Хорошие пары вершин в реберно регулярных графах и автоморфизмы графов

В связи с завершением классификации конечных простых групп возникла задача единого представления конечных простых групп. Перспективным направлением является поиск такого класса конечных геометрий, что каждая конечная простая группа действует флаг-транзитивно на некоторой геометрии и все геометрии этого класса допускают классификацию (см. [10]-[14], [30], [29]). Например, класс билдингов Титса характеризует группы лиева типа [33]. Позднее в этом направлении возникли задачи, не связанные с групповым действием, в частности, такой является задача классификации дистанционно регулярных графов [10].

Пусть G — транзитивная группа подстановок на множестве Q. Если стабилизатор Gp в G точки р? П имеет г орбит на то говорят, что G имеет подстановочный ранг г (является группой подстановок ранга г). Пусть г — 3 и соответствующие три орбиты — это {р}: А (р) и Г (р). Тогда по группе G удается построить сильно регулярный граф Г с множеством вершин и две вершины р, q смежны в Г, если q Е Г (р) [19].

Д. Хигман ([19]-[25]) развил теорию групп ранга 3. Эти группы являются группами автоморфизмов сильно регулярных графов, причем они действуют транзитивно как на множествах вершин и ребер, так и на множестве пар различных несмежных вершин. Такие графы являются дистанционно транзитивными графами диаметра 2.

Граф Г диаметра d называется дистанционно транзитивным, если для любого г &euro-Е {0,., с?} и для любых его вершин u, v, x, y таких, что d (u, v) = d (x, y) = i, существует автоморфизм g графа Г такой, что (u, v) g — (х, у). Дистанционно транзитивные графы диаметра 2 (графы ранга 3) сыграли важную роль в классификации конечных простых групп. Около половины спорадических групп были построены как группы автоморфизмов графов ранга 3 (см. [30]). В настоящее время при исследовании графов вовлекаются симметрии все более общего вида. Сначала это были условия дистанционной транзитивности и дистанционной регулярности графов, а затем и более общие условия комбинаторной симметричности.

Первые результаты о комбинаторно симметричных графах были получены в пятидесятых годах прошлого века. Пусть Ь (Кп) — реберный граф полного графа Кп на п вершинах, или в других обозначениях треугольный граф Т (п). Этот граф является сильно регулярным графом с параметрами (g), 2(п — 2), п — 2,4). В работах 1959;60 годов JI. Чанг [18] и А. Хофф-ман ([26], [27]) независимо показали, что треугольный граф Т (п) определяется однозначно своими параметрами для всех п, за исключением п = 8. Для случая п = 8 было показано, что, кроме треугольного графа Т (8), такие же параметры имеют только три графа, которые были найдены JI. Чангом в 1949 году [17].

Через jPCmit.}mn обозначим полный n-дольный граф с долями порядков mi,., mn. Если mi = ••• = Шп — т, то соответствующий граф обозначается через Кпхт. Если т > 2, то граф KijTn называется т-лапой. Реберный граф L (Km^n) полного многодольного графа Кт<�п является кореберно регулярным графом с параметрами (тп, т + п — 2, 2). Реберный граф для Кт, п называют т х прешеткой. Известно, что п х прешетка является сильно регулярным графом с параметрами (п2, 2п — 2, п — 2, 2). С. Шрикханде в [32] показал, что сильно регулярный граф, имеющий параметры п х п— решетки является либо п х прешеткой, либо графом Шрикханде при п = 4.

Результаты JI. Чанга, С. Шрикханде и А. Хоффмана [28] были объединены Дж. Зейделем [31], который определил все сильно регулярные графы с наименьшим собственным значением —2. Дж. Зейдель показал, что, кроме треугольных графов Т (п) и п х n-решеток, сильно регулярными графами с наименьшим собственным значением —2, являются только графы Кпх2, графы Петерсена, Шрикханде, Клебша, Шлефли и три графа Чанга.

