Исследование отклонений линейных средних рядов Фурье на классах периодических функций

Работа посвящена вопросам, связанным с исследованием ап-проксимационных свойств линейных методов суммирования рядов Фурье функций одной и многих переменных в равномерной метрике.

Пусть J’C^ - непрерывная 2 с0Гпериодическая функция, а^ и Ь^ - ее коэффициенты фурье, а 00 <*>

— J- > Z CikCQsLx + scn.kx.) =? AfM hi k-Q.

— ее ряд Фурье, п. н с /5 о = S JL, а = ОД, 2,., а ferO.

— ее частные суммы Фурье, Эти суммы являются самым простым и естественным аппаратом приближения функции J’Cs&'b. Так Лебег С ill показа л, что l/f"l-.SaCj"s®JU [S^aJ^C/), где Е^СJ) — наилучшее приближение функции J’te) тригонометрическими полиномами ^(де) порядка не выше п :

Функция 1лп. растет с увеличением п. довольно медленно и поэтому можно в некотором смысле считать, что приближение функции ее частными суммами Фурье «не намного хуже», чем наилучшее.

Однако еще в 1876 году Дюбуа-Реймонд ?2 2 показал, что существуют непрерывные BSпериодические функции, ряды Фурье которых расходятся в отдельных точках. Позже А. Н. Колмогоров [3, 4J построил примеры суммируемых функций, ряды Фурье которых расходятся почти всюду. Вместе с тем, отправляясь от последовательности частных сумм S^Cji л) можно построить последовательность полиномов С^ j зО 5 которая бы равномерно сходилась на всем пространстве С непрерывных 2. S" -периодических функций.

Первый шаг в этом направлении был сделан Л. Фейером ?5 Л, который показал, что для любой J е С йт И/С^-в^оОН «О, где f>*)=i U-кЩм. /ол/ к=о.

Чаще всего последовательность полиномов ll^C х } строится следующим образом.

Пусть jп. =0,1,., — треугольная сю сю. бесконечная матрица чисел, = 0, kyn. Каждая матрица Л. определяет последовательность полиномов м ^^ к-о или, как говорят, определяет конкретный линейный метод суммирования 4L СЛ.) рядов фурье. п.

Если JL, = 1, ?.=0,1,., П. — h. =0Д,., то LL сю l, а = S С^лО, еслиС l-AO, Л =0,1.а — и =4. то мы получаем суммы Фейера /см.равенство/О. I//. о 9, иг.

Учитывая, что а^ - ~ g JOtlcos kt dt и = I JCtJsuiktdt.

— 5 равенство /0.2/ можно переписать так: S.

Ua j $f (t) K^ Ct-^, /0.3/.

-«J где K^Ct, A) — ядро метода IL^CJI), M | + 2 Л сад fct .

0.4/.

Одной из важных задач теории суммирования рядов Фурье является изучение величины аСЖ, СЛ" = sap II /с") — Х)1|, /0.5/ где £)Т£ - некоторый класс? -периодических функций.

В качестве классов обычно рассматриваются следующие классы функций:

Н^ - класс непрерывных £<5Гпериодических функций 9 удовлетворяющих условию l/Ctl-/Ct')|? eoClt-t'l), /0.6/ где оэ Ct) — некоторый фиксированный модуль непрерывности. г- - целое неотрицательное число/ - класс граз.

WrH со непрерывно дифференцируемых функций, г- -я производная которых принадлежит классу Н со. В случае coCt)*t*, 4 будем считать W^H^ s W^H. у".

M W — класс ZSпериодических функций которых существуют и являются абсолютно непрерывными производные до тr-i) -го порядка включительно и почти всюду I f? М.

•у*. к^ и № Н.

Обобщениями классов со являются.

V У классы И Wjs и Н м 9 которые определяются следующим образом.

Пусть J С*") — непрерывная £<згпериодическая функция, предста-вимая равенством? -77 §.

Jb f J — оо, ^ t 9 в котором ^рСх) — измеримая г^гпериодическая функция, удовлетворяющая условию &.

X «О. /0.8/.

§-удем говорить, что ^^ е &, если почти всюду |<рсх5| И /Сао € w? н^ 9 если? Н^ .

При js = vполучаем классы KW и W Н^, и в этом случае называют v> -й производной функции /в смысле Вейля/.А при jb-^ + i получаем классы HW1^ и функций, сопряженных с функциями, соответственно, классов MW^.

Задача о нахождении величины /0.5/ была впервые поставлена и решена А. Н. Колмогоровым [б 2. А. Н. Колмогоров доказал, что fbCW^ 5) = sub || fCt) — ^Cf—t)\r = 4 iaa ft*.

4?)? / «ТГ I h. —>

В.Т.Пинкевич ?7 Д распространил этот результат и на случай дробных г-. Дальнейшее существенное продвижение в этом вопросе принадлежит С. М. Никольскому [8 — 12^который получил асимптотические равенства для величин feCW^H^S & (W Н*! } П «ft.

И ДР.

