, с.323−331.

23. Итс А. Р., Матвеев В. Б. Алгеброгеометрическое интегрирование уравнения ММШ, конечнозонные. решения и их вырождения.-Запискинаучн.семинаров Л0МИ, 1981, т. Ю1, с.64−76.

24. Боголюбов H.H.(мл.), Прикарпатский А. К., Самойленко В. Г. Дискретная периодическая задача для модифицированного нелинейного уравнения Кортевегаг-де Фриза.-ДАН СССР, 1981, т.258, № 3,с.575−580.

25. Котляров В. П. Конечно-зонные решения уравнения Гайзенберга. В сб. Теория операторов в функц. пространствах и ее прилож., Киев," Наук. думка", 1981, с.50−67.

26. Боровик А. Е. //-солитонные решения нелинейного уравнения Ландау-Лифшица.-Письма в! ЭТФ, 1978, т.28,№ 10, с.629−632.

27. Козел В. А. Поведение на бесконечности конечнозонных решений уравнения «^¿-Ье Осче/сь &bdquo-вДАН УССРД982, сер. А, № 8,с.13−15.

28. Кричевер И. М. Алгебраические кривые и коммутирующие матричные дифференциальные операторы.-Функц.анализ и его прилож., 1976, т.10, № 2, с.75−76.

29. Кричевер И. М. Алгебро-геометрическое построение уравнений Захарова-Шабата и их периодических решений.-ДАН СССР, 1976, т.227,№ 2, с.291−294.

30. Кричевер И. М. Методы алгебраической геометрии в теории нелинейных уравнений.- УМН, 1977, т.32,№ 6, с.183−209.

31. Дубровин Б.А."Матвеев В.Б."Новиков С. П. Нелинейные уравнения типа Кортевегагде Вриза, конечнозонные линейные операторы иабелевы многообразия.-УМН, 1976, т.31,№ 1, с.55−136.

32. Дубровин Б. А. Тэта-функции и нелинейные уравнения.-УМН, 1981,. т.36,№ 2, с.11−80.. .38ь Теория солитонов. Под ред. С. П. Новикова.-М. :Наука, 1980.

33. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики, 1983, Москва, ВИНИТИ АН СССР, т.23, с.3−136.

34. Чередник И. В. Дифференциальные уравнения для функций Бейке-раг-Ахиезера алгебраических кривых.- Функц. анализ и его прилож., 1978, т.12, Ю, с.45−54.

35. Дубровин Б. А. Аналитические свойства спектральных данных для несамосопряженных операторов, связанных с вещественнымипериодическими решениями уравнения sth* Go? Jc>i ,-ДАН СССР, 1982, т.265, № 4, с.789−793.

36. Дубровин Б. А. 0 гипотезе С. П. Новикова в теории тэта-функций и нелинейных уравнений типа Кортевега-де Фриза и Кадомцева-Петвиашвили.-ДАН СССР, т.251, № 3, с.541−544.

37. Дубровин Б. А., Натанзон С"М. Вещественные двухзонные решения уравнения sih* Gczdch. — Функц. анализ и его прилож., 1982, т.16, № I, с. 27−43.

38. Belokoios? hol> s к ?1 f.Z. C&sst'ftc*•{??oh Abh Leheai Wa^S ?hJuhebion. Pn*p*tv>± JTPZ1-Ш BJ Mt’etr:lrpJ mi.

39. Белоколос Е. Д., Энольский В. З. Обобщенный анзац Лэмба.-Теор. и мат. физика, 1982, т.53, № 2, с.271−282.

40. Paie OsctA*. a. MtUh., ISSJL, К !9/ W, p. U f — ISS.52. Iotej-E" Me. Lavait! h. CZ>. Macta? cl?lohs (c)/ Sthfio-otolch cihol Sthe o-oidch UTccvt-Ltciihs. — Pi^piL'hl M’y.:

41. Дубровин Б.A., Новиков С, П. Алгеброгеометрические скобки Пуассона для вещественных конечнозонных решений уравнения St-'htf Gotc/ch и нелинейного уравнения Шредингера.- ДАНСССР, 1982, т.267, № 6, с.1295−1300.

42. Кричевер И. М. Аналог формулы Даламбера для уравнений главного кирального поля и уравнения SLih o-oeotch данСССР, 1980, т.253, № 2, с.288−292.

43. Зверович Э. И. Краевые задачи теории аналитических функций. УМН. 1971, т.26, в. I, с. II3-I8I.

44. Чеботарев.Н. Г. Теория алгебраических функций. ГИТТИ, 1948,396с.

45. Левин Б. Я. Распределение нулей целых функций. ГЙГТЛ, 1956,468с.

46. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М., «Наука», 1981, 512 с.