Основные определения. В работе рассматриваются неориентированные графы без петель и кратных ребер. Если а, Ь — вершины графа Г, то через d (a, b) обозначается расстояние между, а и Ъ, а через Гг-(а) — подграф графа Г, индуцированный множеством вершин, которые находятся на расстоянии г в Г от вершины а.

Подграф Ti (а) называется окрестностью вершины, а и обозначается через [а]. Через а1- обозначается подграф, являющийся шаром радиуса 1 с центром а.

Граф Г называется регулярным графом степени к, если [а] содержит точно к вершин для любой вершины, а из Г.

Граф Г называется реберно регулярным графом с параметрами (v, k, Л), если Г содержит v вершин, является регулярным степени к и каждое ребро из Г лежит в Л треугольниках.

Граф Г называется вполне регулярным графом с параметрами (v, к, A, /i), если Г реберно регулярен с соответствующими параметрами и подграф [а] П [b] содержит ц вершин в случае d (a, b) = 2. Вполне регулярный граф диаметра 2 называется сильно регулярным графом.

Если d (a, b) = 1, то число вершин в [а] П [6] обозначим через X (a, b), а подграф [а] П [Ь] назовем Х-подграфом. Если d (a, b) = 2, то число вершин в [а] П [6] обозначим через fi (a, b), а соответствующий подграф назовем ц-подграфом.

Если вершины и, w находятся на расстоянии г в Г, то через w) (соотв. Ci (u, w)) обозначим число вершин в пересечении Ti+i (u) (соотв. Г-1(г4)) с Г (и>). Заметим, что в реберно регулярном графе число bi (u, w) не зависит от выбора смежных вершин u, w и обозначается через Ъ.

Частичной геометрией pGa (s, t) называется система инцидентности, состоящая из точек и прямых, в которой каждая прямая содержит s 4−1 точку, каждая точка лежит на i +1 прямой (две прямые пересекаются не более, чем по одной точке) и для любой точки а, не лежащей на прямой L, найдется точно, а прямых, проходящих через, а и пересекающих L. Если, а = 1, то геометрия pGa (s, t) называется обобщенным четырехугольником и обозначается GQ (s, t).

Точечным графом частичной геометрии называется граф, вершинами которого являются точки геометрии, и две различные вершины смежны, если они лежат на одной прямой. Точечный граф частичной геометрии pGa (s, t) сильно регулярен с параметрами v = (sj- 1)(1 + st/a), к = s (t + 1), Л = (s — 1) + (а — 1) i, fx — a (t + 1). Любой сильно регулярный граф с такими параметрами для некоторых а, s, t называется псевдогеометрическим графом для pGa (s, t).

Цель диссертации. Целью данной работы является решение следующих задач:

1) изучить связные реберно регулярные графы с параметрами (v, к, Л) и k>3bi- 1;

2) найти возможные автоморфизмы сильно регулярного графа, являющегося псевдогеометрическим для 9);

3) найти возможные автоморфизмы сильно регулярного графа, в котором окрестности вершин являются точечными графами частичной геометрии р<?2(4,9).

Методы исследования. Основными методами исследования являются теоретико-графовые методы, методы локального анализа комбинаторно симметричных графов и методы теории конечных групп, в частности, метод Хиг-мена приложения теории характеров к выяснению порядков автоморфизмов дистанционно регулярных графов и подграфов неподвижных точек этих автоморфизмов.

Научная новизна. Основные результаты, полученные в работе, являются новыми. Выделим из них следующие.

1. Исследованы связные реберно регулярные графы с параметрами (v, к, X) и к > 36i — 1.

2. Найдены возможные порядки и подграфы неподвижных точек автоморфизмов сильно регулярных графов с параметрами (210,95,40,45) и (95,40,12, 20).

3. Найдены возможные порядки и подграфы неподвижных точек автоморфизмов сильно регулярного графа, в котором окрестности вершин являются точечными графами частичной геометрии £>С?2(4,9).