В дальнейшем результаты А. Н. Колмогорова и С. М. Никольского распространялись на более обще классы функций и различные методы суммирования рядов Фурье.

Следуя А. И. Степанцу [13] будем говорить, что для данного класса и данного метода Ш^СЛ) решена задача Колмогорова.

Никольского /в дальнейшем задача К-Н/, если в явном виде найдена такая функция ^о.

Такое название оправдано тем, что постановка и первые фундаментальные результаты в решении этой задачи, как уже отмечалось, принадлежат А. Н. Колмогорову и С. М. Никольскому.

К началу 70-х годов благодаря работам Б. Надя ?14 — 173 ,.

С.Б.Стечкина [18−21], С.А.ТеляКовского [22−27] и др. был созтдан общий метод, позволяющий решать задачу КН на классах Wp для практически любого конкретного метода суммирования рядов фурье. К этому же периоду в работах С. М. Никольского [ 9−12 J А. В. Ефимова [28−37] и др. был получен общий метод, позволяюу* щий решать задачу К-Н на классах Н «в случае, когда.

J4 линейный метод суммирования.

В случае, когда линейный метод суммирования 4L Сл.) дает п. приближение порядка наилучшего и, его ядро К Ct9Ji) меняет знак, х задача К-Н была впервые решена Н. П. Корнейчуком [39] для метода Фавара, порождающего полиномы jr. ал ll1 + ksr /- (т + р — СЧ it + 1о I Sin. •.

В основе примененного Н. П. Корнейчуком метода лежит одно утверждение Н. П. Корнейчука, которое было независимо получено, но неопубликовано, С. Б. Стечкиным. Это утверждение мы сформулируем в том виде, в каком оно приведено в [13 ] ..

ЛЕММА КОРНЕЙЧУКА-СТЕЧКИНА /лемма К-С/. Пусть на произвольном отрезке [а9 b 2 заданы точка С, а. 4 С <4 h, и суммируемая функция у (х) такая, что почти всюду на Ja, c[ усх) уО С и почти всюду на Jc, b[ Yto 40, (УС&УО) и кроме того b о. ю/ а.

Тогда для произвольного модуля непрерывности со Ct) b с «§ WCt)lcoC j>Ct)-t)dt = ^ I YCt)| со Ct’cp'1Ct))cLt ^ а с где — класс непрерывных на отрезке Ca3bJ функций, удовлетворяющих условию /0.6/, — функция, определенная на посредством равенств.

Y С") =, aixic i i & /0.12/ =? YCt) dt ,.

1 a j" - функция, обратная. Если со С*) — выпуклый модуль непрерывности, то в соотношении /0.11/ имеет место знак равенства, при этом верхнюю грань реализуют функции из класса Н С а, Ь1 вида К С*}, где /Спроизвольная постоянная и.

С — 9.

— ^ с, а 4 * с) fl.

-1.

5 ^о' Ct-J"" С ^.

В этом случае величина & Су) может быть представлена в виде S гс*>*>'<�"м> /0.14/ О где цг^{-перестановка} функции I I в убывающем порядке, т. е. функция, обратная функции Л У 9 где.

Я ^ = rn. es В С у.) ..

В конце 60-х начале 70-х годов благодаря работам Н. П. Корнейчука [ 38−40 Д, В. К. Дзядыка [41Д и А. И. Степанца [42−47 ^ на основе леммы К-С был создан метод, позволяющий решать задачу К-Н в случае, когда метод суммирования ^ С/1) дает приближение г порядка наилучшего и его ядро К Ct9А.) меняет знак..

В общих чертах схема решения таких задач по этому методу такова /см. С13 Д /..

1. Сначала показываем, что.

ЗьСЖи^Л)) -1ЧЮ *f I SfC&y^ctUi I /0 I5/ 0 о где Н — класс ZSпериодических функций удовлетворяющих условию /0. 6/ и 0, тСгО — некоторая функция от a, a ~ некоторая непрерывная на интервале.

JOфункция, имеющая на этом интервале бесконечное множество простых нулей t ^ /простыми мы здесь называем нули функции, проходя через которые она меняет знак/..

2. Доказываем, что на каждом интервале CO^t^, [t^ k=2,3,., лежит единственный простой нуль функции ао f Ct) = ^ V^^t /0. 16/ и с помощью леммы К-С получаем следующую оценку сверху для величины so * а> о о def ос bi где J^Ct) — функции, определяющиеся на? посредством равенств w", «i ** * Xk+i и устанавливаем равенство.

Л Ссо) = 0 (соС ?)), п <*>. п '.

Доказываем /если это возможно/, что последовательность выпукла /вогнута/.

4 0 СУ, О). /0.17/.

Если это неравенство доказано, то можно построить функцию^СаОе и ° п^ 5 такую, что.

ОО.

I X /а с ?) Y^odt I = +. ? а, о т^ п. т. е. решить задачу К-Н для величины С$УС, И^СО).Отметим, что в случае coCt)= Mi выполнения неравенства / 0.17/ не требуется..