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты продолжют изучение комбинаторно симметричных графов и их автоморфизмов. Результаты и методы диссертации могут быть использованы для изучения алгебраических структур подобного типа.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международном российско-китайском семинаре (Иркутск, 2007), VII Международной школе конференции по теории групп (Челябинск, 2008) и на 39-й и 40-й Всероссийских молодежных конференциях ИММ УрО РАН (Екатеринбург, 2008;2009 гг.).

Результаты работы также докладывались и обсуждались на алгебраическом семинаре ИММ УрО РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [35]—[41]. Работы [35]—[40] выполнены в нераздельном соавторстве с А.А. Мах-невым.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, трех глав и списка цитированной литературы, содержащего 41 наименования.

Результаты диссертации.

Во введении обсуждается история вопроса, даются определения и формулируются основные результаты работы. В главе 1 приведены предварительные результаты, необходимые для доказательства теорем, сформулированных в следующих главах.

В главе 2 рассматриваются связные реберно регулярные графы с параметрами (v, k, А) и к > 3&i — 1.

Пусть Г — реберно регулярный граф с параметрами (г>, к, А) и Ъ = к—А—1. Пара вершин u, w называется хорошей (почти хорошей), если d (u, w) = 2 и fi (u, w) равно к—26i+1 (равно к—2&-1+2). Тройка вершин (и, w, z) называется хорошей (почти хорошей), если w, z € Г2 (it) и n (u, w) + z) не больше.

2к — 4&i + 3 (равно 2к — 4bi + 4).

В [2, предложение и лемма 1.9], доказано, что если Г — связный реберно регулярный граф диаметра 2 с параметрами (v, к, Л), где к = З&-1+7 и 7 > —2, то выполняются следующие утверждения:

1) если Г содержит такую 3-коклику Д, что любые ее две вершины образуют хорошие пары, то 7 < —1 и Г является шестиугольником, графом икосаэдра или реберным графом тривалентного графа без треугольников, имеющим диаметр больше 2;

2) если некоторая вершина и графа Г лежит в хорошей паре, то либо 7 < Ъ — 6, либо &i = 1 и Г — многоугольник, либо bi — 2 и Г — граф икосаэдра или граф с к — 4 диаметра, большего 2;

3) если 7 > 0 и для некоторой вершины и подграф ^(w) содержит две вершины, образующие хорошие пары cii, то 7 < &i/2 — 2.

Уточнение утверждения (2) получено в [6]. В параграфе 2.1 доказано предложение 1 о почти хороших тройках, с помощью которого в теореме 1 получено усиление утверждения (3).

Предложение 1 Пусть Г — связный реберно регулярный граф с параметрами (v, к, А), к = 3&i + 7 и 7 > 0. Если (и, w, z) — почти хорошая тройка вершин в Г и, А = [и] П [ги] П [z], то верно одно из следующих утверждений:

1) вершины w, z не смеэюны и |Д| =0;

2) вершины w, z смежны и либо г) подграф [и] П [w] П [z] является 2-кликой, 7 = 0, /i (u, w) — fi (u, z) = 61 + 2, Г2(u) П (H U z) = {w, z} U (И П [z]) ub 1 > 8, либо ii) подграф [и] П [w] П [z] является 3-кликой, 7 = 1, fi (u, w) = //(n, z) = b + 3, 61 = 3 и T — граф Клебша, либо iii) подграф [п] П [ги] П [z] является А-кликой, 7 = 1, и, w) = z) = bi + 3, bi = 5 и Г — град5 Шлефли.

Теорема 1 Пусть Г — связный неполный реберно регулярный граф с параметрами (v, k, А) и k — 3bi + 7, 7 > 0. Если 7 > 56i/12 — 5, mo каждая вершина графа Г лежит не более чем в одной хорошей паре.

В работе А. Браувера [10] доказано, что если Г связный неполный ребер-но регулярный граф с параметрами (г?, к, А), в котором к > 3bi, то диаметр равен 2 и выполняется неравенство кЪ > (v — к — 1) (к — 2b + 1). В статье А. А. Махнева и Д. В. Падучих [2] эти результаты были уточнены и получена верхняя оценка для числа вершин связного реберно регулярного графа диаметра 2 с параметрами (v, к, А) и к = 3&i + 7, 7 > —2. В параграфах 2.5−2.6 с помощью результатов о почти хороших тройках эта оценка уточняется для графов с к = 3&i — 1. Доказана следующая теорема.

Теорема 2 Пусть Г — реберно регулярный граф с к — 3&i — 1- fi (u, w) + (i (u, z) = 2bi 4- 2 для различных w, z из Г2{и), Д = [it] П [it?] П [z]. Тогда верно одно из следующих утверждений:

1) вершины w, z не смежны и |Д| = 0;

2) Д = {а}- fi (u, w) = [i (u, z) — b + 1, [it] П [u>] — а1- содержит единственную вершину с, [и] П [z] — а1- содержит единственную вершину е и И U И — М С {w, z} U (М П [г]);

3) Д является 2-кокликой, [it?] — ([it] Uz1) содержит единственную вершину z* и [z] — ([it] U w1-) содержит единственную вершину w*;

4) Д является 2-кликой.

Следствие 1 Пусть Г — связный неполный реберно регулярный граф с параметрами (i?, к, Л) и к — 36i — 1. Тогда либо граф Г является многоугольником или графом икосаэдра, либо верно одно из утверждений:

1) для некоторой вершины и в Г найдутся две вершины w, z, образуюш}ие хорошие пары с и, и либо вершины w, z смежны и v < 5&-ь либо вершины w, z не смежны uv< 661 — 8/.

2) в Г нет вершин, лежащих в двух хороших парах, Г содержит хорошую пару и v < 6&i — 6;

3) в Г нет хороших пар и либо г) Г не содержит почти хороших пар и v < 6&1 — б, либо (ii) Г содержит почти хорошую тройку (и, w, z), вершины u>, 0 смежны и v < 5bi + (61 — 3)/2, либо ш) Г не содероюит почти хороших троек (и, ги, z) со смежными вершинами w, z и v < 6&i — 9 + 16/(&i + 2).

Для конкретных параметров аналогичный результат можно получить при более слабых предположениях.

Теорема 3 Пусть Г — связный реберно регулярный граф с параметрами к — 17 и Ъ = 6. Тогда v = 30, ив Г нет хороших и почти хороших пар вершин.

Глава 3 посвящена изучению автоморфизмов дистанционно регулярных графов.

В работе А. А. Махнева [4] доказано, что связный вполне регулярный граф, окрестности вершин которого являются псевдогеометрическими графами для pG2(4,t) либо является графом Тэйлора, либо сильно регулярен с параметрами (210, 95,40,45). В главе 3 с помощью метода Г. Хигмана, приведенного в [15], исследуются возможные порядки элемента в группе автоморфизмов сильно регулярного графа, а также выяснено строение подграфов неподвижных точек автоморфизмов простых порядков сильно регулярных графов с параметрами (210,95,40,45) и (95,40,12,20). Как следствие, доказано, что точечный граф частичной геометрии р (?2(4, 9) не является вершинно симметричным. Кроме того, выяснено строение подграфа неподвижных точек сильно регулярного графа, окрестности вершин которого являются точечными графами частичной геометрии р (?2(4, 9).

Пусть Г — сильно регулярный граф, G = Aut®, g — элемент простого порядка р из G и Q, = Fix (p). Для автоморфизма g через оц{д) обозначим число пар вершин (и, и9) таких, что d (u, и9) = г.

Основными результатами 3 главы являются теоремы 4−6.