При решении задачи К-Н по данной схеме в одномерном, а также в многомерном случае, наибольшие трудности вызывает доказательство соотношений вида /0.17/. В связи с этим главное внимание в работе уделяется установлению таких соотношений для ряда специальных функций, являющихся первообразными ядер интегральных представлений уклонений^СаО —.

Остановимся более детально на содержании работы. В главе I исследуется распределение нулей специальных функций вида.

ОО.

FCji^x) =? /СО ?w.Ct+eL)dt, /0.18/ зс. где^СхЭ — непрерывная положительная на интервале Jo, ос [ функция, монотонно убывающая к нулю при ж —с"..

Множество таких функций обозначим Фа. Кроме того, через $ Cn^oo) обозначим класс /Vраз непрерывно дифференцируе-N, а са> мых функций^зо, для которых (ri)? М? Ф0, О? ri i /V..

Как уже отмечалось выше, при решении задачи К-Н часто требуется установить, что на некоторых промежутках J et^, J, к =0,1,., функция вида /0.3В/ имеет единственный простой нуль и, кроме того, что последовательность нулей {х^} является вогнутой >/0. /0. 19/.

Доказательство существования указанных промежутков.

J и последовательности простых нулей { а^} серьезных трудностей не вызывает даже для широкого класса функций J’te) и обычно этот вопрос решается применением теоремы Лейбница о знакочередующихся рядах. Установление же соотношений вида /0.19/, как правило, является весьма нетривиальным..

По-видимому, впервые такие соотношения были доказаны в работе В. К. Дзядыка и А. Й. Степанца [48 ] для интегрального синуса. В основе применявшегося там метода лежит получение асимптотических формул для нулей зе^ при помощи которых доказательство соотношений вида /0.19/ получается почти автоматически для значений к 9 больших некоторого значения kQ. В работе С482 к =4″ для значений к, =0,4 эти формулы желатель-о ного результата не дают из-за наличия в них остаточных’членов и справедливость соотношений /0.19/ приходилось проверять, используя численные значения эс^, к =0,6, найденные, например, при помощи достаточно точных таблиц. Позже этот метод с успехом применялся для функций.

Г cost С fost м, С dt.

3 J. ^ > J +С+ + лг 9 J J.& ^ х tCt + S) 9 ° t и др./см., напр., [41,45 2 / и сыграл важную роль при решении ряда задач К-Н.В этих случаях числа kQ лежат уже в пределах от II до 30 и, следовательно, для проверки неравенств /0.19/ требуется значительное количество значений нулей, вычисленных с достаточной точностью. Для нахождения этих значений приходится прибегать к вычислительным машинам..

При каждых фиксированных функции и параметра ot следуя этому методу, в принципе можно получать асимптотические формулы для нулей функции /0.18/.Это позволяет установить /или опровергнуть/ соотношения типа/0.19/ для значений fc больших некоторого kQ'9 для L*o, k0 проверку неравенств/0.19/ можно опять осуществить при помощи вычислительной техники. Понятно, что значения зч^ будут зависеть от функции ^Сх.) и параметра «I, и если J’Cx) будет зависеть от параметра т9 а ги oi будут принимать недискретные значения, то проверка соотношений /0.19/ таким способом становится проблематичной..

Между тем именно такие функции возникают при рассмотреть нии задачи К-Н на классах W Н^. В данной главе мы не при.

СГ бегаем к асимптотическим формулам для значений нулей, а используем представление функции F С^ i «) в виде FCJ¦,<*¦, л) = -ACfiaLl sin. С яе +<* +.

0.20/ где.

АС/-*) «т/г^/з + jSC/ix^-.arcctj.

0.21/ а C^ есть частное решение уравнения г = /с=о, которое задается равенством.

ОО с f3 X) "? /СО sin. С* - х) dt. /0.22/ гс функция .ACj^*) — положительна на J 0, С. Поэтому свойства нулей функции FC/j полностью определяются свойствами функции JSC /j a)..

В частности, для выполнения соотношения / 0.19/ достаточно, как показывает утверждение леммы 1.2, чтобы jsCj^x) была выпуклой, т. е. чтобы имело место неравенство агсеи ^ >0, Х70. /0.23/.

7 2С/5″) У.

Для доказательства этого неравенства в § 2 исследуются свойства функции 3L х) ив результате получена ТЕОРЕМА I.I. Пусть J €.

С").

JM /" CO.

—- = nL <. se -^90.

Тогда, если iun. или же. если d 4 00 и существует.. н f’C*).

-Г>о.

QL = 00 и.

— w wo /'f-j/'c") то найдется такое число xQ? что при всех х у х0 имеет место неравенство /0.23/ и существует такой номер kQ 9что к — + ^ кукО ¦.

Заметим, что условию леммы удовлетворяют такие функции как ^/iaCl + x)..

Результаты § I и § 2 были получены автором совместно со своим научным руководителем А. И. Степанцом..

В § 3 найдены условия, которым должна удовлетворять функция fCx), чтобы неравенство /0.23/ имело место для всех х. у0. d f’U).