Теорема 4 Пусть Г — сильно регулярный граф с параметрами (210,95,40,45), д — элемент простого порядка р из Aut® и Q, = Fix (g). Тогда верно одно из утверждений:

1) D. — пустой граф, и либо р = 2, ai (g) — 210, либо р Е {3,5} и 15 делит ai (g), либо р = 7 и а (д) Е {0,105,210};

2) Q является п-кликой и либо р = 19, п — 1 и а±(д) = 95, либо р = 2 и п Е {2,4,6,8,10}, либо р = 3, п Е {3,6,9} и ос{д) делится на 15;

3) П является т-кокликой, р — 5, т Е {5,10,15,20} и ai (g) — 5 т делится на 15;

4) Г2 является объединением I (Z > 2) изолированных клик порядков П1,., щ, р = 3 и щ делится на 3 для любого i Е {1,., /};

5) Г2 содержит 2-лапу up < 13.

Из теоремы следует, что ir (G) С {2,3, 5, 7,11,13,19}.

Теорема 5 Пусть Г — сильно регулярный граф с параметрами (95,40,12,20), g — элемент простого порядка р из Aut (T) и Q = Fix (g). Тогда верно одно из утверждений:

1) ?1 — пустой граф и либо р = 5, cti (g) = 50 и Г имеет кликовую (у)-орбиту, либо р = 19 и о.{д) = 38;

2) Г2 является п-кликой, р = 3 и либо п = 2 и a. i{g) сравнимо с 6 по модулю 12, либо п = 5 и а (д) делится на 12;

3) Г2 является т-кокликой и либо г) р = 5, т = 15, аг (д) = аг (д2) = 20 или т = 10, оц (д) Е {10,70}, либо ii) р = 2, т нечетно, т <17 и ai (g) — 2 т — 2 делится на 12;

4) Q содержит 2-лапу и либо г) р = 3, cvi (g) = 0 и М Е {11,17,23,29}, либо ii) р = 2, П не является кокликой, |Г — Г2| = 2t, где 27 < t < 43 или t = 24, и каждая вершина из Q смежна с вершиной из Г — ?1.

С помощью этой теоремы получаем.

Следствие 2 Точечный граф частичной геометрии р (?2(4, 9) не является вершинно симметричным.

Приведенная ниже теорема позволяет уточнить строение подграфа неподвижных точек сильно регулярного графа с параметрами (210,95,40,45), у которого окрестности вершин являются точечными графами частичной геометрии р (?2(4, 9).

Теорема 6 Пусть Г — сильно регулярный граф с параметрами (210, 95,40,45), у которого окрестности вершин являются точечными графами частичной геометрии р6?2(4,9), д — элемент простого порядка р из G = Aut® и Г1 = Fix (g). Тогда tt (G) С {2,3, 5, 7,19} и верно одно из утверждений:

1) Q — пустой граф и либор = 2, ot{g) = 210, либор € {3,5} и 15 делит oil (g), либо р = 7 и OL (g)? {0,105,210};

2) Г2 является п-кликой и либо р = 19, п = 1 и оц{д) = 95, либо р — 3, п Е {3, 6} и, а (д) делится на 15;

3) fi является т-кокликой, р = 5, т G {5,10} и o>i (д) — Ът делится на.

15;

4) П является объединением I (I > 2) изолированных клик порядков П,., 72/, р = 3, щ G {3,6} для любого г S {1,.,/} и < 30, если Q содержит 6-клику, и |0| < 24, если О. не содержит 6-клик;

5) Q, содержит 2-лапу, и либо г) р = 5, Q является Ъ-кокликовым расширением п-угольника, где п &euro-Е {4, ., 8}, или объединением двух изолированных Кю^о-подграфов, либо ii) р — 2, Q — половинный граф 6-куба или граф без треугольников, причем в последнем случае либо Q — регулярный граф степени 17 на 54 вершинах, либо б < |П| < 50.

1. Казарина, В.И. О реберно регулярных графах с bi = 5 /В.И. Казари-на, А. А. Махнев // Межд. конф. «Алгебра, логика и кибернетика». Тез. докл.-Иркутск, 2004.-С. 159−161.