ЛЕММА I. I3. Если функции fCoO и — — принадле-. d жат множеству и справедливы соотношения: iirrx..

XJf 0О.

У/ о >0, f’C*) 0. хуо.

0.24/ I то неравенство /0.23/справедливо при всех хуО ..

В основе доказательства этого утверждения лежит следующая лемма..

ЛЕММА 1.7. Пусть eUaO — некоторая непрерывно дифференцируемая на отрезке [a, hj функция, удовлетворяющая уравнению где 9q — непрерывная в области [a, kj % Cafi, 1 функция Lo. Л 1 — множество значений функции oI’Ca) /, для кото.

О ' О рой имеет место равенство, а — непрерывная в области [а3ЬЗ% Qa^, fcj П функция / J — множество значений функции М. Сх) /, монотонно возрастающая по ж и монотонно убывающая по jp. Тогда, если в некоторой точке с е [а, Ь С, aL’Cc) 4 Q, то el 'С®-) -Ьб J ..

Кроме того, при доказательстве леммы I. I3 существенно использовалось то, что? С? •¦> эО удовлетворяет уравнению /0.21/..

При проверке условий леммы I. I3 для каждой конкретной функции J>(3CL') наибольшую трудность вызывает проверка неравенства /0.24/, т.к. оно содержит функцию 2 С ^ х}. Для доказательства неравенства /0.24/ используется следующее утверждение, полученное в § 2..

Следствие I.I. Если некоторая дважды непрерывно дифференцируемая функция удовлетворяет на интервале.

J D, <*> [ уравнению и" + LL в котором J? и граничному условию iim. llcx.1 =0 ,.

ТО ll сх) tfxyO. 7.

С помощью этого утверждения в § 4 показано, что неравенство.

• «Г.

0.134/ имеет место при а., г уО, и при.

ТЕОРЕМА 1.2. Для всех и 0 * * <ЗГ на каждом интервале ^ = Л «Г С к+ ^Ck+i)-^ [, k=i, 2, функция ^.

— г*.

F С^ = С t" scn. C*+*)dt.

ГJ at имеет единственный простой нуль аг^ 2 и на множестве JeJT-s, ^ С U) функцияГ С эО нулей не fcai Кимеет..

При этом последовательность {^У вогнута af4*t" +lUi /0−25/.

Кроме того, если гг (г-и)^, то на интервале JO, сГ-eC J функция JFL С ж) нулей не имеет и выполняется неравенство sot * * а если j Cr+i) У ек, то на интервале Jo, С функция.

I7 (зО имеет единственный простой нуль эсп и неравенство г,* о.

0.25/ верно при L = 0, а также справедливы следующие неравенства: а > fы, f..

Аналогичная теорема доказана и для функции.

Р («). f a, et J «Kt + a).

Результаты главы I опубликованы в работах [49 .J. В главе П исследуется величина, а) = sup II /Сх) — Ж^ fcW^H d 1 СО s где C^i эО — нормальные средние Зигмунда, т. е. последовательность тригонометрических полиномов б l^-i к и^к ~ коэФФициенты Фурье функции ¦.

Асимптотическое поведение величин.

Е С) = sttp II JMZ6n С /зх)11, где — некоторый класс непрерывных ZSпериодических функций, изучалось ранее рядом авторов..

Y* S.

Так А. Зигмунд Г 501 указал порядок величины Е (W, 7L) Гь для целых vи 5. В работе Б. Надя [ 14] найдены асимптота-ческие равенства для EiW0, 2 л) и? , 22 Л) при любых положительных тг и s и, наконец, С, А. Теляковс.

V s кий [ 25 ] получил асимптотические равенства для Е («Wji, ^) при любых положительных ги s и действительных J3 ..

Величины Е CinC, 2 ^ на классах Н изучались А. В. Ефимовым в работе [35 Д. Из полученных в ней общих результатов можно вывести асимптотические равенства для величины ' ^ п. ^? когда ее порядок не совпадает с порядком наилучшего приближения тригонометрическими полиномами на классе н.

Ji ' со •.

При нормальные средние Зигмунда есть суммы Фейеу ра и величины Е С W^ Н^ 9) изучались в работах.

С 8,22,28,5l]и др..

При 5 = 2. величины ШС^^И^^ изучались.

А.И.Степанцом в [42 2 ..

При целых v и 5, т* >/5 ,(3=0 величина у. ?.

JS, % л) изучалась в работе С 52 1 •.

Нами доказана следующая теорема..

ТЕОРЕМА 2.1. Для любого модуля непрерывности для всех V1 у О выполняется соотношение.

У* X 1 f*>(«)lYraildt + t» ° ~ р f firW-t ^ t-1 ^ ' i Sua Lit.

Y^Ct>=? -^—ли.,.

О 1 a.

Т. и ас. L=I, 2,., положительные нули, соответственно,.

1 oo функций и ^ Cx^ = - Ct^ dt, перенумерованные л в порядке возрастания^ р СОфункции, определяющиеся на Р *.

L3^ ' ^ j l =I"2,. равенствами.

JV^b v^it JVC3°- • /0,26/.

При всех имеет место порядковое равенство.

0 ОС 4)), ..

Если coCt} - выпуклый модуль непрерывности и, кроме того, если при некотором У’У О выполняется неравенство то при ЭТОМ V.

VV- у. V^г «СО)' h. —<?в.

V ft. / у ' П '.

При доказательстве теоремы 2,1 существенно используется утверждение теоремы 1.2,так как г sint сс. эе..

В § 2 доказывается, что при coCt) t, 0 ^? 4, неравенство /0.27/ справедливо при всех г УО. Для этого необходимо было исследовать зависимость нулей х^Сг, «О функции 0 Т параметра ^ •.

ТЕОРЕМА 2.2. Для всех W/i,^70, & У0 и О справедливо неравенство где зс^С^вО, fe =1,2,., — нули функции ^ ы С^Э из интервала J jr-^, оо? перенумерованные в порядке возрастания..

Кроме того, если 1 Cr+i^ j > 9 то неравенство/0.28/ выполняется и при к = 0..

ТЕОРЕМА 2.3. Для всех г-7 О и D^oi^i имеет место асимптотическое равенство г я, v- ^ v+i 1 / * ei CUO lrct>ld* +.

V J.

Результаты главы П были опубликованы в работе? 53 2 •.

Глава Ш посвящена приближению периодических функции многих переменных сферическими средними Рисса..

Пусть Л V — А/ -мерное евклидово пространство,,. л/ л" =2,3,., С at*, х } - его элементы, Z множество векторов п. г? л.^ ^ ^ п. ^) с целочисленными координатами, С = + + хы >.

Пусть, далее, = — «- Z& -периодическая по каждой из переменных суммируемая на кубе периодов функция — < - с**)*.

— ее ряд Фурье. Тогда при каждых фиксированных у О и .К >0 выражение frvf2 ^ ССпя).

Д lriU. R называют .Rй сферической частной суммой Рисса порядка ?..

При f У/? средние /0.30/ впервые были введены Бох-нером [ 54 2. В этой его работе было положено начало исследования различных вопросов сходимости таких средних. Дальнейшее развитие эта тематика получила в работах многих авторов, например, И. Стейна и Г. Вейса ?55 ], К. И. Бабенко [" 56 2, В. А. Ильина С 57 2? Ш. А. Алимова, В. А. Ильина и Е. М. Шкишина [ 582, А. И. Степанца [42,44 ], Б. И. Голубова С 59 ] и др., в которых собрана обширная библиография по данному направлению. В главе Ш исследуется асимптотика величины где H — класс непрерывныхпериодических по каждой со из переменных функций — 32 i , — 9^лЛ 9 которые удовлетворяют условию.

Г| /0.32/ ш ((a^-sc^)*') ..

Здесь оэ Ct} - произвольный фиксированный модуль непрерывности..

Величина /0.31/ изучалась в работах А. И. Степанца [42,44 J и Б. Й. Голубова [59 J. Следуя вышеизложенной схеме решения задач К-Н в работе А. И. Степанца [42] сначала было показано, что при всех N У/ i и для любого фиксированного модуля непрерывности coCt) оо sr0 с I S/CDt-^ttxtt о.

•СО X й, но с (? «(i)f4,ftidt +.

0 /0. 33/ и* k i V Л у о у * к где *.

U^ С я) — функция Бесселя первого рода порядка О, , к =0,1,., — ее неотрицательные нули, перенумерованные в порядке возрастания, = ^ ^? •> к =0, I,., положительные нули функции.

ОО.

0.35/ а X Функции, определяющиеся на отрезках С зс^, эе^ равенствами.

Там же было доказано, что при ^ < | и ~ Функция.

0.35/ на каждом промежутке J х? ее"? Г к =0, 1,., к ' fc+i ' имеет единственный простой нуль — ое^ С^"о^ и показано. что при всех N У/ J. и <Г > для любого фиксированного модуля непрерывности со С*) г f 1\.

Ав С^ «О t jj), J?-» «о. /0в36/ Л.

Далее в работе [[42 J было локазано, что если для некоторых /V *?/ i и выполнено неравенство то при этих N ш? для любого выпуклого модуля непрерывности со СО имеет место асимптотическое равенство сГ — /V ^ сГ, л/ гд/ сHe ^ + Гл, Г/Со^о, Г ' to) = О (я & ' а> С ж)), Я jj /0.38/.

В работе Г 42 J был указан способ доказательства соотношений вида /0.37/, который основан на теореме сравнения Штурма и который нам удобно сформулировать следующим образом..

Пусть функция lUaO имеет на интервале Jo, °° С бесконечное множество простых нулей х^, к =1,2,., и удовлетворяет уравнению.

0.39/ в котором функция такова, что для всех к 7/1 имеет место неравенство Ясгх^-хиек*}, 40/.

Тогда для всех к У/1 справедливо неравенство.