2. Махнев, А. А. Новая оценка для числа вершин реберно регулярных графов /А.А. Махнев, Д. В. Падучих // Сиб. мат. журн.—2007—Т. 48.— С. 46−61.

3. Махнев, А. А. Об одном классе реберно регулярных графов /А.А. Махнев, И. М. Минакова // Известия Гомельского гос. ун-та.- 2000 Т.З.- С. 145 154.

4. Махнев А. А. О графах, окрестности вершин которых сильно регулярны с к = 2д // Матем. сборник.-2000.-Т. 191, № 7. С.89−104.

5. Махнев, А.А. О расширениях частичных геометрий, содержащих малые^{-подграфы} // Дискр. анализ и исслед. операций. -1996. Т. 3, № 3. С.71−83.

6. Махнев, А.А. О реберно регулярных графах, не содержащих хороших пар /А.А. Махнев, А. С. Омельченко // Известия Гомельского госуниверситета.- 2007. Т. 10, № 23. С.103−118.

7. Махнев, А.А. О сильной регулярности некоторых реберно регулярных графов // Известия РАН, сер. матем 2004 — Т. 68. С. 159−172.

8. Махнев, А.А. О хороших парах в реберно регулярных графах /А.А. Махнев, А. А. Веденев, А. Н. Кузнецов, В. В. Носов // Дискрет, матем, — 2003.-Т.15, С.77−97.

9. Нирова М. С. О вполне регулярных графах с < 5 // Сибирские электронные математические известия. -2007. Т. 5 С. 125−134.

10. Brouwer, A.E. Distance-regular graphs/ A.E. Brouwer, A.M. Cohen, A. Neumaier // Berlin etc: Springer-Verlag.- 1989.— 495 s.

11. Brouwer, A.E. Block designs/ A.E. Brouwer, H.A. Willbrink // Handbook of incidence geometry: buildings and foundations/ F. Buekenhout. Elsevier Science. Amsterdam.- 1995 — P.349−383.

12. Brouwer, A.E. The Gewirtz graph: an exercize in the theory of graph spectra/ A.E. Brouwer, W.H. Haemers // Europ. J. Comb.-1993.-Vol.14.-P.397−407.

13. Buekenhout, F. Foundations of incidence geometry / F. Buekenhout // Handbook of incidence geometry: buildings and foundations/ F. Buekenhout. Elsevier Science. Amsterdam.- 1995. P.63−107.

14. Buekenhout, F. Finite diagram geometries extending buildings/ F. Buekenhout, P. Pasini // Handbook of incidence geometry: buildings and foundations/ F. Buekenhout.— Elsevier Science. Amsterdam.-1995. P. 11 431 255.

15. Cameron, P. Permutation Groups/ P. Cameron.- London Math. Soc. Student Texts 45.: Cambridge Univ. Press.- 1999.

16. Cameron, P. J. Graphs, Codes and Desidns. / Cameron P. J., van Lint J. London Math. Soc., Student Texts № 22, Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1991.

17. Chang, L.C. The uniqueness and nonuniqueness of triangular association schemes/ L.C. Chang // Sci. Record.- 1949, — Vol.3. P.604−613.

18. Chang, L.C. Association schemes of partially balanced block designs with parameters v = 28, щ — 12, no = 15 and = 4/ L.C. Chang // Sci. Record.- 1950. Vol.4. P. 12−18.

19. Higman, D.G. Finite permutation groups of rank 3/ D.G. Higman // Math. Z 1964. Vol.86. P. 145−156.

20. Higman, D.G. Primitive rank 3 groups with a prime subdegree/ D.G. Higman // Math. Z.- 1966. Vol.91. P.70−86.

21. Higman, D.G. Intersection matricies for finite permutation groups/ D.G. Higman // J. Algebra.- 1967. Vol.6. P.22−42.

22. Higman, D.G. On finite affine planes of rank 3/ D.G. Higman // Math. Z-1968. Vol.104. P. 147−149.

23. Higman, D.G. A survey of some questions and resalts about rank 3 permutation groups/ D.G. Higman // Actes, Cjngres Int. Math. Rome.-1970.-Vol.1. P.361−365.