Неравенство /0.40/, очевидно, выполняется, если функция QCx) монотонно возрастает на Jo, о®-?. Этим способом в работе [42 3 too доказано, что неравенство /0.37/, а, следовательно, и равенство /0.38/, выполнено при всех ^ < - А и = 1, т. е. /см. /0.34//, при Л/=? и >. Кроме того, было доказано, что в случае со Ob) -Jit равенство/0.38/ имеет место при всех, А У/ 1 и о Уg- > т.к. в этом случае не требуется выполнения неравенства / 0.37/..

Дальнейшее исследование нулей функции^. было проведено Б. И. Голубовым в работе [ 59 2. В этой работе было показано, что функция и СзО удовлетворяет уравнению.

— w'cx)^ + = 0, /0.42/ где Wj^ = а ^ ^ С х), /0 В 43/ a — функция Ломмеля второго рода /см. [ 60 2, с.379/, сJ* которая является частным решением уравнения ху, 1 + (-) Lj, = х^*1 9 и при of * 2 задается равенством /см, С61 И, о. 78 / оа оо.

5 с*ч=т ctMt — Y <*> Ct^ctUt), c-' x. cc здесь Y — функция Бесселя второго рода порадка.

Далее было показано, что при ^ < ^ и ^ + ^ = ?пг-ц 9 т. =0,1,., функция положительна на Jo, ? и уравнение /0.42/ заменой у ^ сводится к уравнению вида /0.39/, в котором.

Ч<*>5 а С*>"4 C^'VA /in — J—/0.44/.

Было доказано, что функция фСгеЭ монотонно возрастает на J С, если j< + = tn =2,3,., и ^ • -|(£пг+), а также если — 3 и cf 2 ' Это означает, что при таких ^ и ^ выполнено неравенство /0.37/, т. е. при А/ г 4 и <�Г>(лм)/? и при всех четных /V >? и г | Уз + имеет место асимптотическое равенство /0.38/.Там же было указано, что ^ ^? Л/ - 3 ..

В данной главе проложено исследование нулей функции u. М..

О /V V d «Этому посвящен § 2,результатом которого является следующая теорема..

ТЕОРЕМА 3.1. При каждом фиксированном натуральном m для всех j и V таких, что 2т-1 44 &tn + i, i па — + ^ ^ последовательность положительных нулей функции ^t^" J^Ct^dt выпукла: зс.

Vc/^ - * W. M5 + km, i¦.

Отметим, что в случае р= 3 результат теоремы содержится в результате Б. И. Голубова для этого случая, остальные результаты Б. И. Голубова содержатся в утверждении теоремы.. Несколько слов о методике доказательства теоремы 3.1. Прежде всего установлено, что для выполнения неравенства /0.40/ не обязательно требовать, чтобы функция Q^aO монотонно возрастала на J0, ©-о С и найдено более широкое условие, которое сформулировано следующим образом..

Следствие 3.1. Если функция и. СхЭ имеет на интервале Л0, о®С бесконечное множество простых нулей? L =1,2,., удовлетворяет на J0, <*> q уравнению /0.39/ и существует число такое, что Q Сх) положительна и монотонно возрастает на J С, С и неположительна на J0, С С, то последовательность { х выпукла: 0 ..

Выражение /0.44/ для функции flCx) содержит функции Ломмеля S ", С ас 5 /см. равенство /0.43// и для доказательства теоремы 3.1 необходимо было доказать ряд неравенств, содержащих эти функции. Основным способом доказательства таких неравенств является.

Следствие 3.2. Если некоторая дважды непрерывно дифференцируемая функция тэ-Сзо удовлетворяет на интервале JQ, o°C уравнению & в котором? е Фо и ^7/ «j и граничному условию эс сю.

ТО тКз07а, х7о ..

Отметим, что в случае утверждение следствия 3.2 было доказано в главе I..

Опираясь на утверждение теоремы 3.1, в § 2 строятся экст * ремальные функции ср с sc.*) г ф С ,., =0, которые при.

1 o3N, х. I* четных N У/ в и <Г > | l/'' 5 а также при нечетных N У 5 к? у к f yicA/^V^Ti 1 — 1) принадлежат классу.

• /V? х.

Н ^ и для которых-имеет местоасимптотическое равенство.

Г ^ ^ <Г V Cf 5 *)Нв Ссо) +.

J? т. е. доказана.

Т Е О Р Е М, А 3.2. При любых четных И У/ в и ^ к УЬСМ'^ & + i, а также при нечетных iV > 3 и i (^5 + i 1 — 1) для всякого выпуклого модуля непрерывности имеет место асимптотическое равенство /0.38/..

Результаты главы Ш были опубликованы в работах [*62,63 ]. Пользуясь случаем выражаю большую признательность и благодарность моему учителю А. И. Степанцу за постановку задачи, постоянное внимание и помощь в работе..

1. Лебег (Lebesgue.Н.). Sur les integrales singu-lieres.- Arm. de Toulouse, 1909,1, 25−117..

2. Дюбуа Реймонд.

3. Колмогоров A.H., Une serie de Fourier Lebesgue diver-gente presque partout, Fund.Math., 4 (1923), p. 324 328..

4. Колмогоров A.H., Une serie de Fourier-Lebesgue diver-gente partout.- Compt. rendus, 183 (1926), p. 13 271 328..

5. Фейер Л. (Fejer Ь.). Untersuehungen uber Fouri-ersche Reihen.- Math.Ann., 1904, 58, p. 501−569..

6. Колмогоров A.H., Zur Grossenordnung des Restliedes Fourierschen Reihen differenzierbaren Functionen.-Aim.Math., 1935″ 36, p.521−526..

7. Пинкевич B.T., 0 порядке остаточного члена ряда Фурье функций, дифференцируемых в смысле Вейля.-Изв.АН СССР.Сер.Математика, 1940, 4,№ 5,с.521−528..

8. Никольский С. М., 0б асимптотическом поведении остатка при приближении функций, удовлетворяющих условию Липшица, суммами Фейера.-Изв.АН СССР.Сер.Математика, 1940,4,№ 6,с.501−508..

9. Никольский С. М., 0 линейных методах суммирования рядов Фурье.-Изв.АН СССР.Сер.Математика, 1948, 12, с.191−193..

10. Степанец А. И. Равномерные приближения тригонометрическими полиномами. Линейные методы. Киев:Наукова думка, 1981. 339 с..

11. Надь Б. (Nady В.). Sur une classe generale de pro-cedes de sommation pour les series de Fourier.-Hung.Acta Math., 1948,1, И 3, p.14−521..

12. Надь Б. (Tfady В.). Methodes de sommation des series de Fourier.I.- Acta sci, math., 1950,12,p.204−210..

13. Надь Б. (^ady В.). Methodes de sommation des series de Fourier. II, — Oasapis pro pestovani Mat. a Fis., 1949, 74, p.210−210..

14. Надь Б. (Nady В.). Methodes de sommation des series de Fourier, III.- Acta sci, math., 1950,13,p.247−351..

15. Стечкин С. Б. О суммах Валле-Дуссена.- Докл. АН СССР, I951, 80, с.545−548..

16. Стечкин С. Б. Несколько замечаний о тригонометрических полиномах .-Vспехи мат. наук, 1956,10,вып Л, с.159−166..

17. Стечкин С. Б. 0 наилучшем приближении некоторых классов периодических функций тригонометрическими полиномами. -Изв.АН СССР.Сер.Математика, 1956,20,с.643−648..

18. Стечкин С. Б., О приближении непрерывных периодических функций суммами Фавара.-Тр.Мат.ин-та АН СССР, 1971,109, с.26−39..

19. Теляковский С. А., Приближение дифференцируемых функций суммами Валле-Пуссена.-Докл.АН СССР, 1958,1213,с.426−429..

20. Теляковский С. А., Приближение функций, дифференцируемфх в смысле Вейля, суммами Валле-Пуссена.-Докл.АН СССР, I960, 131, № 2,с.259−262..

21. Теляковский С. А., О приближении дифференцируемых функций линейными средними их рядов Фурье. Изв. АН СССР.Сер.Математика, I960, 24, № 2,с.213−242..

22. Теляковский С. А., О нормах тригонометрических полиномов и приближении дифференцируемых функций линейными средними их рядов Фурье.I. Тр.Мат.ин-та АН СССР, 1961,62,с.61−97..

23. Теляковский С. А., О нормах тригонометрических полиномов и приближении дифференцируемых функций линейными средними их рядов фурье.П.- Изв. АН СССР.Сер.Математика, 1963,27, № 2, с.253−272..

24. Теляковский С. А., Приближение дифференцируемых функций частными суммами их рядов Фурье.- Мат. заметки, 1968,4, № 3, с.291−300..

25. Ефимов А. В. О приближении некоторых классов непрерывных функций суммами Фурье и суммами Фейера.- Изв. АН СССР.Сер. Математика, 1958,22, № I, c.8I-II6..

26. Ефимов А. В., 0 приближении непрерывных функций суммами Фурье. Успехи мат. наук, 1959, 14, вып.2,с.183−188..

27. Ефимов А. В., Приближение функций с заданным модулем непрерывности суммами Фурье. Изв. АН СССР.Сер.Математика, 1958, 23, $ 1,0.115−134..

28. Ефимов А. В., О приближении периодических функций суммами Валле-Щгссена .1. Изв. АН СССР.Сер.Математика, 1959,23,№ 5, с.737−770..

29. Ефимов А. В., О линейных методах суммирования рядов Фурье периодических функций.-Докл.АН СССР, 1960,131, № 2,с.234−237,.

30. Ефимов А. В., Приближение-^непрерывных периодических функций суммами Фурье. Изв. АН СССР.Сер.Математика, I960,24,$ 2, с.243−296..

31. Ефимов А. В., О приближении периодических функций суммами Валле-Пуссена.П. Изв. АН СССР.Сер.Математика, I960, 24, № 3, с.431−468..

32. Ефимов А. В., Линейные методы приближений некоторых классов непрерывных периодических функций.- Тр.Мат.ин-та АН СССР, 1961, 62, с. З-47..