24. Higman, D.G. Characterization of families of rank 3 permutation groups by the subdegrees I, II/ D.G. Higman // Arth. Math.- 1970. Vol.21. P. 151 156- 353−361.

25. Higman, D.G. Coherent configurations/ D.G. Higman // Rend. Sem. Mat.Univ. Padova.- 1970. Vol.44. P. 1−26.

26. Hoffman, A.J. On the uniqueness of the triangular association scheme/ A.J. Hoffman // Ann. Math. Stat.- I960. Vol.31. P.492−497.

27. Hoffman, A.J. On the exceptioal case in a characterization of the arcs of complete graphs/ A.J. Hoffman // IBM J. Res. Develop I960 — Vol.4-P.487−496.

28. Hoffman, A.J. On the line-graphs of the complete bipartite graph/ A.J. Hoffman // Ann. Math. Stat.- 1964. Vol.35. P.883−885.

29. Numata, M. On a characterization of a class of regular graphs/ M. Numata // Osaka J. Math.- 1974, — Vol. ll P.389−400.

30. Prager, C.E. Low rank representations and graphs for sporadic groups/ C.E. Prager, L.H. Soicher.- Lecture series 8. Cambridge: University press.-1997.

31. Seidel, J.J. Strongly regular graphs with (-1,1,0) adjacency matrix having eigenvalue 3/ J.J. Seidel // Linear Algebra and Appl 1968. Vol.1. P.281−298.

32. Shrickhande, S.S. The uniqueness of the association scheme/ S.S. Shrickhande // Ann. Math. Stat.- 1959. Vol.30. P.781−798.

33. Tits, J. Buildings of Spherical Type and finite BN-pairs/ J. Tits // Springer Lecture Notes in Mathematics.- Vol.386.

34. Shao C. Characterization of simple^-groups /С. Shao, W. Shi, Q. Jiang // Front. Math. China.- 2008. V. 3.-P. 355−370.Работы автора по теме диссертации.

35. Махнев, А.А. О реберно регулярных графах, в которых кажда вершина лежит не более чем в одной хорошей паре /А.А.Махнев, Н. В. Чуксина / / Алгебра и логика: Материалы международного российско-китайского семинара. Иркутск, 2007 С.77−78.

36. Махнев, А.А. О реберно регулярных графах, в которых каждая вершина лежит не более чем в одной хорошей паре/А.А. Махнев, Н. В. Чуксина // Владикавказ, матем. ж.- 2008. Т. 10, Выпуск 1. С. 53−67.

37. Махнев, А.А. О хороших парах вершин в реберно регулярных графах с к = 3bi — 1 /А.А.Махнев, Н. В. Чуксина // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 39-й Всероссийской молодежной конференции. Екатеринбург, УрО РАН.- 2008. С. 35−37.

38. Махнев, А.А. О хороших парах вершин в реберно регулярных графах с к = 3bi — 1/А.А. Махнев, Н. В. Чуксина // Труды Института математики и механики УрО РАН.- 2008. Том 14, № 4. С. 119−134.

39. Махнев, А. А. Об автоморфизмах сильно регулярного графа с параметрами (210,95,40,45)/А.А. Махнев, Н. В. Чуксина // Тезисы сообщенийVII Международной школы конференции по теории групп. Челябинск, ЮУрГУ.-2008, — С. 78−80.

40. Махнев, А. А. Об автоморфизмах сильно регулярного графа с параметрами (95,40,12,20)/А.А. Махнев, Н. В. Чуксина // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 40-й Всероссийской молодежной конференции. Екатеринбург, УрО РАН.- 2009. С. 52−53 .

41. Чуксина, Н. В. Автоморфизмы графа с окрестностями вершин изр^'2(4,9) // Сибирские электронные математические известия 2009. Т. 6. С. 110−119.