33. Ефимов А. В., О линейных методах суммирования рядов Фурьеш-Изв.АН СССР.Сер.Математика, I960,24, $ 5, с.743−756..

34. Ефимов А. В., Линейные методы приближения непрерывных периодических функций. Мат.сб., 1961,54,$ I, с.51−90..

35. Корнейчук Н. П., 0 приближении периодических функций, удовлетворяющих условию Липшица, суммами Бернштейна-Рогозинского.-Докл.АН СССР.1959,125,$ 2,0.258−261..

36. Корнейчук Н. П., Об оценке приближений класса Н тригонометрическими многочленами .- В кн.: Исследование по современным проблемам конструктивной теории функций. М. -Фитматгиз, 1.6I, с.148−154..

37. Корнейчук H.П.Экстремальные задачи теории приближения.-М.:Наука, 1976. 320 с..

38. Дзядык В. К., Степанец А. И., Асимптотические равенства для точных" верхних граней приближений функций классов Гельдера при помощи полиномов Рогозинского.-Укр.мат.журн., 1972,24,№ 4,с.476−487..

39. Степанец А. И. Приближение периодических функций суммами Рисса.-Киев, 1974. 47 с.-(Препринт/ АН УССР. Ин-т математики- № 2)..

40. Степанец А. И. Приближение периодических функций классов Гельдера суммами Рисса.- Мат. заметки, 1977,21, № 3,с.341−354..

41. Степанец А. И. Приближение непрерывных периодических функций многих переменных сферическими средними Рисса.- Мат. заметки, 1974,15, № 5,с.821−832..

42. Степанец А. И. Приближение периодических функций полиномами Рогозинского и С. Н. Бернштейна.-Киев, 1974. 42 с.(Препринт/ АН УССР. Ин-т математики- № I)..

43. Степанец А. И. Приближение непрерывных периодических функций полиномами Рогозинского.-Укр.мат.журн., 1974,26, № 4,с.496 509..

44. Степанец А. И., Приближениет-непрерывных периодических функций суммами С. Н. Бернштейна.-Укр.мат.журн., 1975,27,№ 5,с.701−708..

45. Дзядык В. К., Степанец А. И., О последовательности нулей интегрального синуса.-В кн.:Метрич.вопр.теории функций и отображений, Киев: Наукова. пумка, 1971, вып. 2, с .64−73..

46. Грона В. Л., Степанец А. И., О распределении нулей специальных функций, порождаемых тригонометрическими интегралами. Препринт 48. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1982. 53 с.- 139.

47. Зигмуцц (Zigmund A.), The approximation of functions by typical means their Fourier series.-Duke Mathem.J., 1945, 12, p.695−704..

48. Задерей П. В., Степанец А.й., 0 приближении сопряженных функций классов Гельдера суммами Фейера. Anal.Math., 1979,5,Я 2, p. I67−178..

49. Степанец А. И., Асимптотические представления уклоненийсредних Зигмунда от дифференцируемых периодических функций. В кн.:Методы теории приближения и их приложения. Киев, йн-т математики АН УССР, 1982, с.96−115..

50. Грона B. JL, Приближение периодических дифференцируемыхфункций нормальными средними Зигмунда.-Препринт 82.48.-Киев: Ин-т математики АН УССР, 1982. 53 с..

51. Бохнер С. (Bochner S.). Summation of multiple Fourier series by spherical means.-Trans.Amer.Math.Soc., 1956, 40, К 2, p.175−207..

52. Стейн И., Вейс Г., Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.:Мир, 1974. — 333 с..

53. Бабенко К. И., О сходимости в среднем кратных рядов Фурьеи асимптотике ядра Дирихле сферических средних.- М., 1971.-72 с.-(Препринт/АН СССР. Йн-т прикладной математики-№ 52)..

54. Ильин А. В., Проблемы локализации и сходимости для рядов Фурье по фундаментальным системам функций оператора Лапласа. -Успехи мат. наук, 1968, 23, № 2,с.61−200..

55. Алимов Ш. А., Ильин В. А., Никишин Е. М., Вопросы сходимости кратных тригонометрических рядов и спектральных разложений.-Успехи мат. наук, 1976,31,№ 6,с.28−83−1977,31, № I, с.107−130..

56. Голубов Б. И., 0 приближении функций нескольких переменных сферическими средними Рисса.- Мат. заметки, 1975,17,№ 2,с.181−191..

57. Ватсон Г. Н., Теория бесселевых функций. М.:Изд-во иностр.лит., 1949. Ч.1. 798 с. 61. buke Y.L., Integrals of Bessel functions. ff.-Y., 1962..

58. Грона В. Л., 0 монотонности функций Ломмеля. Препринт 34.-Киев:Ин-т математики АН УССР, 1983. 55 с..

59. Грона В. Л., Приближение непрерывных функций многих переменных сферическими средними Рисса.- Доклады АН УССР. Сер. А, № 4, с. 3−4..

60. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И., Интегралы и ряды.- М.:Наука, 1981..

61. Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений.- М.: Физмат., 1958. 468 с..